數(shù)列一、單選題1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于，都有，則（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知數(shù)列滿足，，且，，則m等于（

）A．1 B．2 C．3 D．43．對(duì)，設(shè)是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，，其中符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（

）A．1013 B．1015 C．2023 D．20254．已知一個(gè)各項(xiàng)非零的數(shù)列滿足且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題6．定義：滿足當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則稱為“回旋數(shù)列”.若為“回旋數(shù)列”，，設(shè)前項(xiàng)和為，從中任意抽取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和大于的概率為，的前項(xiàng)積為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．且恒不小于D．7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，對(duì)于數(shù)列，若，下列說(shuō)法不正確的是（）A．存在的等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列B．存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列C．不存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列D．若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且，則的最小值大于8．設(shè)數(shù)列，，，記數(shù)列前n項(xiàng)和為，則（

）A． B．不存在C． D．存在9．定義：滿足當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則稱為“回旋數(shù)列”.若為“回旋數(shù)列”，，，設(shè)前項(xiàng)和為，從，，…，中任意抽取兩個(gè)數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和大于的概率為，的前項(xiàng)積為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．且恒不小于 D．10．定義“01數(shù)列”如下：①，；②共有項(xiàng)（，），其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對(duì)任意的，，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).記“01數(shù)列”的個(gè)數(shù)為，則（

）A．B．C．D．當(dāng)時(shí)，三、填空題11．?dāng)?shù)列滿足：，當(dāng)時(shí)，，若存在無(wú)窮多個(gè)和無(wú)窮多個(gè)，使得，則．12．已知數(shù)列中的每一項(xiàng)均滿足，記這2025項(xiàng)中任意兩項(xiàng)乘積之和為，即，則的最小值為.13．已知是定義在上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意，均有，則，.14．已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且對(duì)任意，均有，則．15．已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，則；若數(shù)列和的所有項(xiàng)合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則使得成立的的最小值為．四、解答題16．已知無(wú)窮數(shù)列滿足，為正整數(shù)，．(1)若，求；(2)證明：“存在，使得”是“是周期為3的數(shù)列”的必要不充分條件；(3)若，是否存在數(shù)列，使得恒成立？若存在，求出一組的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．設(shè)集合，其中，且，將A中每個(gè)子集的元素和按照不減的順序排列（空集的元素和記為0），可以得到一組整數(shù)，，，…，其對(duì)應(yīng)的子集分別為，，，…，，并定義（表示中元素的和，.(1)若.①求，，，；②證明：是等差數(shù)列.(2)若且，證明：.18．在一個(gè)整數(shù)數(shù)列：，，，中，若對(duì)于一個(gè)數(shù)對(duì)，存在另一個(gè)數(shù)對(duì)，滿足，則稱數(shù)對(duì)是一個(gè)“有趣數(shù)對(duì)”.(1)寫(xiě)出整數(shù)數(shù)列：的所有“有趣數(shù)對(duì)”；(2)若，且為等差數(shù)列，求所有“有趣數(shù)對(duì)”的個(gè)數(shù)；(3)固定整數(shù)，求一個(gè)n項(xiàng)整數(shù)數(shù)列中“有趣數(shù)對(duì)”個(gè)數(shù)的最大可能值.19．設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意.都有，，，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)試探究是否存在整數(shù)，使得對(duì)于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知數(shù)列，對(duì)于任意的，，當(dāng)，總有恒成立，則稱數(shù)列為凸數(shù)列．(1)以下兩個(gè)數(shù)列中，哪一個(gè)是凸數(shù)列？（寫(xiě)出序號(hào)即可，無(wú)需說(shuō)明理由）①，，，，②，，(2)若數(shù)列為凸數(shù)列，證明：(3)已知個(gè)實(shí)數(shù)滿足，若這個(gè)實(shí)數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列為凸數(shù)列，求最小的，使得對(duì)所有的，都有《數(shù)列》參考答案題號(hào)12345678910答案ABAACBCDABADBCDACD1．A【分析】根據(jù)題意，先求出可得，判斷出數(shù)列的單調(diào)性可得答案.