第04講坐標法和極化恒等式在平面向量中的應用

內(nèi)容導航

向串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

一；復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

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知識點01平面直角坐標系建系的常見技巧

1、前言

坐標運算能將問題從復雜的化簡中解放出來，快速簡捷地達成解題的目標。對于條件中包含向量夾角與長

度的問題，都可以考慮建立適當?shù)淖鴺讼?，應用坐標法來統(tǒng)一表示向量，達到轉(zhuǎn)化問題，簡單求解的目的。

2、技巧

①涉及到含有垂直的圖形，如長方形、正方形、直角三角形、等邊三角形、直角梯形、菱形的對角線等等;

②雖然沒有垂直，但有特殊角，如30。、45。、60。、120。、135。等等。

知識點02極化恒等式

設a,b是平面內(nèi)的兩個向量，則有。

222

證明：(a+》)2=02+)2+20力，?(a-b)=a+b-2.a-b,②

將兩式相減可得。?6=；[①+A)?--6)2],這個等式在數(shù)學上我們稱為極化恒等式.

①幾何解釋1(平行四邊形模型)以AB,AD為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形ABC。，AB=a,AO=6,則

AC=a+b,BD=b—a>由=^[(a+6)--(a—6/],^AB-AD=-^AC^—BD"^.

即“從平行四邊形一個頂點出發(fā)的兩個邊向量的數(shù)量積是和對角線長與差對角線長平方差的J”.

4

②幾何解釋2(三角形模型)在平行四邊形模型結(jié)論的基礎(chǔ)上，若設M為對角線的交點，則由

AB-AD=^(AC2-BD2)^^jAB-AD=^(AC2-BD2)=^(4AM2-4BM2),AB-AD=AM2-BM2

該等式即是極化恒等式在三角形中的體現(xiàn)，也是我們最常用的極化恒等式的幾何模型.

注：具有三角幾何背景的數(shù)學問題利用極化恒等式考慮尤為簡單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極

化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾

何長度(數(shù)量)之間的橋梁，實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.

ZX

>>>核心考點舉一反三<<<

【考點一：坐標法求式子的最值與范圍】

一、單選題

1.(24-25高一下?江蘇連云港?期中)邊長為2的正方形ABCL(上有一動點P,則向量的最大值是

()

A.1B.2C.20D.4

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標系，分尸在正方形的四條邊上的情況分別求解即可.

【詳解】如圖，分別以A8,AD為x,y軸建立平面直角坐標系，

則&(0,0),5(2,0),。(2,2),。(0,2),

設尸(x,y)(0W2,04yW2),則AB=(2,0),AP=(x,y),所以福.荏=2%,

當P在邊AB或CD上時，0WxV2,所以OV恭.罰V4,

當P在邊2C上時，x=2,所以AB.AP=4，

當P在AD邊上時，x=0,所以Ag.AP=0，

所以AB-AP的取值范圍是[0,4],所以向量AB.AP的最大值是4.

故選：D.

2.(20-21高一下?遼寧?階段練習)已知正三角形ABC的邊長為4,。是BC邊上的動點(含端點)，則

(ZM+間.(ZM+DC)的取值范圍是()

A.[4,8]B.[8,24]C.[2,18]D.[4,20]

【答案】B

【分析】利用三角形的對稱性建立坐標系，利用坐標運算再結(jié)合二次函數(shù)求出結(jié)果即可.

【詳解】以中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，

則B（-2,0）,C（2,0）,A（0,2月）,

設-2VxW2,

則〃4=卜了,2代），r>8=（-2-x,0）,r）C=（2-x,0）,

所以（以+03卜（以+0（?）=卜2—2工,26>（2-2X,20）=4尤2+8,

因為-24x42,所以4/+8e[8,24],

所以（ZM+r>3）?（ZM+DC）的取值范圍是[8,24].

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立坐標系，用坐標表示向量的數(shù)量積計算即得.

3.（23-24高一下?山西太原?期中）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個頂點為圓心,

以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的

勒洛三角形中，已知AB=2,點尸在弧AC上，且/P3C=30°,則尸4PC=（）

c.2V6-4V2D.473-6

【答案】A

【分析】以8為原點，建立平面直角坐標系，利用坐標法求向量數(shù)量積.

