§2.14函數(shù)模型的應(yīng)用課標要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0，+∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行

隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與平行

隨α值的變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=kx+b(k，b為常數(shù)，k≠指數(shù)函數(shù)模型f(x)=bax+c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)=axα+b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y=2x的函數(shù)值比y=x2的函數(shù)值大.()(2)A公司員工甲購買了某公司的股票，第一天漲了10%，第二天跌了10%，則員工甲不賺不賠.()(3)已知a>1，在(0，+∞)上，隨著x的增大，y=ax的增長速度會超過并遠遠大于y=xa和y=logax的增長速度.()(4)在選擇函數(shù)模型解決實際問題時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.()2.下列函數(shù)中，隨著x的增長，y的增長速度最快的是()A.y=50 B.y=1000xC.y=2lnx D.y=11000e3.在一次數(shù)學(xué)實驗中，某同學(xué)運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù)：x0.240.5112.023.988.02y-2.0-1.001.02.03.0在下列四個函數(shù)模型(a，b∈R)中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是()A.y=a+bx B.y=a+bxC.y=a+logbx D.y=a+b4.我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h(單位：米)與時間t(單位：秒)之間的關(guān)系為h(t)=-5t2+15t+20，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為()A.26米 B.28米 C.31米 D.33米(1)理解三個術(shù)語：“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢.(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.(3)解題時，易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程命題點1函數(shù)的增長差異例1設(shè)f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，當x∈(4，+∞)時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的增長速度最快，h(x)的增長速度最慢B.g(x)的增長速度最快，h(x)的增長速度最慢C.g(x)的增長速度最快，f(x)的增長速度最慢D.f(x)的增長速度最快，g(x)的增長速度最慢命題點2用函數(shù)圖象刻畫變化過程例2(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度.藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間.已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是()A.首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B.每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C.首次服用1單位該藥物，約5.5小時后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D.首次服用1單位該藥物，3小時后再次服用1單位該藥物，不會發(fā)生藥物中毒思維升華判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象.(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.跟蹤訓(xùn)練1為了能在規(guī)定時間T內(nèi)完成預(yù)期的運輸量Q0，某運輸公司提出了四種運輸方案，每種方案的運輸量Q與時間t的關(guān)系如圖(四個選項)所示，其中運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提高的選項是()題型二已知函數(shù)模型的實際問題例3(1)2024年1月5日，第40屆中國·哈爾濱國際冰雪節(jié)在哈爾濱冰雪大世界園區(qū)開幕，現(xiàn)場流光溢彩，游客如潮，充滿熱情與活力.該園區(qū)為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N(mg/L)與時間t(小時)的關(guān)系為N=N0e-kt(N0為最初污染物數(shù)量).如果前2個小時消除了20%的污染物，那么前6個小時消除了污染物的()A.51.2% B.48.8%C.52% D.48%(2)在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度y(km/s)和燃料的質(zhì)量x(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是y=4[ln(m+x)-ln(2m)]+2ln2，要使火箭的最大速度達到12km/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是.

思維升華已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.跟蹤訓(xùn)練2(2024·本溪模擬)我國量子計算機“悟空”預(yù)計到2025年可以操控的超導(dǎo)量子比特達到1024個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有4種疊加態(tài)，3個超導(dǎo)量子比特共有8種疊加態(tài)，…，每增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就增加一倍.若N=a×10k(1≤a<10，k∈N)，則稱N為k+1位數(shù)，已知1024個超導(dǎo)量子比特的疊加態(tài)的種數(shù)是一個m位的數(shù)，則m等于(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A.308 B.309C.1023 D.1024題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題例4汽車智能輔助駕駛已開始得到應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離，當此距離等于報警距離時就開啟報警提醒，等于危險距離時就自動剎車.某種算法將報警時間分為4段(如圖所示)，分別為準備時間t0、人的反應(yīng)時間t1、系統(tǒng)反應(yīng)時間t2、制動時間t3，相應(yīng)的距離分別為d0，d1，d2，d3，當車速為v(單位：m/s)，且0≤v≤33.3時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到如表(其中系數(shù)k隨地面濕滑程度等路面情況而變化，且0.5≤k≤0.9).階段準備人的反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)制動時間t0t1=0.8st2=0.2st3距離d0=30md1d2d3=v2(1)請寫出報警距離d(單位：m)與車速v(單位：m/s)之間的表達式；(2)若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于90m，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少以下？思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型.(2)推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解.(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解.跟蹤訓(xùn)練3“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為20m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg17≈1.23)()A.6 B.7 C.8 D.9答案精析落實主干知識1.y軸x軸自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.D3.C4.C探究核心題型例1B[畫出函數(shù)f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個函數(shù)f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x中，當x∈(4，+∞)時，函數(shù)g(x)=2x增長速度最快，h(x)=log2x增長速度最慢.所以選項B正確.]例2ABC[從圖象中可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時后血藥濃度達到最大值，由圖象可知，當兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時時，血藥濃度等于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時后與再次服用1單位該藥物1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤.]跟蹤訓(xùn)練1B[由題意，運輸效率逐步提高，即函數(shù)增長速率逐漸加快，選項B滿足.]例3(1)B[依題意有N0e-2k=(1-20%)N0，可得e-2k=0.8，當t=6時，N0e-6k=N0(e-2k)3=0.512N0=(1-48.因此，前6個小時消除了污染物的48.8%.](2)e3-1解析根據(jù)題意，可得4[ln(m+x)-ln(2m)]+2ln2=12，所以lnm+x2m即lnm+xm4=ln可得1+xm4而1+xm>0，則1+xm=e所以xm=e3-1即燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值是e3-1.跟蹤訓(xùn)練2B[根據(jù)題意，得n個超導(dǎo)量子比特共有2n種疊加態(tài)，所以當有1024個超導(dǎo)量子比特時共有N=21024(種)疊加態(tài).兩邊取以10為底的對數(shù)得lgN=lg21024=1024lg2≈1024×0.301=308.224，所以N≈10308.224=100.224×10308.由于1<100.224<10，故N是一個309位的數(shù)，即m=309.]例4解(1)根據(jù)題意，d=d0+d1+d2+d3=30+0.8v+0.2v+v=30+v+v220k(0≤v≤33.(2)根據(jù)題意，對任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即對任意的k∈[0.5，0.9]，30+v+v220k易知當v=0時，滿足題意；當0<v≤33.3時，有120k<60v2-1v對任意的k∈[0.5，由k∈[0.5，0.9]，得120k∈所以60v2-1v即v2+10v-600<