專題18.14平行四邊形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）

【人教版】

?題型梳理

【題型1四邊形中的多解問題】...................................................................1

【題型2四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題】..................................................................3

【題型3四邊形中的最值問題】..................................................................4

【題型4四邊形中的折疊問題】..................................................................5

【題型5矩形與等腰三角形】.....................................................................8

【題型6菱形中的全等三角形的構(gòu)造】...........................................................10

【題型7正方形中線段的和差倍分關(guān)系】..........................................................12

【題型8坐標(biāo)系中的四邊形】....................................................................13

【題型9四邊形中存在性問題】..................................................................15

，舉一反三

【題型1四邊形中的多解問題】

【例1】（2023春?遼寧鞍山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）在正方形ABC。中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,乙4OB的平分

線交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作E/_L80于點(diǎn)F,/EOM交4C于點(diǎn)M.下列結(jié)論：①40=（a+1）4￡；

②四邊形是菱形；③BE=20G；④若ZEOM=45。，則GF=CM.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-1］（2023春,福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形4BCD中，AB=2^3,Z-ABC=60°,點(diǎn)、E

為對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合），且連接CE交延長線于點(diǎn)F.

F、

A

C

①乙=ABAKi

②當(dāng)△/IE尸為直角三角形時(shí)，BE=2：

③當(dāng)△4E尸為等腰三角形時(shí)，Z.AFC=20?；蛘逳/1FC=40°：

④連接8/，當(dāng)8E=C￡時(shí)，平分乙1F8.

以上結(jié)論正確的是（填正確的序號(hào)）.

【變式1-2］（2023春?山東青島?八年級(jí)山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形A8CD中，。是對(duì)

角線的交點(diǎn)，AB=1,Z.BOA=60°,過C作CE18。于點(diǎn)E,EC的延長線與力。的平分線相交于點(diǎn)H,AH

與8C交于點(diǎn)尸，與BD交于點(diǎn)M.給出下列四個(gè)結(jié)論：①BF=B。；②4C=C"；③BE=3DE；@SAACF=

2MF；⑤4"=述+V1其中正確的結(jié)論有（填寫正確的序號(hào)）.

【變式1-3】（2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）勾股定理是平面幾何中一個(gè)極為重要的定理，世界上各個(gè)

文明古國都對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻(xiàn)，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)

學(xué)家歐幾里得證明這個(gè)定理使用的圖形.以Rt△（乙4BC=90。）的三邊a/,c為邊分別向外作三個(gè)正方形：

正方形"ED、正方形力/HB、正方形8GVM,再作CGJL燈/垂足為G,交力8于P,連接BD,CF.則結(jié)論：

1

①/ZM8=Z.CAF,②△ZMB=△CAF③S正方形.可。=^HADB?④S矩形AFGP=2sMCF?正確的結(jié)論有（

E

N

FGH

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型2四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題】

【例2】(2023春?廣西欽州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在正方形48CD中，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊BC的

延長線上，KCF=AE,連接?！?、DF.

(1)求證?！?±DF：

(2)連接EF,取EF中點(diǎn)G,連接DG并延長交BC于H,連接8G.

①依題意，補(bǔ)全圖形：

②求證8G=DG；

③若NEG8=45。，用等式表示線段BG、"G與力E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式2-1](2023春?福建福州?八年級(jí)?？计谀?如圖,在平行四邊形ABCD中,Z.BAC=90%CD=6,

AC=8.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿40以2cm/s速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，叵時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以8cm/s速度沿射線C8

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡秒(t>0)

(1)C8的長為

（2）用含￡的代數(shù)式表示線段8Q的長.

⑶連結(jié)尸Q.是否存在t的值，使得尸Q與48互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

⑷若點(diǎn)尸關(guān)于直線4Q對(duì)稱的點(diǎn)恰好落在直線43上，請(qǐng)直接寫出t的值.【變式2-2］（2023春?江蘇泰州?八

年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的邊長為2,/,ABC=60°.點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),

4MAN=60°,連接MN.

（l）AAMN是等邊三角形嗎？如是，請(qǐng)證明；如不是，請(qǐng)說明理由.

（2）在M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，△CM"的面積存在最大值嗎？如存在，請(qǐng)求出該最大值；如不存在，請(qǐng)說明理

由.

【變式2-3］（2023春?廣西南寧?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形紙片｛BCD中，4B=2,AD=2^,E是48的

中點(diǎn)，尸是4。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)4,。重合）.將尸沿EF所在直線翻折，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,連

接4。，ArC.當(dāng)△4DC是等腰三角形時(shí)，4尸的長為.

【題型3四邊形中的最值問題】

【例3】（2023春?江蘇南通?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形力BCD中，AB=6,4BAD=60。.E是對(duì)角線80

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)以。重合），連接AE,以4E為邊作菱形4E/G,其中，點(diǎn)G位于直線的上方，

且/瓦4G=60。，點(diǎn)P是力。的中點(diǎn)，連接PG,則線段PG的最小值是.

