試題試題2023年廣東省廣州市天河區(qū)華南師大附中平行班中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（共10小題）1．（3分）“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累計(jì)確診617597680人，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示（精確到萬位），正確的是（）A．6.1759768×108 B．6.176×104 C．6.176×108 D．6.1760×1082．（3分）已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上從左向右排列，且AC＝3AB＝6，原點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，則點(diǎn)B所表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．13．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．＝a+b B．a(chǎn)15÷a5＝a3（a≠0） C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a74．（3分）下列命題中，是真命題的是（）A．三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn) B．16的平方根是4 C．對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形是矩形 D．五邊形的內(nèi)角和為540°5．（3分）從甲、乙、丙、丁四名青年骨干教師中隨機(jī)選取兩名去參加“同心向黨”演講比賽，則恰好抽到甲、丙兩人的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…當(dāng)y＜5時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜47．（3分）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，延長AC，BD交于點(diǎn)P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5cm，則圖中弧CD的長為_______cm．（結(jié)果保留π）（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定9．（3分）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)10．（3分）在矩形OABC中，頂點(diǎn)C在第一象限且在反比例函數(shù)y＝（k≠0）上，BC與y軸交于點(diǎn)D，且CD＝3BD．AO與x軸負(fù)半軸的夾角的正弦值為，連接OB，S△OBD＝3，則k的值為（）A． B． C． D．二、填空題（共6小題）11．（3分）分解因式：2a2+8ab+8b2＝．12．（3分）方程的最簡公分母是．13．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（5，3），△OAB沿AC方向平移AC長度的到△ECF，四邊形ABFC的面積為．14．（3分）一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y＝上的兩個(gè)點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．15．（3分）如圖，正方形ABCD中，等腰直角△EBF繞著B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，BF＝EF，∠BFE＝90°，則DE：AF＝．16．（3分）如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕BF上的點(diǎn)G處，點(diǎn)H在BC上（如圖3），給出四個(gè)結(jié)論：①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③＝；④GH的長為5，其中正確的結(jié)論有．（寫出所有正確結(jié)論的序號）三、解答題（共9小題）17．（4分）解不等式組18．（4分）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求證：AC＝DF．19．（6分）已知代數(shù)式．（1）化簡已知代數(shù)式；（2）若a滿足，求已知代數(shù)式的值．20．（6分）自疫情暴發(fā)以來，我國科研團(tuán)隊(duì)經(jīng)過不懈努力，成功地研發(fā)出了多種新冠疫苗，以下是某地甲、乙兩家醫(yī)院5月份某天各年齡段接種疫苗人數(shù)的頻數(shù)分布表和接種總?cè)藬?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：①填空：a＝，b＝，c＝；②在甲、乙兩醫(yī)院當(dāng)天接種疫苗的所有人員中，40﹣49周歲年齡段人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角為；（2）若A，B，C三人都于當(dāng)天隨機(jī)到這兩家醫(yī)院接種疫苗，請用列表或畫樹狀圖的方法求這三人在同一家醫(yī)院接種的概率．甲醫(yī)院乙醫(yī)院年齡段頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率18﹣29周歲9000.154000.130﹣39周歲a0.2510000.2540﹣49周歲2100bc0.22521．（8分）為增加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費(fèi)了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費(fèi)了2700元，其中“科普類”圖書的單價(jià)比“文學(xué)類”圖書的單價(jià)多20%，購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本．（1）求這兩種圖書的單價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費(fèi)用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？22．（10分）平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，點(diǎn)B、D在x軸上，且B、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，AD交y軸于P點(diǎn)（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），求k的值及C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若△APO的面積為2，求點(diǎn)D到直線AC的距離．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為AB延長線上一點(diǎn)，CD為⊙O的切線，切點(diǎn)為D，AE⊥CD于點(diǎn)E，且AE與⊙O交于點(diǎn)F．（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的長．24．（12分）拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．25．（12分）如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為線段BC上一動點(diǎn)，EF⊥AC，垂足為F．（1）如圖1，連接DE交AC于點(diǎn)M，若∠DEF＝15°．①求∠ADE的度數(shù)；②求DM的長；（2）如圖2，點(diǎn)G在BC的延長線上，點(diǎn)E在BC上運(yùn)動時(shí)，滿足CG＝BE，連接BF，DG，求證：DG＝BF．

