第第頁強化專題二與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)【題型目錄】一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍三、求復(fù)合函數(shù)的值域四、求復(fù)合函數(shù)的最值五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性【例題詳解】一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1．設(shè)，，則是（

）A．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 B．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減C．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】由，可知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，由此即可選出答案.【詳解】依題意，得，且，所以是偶函數(shù)．當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增．故選：D.2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意知的定義域為，又，而函數(shù)圖象的對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)遞減，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B3．函數(shù)y＝log5(x2＋2x－3)的單調(diào)遞增區(qū)間是______．【答案】(1，＋∞)【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則計算即可.【詳解】由題意，函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域為，令，則函數(shù)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；故答案為：.4．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)y＝2|x－1|.【答案】(1)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)在(－∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性得出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論和兩種情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）設(shè)u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴a>1時，y＝au在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（2）當(dāng)時，函數(shù)y＝2x－1，因為t＝x－1為增函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝2x－1為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－∞，1)時，函數(shù)y＝21－x.而t＝1－x為減函數(shù)，y＝2t為增函數(shù)，∴y＝21－x為減函數(shù)．故函數(shù)y＝2|x－1|在(－∞，1)上為減函數(shù)，在(1，＋∞)上為增函數(shù)．5．求函數(shù)（a>0，且a≠1）的單調(diào)區(qū)間．【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，運用分類討論法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】設(shè)y＝au，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，得u在（－∞，－1]上為減函數(shù)，在[－1，＋∞）上為增函數(shù)．當(dāng)a>1時，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時，y關(guān)于u為減函數(shù)，∴當(dāng)a>1時，原函數(shù)的增區(qū)間為[－1，＋∞），減區(qū)間為（－∞，－1]；當(dāng)0<a<1時，原函數(shù)的增區(qū)間為（－∞，－1]，減區(qū)間為[－1，＋∞）．二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍1．若函數(shù)(且)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則，則可得在上遞減，在上遞增，然后分和兩種情況求出的增區(qū)間，使為增區(qū)間的子集，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，的對稱軸為，則在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，在定義域內(nèi)遞減，所以在上遞增，在上遞減，因為在上單調(diào)遞增，所以，不等式無解，當(dāng)時，在定義域內(nèi)遞增，所以在上遞減，在上遞增，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為，故選：C2．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知在上單調(diào)遞增且恒大于；分別在、、和的情況下去掉絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增且恒大于；①當(dāng)時，若，；若，；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增且，滿足題意；②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增且，滿足題意；③當(dāng)時，若，；若，；當(dāng)時，，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時，若，則，則其對稱軸為，若在上單調(diào)遞增且，則，解得：；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因為，所以為減函數(shù)．又由函數(shù)在上為減函數(shù)，可得函數(shù)在上大于零，且，故有，解得．故選：A．4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_________．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，所以有，解得的取值范圍為，故答案為：．5．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【詳解】解：因為是R上的增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，要使在上單調(diào)遞減，需，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：6．對于函數(shù)，解答下列問題：(1)若函數(shù)定義域為，求實數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由定義域為R得到不等式，分與兩種情況進行求解；（2）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及定義域得到在為減函數(shù)，且在的函數(shù)值為正，從而建立不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)定義域為，即恒成立，當(dāng)時，不恒成立，不滿足題意，

