專題強(qiáng)化三：圓的解答題必刷試題(30道)

1.(2025?全國(guó)?九年級(jí))如圖，布與00相切于點(diǎn)A,點(diǎn)8在。。上，且%=PB.

(1)求證：與。。相切；

(2)點(diǎn)。在劣弧A8上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作。O的切線分別交力,PB于點(diǎn)M,N.若%=6,則△產(chǎn)MN的周長(zhǎng)為.

2.(2025?河南?油田十中九年級(jí)期末)如圖，aABC的邊/W為直徑的。交BC于D,BD=DC,作OE_LAC垂足

為E,連接OE,

(1)求證：OE是。的切線.

(2)若NA=60。，CE=2.求線段OE的長(zhǎng).

3.(2025?甘肅?民勤縣第六中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，。0與△人8c的邊8C相切于點(diǎn)。，與人8、AC的延長(zhǎng)線分別相

切于點(diǎn)E、F,連接OB,OC.

(1)若NA8O80。，ZACB=400,求N8。。的度數(shù).

(2)/8。。與NA有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

4.(2025?寧夏?中考真題)如圖，以線段48為直徑作交射線AC于點(diǎn)C,A0平分NC48交：O于點(diǎn)￡>,過(guò)點(diǎn)

。作直線DE_LAC于點(diǎn)E,交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.連接8。并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M.

M

E

D

(I)求證：直線。K是。的切線;

(2)求證：AB=AM;

(3)若朋E=l,N/=30。，求3尸的長(zhǎng).

5.(2025?黑龍江綏化?九年級(jí)期末)已知：如圖，AB為。的直徑，AB=ACfO交BC于D,OE_LAC于E.

(1)請(qǐng)判斷OE與。的位置關(guān)系，并證明.

(2)連接A。，若。的半徑為25AD=3,求OE的長(zhǎng).

6.(2025?福建南平?九年級(jí)期末)如圖，四邊形4BCO為菱形，以4。為直徑作。。交AB于點(diǎn)F,連接。B交。O

于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交BC于點(diǎn)￡

(1)求證：AF=CE.

(2)若8F=2,DH=y/5,求。。的半徑.

7.(2025.陜西?紫陽(yáng)縣師訓(xùn)教研中心九年級(jí)期末)如圖，在。。中，A8是。。的直徑，點(diǎn)P在8A的延長(zhǎng)線上，PD

切。。于點(diǎn)C.BD1PD,垂足為。，連接8c.

D

PO

(1)求證：BC平分NPBD；

⑵若外=4cm,尸。=4&cm，求。0的半徑.

8.(2025?江蘇南通?中考真題)如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于O,BD為。的直徑，AC平分NBAD,CD=2無(wú)，點(diǎn)

E在8c的延長(zhǎng)線上，連接。石.

(1)求直徑8。的長(zhǎng)；

(2)若BE=5立,計(jì)算圖中陰影部分的面積.

9.(2025?內(nèi)蒙古赤峰?九年級(jí)期末)4B為。的直徑，。是O上的一點(diǎn)，。在A8的延長(zhǎng)線上，且N￡>C8=NA,

(l)C。與。相切嗎？如果相切，請(qǐng)你加以證明；如果不相切，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若ND=3O。，12cm.求O的半徑.

10.(2025?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?九年級(jí)期末)如圖，在ABCD'V,ZD=60°,對(duì)角線ACJ_3C,。0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,

與AC交于點(diǎn)M,連接人。并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)F,與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,AB=EB.

(I)求證：EC是。。的切線；

⑵若AD=26,求扇形O/1M的面積(結(jié)果保留不).

II.(2025?江蘇?九年級(jí)期中)如圖，點(diǎn)A、P、B、。是上的四個(gè)點(diǎn)，且NAPC=NCP4=60。.

(1)求證：DC=ACi

(2)若0c=08.O的半徑為1,求DC的長(zhǎng).