【解析】因?yàn)?，時(shí)，，由，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，解得，所以，可得，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)椋?，，，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出數(shù)列的單調(diào)性.2．B【分析】利用遞推式化簡(jiǎn)得，化簡(jiǎn)后利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算求解得出，最后計(jì)算范圍即可求解.【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，所?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，由題設(shè)條件得到，從而得解.3．A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出方程根的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，可得，則為增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)根且，所以，因此.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)的存在定理，求得當(dāng)時(shí)，方程有唯一的實(shí)數(shù)根且是解答的關(guān)鍵.4．A【分析】令，遞推關(guān)系可化為，證明，證明數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分別在，，條件下判斷函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.【解析】因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，所以若，則,，矛盾，所以，故，所以數(shù)列為以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，故，若，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，與已知矛盾；若，則，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，且，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，令，可得，所以當(dāng)，且時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，與條件矛盾，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過(guò)對(duì)遞推式的變形，并設(shè)，換元可得，再證明數(shù)列為等比數(shù)列，由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.5．C【分析】根據(jù)題意得到，推出，得到答案.【解析】由題意得，故，故，故，由于，故.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：6．BCD【分析】結(jié)合遞推關(guān)系證明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此判斷A，利用組合求和法求判斷B，根據(jù)古典概型概率公式求，判斷C，利用放縮法求，判斷D.【解析】因?yàn)閿?shù)列為“回旋數(shù)列”，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，，故，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，所以，A錯(cuò)誤；，所以，，所以，，，，所以，B正確，從，，，中任意抽取兩個(gè)數(shù)，有種取法，其中兩個(gè)數(shù)之和大于的取法包含取一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)與它之后的所有偶數(shù)項(xiàng)，或取一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)與它之前的所有奇數(shù)項(xiàng)，故有，所以，所以，，C正確；的前項(xiàng)積為，D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合遞推關(guān)系，確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.7．AB【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，在假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列的前提下，推導(dǎo)出，與相矛盾，，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，在假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列的前提下，推導(dǎo)出與相矛盾，故B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，在假設(shè)存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列的前提下，推導(dǎo)出與有關(guān)的方程無(wú)解，即假設(shè)不成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，在假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且的前提下，推導(dǎo)出的最小值是，故D正確.【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.對(duì)于選項(xiàng)A，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，令，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以有，即，即，即，若，則，若，則，顯然與題目中的相矛盾，故A錯(cuò).對(duì)于選項(xiàng)B，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列，則，且，所以，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即.