【詳解】以8為原點，為x軸，點A在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標系,

則有3(0,0),C(2,0),A(L@,P為弧AC上的點且/PBC=30,則尸("1),

PA=(1->/3,A/3-1),PC=(2-^,-1),

PA-PC=(l-V3)x(2-V3)+(V3-ljx(-l)=-V3x(l-V3)2=-V3X(4-2A/3)=6-4A/3.

故選：A.

4.(23-24高一下?甘肅白銀?期末)在VABC中，ZC=90°,AB=3,AC=1,若A?=—，貝UCDCB

等于()

A.7B.8C.12D.13

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標系，通過數(shù)量積的坐標運算即可求解.

【詳解】如圖，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系.

過B作BE〃AC,S.BE=AC,連接CE,延長AB到歹，使8/=AB,

連接跖，則四邊形3C。為平行四邊形，

:.BE=BC+BF=AC.

又AC=2BD-CB=BC+2BD,

.:。為邊罰的中點.

根據(jù)條件得，C（o,o）,B（2A/2,0）,

;.09=（30,￡|,CB=（2也,0）,

CDCB=12.

故選：C.

5.（2024?全國?模擬預測）在直角梯形A8C￡）中，AB//CD,ADJ.AB,AB=3,AD=CD=2,M是CD

的中點，N在BC上,且=則cos（BM,ON）=（）

A3710n屈C師n3麻

A.---------D.-------------------C.-----D?------

10101010

【答案】A

【分析】解法一建立平面直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標,從而求出8M，ZW的坐標，最后利用向量的

夾角公式即可得解；解法二以AB，AD為基底，通過向量的線性運算用基底將BM，DV表示出來，再利

用向量的夾角公式即可得解.

【詳解】解法一如圖，建立平面直角坐標系，則3（3,0）,D（0,2）,M（l,2）,C（2,2）,

故選：A.

解法二設AB=a,AD=by則上|=3,忖=2,a±b>

BM=BA+AD+DM=AD+DM-AB=b+-a-a=b--a,

33

DN=DA+AB+BN=DA+AB+-BC=DA+AB+-(BA+AD+DC

33、

BMDN-83710

.cos(BM,

3

故選：A.

6.（24-25高一上?江西宜春?階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，0是正六邊形A&&的中心,

【答案】C

【分析】據(jù)題意求出正六邊形的半徑，設出4的坐標，再利用向量的數(shù)量積和半徑列出方程組，求解即可.

【詳解】因為o（o,o）,4［乎，：］，所以。4,=（半，：），

所以k10Al=J（平了+（；）2=1，設A。，，），則oa=（x,y）,

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)有：

22

10Al=|。闔=|OA3|=x+y=1,且O\'OA3==-；，

叵

所以丁尤+1尸一5,整理得：16y2+4y-ll=0,解得：丁=受r”1,

x2+y2=l8

根據(jù)題意y>。，所以>二L

8

故選：C.

7.（24-25高一下?陜西西安?階段練習）平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,AB-AD=472,點P在

邊CD上,則尸4PB的最大值是（）

A.4+4近B.4+50C.4+20D.4+3底

【答案】A

【分析】根據(jù)AB=4無，求出NZM8=45°,從而建系，將PAPB用函數(shù)表示出來，即可求出.

【詳解】ABAD=\AB\\AD\cosZDAB=4A/2,

cosZDAB=

2

且在平行四邊形ABCD中，00<ZDAB<180°,ZDAB=45°.

以A為原點建坐標系，則4（0,0）,2（4,0）,。（忘，血）

點尸在邊CD上，設尸卜,后應+4,

PA=（-%,-V2）,PB=（4-x,-虎），

PA-PB=—x（4—x）+2=x?—4x+2=（無一2）—2,W尤W^/^+4,

所以-24尸4尸244+4立

故選：A

8.（24-25高一下?江蘇鹽城?期中）如圖，“六芒星”是由兩個邊長為6正三角形組成，中心重合于點。且三

組對邊分別平行，點A,3是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點尸在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則OBAP

的取值范圍是（）

C.[-6A/3,6^]D.[-4,4^]

【答案】B

【分析】如圖，以。為原點，08,04分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則由題意求出點A,8的坐標，設