15.(2025?浙科臺(tái)州?九年級(jí)期末)如圖，I為00上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑的延長(zhǎng)線上，K/CD4=/C?Z).

(2)若八C=8,8=12,求半徑的長(zhǎng)度.

16.(2025?山東東營(yíng)?中考真題)如圖，48為0。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，BD上CE于點(diǎn)、D,8C平分NA8O.

(2)若NA3C=30。，O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

17.(2D25?浙江麗水?一模)如圖，48是:」。的直徑，C,。是，。上兩點(diǎn)，C是53的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作4。的垂線,

分別交A8與A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E和點(diǎn)凡

(1)求證：EF是。的切線；

(2)若AE=9,CE=3jL求AC的長(zhǎng).

18.(2025.山東煙臺(tái).一模)圖，在平行四邊形49CD中，4C是對(duì)角線，ZC4B-900,以點(diǎn)4為圓心，以/小的長(zhǎng)

為半徑作A,交BC邊于點(diǎn)、E,交AC于點(diǎn)八連接。E.

(1)試判斷直線DE與A的位置關(guān)系,并證明你的判斷.

(2)若NA3C=60。，AB=4,求陰影部分的面積.

19.(2025?浙江臺(tái)州?二模)如圖，已知4c是O的直徑，PB是。的切線.連接PO,過(guò)點(diǎn)C作。P的平行線交：O

于點(diǎn)4，連接PA.

(1)求證：以是。的切線;

(2)若AC=2,Z4CO=60°,求陰影部分的面積.

20.(2025.江蘇?濱?？h教師發(fā)展中心二模)如圖，直線A4經(jīng)過(guò)O上的點(diǎn)C,直線與。交于點(diǎn)尸和點(diǎn)D,OA

OA=OB,CA=CB.

(1)求證：A3是1O的切線;

(2)若FC//OA,8=12,求圖中陰影部分面積.

21.(2025?河北廊坊?一模)如圖，四邊形A8CO內(nèi)接于半C?O,AC是半。。的直徑，4、。是半圓弧的三等分點(diǎn)連

接8。，過(guò)。作OE_L批交朋的延長(zhǎng)線于E.

(2)已知OE=百，求圖中陰影部分的面積.

22.(2025?湖北武漢?二模)如圖，布與。。相切于點(diǎn)A,AB是直徑，點(diǎn)。在。。上，連接CB,CP,2ZB+ZP=

(1)求證：PC是。。的切線;

(2)過(guò)。作OQ〃PC,交AP于點(diǎn)。，若A4=8,ZAOD=3()°.求由線段以，PC及弧AC所圍成陰影部分的面積.

23.(2025?廣東東莞?九年級(jí)期末)如圖1,四邊形A3。內(nèi)接于：O,AD為直徑，過(guò)點(diǎn)C作CE_LA4于點(diǎn)E,連接

AC.

圖2

(1)求證：NCAD=NECB：

⑵若CE是的切線，ZC4Z9=30°,連接OC,如圖2.

①請(qǐng)判析四邊形A8CO的形狀，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)AB=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出AQ,4C與C。圍成陰影部分的面積為

24.(2Q25?河北石家莊?二模)如圖，《:。的半徑為3,48與(。相切于點(diǎn)B,AO交：。于點(diǎn)C,AO的延長(zhǎng)線交二O

于點(diǎn)。，￡是BCD上不與。重合的點(diǎn)，ZA=3O°.

⑴求/BE。的度數(shù)；

(2)求圖中陰影部分的面積.

(3)在AB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)凡使3￡=A8,作直線尸。，判斷直線尸D與：。有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

25.（2025.河北承德.九年級(jí)期末）如圖1,點(diǎn)8,。是以AQ為直徑的半圓。。上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線A8的垂線,

交射線A3于點(diǎn)連接4C,AC,CD.

(1)求證：NCAD=/ECB；

（2）如圖2,若是。O的切線，點(diǎn)C是半圓。。的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接。C.