2023年廣東省廣州市天河區(qū)華南師大附中平行班中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題）1．（3分）“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累計(jì)確診617597680人，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示（精確到萬位），正確的是（）A．6.1759768×108 B．6.176×104 C．6.176×108 D．6.1760×108【分析】先將原數(shù)精確到萬位，然后根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【解答】解：617597680≈617600000＝6.1760×108，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)以及科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（3分）已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上從左向右排列，且AC＝3AB＝6，原點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，則點(diǎn)B所表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】如圖，由原點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，得AO＝CO，那么A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)．設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則C表示的數(shù)為﹣x，故AC＝﹣x﹣x＝6，求得x＝﹣3，從而解決此題．【解答】解：如圖．∵原點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，∴AO＝CO．∴A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)．設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則C表示的數(shù)為﹣x．∵AC＝﹣x﹣x＝6，∴x＝﹣3．∵AC＝3AB＝6，∴AB＝2．∴B點(diǎn)表示的數(shù)為﹣3+2＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．3．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．＝a+b B．a(chǎn)15÷a5＝a3（a≠0） C．﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a D．（a5）2＝a7【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、去括號法則、冪的乘方運(yùn)算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、無法化簡，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、a15÷a5＝a10（a≠0），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、﹣2（a﹣b）＝2b﹣2a，故此選項(xiàng)正確；D、（a5）2＝a10，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、去括號法則、冪的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（3分）下列命題中，是真命題的是（）A．三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn) B．16的平方根是4 C．對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形是矩形 D．五邊形的內(nèi)角和為540°【分析】根據(jù)平方根、矩形、多邊形內(nèi)角和、三角形的外心等知識進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，故為假命題；B、16的平方根是±4，算術(shù)平方根是4，故為假命題；C、對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形是菱形，故為假命題；D、五邊形的內(nèi)角和為540°，為真命題．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查判斷命題的真假，涉及平方根、矩形、多邊形內(nèi)角和、三角形的外心等知識，熟知它們的前提條件是解答的關(guān)鍵．5．（3分）從甲、乙、丙、丁四名青年骨干教師中隨機(jī)選取兩名去參加“同心向黨”演講比賽，則恰好抽到甲、丙兩人的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到甲、丙兩人的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到甲、丙兩人的結(jié)果有2種，∴恰好抽到甲、丙兩人的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…當(dāng)y＜5時(shí)，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以得到該函數(shù)的對稱軸和開口方向，從而可以得到y(tǒng)＝5對應(yīng)的x的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當(dāng)y＜5時(shí)，x的取值范圍．【解答】解：由表格可知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，該函數(shù)開口向上，則當(dāng)y＝5對應(yīng)的x的值是x＝﹣2或x＝4，故當(dāng)y＜5時(shí)，x的取值范圍是﹣2＜x＜4．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．7．（3分）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D，延長AC，BD交于點(diǎn)P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5cm，則圖中弧CD的長為_______cm．（結(jié)果保留π）（）A． B． C． D．【分析】連接OC，OD，求出圓心角∠COD的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式求出弧長即可．