顯然不滿足，故B錯(cuò).對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列，則，不妨設(shè)，只需，只需，即有解.令則，令，則，且，則在上單調(diào)遞增，又，故對(duì)于任意都有.令，則，即在上單調(diào)遞增，令，且，則，故在上單調(diào)遞減，則，所以無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，且，所以可知，設(shè)，所以，所以，因?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，所以，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，所以，所以，所以，所以，令則，令，則，觀察得.令，則，顯然，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以為的唯一零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即的最小值是，故D正確.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)A，推導(dǎo)出，與相矛盾，是關(guān)鍵；對(duì)于選項(xiàng)B，推導(dǎo)出與相矛盾，是關(guān)鍵；對(duì)于選項(xiàng)C，推導(dǎo)出無(wú)解是關(guān)鍵；對(duì)于選項(xiàng)D，推導(dǎo)出的最小值是是關(guān)鍵.8．AD【分析】數(shù)列由及遞推式定義，首先尋找固定點(diǎn)，解方程得或，由于初始值為正，數(shù)列收斂于，定義，分析的衰減速度和前項(xiàng)和的性質(zhì)?！窘馕觥坑^察前幾項(xiàng)：，，，，，可猜測(cè)奇數(shù)項(xiàng)在下方，偶數(shù)項(xiàng)在上方，假設(shè)數(shù)列收斂于，則滿足方程：解得或，由于初始值，且遞推式中分母，故收斂于，現(xiàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，若，則，，分子化簡(jiǎn)為，由于，且，分子可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，因?yàn)?，所以整體分子為正數(shù)，故，即，若，則，同理，分子化簡(jiǎn)為，由于，故，即，假設(shè)接近，誤差很小，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，因?yàn)槭欠匠痰慕猓ㄟ^(guò)近似（很小，分母中的可忽略）得到，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，因此，誤差，當(dāng)時(shí)，設(shè)，類似推導(dǎo)可得，誤差仍滿足，每次誤差縮小倍，因此第項(xiàng)的誤差為，故，，由于，故，故A正確；根據(jù)遞推關(guān)系，誤差，且，通過(guò)遞推可得通項(xiàng)公式，因此，，將與右側(cè)表達(dá)式對(duì)比，，需判斷是否存在使得，兩邊同除以得，由于，當(dāng)足夠大時(shí)，會(huì)趨近于，最終小于，故B錯(cuò)誤；是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，故。比較與，顯然，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，存在，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于證明數(shù)列收斂于以及求出的通項(xiàng)公式.9．BCD【分析】結(jié)合遞推關(guān)系證明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此判斷A，利用組合求和法求判斷B，根據(jù)古典概型概率公式求，判斷C，利用放縮法求，判斷D.【解析】因?yàn)閿?shù)列為“回旋數(shù)列”，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，又，，故，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，所以，A錯(cuò)誤；，所以，，所以，，，，所以，B正確，從，，，中任意抽取兩個(gè)數(shù)，有種取法，其中兩個(gè)數(shù)之和大于的取法包含取一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)與它之后的所有偶數(shù)項(xiàng)，或取一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)與它之前的所有奇數(shù)項(xiàng)，故有，所以，所以，，C正確；的前項(xiàng)積為，D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合遞推關(guān)系，確定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.10．ACD【分析】根據(jù)“01數(shù)列”新定義和計(jì)數(shù)原理的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)行排列即可求解.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹?的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，所以“01數(shù)列”是01010,01001,00110,00011,00101，則個(gè)數(shù)為5個(gè)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意知，，可以表示01010011,01010101,01001101,01001011,01000111,00110011,00110101,00101011,00100111,00011101,00001111，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，理由同選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以不存在，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，可以分類以0結(jié)尾和以1結(jié)尾前者為，確定末尾為0，則少個(gè)0，個(gè)0與個(gè)1進(jìn)行組合，后者對(duì)應(yīng)，確定末尾為1，則少個(gè)1，前面?zhèn)€0與個(gè)1進(jìn)行組合，因此，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】根據(jù)“01數(shù)列”新定義進(jìn)行排列，與計(jì)數(shù)原理的知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，即可求解.11．