【變式3-1］（2023春?湖北恩施?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形4BC。的邊長為5,點(diǎn)E,凡G,〃分別在正

方形的四條邊上，且GHIIE凡GH=EF,則四邊形EFGH的周長的最小值是.

【變式3-2](2023春?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形。力8c是矩形，OB=28,

乙AOB=30°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點(diǎn)，為射線0B上的動(dòng)點(diǎn)，連接P4若4P/B是等腰三角形，求24的長度；

(2)如圖2,是否在x軸上存在點(diǎn)E在直線BC上存在點(diǎn)巴以O(shè),B,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,

求出點(diǎn)E,廠的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖3,點(diǎn)M是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作。B的垂線交直線04于點(diǎn)N,求。M+MN+N8的最小值.

【變式3-3](2023春?江蘇無錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，矩形/BCD中，40=4,AB=m,E、尸分別在邊

BC、CD±,并且A/IEF為等邊三角形，則小的取值范圍為—，若點(diǎn)G是邊48上的一點(diǎn)，且G4=2,則隨

著加的變化，GE的最小值為.

【題型4四邊形中的折疊問題】

【例4】(2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)統(tǒng)考期末)通過對(duì)下面幾何圖形的？作探究，解決下列問題.

【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖I,探究小組將矩形紙片/18C0沿對(duì)角線80所在的直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，DE.與AB邊交于點(diǎn)F,再

將紙片沿直線0M折疊，使力。邊落在直線DE上，點(diǎn)4與點(diǎn)N重合.

(1)乙MDB=度.

(2)若AB=6,AD=3,求線段DF的長.

【遷移應(yīng)用】

(3)如圖2,在正方形紙片48CD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，探究小組將△力DE沿直線AE折疊得到△A/E,再

將紙片沿過A的直線折疊，使4B與4F重合，折痕為4%探究小組繼續(xù)將正方形紙片沿直線EH折疊，點(diǎn)C的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕4”上的點(diǎn)M處，EM與4尸相交于點(diǎn)N,若8"=1,求△4EN的面積.

【變式4-1](2023春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中)如圖1,一張矩形紙片48CD,其中4。=8cm,38=6cm,

先沿對(duì)角線80折登，點(diǎn)C落在點(diǎn)C，的位置，BU交AD于點(diǎn)、G.

圖1圖2

(I)求證：BG=DG；

(2)求CI的長;

(3)如圖2,再折疊一次，使點(diǎn)。與4重合，折痕EN交40于M,求EM的長.

【變式4-2](2023春?浙江寧波?八年級(jí)校聯(lián)考期中)問題原型

(1)如圖1,在菱形中，Z/y=6U°,AB18。于上，〃為C〃中點(diǎn)，連結(jié)后”.試猜想△?!/:/.的形狀，

并說明理由.

(2)如圖2,在團(tuán)48CD中，4518。于￡：,產(chǎn)為CD中點(diǎn)，連結(jié)“/，EF.試猜想A/IEF的形狀，并說明理由.

(3)如圖3,在胤48。。中，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)、,連結(jié)8/，將乙。沿8尸折疊，點(diǎn)C的對(duì)■應(yīng)點(diǎn)為C'.連結(jié)。。'并延長

交47于G,若AG=C'F,求證：產(chǎn)為CD中點(diǎn).

(4)如圖4,直角坐標(biāo)系中有團(tuán)力BCD,點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B在工軸正半軸上，CD與)，軸交于點(diǎn)￡將其沿

過A的直線折疊，點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'恰好落在)，軸上，且折痕交BC于M,B'M交CD于點(diǎn)N.若匹4BCD的面積為

48,AB=8,AD=3V5,求點(diǎn)朋的坐標(biāo)和陰影部分面積(直接寫出結(jié)果).

【變式4-3](2023春?江西宜春?八年級(jí)統(tǒng)考期末)課本再現(xiàn)：

(I)如圖I,48C0是一個(gè)正方形花園，E,廠是它的兩個(gè)門，且OE=(T.要修建兩條路BE和力心這兩條

路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？8E和4尸的數(shù)量關(guān)系是：；BE和4F的位置關(guān)系是

;(無需證明)

知識(shí)應(yīng)用:

(2)如圖2,/WCO是一個(gè)正方形草地，現(xiàn)要在內(nèi)部修建兩條路MN、EF,且MN_LEF,

①請(qǐng)問這兩條路MN、EF還相等嗎？為什么？

②如圖3,將邊長為12的正方形紙片沿EF折疊，點(diǎn)力落在8C邊上的點(diǎn)N處，若折痕EF的長為13,求此時(shí)

DE的長；

拓展延伸：

(3)如圖4,將邊長為12的正方形紙片沿EF折疊，點(diǎn)。落在BC邊上的點(diǎn)N處，DN與EF交于?點(diǎn)P,取4D的

中點(diǎn)M,連接PM、PC,則PM+PC的最小值為,此時(shí)EF的長度是.