【解答】解：連接OC，OD，∵AC、BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C、D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四邊形內(nèi)角和為360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∴＝＝π，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查弧長的計(jì)算，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以點(diǎn)B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r＝3時(shí)，⊙B與AC的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AC，根據(jù)勾股定理求得BC，和⊙B的半徑比較即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，∴＝＝，∴AC＝4，∴BC＝＝3，∵r＝3，∴BC＝r＝3，∴⊙B與AC的位置關(guān)系是相切，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：直線和圓有三種位置關(guān)系：相切、相交、相離．9．（3分）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到a≤0，再判斷Δ＝22﹣4a＞0，從而得到方程根的情況．【解答】解：∵直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，∴a≤0，當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解為x＝﹣，當(dāng)a＜0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．10．（3分）在矩形OABC中，頂點(diǎn)C在第一象限且在反比例函數(shù)y＝（k≠0）上，BC與y軸交于點(diǎn)D，且CD＝3BD．AO與x軸負(fù)半軸的夾角的正弦值為，連接OB，S△OBD＝3，則k的值為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由題意可知∠1＝∠2＝∠3，由CD＝3BD，S△OBD＝3可知S△OCD＝9，設(shè)BD＝a，則CD＝3a，利用三角函數(shù)求得OD＝5a，利用S△OBC＝9，求得a的值，在△OCE中利用三角函數(shù)求得OE和CE的長，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得k的值．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵四邊形ABCO是矩形，∴∠AOC＝∠BCO＝90°，∴∠1+∠COE＝90°，∵CE⊥x軸，∴∠2+∠COE＝90°，CE∥x軸，∴∠1＝∠2＝∠3，∵CD＝3BD，S△OBD＝3，∴S△OBC＝4S△OBD＝12，設(shè)BD＝a，則CD＝3a，∵sin∠1＝，∴sin∠2＝sin∠3＝，∴，∴OD＝5a，∴OC＝4a，S△OBC＝×4a×4a＝12，∴a＝，∴OC＝，∵sin∠2＝，∴，∴OE＝，∴CE＝，C（，），∴k＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，反比例函數(shù)k的幾何意義等知識的綜合運(yùn)用，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題（共6小題）11．（3分）分解因式：2a2+8ab+8b2＝2（a+2b）2．【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2a2+8ab+8b2＝2（a2+4ab+4b2）＝2（a+2b）2．故答案為：2（a+2b）2．【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．12．（3分）方程的最簡公分母是x（x+1）（x﹣1）．【分析】最簡公分母是各分母所有因式的最高次冪的乘積，據(jù)此求解可得．【解答】解：﹣＝，，∴最簡公分母是x（x+1）（x﹣1），故答案為：x（x+1）（x﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查解分式方程，最簡公分母，解題的關(guān)鍵是明確解分式方程的一般步驟．13．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（5，3），△OAB沿AC方向平移AC長度的到△ECF，四邊形ABFC的面積為3．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可判斷四邊形ABFC為平行四邊形，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可求出四邊形ABFC的底與高，即可求出面積．【解答】解：∵點(diǎn)A（4，3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（5，3），∴AC＝5﹣4＝1，AC∥x軸，∵△OAB沿AC方向平移AC長度的到△ECF，∴AC＝BF，∴四邊形ABFC是平行四邊形，∴四邊形ABFC的高為C點(diǎn)到x軸的距離，∴S四邊形ABFC＝1×3＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評】此題考查平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)和四邊形的面積公式解答．14．（3分）一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y＝上的兩個(gè)點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．【分析】先由一元二次方程根的判別式求得m，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝36﹣4m＝0，解得：m＝9，∵9＞0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象在第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2．故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程根的判別式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，正方形ABCD中，等腰直角△EBF繞著B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，BF＝EF，∠BFE＝90°，則DE：AF＝．【分析】連接BD，證△AFB∽△EBD，得＝，根據(jù)等角直角三角形斜邊與直角邊的比例關(guān)系即可得出比值．【解答】解：如右圖，連接BD，由題知，四邊形ABCD為正方形，△EBF為等腰直角三角形∵∠FBA+∠ABE＝∠FBE＝45°，∠ABE+∠EBD＝∠ABD＝45°，∴∠FBA＝∠EBD，由題知，△EBF為等腰直角三角形，△ABD為等腰直角三角形，∴＝＝，∴△AFB∽△EBD，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，根據(jù)∠FBA＝∠EBD，＝＝，證△AFB∽△EBD是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖1，有一張矩形紙片ABCD，已知AB＝10，AD＝12，現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下操作：現(xiàn)將紙片沿折痕BF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在AD上（如圖2）；然后將紙片沿折痕DH進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕BF上的點(diǎn)G處，點(diǎn)H在BC上（如圖3），給出四個(gè)結(jié)論：①AF的長為10；②△BGH的周長為18；③＝；④GH的長為5，其中正確的結(jié)論有①③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【分析】過G點(diǎn)作MN∥AB，交AD、BC于點(diǎn)M、N，可知四邊形ABEF為正方形，可求得AF的長，可判斷①，且△BNG和△FMG為等腰三角形，設(shè)BN＝x，則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質(zhì)可得到CD＝DG，在Rt△MDG中，利用勾股定理可求得x，再利用△MGD∽△NHG，可求得NH、GH和HC，則可求得BH，容易判斷②③④，可得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作MN∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝12，由折疊可得AB＝BE，且∠A＝∠ABE＝∠BEF＝90°，∴四邊形ABEF為正方形，∴AF＝AB＝10，故①正確；∵M(jìn)N∥AB，∴△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且MN＝AB＝10，設(shè)BN＝x，則GN＝AM＝x，MG＝MN﹣GN＝10﹣x，MD＝AD﹣AM＝12﹣x，又由折疊的可知DG＝DC＝10，在Rt△MDG中，由勾股定理可得MD2+MG2＝GD2，即（12﹣x）2+（10﹣x）2＝102，解得x＝4，∴GN＝BN＝4，MG＝6，MD＝8，又∠DGH＝∠C＝∠GMD＝90°，∴∠NGH+∠MGD＝∠MGD+∠MDG＝90°，∴∠NGH＝∠MDG，且∠DMG＝∠GNH，∴△MGD∽△NHG，∴＝＝，即＝＝，∴NH＝3，GH＝CH＝5，∴BH＝BC﹣HC＝12﹣5＝7，故④正確；又△BNG和△FMG為等腰直角三角形，且BN＝4，MG＝6，∴BG＝4，GF＝6，∴△BGH的周長＝BG+GH+BH＝4+5+7＝12+4，＝＝，故②不正確；③正確；綜上可知正確的為①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)評】本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及方程思想等．過G點(diǎn)作AB的平行線，構(gòu)造等腰直角三角形，利用方程思想在Rt△GMD中得到方程，求得BN的長度是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性質(zhì)較強(qiáng)，難度較大．三、解答題（共9小題）17．（4分）解不等式組【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解答】解：由5x+2＞3（x﹣2），得：x＞﹣4，由x﹣1≤6﹣3x，得：x≤2，則不等式組的解集為﹣4＜x≤2．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，若AD＝BE，∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC．求證：AC＝DF．【分析】由AD＝BE知AB＝ED，結(jié)合∠A＝∠EDF，∠E＝∠ABC，依據(jù)“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依據(jù)兩三角形全等對應(yīng)邊相等可得AC＝DF．【解答】證明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC＝DF．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（6分）已知代數(shù)式．（1）化簡已知代數(shù)式；（2）若a滿足，求已知代數(shù)式的值．【分析】（1）先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號里，再算括號外，即可解答；（2）根據(jù)已知易得a2＝4+a，然后代入（1）中化簡后的式子，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）＝?＝?＝；（2）∵，∴a2﹣4﹣a＝0，∴a2＝4+a，∴當(dāng)a2＝4+a時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．20．（6分）自疫情暴發(fā)以來，我國科研團(tuán)隊(duì)經(jīng)過不懈努力，成功地研發(fā)出了多種新冠疫苗，以下是某地甲、乙兩家醫(yī)院5月份某天各年齡段接種疫苗人數(shù)的頻數(shù)分布表和接種總?cè)藬?shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖：（1）根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：①填空：a＝1500，b＝0.35，c＝900；②在甲、乙兩醫(yī)院當(dāng)天接種疫苗的所有人員中，40﹣49周歲年齡段人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角為108°；（2）若A，B，C三人都于當(dāng)天隨機(jī)到這兩家醫(yī)院接種疫苗，請用列表或畫樹狀圖的方法求這三人在同一家醫(yī)院接種的概率．甲醫(yī)院乙醫(yī)院年齡段頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率18﹣29周歲9000.154000.130﹣39周歲a0.2510000.2540﹣49周歲2100bc0.225【分析】（1）①分別求出在甲醫(yī)院和乙醫(yī)院的接種人數(shù)，即可解決問題；②由360°乘以40﹣49周歲年齡段人數(shù)所占比例即可；（2）畫樹狀圖，共有8種等可能的結(jié)果，其中A、B、C三人在同一家醫(yī)院接種的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）①在甲醫(yī)院接種人數(shù)為：900÷0.15＝6000（人），∴a＝6000×0.25＝1500，b＝2100÷6000＝0.35，在甲醫(yī)院接種人數(shù)為：400÷0.1＝4000（人），∴c＝4000×0.225＝900，故答案為：1500，0.35，900；②在甲、乙兩醫(yī)院當(dāng)天接種疫苗的所有人員中，40﹣49周歲年齡段人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角為：360°×＝108°，故答案為：108°；（2）畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，其中A、B、C三人在同一家醫(yī)院接種的結(jié)果有2種，∴這三人在同一家醫(yī)院接種的概率為．【點(diǎn)評】本題考查的是用樹狀圖法求概率的知識以及頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（8分）為增加學(xué)生閱讀量，某校購買了“科普類”和“文學(xué)類”兩種書籍，購買“科普類”圖書花費(fèi)了3600元，購買“文學(xué)類”圖書花費(fèi)了2700元，其中“科普類”圖書的單價(jià)比“文學(xué)類”圖書的單價(jià)多20%，購買“科普類”圖書的數(shù)量比“文學(xué)類”圖書的數(shù)量多20本．（1）求這兩種圖書的單價(jià)分別是多少元？（2）學(xué)校決定再次購買這兩種圖書共100本，且總費(fèi)用不超過1600元，求最多能購買“科普類”圖書多少本？【分析】（1）首先設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價(jià)為x元/本，則“科普類”圖書的單價(jià)為（1+20%）x元/本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：3600元購買的科普類圖書的本數(shù)﹣20＝用2700元購買的文學(xué)類圖書的本數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．（2）設(shè)“科普類”書購a本，則“文學(xué)類”書購（100﹣a）本，根據(jù)“費(fèi)用不超過1600元”列出不等式并解答．【解答】解：（1）設(shè)“文學(xué)類”圖書的單價(jià)為x元/本，則“科普類”圖書的單價(jià)為（1+20%）x元/本，依題意：﹣20＝，解之得：x＝15．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是所列方程的根，且符合題意，所以（1+20%）x＝18．答：科普類書單價(jià)為18元/本，文學(xué)類書單價(jià)為15元/本；（2）設(shè)“科普類”書購a本，則“文學(xué)類”書購（100﹣a）本，依題意：18a+15（100﹣a）≤1600，解之得：a≤．因?yàn)閍是正整數(shù)，所以a最大值＝33．答：最多可購“科普類”圖書33本．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程（不等式），注意分式方程不要忘記檢驗(yàn)．22．（10分）平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，點(diǎn)B、D在x軸上，且B、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，AD交y軸于P點(diǎn)（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），求k的值及C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若△APO的面積為2，求點(diǎn)D到直線AC的距離．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，點(diǎn)B、D在x軸上，且B、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，可以求得k的值和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)△APO的面積為2，可以求得OP的長，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求得直線AP的解析式，從而可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)△ACD的面積＝△AOD+△COD的面積，可以求得DM的長，即DM的長就是點(diǎn)D到直線AC的距離．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，3），平行四邊形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，點(diǎn)B、D在x軸上，且B、D兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴3＝，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴k＝6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）；（2）過點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥AC，如圖，∵點(diǎn)A（2，3），k＝6，∴AN＝2，∵△APO的面積為2，∴，即，得OP＝2，∴點(diǎn)P（0，2），設(shè)過點(diǎn)A（2，3），P（0，2）的直線解析式為y＝kx+b，，得，∴過點(diǎn)A（2，3），P（0，2）的直線解析式為y＝0.5x+2，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝0.5x+2，得x＝﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，0），∵點(diǎn)A（2，3），∴OA＝＝，∵點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O對稱，∴OA＝OC＝，∴，即，解得，DM＝，即點(diǎn)D到直線AC的直線得距離為．【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，C為AB延長線上一點(diǎn)，CD為⊙O的切線，切點(diǎn)為D，AE⊥CD于點(diǎn)E，且AE與⊙O交于點(diǎn)F．（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；（2）如果BC＝5，sinC＝，求AF的長．【分析】（1）證明OD∥AE可得結(jié)論．（2）在Rt△ODC中，根據(jù)sin∠C＝＝，求出半徑r，再在Rt△AOH中，求出AH即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，AD．∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥EC，∵AE⊥EC，∴OD∥AE，∴∠ADO＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠EAD，∴＝，即點(diǎn)D是的中點(diǎn)．（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥AE于H，則AH＝HF．設(shè)OA＝OB＝OD＝r，∵∠ODC＝90°，∴sin∠C＝，∴＝，解得r＝，∵OH⊥AE，EC⊥AE，∴OH∥EC，∴∠AOH＝∠C，∴sin∠AOH＝sin∠C＝，∴＝，∴AH＝，∴AF＝2AH＝9．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，圓周角定理，切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．24．（12分）拋物線y＝ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且位于x軸下方．（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．①求該拋物線的解析式；②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO＝∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．【分析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：（1）①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y＝ax2+c，得，解得，拋物線的解析式為y＝x2﹣；②如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時(shí)，由∠DPO＝∠POB，得DP∥OB，D與P關(guān)于y軸對稱，P（1，﹣3），得D（﹣1，﹣3）；當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時(shí)，延長PD交x軸于點(diǎn)G．作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH＝1，PH＝3．∵∠DPO＝∠POB，∴PG＝OG．設(shè)OG＝x，則PG＝x，HG＝x﹣1．在Rt△PGH中，由x2＝（x﹣1）2+32，得x＝5．∴點(diǎn)