①請(qǐng)判斷四邊形46co的形狀，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)AB=2時(shí)，求弦八B與A8、弦8C與8c所圍成的陰影部分的面積.

26.（2。25?四川綿陽(yáng)?中考真題）如圖，A8為。。的直徑，。為圓上的一點(diǎn)，。為劣弧8C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。。的

切線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)匕AO與BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：BC〃PF：

（2）若。。的半徑為右，DE=\,求AE的長(zhǎng)度;

⑶在（2）的條件下，求的面積.

27.（2025?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)期末）A8C內(nèi)接于O,連接。8,^ACB=2ZOBC.

（2）如圖2,點(diǎn)。在（O外，BD1OB,CD//OB,求證：N84C+NBC0=9O。：

3

⑶如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)E在圓周上（若與點(diǎn)C位于八8的兩側(cè)），連接若NABE=2N8AC,BC=^EC,

J

CD=求，。的半徑長(zhǎng).

28.(2025?新疆?烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中)如圖，在ABCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以AB為直徑的。與

CE相切于點(diǎn)。，AD〃OC,點(diǎn)尸為。。與8的交點(diǎn).

(1)求證：CB是。的切線;

⑵連接。區(qū)與OC交于點(diǎn)G,FG=2,BD=46,求陰影部分面積.

29.(2025?山東臨沂?二模)如圖，在00中，AC為。。的直徑，A8為。。的弦，點(diǎn)E是4c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作A8

的垂線，交A8于點(diǎn)M,交。。于點(diǎn)M分別連接反，CN.

(1)￡M與的數(shù)量關(guān)系是

(2)求證：EB=CN；

(3)若AW=2>/5,MB=2,求陰影部分圖形的面積.

30.(2023?河北?九年級(jí)專題練習(xí))己知,在半圓。中，直徑A8=6,點(diǎn)C,。在半圓AA上運(yùn)動(dòng)，(點(diǎn)C,?？梢?/p>

與A,3兩點(diǎn)重合)，弦8=3.

圖I圖2圖3

(I)如圖1,當(dāng)NA48=NCA4時(shí)，直接寫出圖中標(biāo)注頂點(diǎn)的所有全等三角形;

(2)如圖2,若NDA8=15。時(shí)，求圖中陰影部分(弦AD、直徑A8、弧8。圍成的(圖形)的面枳;

(3)如圖3,取C。的中點(diǎn)點(diǎn)C從點(diǎn)A開始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)結(jié)束，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:

①點(diǎn)M到AB的距離的最小值是；

②直接寫出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

參考答案:

1.

(1)

證明：連接(明,

???弘與。。相切于點(diǎn)A,

Z^40=90°,

在△AP。和△BPO中，

PA=PB

?P0=P0,

0A=0B

:?△八PO也△”€>(SSS),

Z^4O=ZP/?O=90°,

；.OB工PB,

???尸3與。。相切；

(2)

解：???弘，尸B是。。的切線，過(guò)點(diǎn)Q作。。的切線，PA=6,

???MAnMQ,NQ=NB,PA=PB=6,

△PMN的周長(zhǎng)=PM+MQ+NQ+PN=/^+P8=12：

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

2.(1)見(jiàn)詳解

⑵?！?2近

【分析】(1)連接。。，由三角形中位線可知OO〃AC,然后問(wèn)題可求證；

(2)連接A。，則可得aABC是等邊三角形，然后可得。C=4,則可知A8=8,。。=4,進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求

解.