P（x，y）,然后表示出ORAP，再根據(jù)龍的取值范圍可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，以。為原點，08,04分別為x，y軸建立平面直角坐標系，

因為“六芒星”是由兩個邊長為6正三角形組成，中心重合于點。且三組對邊分別平行，

所以六邊形BCDEFG為邊長為2的正六邊形，04=2上，

所以03=2,

所以A（0,-2石），5（2,0）

設尸（羽丫），則AP=[,y+2A）,03=（2,0）

所以OB-AP=2x，

因為動點尸在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），

所以-3MXV3,所以-6V2XV6,

所以-64。比4尸46,即ORA尸的取值范圍是[F6].

故選：B.

9.（23-24高一下?山東煙臺?階段練習）在VA2C中，AB=AC=4y/l，當％eR時，|4B+4BC|的最小值為

兀兀II

4.若AP=sin26AB+cos26AC,其中,則|加尸|的最大值為（）

A.2B.20

C.2也D.4>/2

【答案】B

【分析】由IAB+ZBC|的最小值為4可得VABC的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標系將向量坐標

化，利用平面向量共線定理以及6的取值范圍表示出|知尸|的表達式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得

MP=2V2.

I\\Imax

【詳解】如下圖所示:

BD

在直線3C上取一點。，使得BO=/13C,^T^AB+ABC=AB+BD=AD,

當AD12C時，回+2因取得最小值為4,即|叫=4；

又A2=AC=4后，所以可得VABC是以A為頂點的等腰直角三角形，

建立以A為坐標原點的平面直角坐標系，如下圖所示：

又A"可得M為AB的中點，

由AP=sin20AB+cos2OAC以及sin2^+cos?<9=1可得尸在BC上，

可得A（0,0）,8（0,4虛）,C（4夜,0）,M（0,2點），

所以A8=僅,4及）,AC=（40,0）,可得P（4后cos20,472sin2,

則MP=（472COS29,40sin26>-2夜），

TT7T|

令cc/e*,由可得cos26?=fw0,-,

所以MP=（4",2A/2S）,

\MP\=+（2A/2-『=,64/—321+8,

由二次函數(shù)y=64產(chǎn)-32r+8在/e0」上單調(diào)遞減可得=764x0-32x0+8=272.

AIImax

故選:B

【考點二：極化恒等式解決數(shù)量積的最值與范圍問題】

一、單選題

1.(24-25高一下?貴州貴陽?階段練習)在VABC中，內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知6=4,。為AC

的中點，且8。=3,則朋.2。=()

A.3B.5C.6D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運算律計算即可.

【詳解】已知6=4,所以AC=4,

因為。為AC的中點，所以AD=OC=2

且30=3,貝!JB4BC=（BD+OA｝（BQ+OC）=（8O+QA）.（80一04）=802-042=9-4=5.

故選：B.

2.（2024高一.全國?專題練習）已知正六邊形ABCDEF的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的中心，圓。

的半徑為2,圓。的直徑MN〃C￡）,點P在正六邊形的邊上運動，則PA/.PN的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)尸M.PN=PO2_4,結(jié)合正六邊形的性質(zhì)求解|PO|的范圍即可.

【詳解】如圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，△OAB,△OBC,OCD,ODE,OEF,OE4均

是邊長為4的等邊三角形，

當點尸位于正六邊形A8CD所的頂點時，,。|取最大值4,

當點尸為正六邊形各邊的中點時，,。|取最小值，即忖0，,=45由5=2追，

所以|尸。[[2百,4].

所以尸面.瓶=（尸0+0面＞仍0+0可）=（尸0+0面＞仍0-0〃）=尸02-4?8,12],

即PM-PN的最小值為8.

故選：D

3.（23-24高一下?山東日照?期末）勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個頂點為圓心，以

邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形；在如圖所示的勒

洛三角形中，已知AB=4,P為弧AC（含端點）上的一點，則P0（BC-BP）的范圍為（）

C.[0,響D.[0,9]

【答案】A

【分析】利用向量數(shù)量積的運算量，結(jié)合|PO|e[2,2即可求解.