【分析】通過(guò)建立數(shù)列的遞推關(guān)系，首先利用特征方程法求出其特征根，再通過(guò)待定系數(shù)確定數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)形式。接著根據(jù)特征根的不同情況分三類討論通項(xiàng)的具體表達(dá)式，并結(jié)合題目條件“存在無(wú)窮多個(gè)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)滿足特定不等式”展開(kāi)分析。通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)偶數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮，證明左邊不等式成立；針對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別利用通項(xiàng)公式和基本不等式進(jìn)行放縮，推導(dǎo)出右邊不等式的矛盾，從而反推出唯一可能的參數(shù)值。最終通過(guò)驗(yàn)證該參數(shù)滿足所有條件，得出所求結(jié)果?！窘馕觥垦芯繑?shù)列，，，當(dāng)時(shí)，，列出特征方程，求出特征根，待定系數(shù)可以得到數(shù)列通項(xiàng)公式，，，（，是待定系數(shù)，代入數(shù)列，）解出，得到，因?yàn)?，，所以分，，討論，，，，所以只可能存在使得條件成立，下證，首先證明，左邊不等式只需要對(duì)偶數(shù)項(xiàng)放縮用數(shù)學(xué)歸納法即可，右邊不等式先證，，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式用基本不等式放縮與放縮可以得到左邊，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)公式用放縮得到右邊，若存在，是奇數(shù)，由奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式得到所有大于的奇數(shù)項(xiàng)都大于，則由偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式所有偶數(shù)項(xiàng)都大于，當(dāng)時(shí)，矛盾，所以（），所以，同理可以推出，于是就有，于是存在使得條件成立.故答案為：.12．【分析】由數(shù)列的新定義構(gòu)造，從而得到，再分三種情況討論即可；【解析】，設(shè)，由題意可得，要使最小，應(yīng)使盡可能小，盡可能大，因?yàn)?，，所以，考慮以下幾種情況：1012個(gè)2,1013個(gè)，或1012個(gè)，1013個(gè)2，此時(shí)；二，1012個(gè)2,1012個(gè)，1個(gè)1，或1個(gè)，此時(shí)；三，1012個(gè)2,1013個(gè)，1個(gè)0，此時(shí)；可以發(fā)現(xiàn)不能取到和，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)列新定義構(gòu)造出，再分情況討論.13．【分析】要利用數(shù)列的遞推思想和累乘法來(lái)求出，然后再構(gòu)造為二項(xiàng)式系數(shù)來(lái)求和，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)果.【解析】令，，由題意知，又是定義在上的奇函數(shù)，則，∴，化簡(jiǎn)得，則，得，累乘，得，當(dāng)時(shí)，0!=1，即滿足上式，則，∴，則，∵，上式可化為，由于，由二次項(xiàng)性質(zhì)，得.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，，結(jié)合題設(shè)得到，有，應(yīng)用累乘法求得，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)變形目標(biāo)式.14．【分析】要利用數(shù)列的遞推思想和累乘法來(lái)求出，然后再構(gòu)造為二項(xiàng)式系數(shù)來(lái)求和，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)果.【解析】令，則由題意知，又因是定義在R上的奇函數(shù)，則，所以，化簡(jiǎn)可得，則，所以，用累乘法得，當(dāng)時(shí)，，所以也滿足上式，則，所以，因?yàn)?，所以上式可化為，由于，由二次?xiàng)性質(zhì)可得，則.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)關(guān)鍵是利用數(shù)列的遞推思想和運(yùn)用累乘法來(lái)求出通項(xiàng)公式；(2)關(guān)鍵是把階乘的乘法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)求和.15．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，推導(dǎo)出，設(shè)，其中且，根據(jù)可得出關(guān)于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即為所求.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，，所以，，，由，整理可得，數(shù)列的各項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、，其中前若干項(xiàng)中，數(shù)列有項(xiàng)，數(shù)列有項(xiàng)，所以，是數(shù)列的第項(xiàng)，所以，，所以，，令，整理可得，令，則有，解得，因?yàn)?，所以，，可得，所以，滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，同理可知，滿足不等式的正整數(shù)的最大值為，所以滿足不等式的正整數(shù)的最小值，即，設(shè)，其中且，則，，由，整理可得，解得，所以自然數(shù)的最小值為，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)列不等式求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵在于確定滿足條件的正整數(shù)的最小值所在的區(qū)間，并引入合適的參數(shù)，求出相應(yīng)的參數(shù)的值，進(jìn)而得解,16．