【題型5矩形與等腰三角形】

【例5】(2023春?廣東深圳?八年級(jí)統(tǒng)考期末)【問題背景】

某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”在學(xué)習(xí)了“等腰三角形的性質(zhì)”和“平行四邊形的性質(zhì)和判定”后，在習(xí)題中發(fā)現(xiàn)了這樣

一個(gè)問題：如圖I,在等腰△力BC中，4B=4C,點(diǎn)。、石分別是邊48、4c上的點(diǎn)，點(diǎn)P是底邊8c上的點(diǎn),

且/PD8=4PEC=90。，過點(diǎn)3作8尸1AC于點(diǎn)凡請(qǐng)寫出線段P。、PE、Br之間滿足的數(shù)量關(guān)系式.

同學(xué)們經(jīng)過交流討論，得到了如下兩種解決思路：

解決思路1：如圖2,過點(diǎn)P作PG1BF于點(diǎn)G；

解決思路2：如圖3,過點(diǎn)8作BH1PE,交EP的延長線于點(diǎn)”；

(1)上述兩種解決思路都可以證明一組三角形全等，判定一個(gè)四邊形為平行四邊形，從而可證得線段

PD、PE、BF之間滿足的數(shù)量關(guān)系式為.

(2)如圖4,在等腰△力8c中，48=AC,點(diǎn)。、E分別是邊48、4?上的點(diǎn)，點(diǎn)P是底邊BC上的點(diǎn).，且乙PDB二

乙PEC=a,過點(diǎn)8作8”||”后文.于點(diǎn)”，請(qǐng)寫出線段也入PE、8”之間滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖5,在△/CP與△80P中，z/1=ZF=75°,Z.APC=/.BPD=60°,點(diǎn)A、B、尸在同一條直線上，

若＜5=6,PC=2,則PD=.

【變式5-1](2023春?江蘇無錫?八年級(jí)無錫市東林中學(xué)校考期末)已知在矩形力88中，4)=9,AB=12,

。為矩形的中心，在等腰RtAAE"中，LEAF=90°,AE=AF=6.則E尸邊」二的高為:將繞

點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，連接CE,取CE中點(diǎn)M,連接尸M,則尸M的最大值為.

【變式5-2](2023春?北京東城?八年級(jí)期末)畫一個(gè)四邊形，使得該四邊形的面積等于已知圖形面積的一半.

(D如圖1,已知等腰△A8C,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，畫四邊形。8CE；

(2)如圖2,已知四邊形力BCD,AC1BD.四邊的中點(diǎn)分別為E,F,G,H,畫四邊形EFG”；

(3)如圖3,已知平行四邊形為BCD,點(diǎn)E,G分別在AD,BC上,^.EGIIAB.點(diǎn)F,〃分別在力B,CD上,

畫四邊形EkH.

以上三種畫法中，所有正確畫法的序號(hào)是()

A.(1)(3)B.(2)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

【變式5-3](2023春?福建廈門?八年級(jí)廈門外國語學(xué)校?？计谀?如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)

y=一3％+3分別與x軸和,，軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)8,四邊形Q4C8為矩形.

(1)如圖②，點(diǎn)尸在8c上，連接AF,把AACF沿著AF折疊，點(diǎn)。剛好與線段A3上一一點(diǎn)。'重合.

①求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②請(qǐng)直接寫出直線汽:'的解析式：；

(2)如圖③，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在一次函數(shù)y=2x—3(1.5VXV4)的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。在線段AC上，是否存在直

角頂點(diǎn)為P的等腰直角△BDP,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【題型6菱形中的全等三角形的構(gòu)造】

【例6】(2023春?江蘇泰州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知菱形4BCD的邊長為2,Z-ABC=60°,點(diǎn)M、N分

別是邊BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，乙MAN=60。，連接MN.

(l)AAMN是等邊三角形嗎？如是，請(qǐng)證明；如不是，請(qǐng)說明理由.

(2)在M、N運(yùn)動(dòng)的過程中，△CM/V的面枳存在最大值嗎？如存在，請(qǐng)求出該最大值；如不存在，請(qǐng)說明理

由.

【變式6-1](2023春?四川眉山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，菱形0A8C的一邊OC在x軸的正半軸上，O是坐標(biāo)

原點(diǎn)，8點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4),點(diǎn)。是對(duì)角線08上一點(diǎn)，連結(jié)。A,DC,AEA.OC,垂足為E.

(1)求證：DA=DC;

⑵求菱形。48c的面積;

(3)連接DE,當(dāng)&DAE=2時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【變式6-2](2023春?重慶豐都?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知在菱形A8C。中，乙48c=60。，連接對(duì)角線力C.