【詳解】取BC中點為。，連接尸O,顯然|PO|e[2,2石],

^r^PB(BC-BP)=PBPC=(PO+OB)(PO+OC)=(PO+OB)(PO-OB)

-2.22

=PO-OB=PO-4e[0,8].

故選：A

4.（24-25高一上?湖南衡陽?期末）VABC是邊長為2的正三角形，尸為VA5C所在平面內(nèi)任意一點，則

P4（P2+PC）的最小值為（）

135

A.——B.——C.——D.-2

222

【答案】B

【分析】設的中點為。,AD的中點為￡,貝（JPA?（依+尸。）=2D4"。巳4，?？杀硎緸?/p>

.2.2.23

PE-EA=PE--,進而可得答案.

4

【詳解】設BC的中點為2相）的中點為E,

貝1I有尸3+PC=2P。，

貝！1PA?(P2+PC)=2PA.P￡),

-^PA-PD=[PE+EA^\PE+ED^=^PE+EA^\PE-EA^=p^-EA

而閾=且，PE2-￡A2=P￡-7，

II24

3

故當尸與￡重合時，PE-EA有最小值

所以PA.（P8+PC）的最小值為-g,

故選：B.

―復習提升《）

一、單選題

1.（23-24高一下?浙江?期中）如圖所示，在矩形A2CD中，AB=0,BC=2,點E在邊CO上運動（包含

端點），則AE.8E的取值范圍為（）

【分析】以A為坐標原點建立直角坐標系，設E（a,2）,得AE.BE=。一彳+：,根據(jù)。的范圍即可求出

AE8E的范圍.

【詳解】

以A為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系,

因為在矩形ASC￡＞中，AB=y/2,BC=2,

則網(wǎng)忘,0）,C（衣2）,。（0,2）,

又點E在邊C￡＞上運動（包含端點），

設E（a,2）,則

AE=(a,2),BE=(a-&,2),

、2

貝(]7

AE.8E=a(a-0)+2x2=a2-0a+4=a---+-2'

2

7

(/—、2

774

因為，所以Ia---2-J+-e-,4,

22

故選：D.

2.（24-25高一下?吉林長春?期中）如圖，邊長為&的正方形ABCQ內(nèi)接于圓O,P是弧8c（包括端點）

上一點，則AP.AB的取值范圍是（）

[2,2+應]C.[2,1+伺D.

【分析】以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，應用向量的坐標運

算即可求解.

【詳解】如圖，以A為坐標原點，A8,A。所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則

A（0,0）,B（A/2,0））.

設P(x,y),則AP=(無,y).因為AB=(友,0),所以AP.AB=&x.

由題意知，圓。的半徑r=l.因為點尸在弧3C（包括端點）上,

所以血4》41+等，所以AP.A5的取值范圍是［2,1+忘］.

JT

3.（23-24高一下.江蘇南通?階段練習）在邊長為2的菱形ABCD中，=點尸是△BC。內(nèi)一動點，

則APBC的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（0,4）C.（1,3）D.（-2,6）

【答案】A

【分析】如圖建系，可求得的坐標，設P（x,y）,則可得AP8C的表達式，根據(jù)x的范圍，即可求

得答案.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，則4（2,0）,網(wǎng)1,6）,。卜1,百）,。（0,0）.

設尸掇y）,則故AP3C=（x—2,y＞（—2,0）=-2（x-2）e（2,6）,

即APAB的取值范圍是（2,6）.

故選：A

4.（2024?北京?三模）已知點N在邊長為2的正八邊形A，4,,&的邊上，點M在邊A4上，則-A.N

的取值范圍是（）

B.[<4+20]

D.[-272,4]

【答案】C

【分析】以A為原點，建立平面直角坐標系，表示出點“、N的坐標，計算4加.AN即可.

【詳解】以A為原點，A4為x軸，AA為y軸建立平面直角坐標系,

設N（外,乂）,〃5，。），則&心=（々,0）,審=（%,%）,

所以AM-AN=^X2,

由于正八邊形的每個外角都為J;

4

則x2e[。，2],玉G[―2+-72],

所以&WTN=玉%2€卜2忘,4+2句

故選:C

5.（24-25高一下?重慶萬州?期中）在梯形A8CD中，AD//BC，A2,,網(wǎng)=2,〔叫=回.若點

尸在線段BC上，則|PC+4P耳的最小值是（）

79

A.—B.4C.8D.一

22

【答案】C

【分析】以3為原點，BC為X軸正方向，54為y軸正方向建立平面直角坐標系，利用坐標法求解.