(1)

證明：連接O。，如圖所示:

E

------"D

??,/W是：O的直徑，

OA-OB=OD,

BD=DC,

，。。是△ABC的中位線,

J.OD//AC,

?/DEIAC,

/.NODE=/DEC=8。,

：，OD1DE,

???。。是O的半徑，

???OE是。的切線；

(2)

解：連接A。，如圖所示:

「AB是.。的直徑，

\ZADB=90°,

:RD=DC,

??AB=AC,

：ZftAC=60°,

??△A6c是等邊三角形，

,?AB=3C,NC=NBAC=60。,

.*ZDEC=90°,

??ZEDC=30°,

CD=2CE=4,

,AB=BC=S,DE=>1CD2-CE2=2，

A00=4,

在RtaODE中，由勾股定理得：OE=y]DE2+OD2=2yfl-

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定、勾股定理.、等邊三角形的性質(zhì)與判定及圓周角定理，熟練掌握切線的判定、勾

股定理、等邊三角形的性質(zhì)與判定及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

3.(1)60°

(2)Z/?OC-90°-^ZA,見(jiàn)解析

【分析】(1)方法一：先根據(jù)平角的定義求出NEBC和NOC尸的度數(shù)，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到

NEBO=NDBO=NEBC=5()。,ZDCO=ZFCO=jZDCF=7()0,據(jù)此理由三角形內(nèi)角和定理求解即可；方法二：

如圖，連接。。，OE,OF,則由切線狗性質(zhì)可知，證明心△。。8名由△OEB(HL),/?/△ODC^RtLOFC(HL),得

到NE08=NO08,/COD/COF,先求出/A的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出NE。辰120。，則

ZBOC=ZBOD+ZCOD=；ZE0F=6(J°.

(2)同(1)方法二求解即可.

(1)

解：方法一：由題意得/EBC=I8O°-NABC=18O0-8O°=1OO。，ZDCF=180°-ZACB=180°-40°=140°,

由切線長(zhǎng)定理可知，/EBO=/DBO二;/EBC=50°,ZDCO=ZFCO=^ZDCF=10°,

???在△OBC中，NBOC=180°-ZOBC-ZBCO=180o-70°-50o=60°；

方法二：如圖，連接。。，OE,OF,則由切線的性質(zhì)可知，

ZBEO=ZBDO=ZCDO=Z"0=90。，

又,：OD=OE=OF,OB=OB,OC=OC,

/./?/△ODB^RIAOEB(HL),/?/△0DgR3OFC(HL),

:?/EQB=NDOB,/COD=/COF,

在△4月。中，ZA=180°-Z.ABC-ZACB=60°,

在四邊形AEO/中，ZA+ZEOF=180\

???/EOF=120°,

/.ZBOC=ZBOD+ZCOD=|NEOF=600.

(2)

解：同(1)方法二可得NEO尸=180。一NA,ZEOB=ZDOB,ZCOD=ZCOF,

：.ZBOC=ZBOD+NCOD=:/EOF=90°--ZA.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與

判定等等，熟知切線的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.

4.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)BF=2

【分析】(1)連接OD,由/。。4=/。4￡)=/。4。證明。。4C,得NOO/=NAEO=90。，即可證明直線OE是

。。的切線；

(2)由線段人8是。。的直徑證明/入。8=90。，再根據(jù)等角的余角相等證明NM=N/WM,則人

(3)由乙4五/=90。，/尸=30。證明NB4M=60。，則AABM是等邊三角形，所以NM=60。，則NE/)M=30。，所以

BO=MO=2ME=2,再證明/8。尸=/尸，得BF=BD=2.

(1)

證明：連接。。，則0。=。4,

：.ZODA=ZOAD,

平分NCAB

：,ZOAD=ZDAC,

：,ZODA=ZDAC,

/.ODAC,

DEIAC,

AZODF=ZAED=90°,

???。。是。。的半徑，且DE_L。。，

???直線OE是。。的切線.

(2)

證明：線段是。的直徑，

：.ZADB=90°,

???NADM=180°-/AOB=90°,

???NM+N。4M=90。，ZABM+ZDAB=90°,

'：ZDAM=ZDAB,

???NM=NA8M,

：,AB=AM.

(3)

解：VZAEF=90°,ZF=30°,

：,ZBAM=60Q,

是等邊三角形，

AZM=60°,

VZD￡Af=90°,ME=l,

AZEDM=30°,

:.MD=2ME=2,

:.BD=MD=2,

,/ZBDF=NEDM=30。，

:?/BDF=NF,

：,BF=BD=2.