圖1圖2

⑴皿圖I,E為40邊上一點(diǎn),F為。。邊延長線上一點(diǎn)，且4E=C凡連接/凡8E交于點(diǎn)G.

①求證：BE=AF；

②過點(diǎn)C作?！?，8E,垂足為H,求證：CH=—BG；

(2)如圖2,已知力8=4,將△ACD沿射線AC平移，得到△&C7T,連接B4,BD',請(qǐng)直接寫出BA'+BD'的

最小值.

【變式6-3](2023春?四川自貢?八年級(jí)成都實(shí)外?？计谥?如圖，在菱形ABC。中，M,N分別是邊48,

8C的中點(diǎn),MP_L4B交邊CO于點(diǎn)P,連接NM,NP.

備月圖

（1）若NB=60。，這時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則NNMP=_度；

（2）求證：NM=NP；

（3）當(dāng)ANPC為等腰三角形時(shí)，求N4的度數(shù).

【題型7正方形中線段的和差倍分關(guān)系】

【例7】（2023春?福建龍巖?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)M在CD上，過點(diǎn)M作MN1CD,

過點(diǎn)C作CNJ./1C,點(diǎn)E是4N的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)凡

力?----------1。

（1）求證：BE1.AC；

（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE、AD.CN長度之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

（3）設(shè)48=2,若點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,則在該運(yùn)動(dòng)過程中，線段EN所掃過的圖形面積為

（直接寫出答案）.

【變式7-1】（2023春?貴州遵義?八年級(jí)統(tǒng)考期末）過正方形/18CD（四邊都相等，四個(gè)角都是直角）的頂點(diǎn)

A作一條直線MN.

MEAFNZ

N

圖⑶

（1）當(dāng)MN不與正方形任何一邊相交時(shí)，過點(diǎn)B作BE1MN于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作OF1MN于點(diǎn)人如圖（1）,

請(qǐng)寫出E凡BE,OF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）若改變直線MN的位置，使MN與C。邊相交如圖（2）,其它條件不變，EF,BE,DF的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化,

請(qǐng)直接寫出EF,BE,DF的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

（3）若繼續(xù)改變直線MN的位置，使MN與BC邊相交如圖（3）,其它條件不變，EF,BE,OF的關(guān)系又會(huì)發(fā)

生變化，請(qǐng)直接寫出￡凡BE,?！旱臄?shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式7-2］（2023春?吉林四平?八年級(jí)統(tǒng)考期末）感知：如圖（1）所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是線

段BC上的任意一點(diǎn)，0EJ.4G于點(diǎn)凡BFWDE,且交4G于點(diǎn)F,求證：AF-BF=EF.

探究一：如圖（2）所示，若點(diǎn)G在C8的延長線上，上述其余條件不變，則力F,BF,E尸存在怎樣的等量關(guān)

系？猜想并證明這一結(jié)論.

探究二：若點(diǎn)G在8C的延長線上，上述其余條件不變，則力F,BF,E尸又存在怎樣的等量關(guān)系？直接寫出結(jié)

圖⑴圖⑵

【變式7-3］（2023春?江蘇常州?八年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┮阎涸贏/IBC中，/W為中線，以AB、AC

（2）如圖②③，當(dāng)ZBAC裝90。時(shí)，尸”與力D有怎樣的關(guān)系？在圖②和圖③中可任選一個(gè)圖，證明你的結(jié)論.

【題型8坐標(biāo)系中的四邊形】

【例8】（2023春?河南3河?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,在ACEF中,CE=CF,NECF=90。，點(diǎn)A是NEC尸的

平分線上一點(diǎn)，AG1CEi^G,交FE的延長線于B,40_L4E交C尸的延長線于。，連接BC.

（1）直接寫出乙48戶的大小;

（2）求證：四邊形4BCD是平行四邊形；

（3）建立如圖2所示的坐標(biāo)系，若BG=2,BC=V29,直線4。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線2,求直線侑勺

表達(dá)式.

【變式8-1］（2023春?遼寧沈陽?八年級(jí)東北育才學(xué)校校考期中）如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形OABC,已知

NABC=60：OA=\,先將菱形。八8c沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60。，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點(diǎn)

8的落點(diǎn)依次為助，B2,a,…，則%。/9的坐標(biāo)為.

【變式8-2］（2023春?江西景德鎮(zhèn)?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在坐標(biāo)系中，正方形04BC的邊長為2,點(diǎn)P是x軸

上一動(dòng)點(diǎn).若8P與4ABe的兩邊所組成的角的度數(shù)之比為1:3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

~O\Cx

【變式8-3］（2023春?四川成都?八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AC=BC=1,ZC=90°,E、F是AB

上的動(dòng)點(diǎn)，且NECF=45。，分別過E、F作BC、AC的垂線，垂足分別為H、G,兩垂線交于點(diǎn)M.