【詳解】如圖示，以3為原點，BC為x軸正方向，明為y軸正方向建立平面直角坐標系.

則3（0,0）,A（0,2）,C（2d,0）,D（d,2）,P（P,0）（0<p<2d）,

所以PC=（2d-p,0）,PD=（d-p,2）.

所以尸C+4PD=（6d—5p,8）,

所以|PC+4PH=J（6d-5py+828（當且僅當6d=5°時等號成立）.

所以IPC+4尸￡>|的最小值是8.

故選：C

6.（24-25高一下?河南洛陽?階段練習）已知點尸是菱形ABC。所在平面內(nèi)的一點，若菱形的邊長為定值，

且（尸4+9>（尸2+尸。）的最小值為一9,則該菱形的邊長為（）

l3

A.72B.-C.2D.3

【答案】D

【分析】以菱形的對角線為坐標軸，對角線的交點為坐標原點建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算

及基本不等式求解即可.

【詳解】解：由AC1BD,可建立如圖所示平面直角坐標系，

設B（-a,6）,D（a,0）,A（0,b）,C（0,-b）,P（x,y）,

則PA=（一x,b—y）,PD=（a—x,—y）,PB=（_a—x,—y）,PC=（—x,—b—y）,

所以PA+PD=（^a-2x,b-2y^,PB+PC=（-a-2x,-b-2y^,

貝1］（PA+P3+尸0=（a—2x）（-a—2x）+僅一2y）（-6—2y）

=4x2+4y2-a2-b2

>-a2-b2=-AB2,

故—AB?=—9,

所以鉆=3.

故選：D.

7.（23-24高一上?北京順義?期中）如圖，在VABC中，AC=1,AB=2,ZB4C=60。，BC,AB邊上的兩

條中線AD,CE相交于點尸，貝UcosNZ）PE=（）

【答案】D

【分析】由題得VABC為直角三角形，建立平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為求AD與CE夾角的余弦即可.

【詳解】因為AC=1,AB=2,44c=60。，

由余弦定理得，BC-^AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC=4+l-2x2xlxcos60°=3,

得到BC=6,^BC2+AC2=AB2,所以VABC為直角三角形，

建立如圖所示的平面直角坐標系，

則有A(l,0),3(0,a,C(0,0),又D,E分別為BC,A3中點,

所以0（0,孝），以；,岑），故AD=（-1,岑）,CE=（；,#），

x/7

所以cosZ.DPE=cosAD,CE=五

故選：D.

8.（23-24高一下.湖北武漢?階段練習）點尸是邊長為1的正六邊形ABCDE/邊上的動點，則尸少網(wǎng)的最

大值為（）

13

A.2B.口C.3D.

44

【答案】C

【分析】借助AB中點。和平方差公式得24依=（尸。+。孫仍。-。4）=b。2-：，再探究P。的最大值即

可.

【詳解】分別取AB,DE中點。，R,連接P。，QR,

貝（I由題QA=g,B￡>2=￡>C2+BC2-2￡>CxBCxcosZBCD=l+l-2xlxlxcosl20=3,即指，

所以QD/QB^+BD?=

作圖如下，由圖可知當尸運動到?；駿時尸。最大,

所以尸4PB=（尸Q+Q4）（PQ+QB）=（尸Q+

12-2-21-21

=?……Q于3T3,

所以上4/5的最大值為3.

故選：C.

9.（24-25高一上?河南?階段練習）銅錢，古代銅質(zhì)輔幣，指秦漢以后的各類方孔圓錢，其形狀如圖所示.若

圖中正方形ABCD的邊長為2,圓。的半徑為3,正方形ABCD的中心與圓0的圓心重合，動點尸在圓。上,

C.2D.4

【答案】B

【分析】取A3的中點E,連接PE,由向量的加法和數(shù)量積結(jié)合圖形運算即可;

【詳解】

取A8的中點E,連接PE（圖略），則尸4尸2=（尸石+網(wǎng)?（尸石+網(wǎng)

-222

=P