第一章勾股定理評(píng)價(jià)卷

時(shí)間:90分鐘滿分:100分班級(jí):學(xué)號(hào):姓名:成績(jī):

一、選擇題(每小題3分,共30分)1.有下列幾組長(zhǎng)度的線段:①9,12,15;②5,12,13;③32,42,52;④3a,4a,5a(a>0).其中可以作為直角三角形三邊長(zhǎng)的有(B)A.4組 B.3組 C.2組 D.1組2.如圖所示,湖的兩岸有A,C兩點(diǎn),在與AC成直角的BC方向上的點(diǎn)B處測(cè)得AB=15米,BC=12米,則A,C兩點(diǎn)間的距離為(C)A.3米 B.6米 C.9米 D.10米3.已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和5,那么這個(gè)三角形的第三條邊長(zhǎng)的平方為(D)A.16 B.25 C.34 D.16或344.如圖所示的是在正方形網(wǎng)格中的△ABC,若小方格邊長(zhǎng)為1,則△ABC的形狀為(A)A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.以上選項(xiàng)都不對(duì)5.七年級(jí)手工小組用彩帶給如圖所示的圖片制作邊框,已知AB=5cm,BC=12cm,則制作一個(gè)邊框需要彩帶的長(zhǎng)度是(D)A.5cm B.12cm C.13cm D.30cm6.如圖所示的長(zhǎng)方體木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為12m,4m,3m,則能放進(jìn)木箱中的直木棒最長(zhǎng)為(B)A.12m B.13m C.15m D.24m7.2025年2月8日哈爾濱亞冬會(huì),在自由式滑雪女子U型場(chǎng)地技巧決賽中,中國(guó)選手獲得冠軍,這是中國(guó)體育代表團(tuán)在本屆亞冬會(huì)上摘得的首枚金牌.如圖所示,這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池的示意圖,該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成,中間可供滑行部分的截面是直徑為32πm的半圓,其邊緣AB=CD=15m,點(diǎn)E在CD上,CE=3m.一滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn),則他滑行的最短距離(邊緣部分的厚度忽略不計(jì))約為A.16m B.18m C.20m D.25m8.如圖所示,將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,使邊DC落在對(duì)角線AC上,折痕為CE,且點(diǎn)D落在對(duì)角線AC上的D′處.若AB=3,AD=4,則ED的長(zhǎng)為(A)A.32 B.3 C.1 D.9.如圖所示的圖形是由“趙爽弦圖”變化得到的,它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成,記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為S1,S2,S3.若S1+S2+S3=2025,則S2的值是(D)A.672 B.673 C.674 D.67510.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,則△ABC的周長(zhǎng)為(C)A.42 B.32 C.42或32 D.37或33二、填空題(每小題3分,共15分)11.如圖所示,在△ABC中,若AB=10,AC=16,AC邊上的中線BD=6,則BC=10.

12.如圖所示,分別以Rt△ABC的兩條直角邊為邊長(zhǎng)向外作正方形S1,S2.若AB=2,則正方形S1,S2的面積和為4.

13.如圖所示,正方形網(wǎng)格中的點(diǎn)A,B,C,D,E稱為“格點(diǎn)”(格線的交點(diǎn)),以這五個(gè)格點(diǎn)中的任意三個(gè)為頂點(diǎn)畫三角形,其中直角三角形有3個(gè).

14.在Rt△ABC中,∠C=90°,c為斜邊,a,b為直角邊,a+b=17,c=13,則Rt△ABC的面積為30.