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查切線的判定、直徑所對(duì)的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊

三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，正確地作

出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見(jiàn)解析

【分析】(I)連接A。、OD,根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)，證明。。是△A8C的中位線，繼而

可得OE_LOD,即可得證：

(2)由RtZkAQC中根據(jù)勾股定理求出。C,根據(jù)等面積法可以求出。E.

(1)

?！昱c。相切，

證明：連接40、0D,

為。的直徑,

???ZBDA=90°,

.\AD1BC,

又??泡加；4。，

:?BD=DC,

又：OB=OA,

???OO是△ABC的中位線,

：.()D/；AC,

y,'：DEYAC,

：,DE1OD,

:,DE是。的切線.

解：:。。的半徑為2.5,

貝ijAB=AC=5,

在Rt二4￡>C中，AD=3,405,

DC=\/52-32=4?

又：ACDE=ADDC,

.”ADDC3x412

??DE=---------=------=—.

AC55

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾段定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某

點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見(jiàn)解析

［分析］(1)連接DF,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得A￡>=CQ,AO〃3C,N4=NC.再由切線的性質(zhì)，可得圮=90。.可

證得AIM/WAOC及即可求證；

(2)連接A",DF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得8力=2OH=26.在R/A4。尸和冊(cè)尸中，根據(jù)勾股定理，即

可求解.

(1)

證明：如圖，連接。巴

???四邊形A3CO為菱形，

???AD=CQ,AD//BC,ZA=ZC.

TOE是。。的切線，

/.ZADE=90°.

'JAD//BC,

???NCED二/ADE=90°.

:A。是。。的直徑，

ZDM=90°.

NAFD=NCED=90°.

NAFD=Z.CED

在AOAF和AOCE中，ZA=ZC

AD=CD

：.4DAF迫4DCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)

解：如圖，連接AH,DF,

是。。的直徑,

,NAHO=/O胡=90°.

*：AD=AB,DH=0

，BD=2DH=275.

在心△八。尸和陽(yáng)ABD/中，

由勾股定理，得。尸二A》一A/，DF'BD?-BF?,

^AD^-AF^BI^-BF2.

?X》一(AD-BF)2=B?—BF2.

，AD2-(AD-2)2=(2x/5)2-22.

???AO=5.

???。0的半徑為

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定

理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題.

7.(1)見(jiàn)解析

(2)2cm

【分析】(1)連接0C,由切線的性質(zhì)易得到0。//3。，進(jìn)而推出N0CB=ZCBD，結(jié)合08=O。易得/CBD=N0BC,

即可求解;

(2)設(shè)半徑為八進(jìn)而求出OP=4+r,然后根據(jù)勾股定理求解.

(1)

證明：連接0C,

???PO是。O的切線,

???OC1PO.

BDLPD,

???OC//BD,

工/0CB=/CBD.

?：OB=OC,

/./OCB=/OBC,

???2CBD=40BC，

?"C平分N尸BD；

(2)

解：設(shè)半徑為小

則。4=OC=r,

則CP=4+r,

在AAPOC中，由勾股定理得：OC2+PC2=OP2，

Ar2+(4^)2=(4+r)2,

r=2>

即。。的半徑是2cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)

鍵.

8.(1)4

(2)6

【分析】(1)設(shè)0C輔助線，利用直徑、角平分線的性質(zhì)得出ND4C的度數(shù)，利用圓周角與圓心角的關(guān)系得出NC8

的度數(shù)，根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

(2)由(1)已知NCO/)=90。，OC=O力得出NWX?的度數(shù)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)結(jié)合ND4C=N8DC得出S^S?,

再根據(jù)直徑、等腰直角三角形的性質(zhì)得出8c的值，進(jìn)而利用直角三角形面積公式求出S區(qū)〃，由陰影部分面積

=S\+S、=S2+S/uf知sECDgp為所求.