(1)或3或5．(2)證明見(jiàn)解析(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）分別令，代入，求出，再根據(jù)對(duì)進(jìn)行取舍.（2）證明必要性是以是周期為3的周期數(shù)列當(dāng)條件，推出存在，使得這個(gè)結(jié)論成立；不充分性只需舉出符合存在，使得的特殊數(shù)列，推出不是周期數(shù)列即可.（3）對(duì)，要考慮和兩種情況，注意考慮這種特殊情況.【解析】（1）因?yàn)閷?duì)任意成立；令得，所以，則或3，若，由，則，則或3，若，由，則，則或5，因?yàn)椋C上所述：或3或5．（2）記，必要性：若是周期為3的周期數(shù)列，或，當(dāng)時(shí)，數(shù)列前5項(xiàng)為：，由得，該式當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立，與為正整數(shù)矛盾；當(dāng)時(shí)，數(shù)列前5項(xiàng)為：，由得，則或（舍，此時(shí)），因此，此時(shí)數(shù)列：，存在，使得，另一方面：取數(shù)列其中當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列不是周期數(shù)列，綜上，“存在，使得”是“是周期為3的周期數(shù)列”的必要不充分條件．（3）不存在，理由如下：等價(jià)于或，首先說(shuō)明不存在，使得，否則由得記為，所以，依此類推得前項(xiàng)為（第項(xiàng)），則要么相等，要么有一項(xiàng)為0，矛盾，因此對(duì)任意成立，其次，不存在，使得以及同時(shí)成立，否則兩式相加得，矛盾．（?。┤簦?）式只對(duì)有限個(gè)正整數(shù)才成立，不妨設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（*）式成立，其中，則當(dāng)時(shí)，（**）式恒成立，此時(shí)恒成立，由此易知當(dāng)，因此數(shù)列是無(wú)界數(shù)列，（ⅱ）若存在無(wú)限個(gè)正整數(shù)使得（*）式成立，不妨設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（*）式成立，其中，考慮與，為方便書(shū)寫(xiě)記且，則，若，則，若，則，則，此時(shí)，無(wú)論哪種情況總有成立，即恒成立，記，則恒成立，由此易得數(shù)列是無(wú)界數(shù)列，所以，存在使得，故不存在符合題意的．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：對(duì)，要考慮和兩種情況，注意考慮這種特殊情況.17．(1)①，，，；②證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)定義可求的值；②先證明彼此不同，根據(jù)中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)可證是等差數(shù)列.（2）就、及既不是的子集，而也不是的子集分類討論，后者可設(shè)，其中，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式和放縮法，從而可得.【解析】（1）①解：由題意可知為空集，，，，故，，，.②證明：當(dāng)時(shí)，證明是等差數(shù)列分為兩步，如下：第一步：證，，不妨設(shè)對(duì)應(yīng)的子集（具有個(gè)元素），其中，對(duì)應(yīng)的子集（具有個(gè)元素），其中，由于，所以子集，可設(shè)為的最大下標(biāo).若，則，即有.若，則同理有.故，.第二步：由題意可知為空集，；，.又因?yàn)?，，整?shù)，所以，故，.故,故是等差數(shù)列.（2）證明：①若，則；②若，則；③若既不是的子集，而也不是的子集，不妨設(shè)，，故有，，，且，.由，可知.繼而，設(shè)（具有個(gè)元素），其中，（具有個(gè)元素），其中由于且，所以，故有，又因?yàn)?，，所以有，而，故，從而得?整理有，由于，，化簡(jiǎn)有．結(jié)合①②③，證得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于與等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列不等式的證明，注意當(dāng)公比滿足一定條件時(shí)，其前項(xiàng)和會(huì)小于第項(xiàng)，證明時(shí)注意利用這個(gè)性質(zhì).18．(1)，，，，，，(2)個(gè)(3)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，結(jié)合條件，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用題設(shè)定義得到，，再分，；，；，和，四種情況討論，即可求解；（3）利用題設(shè)定義得到，再轉(zhuǎn)化成對(duì)，至多有一個(gè)i，使得數(shù)對(duì)，都是“有趣數(shù)對(duì)”來(lái)解決問(wèn)題，即可求解【解析】（1）因?yàn)椋杂腥?shù)對(duì)有，，，，，，.（2）若，且為等差數(shù)列時(shí)，，所以，，時(shí)，，，，，，共5個(gè)，時(shí)，，，，，，，共個(gè)，時(shí)，，，，，，，，共個(gè)，時(shí)，，共個(gè)，所以所有“有趣數(shù)對(duì)”個(gè)數(shù)為26個(gè).（3）若是有趣的，則存在另外一個(gè)數(shù)對(duì)，有，則，對(duì)，至多有一個(gè)i，使得數(shù)對(duì)，都是“有趣數(shù)對(duì)”，理由如下：假設(shè)存在，使得，都是“有趣數(shù)對(duì)”，則由得，，兩式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，至多有一個(gè)i使其成立.又顯然不是“有趣數(shù)對(duì)”，所以至少有個(gè)數(shù)對(duì)不是“有趣數(shù)對(duì)”，因此“有趣數(shù)對(duì)”不超過(guò)個(gè)，如取，，，，，除，，，，其余數(shù)對(duì)都是“有趣數(shù)對(duì)”，所以這項(xiàng)數(shù)列中有個(gè)“有趣數(shù)對(duì)”，所以固定整數(shù)，一個(gè)項(xiàng)整數(shù)數(shù)列中“有趣數(shù)對(duì)”個(gè)數(shù)的最大可能值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)