15.如圖所示,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,其面積記為S1,以CD為斜邊作等腰直角三角形,以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,其面積記為S2,…,按此規(guī)律繼續(xù)下去,則S2025的值為122三、解答題(共55分)16.(6分)如圖所示,為修通鐵路需開鑿隧道AC,量出∠C=90°,AB=5km,BC=3km.若每天鑿隧道0.4km,問幾天才能把隧道AC鑿?fù)?解:因?yàn)椤螩=90°,所以△ABC是直角三角形.因?yàn)锳B=5km,BC=3km,所以在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=52-32=16.因?yàn)锳C為正數(shù),所以AC=4km.所以4÷0.4=10(天).答:10天才能把隧道AC鑿?fù)?17.(6分)如圖所示,對(duì)任意符合條件的Rt△BAC,繞其銳角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EAD,所以∠BAE=90°,且四邊形ACFD是一個(gè)正方形,它的面積和四邊形ABFE的面積相等,而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和,根據(jù)圖形寫出一種驗(yàn)證勾股定理的方法.解:由題圖,得S正方形ACFD=S四邊形ABFE=SRt△BAE+SRt△BFE,即S正方形ACFD=SRt△BAE+SRt△BFE,所以b2=12c2+(整理,得a2+b2=c2.18.(6分)如圖所示,鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩個(gè)村莊,DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,已知AD=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E,使C,D兩村到土特產(chǎn)收購(gòu)站E的距離相等,則土特產(chǎn)收購(gòu)站E應(yīng)修建在離A點(diǎn)多少千米處?解:設(shè)AE=xkm,則BE=(25-x)km.由DA⊥AB,CB⊥AB,可知△ADE和△BCE均為直角三角形.由勾股定理,得DE2=AD2+AE2,CE2=CB2+BE2.由題意,知DE=CE,所以152+x2=102+(25-x)2,解得x=10.所以土特產(chǎn)收購(gòu)站E應(yīng)修建在離A點(diǎn)10km處.19.(8分)如圖所示,在△ABC中,D是AC上一點(diǎn),沿BD所在直線折疊△ABC,使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)E處,連接DE.(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法作出線段BD和DE,保留作圖痕跡,不寫作法;(2)若AD=5cm,DE=3cm,AE=4cm,求AB的長(zhǎng)度.解:(1)如圖所示,線段BD和DE為所作.(2)因?yàn)檠谺D所在直線折疊△ABC,使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)E處,所以DC=DE=3cm,BC=BE,∠BED=∠C.在△ADE中,因?yàn)锳E2+DE2=42+32=25,AD2=52=25,所以AE2+DE2=AD2,所以△ADE為直角三角形,∠AED=90°,所以∠BCD=∠BED=90°.設(shè)BC=BE=xcm,則AB=(4+x)cm.在Rt△ABC中,因?yàn)锳C2+BC2=AB2,所以(5+3)2+x2=(4+x)2,解得x=6,所以AB=AE+BE=4+6=10(cm).20.(9分)分析下列各組勾股數(shù):當(dāng)n=2時(shí),a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;當(dāng)n=3時(shí),a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;當(dāng)n=4時(shí),a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;….(1)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出當(dāng)n=10時(shí)的勾股數(shù);(2)用含n的代數(shù)式表示符合上述特點(diǎn)的勾股數(shù),并加以說明.解:(1)當(dāng)n=10時(shí),a=2×10=20,b=102-1=99,c=102+1=101.(2)a=2n,b=n2-1,c=n2+1,其中n為正整數(shù).說明:a2+b2=(2n)2+(n2-1)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,所以a2+b2=c2.21.(10分)消防云梯主要是用于高層建筑火災(zāi)等救援任務(wù),它能讓消防員快速到達(dá)高層建筑的火災(zāi)現(xiàn)場(chǎng),執(zhí)行滅火、疏散等救援任務(wù).如圖所示,已知云梯最多只能伸長(zhǎng)到50m(即AA′=BB′=50m),消防車高3.4m,救人時(shí)云梯伸長(zhǎng)至最長(zhǎng),在完成從33.4m(即A′M=33.4m)高的A′處救人后,還要從51.4m(即B′M=51.4m)高的B′處救人,這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AB為多少米?解:由題意,可知DM=3.4m,AA′=BB′=50m,A′M=33.4m,B′M=51.4m,AD⊥B′M,A,B,D三點(diǎn)共線,所以A′D=A′M-DM=33.4-3.4=30(m),B′D=B′M-DM=51.4-3.4=48(m).在Rt△AA′D中,由勾股定理,得AD2=AA′2-A′D2=502-302=402,所以AD=40m.在Rt△BB′D中,由勾股定理,得BD2=BB′2-B′D2=502-482=142,所以BD=14m.所以AB=AD-BD=40-14=26(m).答:這時(shí)消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AB為26m.22.(10分)綜合與實(shí)踐主題:制作無蓋正方體紙盒.素材:一張正方形紙板.步驟1:如圖(1)所示,將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分,畫出九個(gè)相同的小正方形,并剪去四個(gè)角上的小正方形;步驟2:如圖(2)所示,把剪好的紙板折成無蓋正方體紙盒.圖(1)圖(2)猜想與驗(yàn)證:(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系;(2)驗(yàn)證(1)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.解: