2025年數學試卷的難題及答案

一、單項選擇題1.已知函數$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，在$x=1$處取得極值$-2$，則$a+b+c$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$答案：A2.若向量$\overrightarrow{a}=(m,1)$，$\overrightarrow=(3,m)$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$方向相反，則$m$的值為（）A.$\sqrt{3}$B.$-\sqrt{3}$C.$\pm\sqrt{3}$D.$3$答案：B3.雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{4}x$，則該雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$答案：A4.已知數列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_5$的值為（）A.$31$B.$32$C.$63$D.$64$答案：A5.函數$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖象的一條對稱軸方程是（）A.$x=\frac{\pi}{12}$B.$x=\frac{\pi}{6}$C.$x=\frac{\pi}{3}$D.$x=\frac{\pi}{2}$答案：A6.從$5$名男生和$3$名女生中選$3$人參加某項活動，至少有一名女生的選法種數為（）A.$20$B.$46$C.$56$D.$64$答案：B7.已知圓$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=25$，直線$l$：$(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0$，則直線$l$被圓$C$截得的弦長的最小值為（）A.$4\sqrt{5}$B.$5\sqrt{2}$C.$6\sqrt{2}$D.$8\sqrt{5}$答案：A8.若函數$f(x)$滿足$f(x+2)=-f(x)$，且當$x\in(0,2)$時，$f(x)=x^2-x$，則$f(2025)$的值為（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$答案：B9.已知$a=\log_32$，$b=\ln2$，$c=5^{-\frac{1}{2}}$，則$a$，$b$，$c$的大小關系為（）A.$c\lta\ltb$B.$a\ltc\ltb$C.$b\ltc\lta$D.$c\ltb\lta$答案：A10.已知三棱錐$P-ABC$的四個頂點都在球$O$的球面上，$PA\perp$平面$ABC$，$\triangleABC$是邊長為$2$的正三角形，若球$O$的體積為$\frac{8\sqrt{2}\pi}{3}$，則$PA$的長為（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$2$D.$2\sqrt{2}$答案：C二、多項選擇題1.下列函數中，在其定義域上是增函數的有（）A.$y=2^x$B.$y=\log_{0.5}x$C.$y=x^3$D.$y=\frac{1}{x}$答案：AC2.已知$a\gt0$，$b\gt0$，且$a+b=1$，則下列結論正確的有（）A.$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4$B.$ab\leq\frac{1}{4}$C.$a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$D.$\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}$答案：ABCD3.已知直線$l_1$：$A_1x+B_1y+C_1=0$，$l_2$：$A_2x+B_2y+C_2=0$，則下列說法正確的有（）A.若$l_1\parallell_2$，則$A_1B_2-A_2B_1=0$B.若$l_1\perpl_2$，則$A_1A_2+B_1B_2=0$C.若$A_1A_2+B_1B_2=0$，則$l_1\perpl_2$D.若$l_1$與$l_2$重合，則$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$答案：ABC4.下列關于數列的說法正確的有（）A.若數列$\{a_n\}$是等差數列，$S_n$是其前$n$項和，則$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$仍成等差數列B.若數列$\{a_n\}$是等比數列，$S_n$是其前$n$項和，則$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$仍成等比數列C.若數列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=a_n+d$（$d$為常數），則$\{a_n\}$是等差數列D.若數列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=qa_n$（$q$為常數），則$\{a_n\}$是等比數列答案：AC5.已知函數$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x$，則下列說法正確的有（）A.函數$f(x)$的最小正周期為$\pi$B.函數$f(x)$的圖象關于直線$x=\frac{\pi}{6}$對稱C.函數$f(x)$在區(qū)間$[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$上單調遞增D.函數$f(x)$的圖象可以由$y=\sin2x$的圖象向左平移$\frac{\pi}{3}$個單位得到答案：ABC6.已知橢圓$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的左右焦點分別為$F_1$，$F_2$，$P$為橢圓上一點，且$\angleF_1PF_2=60^{\circ}$，則下列說法正確的有（）A.橢圓的離心率$e\geq\frac{1}{2}$B.若$\triangleF_1PF_2$的面積為$\sqrt{3}$，則$b=\sqrt{3}$C.