B

H

(I)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出MH與AC的數(shù)量關(guān)系」

(2)探索AF、EF、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，請(qǐng)畫出坐標(biāo)系并利用(2)中的結(jié)論證

明MH-MG=1.

【題型9四邊形中存在性問題】

【例9】(2U23春?江蘇連云港?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)2、(；在坐標(biāo)釉上，8點(diǎn)坐標(biāo)

(-4,12),ZkOOE是AOCB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至IJ的，點(diǎn)。在X軸上，直線80交y軸于點(diǎn)尸，交0E「點(diǎn)

⑴求直線的解析式；

(2)求△8。4的面積；

⑶點(diǎn)M在％軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)。、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式9-1](2023春?湖南益陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。力BC的頂點(diǎn)C,Z分

別在x軸，)，軸I-.,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,6),過A點(diǎn)的直線/與x軸交于點(diǎn)K(-3,0),戶是線段BC上

一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=m.

(1)D是第一象限直線/上一點(diǎn)，作PEJLy軸于E,DFJLy軸于立若/PAO=90。，AD=AP.

①求i正；△APEWAOAF；

②求直線/的表達(dá)式及。點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵洛直線/向下平移12個(gè)單位得到直線乙在直線AB上方的直線，'上，是否存在這樣的點(diǎn)。，使得乙4PD=

90%且4P=DP,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【變式9-2](2023春?遼寧沈陽?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊

形MCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)C在％軸正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M,連接BM,48邊交y軸

于點(diǎn)H.

圖1圖2

(1)求MH的長：

(2)如圖2所示，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā),沿折線4tBtC方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB

的面積為S(SO0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡秒，求S與亡之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在(2)的情況下，當(dāng)點(diǎn)P在線段48上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在以為腰的等腰三角形？如存在，直接寫出t的

值；如不存在，說明理由.

【變式9-3](2023春?遼寧丹東?八年級(jí)統(tǒng)考期末)(2023下?廣東中山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)定義"點(diǎn)尸對(duì)圖形Q

的可視度"：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)。和圖形Q，若圖形Q上所有的點(diǎn)都在NP的內(nèi)部或4P的邊上，則

”的最小值稱為點(diǎn)P對(duì)圖形Q的可視度.如圖1，點(diǎn)。對(duì)線段43的可視度為乙40B的度數(shù).

⑴如圖2,已知點(diǎn)4(一3,1),8(2,1),C(0,2),0(1,3).連接。4,DB,則乙4DB的度數(shù)為點(diǎn)。對(duì)A4BC的可視

度.求證：4108=90。；

(2)如圖3,己知四邊形A8C。為正方形，其中點(diǎn)人(一1,1),8(-1,-1).直線y=梟+6與3軸交于點(diǎn)E,與y軸

?5

交于點(diǎn)F,其中點(diǎn)F對(duì)正方形A8CD的可視度為60。.求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶在(2)的條件下，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)4B,E,M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

專題18.14平行四邊形章末九大題型總結(jié)（拔尖篇）

【人教版】

，題型梳理

【題型1四邊形中的多解問題】...................................................................1

【題型2四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題】..................................................................3

【題型3四邊形中的最值問題】..................................................................4

【題型4四邊形中的折疊問題】..................................................................5

【題型5矩形與等腰三角形】.....................................................................8

【題型6菱形中的全等三角形的構(gòu)造】...........................................................10

【題型7正方形中線段的和差倍分關(guān)系】..........................................................12

【題型8坐標(biāo)系中的四邊形】....................................................................13

【題型9四邊形中存在性問題】..................................................................15

，舉一反三

【題型1四邊形中的多解問題】

【例1】（2023春?遼寧鞍山?八年級(jí)校聯(lián)考期中）在正方形力8CD中，對(duì)角線力C、8。交于點(diǎn)0,一DB的平分

線交力8于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)G.過點(diǎn)E作EFJ.BD于點(diǎn)F,NEOM交4。于點(diǎn)M.下列結(jié)論：①40=（&+1）4E；

②四邊形力EFG是菱形；③BE=2OG；④若NEDM=45。，則GF=CM.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

［分析】設(shè)4E=X,則BE=V2x,可算出4。=（V2+l）x=（加+1）4E,故①正確；先證明△AEGFEG,

再由4G||E尸得々4GE=41EG,即4E=4G,四邊形4EFG是菱形，故②正確；由AG=x,/W=（a+1）%得

力。=患=（曰+1）》,可求出。6=￥%=并￡,故③正確；由四邊形力EFG是菱形證明江即為“。。，

即可得GF=CM,故④正確.