當(dāng)時，則，解得：，綜上，實數(shù)的取值范圍為；(2)若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，則在為減函數(shù)，且在的函數(shù)值為正，，解得：，故實數(shù)的取值范圍是．三、求復(fù)合函數(shù)的值域1．函數(shù)的值域是________.【答案】【分析】利用換元法，令，則，然后先求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)的值域即可【詳解】令，則，因為，所以的值域為，因為在是減函數(shù)，所以，所以的值域為，故答案為：2．求下列函數(shù)的定義域、值域：(1)(2)【答案】(1)定義域為，值域為；(2)定義域為R，值域為（0，16].【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】(1)由函數(shù)解析式可知：，所以函數(shù)的定義域為：；因為，所以，因此函數(shù)的值域為：；(2)由函數(shù)的解析式可知：函數(shù)的定義域為R，，因為，所以，因此函數(shù)的值域為：（0，16].3．求函數(shù)的值域．【答案】【分析】利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性得出值域.【詳解】令，，則．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即函數(shù)的值域為．4．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求的值域.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為；(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減來求得的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性來求得對應(yīng)的值域.【詳解】(1)的開口向上，對稱軸為，在上遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，增區(qū)間為，減區(qū)間為.(2)，由（1）知增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以在區(qū)間上的值域為.5．求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求出的范圍，然后由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得結(jié)論；（2）在定義域內(nèi)求出的范圍，再由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】(1)，．函數(shù)的值域為．(2)設(shè)，則，．又在上為減函數(shù)，．函數(shù)的值域為．四、求復(fù)合函數(shù)的最值1．設(shè)函數(shù)，求的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】分別求出分段函數(shù)每一段函數(shù)得最大值，然后取大者即可的解.【詳解】解：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，因為，則，所以，綜上所述，故選：B2．函數(shù)的最大值是______．【答案】9【分析】計算的范圍，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性簡單計算即可.【詳解】由題可知：，所以，又指數(shù)函數(shù)為R上的增函數(shù)，所以的最大值為故答案為：93．函數(shù)，的最大值為______.【答案】-2【分析】通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最大值.【詳解】因為，則，由于是減函數(shù)，所以，故答案為：-24．函數(shù)的最小值為___________.【答案】【分析】函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得最小值．【詳解】函數(shù)定義域是，，，所以時，．故答案為：．5．已知函數(shù)|.(1)作出圖象；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時函數(shù)有最值.【答案】(1)圖像見解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)【分析】（1）首先做出，再根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得到的圖象；（2）（3）結(jié)合函數(shù)圖形，即可得解；【詳解】(1)解：先作函數(shù)的圖象，再作函數(shù)圖象.作法：將函數(shù)圖象在y軸左側(cè)去掉，保留右側(cè)，再把右側(cè)沿y軸翻折到左側(cè)得到函數(shù)圖象（下圖中虛線），再將函數(shù)圖象向左平移1個單位得到函數(shù)圖象，函數(shù)圖象如下圖所示：(2)解：由圖象知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)解：由圖象知當(dāng)時，函數(shù)有最大值1，無最小值.五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題1．已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，則可將化為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，則，故為偶函數(shù)；且當(dāng)時，為單調(diào)增函數(shù)，故即，則，所以或，解得或，故實數(shù)的取值范圍為，故選：D2．已知函數(shù)，若，則點的取值范圍是______.【答案】【分析】設(shè)，先解不等式得，然后再解不等式，注意分類討論．【詳解】設(shè)，即為，化為或，解得，即，則或，解得或.故答案為：．3．不等式的解集為__________.【答案】【分析】先將原不等式變形為，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由，得，所以，即，得，解得或，所以不等式的解集為，故答案為：4．已知是在定義域上的單調(diào)函數(shù)，且對任意都滿足：，則滿足不等式的的取值范圍是________.【答案】【分析】由換元法求出的解析式，再解原不等式【詳解】由題意得為正常數(shù)，令，則，且，解得，原不等式為，可得，解得，故答案為：5．已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍;(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用換元法令，列不等式先解出的范圍，再解出的范圍即可；（2）利用（1）中的換元，先得到的范圍，再根據(jù)的范圍求值域即可.【詳解】（1）令，，可整理為，則即，解得，所以，解得，所以.（2）當(dāng)時，，因為，且當(dāng)，有最小值；當(dāng)或3時，有最大值4；所以的值域為.6．已知函數(shù)，，其中，且.(1)求f（x）在[1，2]上的取值范圍；(2)求不等式的解集.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】(1)對a的取值分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大、小值即可；(2)根據(jù)題意可得，對a的取值分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時，在[1，2]上是減函數(shù)，所以，，此時f（x）在[1，2]上的取值范圍是.當(dāng)時，在[1，2]上是增函數(shù)，所以，，此時f（x）在[1，2]上的取值范圍是.綜上，當(dāng)時，f（x）在[1，2]上的取值范圍是；當(dāng)時，f（x）在[1，2]上的取值范圍是.（2）由不等式，得.當(dāng)時，可得，解得，所以不等式的解集為.當(dāng)時，可得，解得，所以不等式的解集為.綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性1．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(3)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)奇函數(shù)，證明見解析；(3)【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于零，解不等式組可求得答案，（2）利用奇偶性的定義判斷，（3）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接解不等式即可.【詳解】（1）由，得，所以函數(shù)的定義域為，（2）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：因為函數(shù)的定義域為，所以定義域關(guān)于原點對稱，因為