若$\triangleF_1PF_2$為等邊三角形，則$a=\sqrt{3}b$D.若$|PF_1|\cdot|PF_2|=4b^2$，則橢圓的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$答案：ABC7.已知函數$f(x)=\begin{cases}x^2-2x+3,x\leq2\\\log_2x,x\gt2\end{cases}$，則下列說法正確的有（）A.$f(f(1))=1$B.函數$f(x)$的值域為$[2,+\infty)$C.函數$f(x)$在$(-\infty,1)$上單調遞減，在$(1,+\infty)$上單調遞增D.若$f(a)=3$，則$a=8$或$a=0$或$a=2$答案：ABD8.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,-1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\lambda)$，若$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\perp\overrightarrow{c}$，則下列說法正確的有（）A.$\lambda=-3$B.向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為鈍角C.$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{10}$D.向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{c}$上的投影向量為$-\frac{1}{10}\overrightarrow{c}$答案：ACD9.已知圓$O$：$x^2+y^2=4$，直線$l$：$y=kx+m$，若直線$l$與圓$O$相交于$A$，$B$兩點，且$|AB|=2\sqrt{3}$，則下列說法正確的有（）A.圓心到直線$l$的距離為$1$B.$m^2=4(1+k^2)$C.向量$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-2$D.三角形$OAB$的面積為$\sqrt{3}$答案：ACD10.已知函數$f(x)$的導函數為$f^\prime(x)$，且滿足$f(x)=x^3+f^\prime(\frac{2}{3})x^2-x$，則下列說法正確的有（）A.$f^\prime(\frac{2}{3})=-1$B.函數$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$處取得極值C.函數$f(x)$的單調遞減區(qū)間為$(-\frac{1}{3},1)$D.函數$f(x)$的圖象在點$(0,f(0))$處的切線方程為$y=-x$答案：ACD三、判斷題1.若函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，且$f(a)\cdotf(b)\lt0$，則函數$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內至少有一個零點。（）答案：對2.若直線$l$的斜率為$k$，傾斜角為$\alpha$，則$k=\tan\alpha$。（）答案：錯（當$\alpha=90^{\circ}$時，斜率不存在）3.若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，則$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$。（）答案：錯（向量有大小和方向，模相等方向不一定相同）4.若數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=n^2+1$，則數列$\{a_n\}$是等差數列。（）答案：錯（$a_1=S_1=2$，$n\geq2$時，$a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1$，$a_1$不滿足此式，不是等差數列）5.函數$y=\sinx$與函數$y=\cosx$的圖象的對稱軸完全相同。（）答案：錯（$y=\sinx$對稱軸為$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\inZ$；$y=\cosx$對稱軸為$x=k\pi$，$k\inZ$）6.若橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gtb\gt0$）的離心率為$e$，則$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$。（）答案：對7.若函數$f(x)$是偶函數，則$f(x)$的圖象關于$y$軸對稱。（）答案：對8.若直線$l$與平面$\alpha$內的無數條直線垂直，則直線$l$與平面$\alpha$垂直。（）答案：錯（需與平面內兩條相交直線垂直才可以）9.若$a\gtb$，則$a^2\gtb^2$。（）答案：錯（如$1\gt-2$，但$1^2\lt(-2)^2$）10.若函數$f(x)$在區(qū)間$I$上可導，且$f^\prime(x)\gt0$，則函數$f(x)$在區(qū)間$I$上單調遞增。（）答案：對四、簡答題1.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，$a_3=5$，$S_6=36$。求數列$\{a_n\}$的通項公式。答案：設等差數列$\{a_n\}$的公差為$d$。由$a_3=5$可得$a_1+2d=5$。又$S_6=6a_1+\frac{6\times5}{2}d=36$，即$6a_1+15d=36$。將$a_1=5-2d$代入$6a_1+15d=36$，得$6(5-2d)+15d=36$，解得$d=2$，則$a_1=1$。所以$a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。2.已知函數$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}$。求函數$f(x)$的單調遞增區(qū)間。答案：令$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\inZ$。先解$2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6