【詳解】解：???0E平分乙4D8,EF1BD,AELAD,

:.AE=EF,

?.?四邊形4BCD是正方形，

???Z.ABD=45。，

???EF=BF,

設(shè)=則=

:.AD=AB=AE-]■BE=l)x=(V2+1)力￡,故①正確;

在A4EG和△尸EG中，

(AE=FE

i^AEG=乙FEG,

(EG=EG

???△ACG=△FEG(SAS),

'.AG=FG,^AEG=/-FEG,

???四邊形力BCD是正方形，

???OA1OB,

又?；EF1OB

:.4；||EE

:.Z.FEG=Z.AGE,

AZ.AGE=4AEG,

???AE=AG,

:.AE=AG=EF=FG,

???四邊形力E/G是菱形，故②正確；

由①@知，AG=x,AB=(V2+l)x,

%。=疆=(y+1)%?

:.0G=AO-AG==3BE,故③正確；

???BD=AC=2OA=(V2+2)x,EF=BF=AE=x,

￡lF=(V2+l)x=CD,

???四邊形力E”是菱形，

Z.EFG=Z.BAC=45°,

/DFG=450=4DCM,

v/.EDM=45°=乙ODC,

???乙GDF=LMDC,

:AGDF三△MOC（ASA）,

AGF=CM,故④正確.

故選:D.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定

與性質(zhì).此題綜合性較強(qiáng)，難度較大.設(shè)出未知數(shù)、利用好正方形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2023春?福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形力8c。中，AB=273,乙ABC=60°,點(diǎn)E

為對(duì)角線8。上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合），且BE〈泗，連接CE交ZM延長線于點(diǎn)足

?AAFE=Z.BAE-

②當(dāng)△人￡尸為直角三角形時(shí)，BE=2；

③當(dāng)△AEr為等腰三角形時(shí)，LAFC=20。或者/AFC=40°；

④連接8凡當(dāng)8E=CE時(shí)，/C平分〃尸B.

以上結(jié)論正確的是（填正確的序號(hào)）.

【答案】????

【分析】連」妾4C,交80于點(diǎn)O,由題意易得AC180,△48C是等邊三角形，248。=Z-ADB=30°,AB=CB,

/.ABE=ZCFE,則有BO=V^匚於=3=：BD,則8。=6,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等

三角形的性質(zhì)、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接力。，交B0于點(diǎn)。，如圖所示，

A

I

B、D

EO

C

???四邊形ABC。是菱形，AB=2V3,Z.ABC=60°,

：.AC1BD,△力BC是等邊三角形，Z.ABD=AADB=30°,AB=CBf"BE=MBE,

：.AC=AB=2V3,則40=x/3,

：.BO=>JAB2-AO2=3=則80=6,

???BE<3,

■:BE=BE,

AABE=△CBE>

:?乙BCE=乙BAE,

'：AD||CB,

：.LAFE=乙BCE,

：,LAFE=Z.BAE,故①正確；

當(dāng)A/IE戶為直角三角形時(shí)，即=90%

\^ADB=30°,LEAD=90°,

：.AE=-ED,

2

：.AD=y/ED2-AE2=V3AE=273,

?ME=2,則DE=4,

：.BE=BD-DE=2；故②正確；

當(dāng)AAEr為等腰三角形時(shí)，則可分當(dāng)/E=4/時(shí)，即4=

在菱形71BCO中，Z.BAD=乙BCD,

：,LEAD=乙ECD,

*：LEAD=2Z.AFE=乙ECD,

???在中，Z.AFE+LECD+LADC=180%

.,.3z4FC+60°=180°

：,LAFC=40°；

當(dāng)=時(shí)，^LAEF=Z.FAE,

?：LFAE=/-FAB+4BAE=60°+^AFE,

J在44尸E中，^AFE+^FAE+LFEA=180°,

3Z4FF4-60°4-60°=180°

：.LAFC=20°；

當(dāng)/IE=E/時(shí)，則=4凡4E=MAE,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，不符合題意；

故③正確；

連接BF,當(dāng)3E=CE時(shí)，則====

：,LEAF=乙BAD-乙BAE=120c-30°=90°,

由②可知=CE=AE=2,

：.AF=V3AE=2V3,

.\AF=AB,

T/E4B=60。，

???A4尸8是等邊三角形，

：.AAFB=60°,

：,LBFE=30°=Z.AFE,

???FC平分乙4"B,故④正確：

故答案為①②③④.

【點(diǎn)晴】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)及等

腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度直角三角形的性質(zhì)

及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023春?山東青島?八年級(jí)山東省青島實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在矩形A8CD中，O是對(duì)

角線的交點(diǎn)，AB=1,^BOA=60°,過C作CE1BD于點(diǎn)、E,EC的延長線與的平分線相交于點(diǎn)H,AH

與8c交于點(diǎn)尸，與3。交于點(diǎn)M.給出卜.列四個(gè)結(jié)論：①BF=60；@AC=CH；③BE=3OE：?ShACF=

：S&BMF；⑤AH=乃+&?其中正確的結(jié)論有（填寫正確的序號(hào)）?

H

D

【答案】①?③⑤

【分析】先證明△。48是等邊三角形，得08=/從再證△48戶是等腰三角形，得BF=AB,即可得出8尸=

B0,可判定①正確；求得乙〃=N&4H=15。，得出RC=CH,可判定②正確；利用含30。的直角三角形的性

質(zhì)得出。￡=二。0，AB=-BD,再由CO=/B,BD=DE+BE,即可求得BE=3DE,可判定③正確；過

22

程點(diǎn)M作MN1AB于N,分別求出SM”=^CF-AB=早，S^FM=^xlx^=亨，即可得出S“CF=

ZSOBFM，可判定④錯(cuò)誤；過點(diǎn)〃作〃Q1/W交43延長線于Q延長DC交“Q于F,先求出P〃=l,從而求

得＜Q=，Q=g+l,即可求得AH=&4Q=通+企，可判定⑤正確.

【詳解】解：二?矩形ABC。，

：,OA=OC=OD=OB,乙RAD=Z.ABC=乙ADC=90°,

*：LBOA=60°,

A。/IB是等邊三角形，

：,OB=AB,Z.OAB=Z.ABO=60°

平分乙BAD,

???/HAB=45。,

：.LAFB=乙HAB=45°,

；?BF=AB,

：,BF=OB,

故①正確；

：,LCAH=Z.OAB-Z-BAF=60°-45°=15°,

:.乙EMF=LAMB=180°—60°-45°=75°,

yCE1BD,

???/HEM=90°,

Az/7=90°-75°=15°,

AzW=乙CAH,

：.AC=CH,

故②正確：

??,矩形A8CO,

：.AB\\CD,AB=CD,

:-CDE=60°,

：.LDCE=Z-ADB=30°,

：.DE=-CD,AB=-BD,

22

：,DE=4BD,

'：BD=DE+BE,

:?BE=3DE,

故③正確；

在RtA48C中，AB=1,/,BAC=60°,

：.AC=2,BC=\[3,

TBF=AB=1,

ACF=V3-1,

???SA?F=：C尸.48=空，

過程點(diǎn)M作MNJ.48于M如圖，

VzH/lB=45°,

?"AMN=乙HAB=45%

:.AN=MN,

.:乙MBN=60°,

:.MN=y[3BN,

?：MN+BN=AN+BN=AB=I,

：?BN=第，

???S△…那'牛=牛，

^AACF=2s4BFM,

故④錯(cuò)誤；

過點(diǎn)H作HQ148交/IB延長線于Q,延長0。交HQ尸P,

■:HQ148,

：.LAQH=90°,

：,￡AHQ=4HAQ=45°,

：.AQ=HQ,乙CHP=45°+15°=60°,

:?PC=6PH,

.:乙BQP=乙CBQ=Z.BCP=90°

???四邊形8CPQ是矩形，

：.PQ=BC=?BQ=PC=遮PH,

A1+V3PH=V3+PH,

:,PH=1,

：.AQ=HQ=V5+1,

：,AH=y/2AQ=乃+信

故⑤正確，

:.正確的結(jié)論有①②??

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì).此題屬中

考?jí)狠S題，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023春?廣西南寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中)勾股定理是平面幾何中一個(gè)極為重要的定理，世界上各個(gè)

文明占國都對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)和研究做出過貢獻(xiàn)，特別是定理的證明，據(jù)說有400余種.如圖是希臘著名數(shù)

學(xué)家歐幾里得證明這個(gè)定理使用的圖形.以Rt△ABCg48c=90。)的三邊a,瓦c為邊分別向外作三個(gè)正方形：

正方形力CE。、正方形AFHB、正方形BCNM,再作CG1垂足為G,交力8于P,連接8D,C凡則結(jié)論：

?￡DAB=乙CAF,?ADAB=△CAF,③S正方形=2s△即》，④S矩形AFGP=2s正確的結(jié)論有()

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，/-DAB=/.DAC+Z.CAB,iCAF=々BAF+得至I]4DAB=iCAF,得到△O/B三4

CAF(SAS),延長ZM至點(diǎn)L,過點(diǎn)3做垂線5L_L九，由題意可■知四邊形OLBE為矩形，求出面積即可，延長凡4

至點(diǎn)K,過點(diǎn)C做垂線CK1KF,由題意可知四邊形KFGC為矩形，求出面積即可.

【詳解】解：由題意可得AD=HC,AB=AF,^DAC=LBAF=90°,

/DAB=Z.DAC+乙CAB,Z.CAF=Z.BAF+乙CAB,

???/DAB=Z.CAF,

DA=AC

,/乙DAB=LCAF,

.AB=AF

.-.ADABdCAF(SAS),

故①、②符合題意，正確；

延長ZM至點(diǎn)L,過點(diǎn)8做垂線

由題意可知四邊形OL8E為矩形，

???DE=BL=b,

故5的8

SPACED二川，

故S正方形/ICED=2S&ADB，③符合題意，正確:

延長F4至點(diǎn)K,過點(diǎn)C做垂線CK_LKF,

由題意可知四邊形K/GC為矩形，

故KC=FG,

S矩形AFGP二八/G’

S^ACF=^AF-CK=^C^FG,

=

故S矩形4FGP2S&ACF，④符合題意，正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【題型2四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題】

【例2】(2023春?廣西欽州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在正方形力比。中，E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊BC的

延長線上，且。尸=AE,連接Of、DF.

⑴求證DE1DF；

(2)連接E尸，取E尸中點(diǎn)G,連接。。并延長交BC于H,連接BG.

①依題意，補(bǔ)全圖形：

②求證8G=DG；

③若NEGB=45。，用等式表示線段BG、"G與力E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴見解析

(2)①見解析；②見解析；@BG2-HG2=4AE2,見解析

【分析】(1)證△40E三△CDF(SAS),得乙4OE=乙。0凡再證4EDF=90。，即可得出結(jié)論；

(2)①依題意，補(bǔ)全圖形即可；

②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DGBG=：EF,即可得出結(jié)論；

③先證△DEF是等腰直角三角形，得乙DEG=45°,再證。G1EF,DG=\EF=EG,BG=\EF=EG=FG,

得/GDF=45。，/-EDG=Z-DEG=45°,乙GBF=z^GFB,然后證△CD"三△CDF(ASA),得CH=CF,再由

勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形48CD是正方形，

二AD=CD,44=48=乙BCD=jADC=90°,

:.Z.DCF=90°,

又?；AE=CF,

???△力?！耆鱓(SAS),

???乙ADE=乙CDF,

???々ADEI乙CDE=90°,

Z.CDF+乙CDE=90°,

即/EOF=90°,

:.DE1DF；

（2）①解：依題意，補(bǔ)全圖形如圖所示:

②證明：由（1）可知，△OEF和ABEF都是直角三角形，

???G是E"的中點(diǎn)，

DG=：EF,BG=：",

22

???BG=DG；

③解：BG2-^-HG2=4AE2,證明如下：

由（1）可知，△ADE三△CD凡DE1DF,

DE=OF,

.?.△DEF是等腰直角三角形，

:.乙DEG=45°,

???G為E尸的中點(diǎn)，

；?DG上EF,DG=-EF=EG,BG=-EF=EG=FG,

22

???Z.EGD=乙HGF=Z-DGF=90°,Z-GDF=45°,Z-EDG=乙DEG=45°,乙GBF=乙GFB,

vLEGB=45°,

iGBF=Z.GFB=22.5°,

???乙DHF+乙HFG=Z.DHF+Z.CDH=90°,

:.Z.HFG=Z.CDH=22.5°,

乙CDF=乙GDF-乙HDC=22.5°=乙CDH,

又.：乙DCH=乙DCF=90°,CD=CD,

CDH三△W（ASA）,

???CH=CF,

在Rtz\GHF中，由勾股定理得：GF2+HG2=HF2,

HF=2CF=2AE,GF=BG,

???BG2+HG2=（24E）2,

???BG2+HG2=4AE2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與

性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)和等腰直角三角

形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

【變式2-1]（2023春?福建福州?八年級(jí)?？计谀┤鐖D,在平行四邊形力8co中，Z.BAC=90°,CD=6,

AC=8.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)沿4。以2cm/s速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以8cm/s速度沿射線C8

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）

（1）C8的長為.

⑵用含t的代數(shù)式表示線段8Q的長.

⑶連結(jié)PQ.是否存在t的值，使得PQ與48互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由;

⑷苦點(diǎn)尸關(guān)于直線力Q時(shí)稱的點(diǎn)恰好落在直線48上，請(qǐng)直接寫出t的值.

【答案】⑴10

（2）8Q=10-8t或BQ=8t-10

⑶存在，t

（4）t=：或￡=2

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得48=0。=3,再根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）根據(jù)題意可得CQ=83先求出當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，所花費(fèi)的時(shí)間，再根據(jù)題意分兩種情況討論即

可：當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)Q在線段C8的延長線上時(shí)：

（3）連接PB,AQ,假設(shè)PQ與45互相平分，則可得四邊形APBQ是平行四邊形，進(jìn)而可得力尸=BQ,解得

即可到答案；

（4）根據(jù)題意分兩種情況討論即可：當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線AQ對(duì)稱的點(diǎn)落在點(diǎn)4下方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)。關(guān)于直線AQ對(duì)

稱的點(diǎn)落在點(diǎn)A上方時(shí).

【詳解】(1)回四邊形力是平行四邊形，

團(tuán)48=DC=6?

0Z.F4C=90°,

魴。=yjAC2+AB2=V82+62=10,

(2)在國4BCD中，AD=BC,4DII8C,

由題意得，CQ=83

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)8重合時(shí)，8t=10,