(1)解：如圖所示，連接oc,月上京彳

/8。為GO的直徑，AC平分ZE4D,.?.44。=90。,

ABAC=ADAC=-/BAD=-x90。=45。,OB=OD).:2COD=^.?:CD=2&，OC=OD,:.2OD-=CD1,即

22

2OD2=8.；.OD=2.:BD=OD+OB=2+2=4.

(2)解：如圖所示，設(shè)其中小陰影面積為S，大陰影面積為S、,弦CD與劣弧CD所形成的面積為邑，

/]>由⑴已知NCOD=90。

K^>>E,ZDAC=45°,OC=OD,BD=4.

NBDC=-(1800-ZCOD)='x900=45°.NDAC=NBDC,「，弦BC=弦C力，劣弧BC=劣弧CO...S尸S-QBD為

22

。的直徑，CD=2s/2，；./BCD=/ECD=9(r,BC=CZ)=2夜.BE=5丘,

=

/.CE=BE-BC=5>/2—2及=3拉,TCE-CD=-x2>/2x3\/2=6./.Sp閽加分=S1+S3=S2+S3=S^￡C[t—6.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)的理解與綜合應(yīng)用能力.涉及對(duì)半徑與直徑的關(guān)系，直徑的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)

系，圓周角的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識(shí)點(diǎn).半徑等于直徑的一半；直徑所對(duì)的I員I周角是直角：

在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等二弧相等二弦相等.一

個(gè)直角三角中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來(lái)等于斜邊長(zhǎng)的平方.恰當(dāng)借助輔助線，靈活運(yùn)用圓周角的性質(zhì)建立等

式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

9.(1)C。與。。相切.證明見(jiàn)解析

(2)12cm

【分析】(1)連接C。，由已知可證得NOCO=90。，即可得C。是。。的切線；

(2)由已知可推出N4=NBCD=30。,即8080=12,從而得到43=24,即可得到半徑的長(zhǎng).

(1)解：C。與。0相切.理由如下：如圖，連接C。，\----/TAB為00的直徑，C

是。0上一點(diǎn)，AZACB=90°,即NACO+/OCB=90。；'：ZA=Z0CA,H.ZDCB=ZA,JNOCA=NOCB,

???ZOCD=90°,???C。是。O的切線.

(2)在OCD中,ZD=30°:JZCOD=60°,ZA=30°,ZBCD=Z0=30°,BC=BD=12,AB=24,

r=12(cm).

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)(即為半徑)，

再證垂直即可，同時(shí)考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì).

10.(1)證明見(jiàn)解析

一包

【分析】(1)連接。8,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到N48C=NO=60。，求得NE=N84E=30。，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到NABO=NO48=30。，然后說(shuō)明/。8090。即可證明結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到8C=AO=26,過(guò)。作OHLAM十H,則四邊形OBC"是矩形，然后再說(shuō)明△AOM

是等邊三角形，即NAOM=60。；最后根據(jù)扇形的面積公式求解即可.

(1)

證明：連接08

???四邊形ABC。是平行四邊形

，ZABC=ZD=60°

ZABE=\20c>

'：AB=EB

：.NE=NBAE=30。

'：OA=OB

，NA60=N048=30。

，N08C=300+60°=90°

：?OB1CE

〈OB是半徑

?'?EC是。。的切線.

(2)

解：???四邊形ABC。是平行四邊形

:,BC=AD=26

過(guò)。作O〃_LAM于〃

則四邊形O8C”是矩形

：.OH=BC=26,OH/7EC

，NAOH二NE=30。

：.AH=2,AM=4,OA=4,ZOAH=6()°

???Q4=OM,NOA”二60。

/XAOM是等邊三角形

，NAOW=600

2

.c_607rx4_8/r

??3儂形"

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、扇形面積計(jì)算等知

識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

II.(1)證明見(jiàn)解析

⑵6G

【分析】(I)根據(jù)圓周角定理得到/?AC=/〃AC=60。，利用等邊二角形的判定即可證的結(jié)論：

(2)連接08、OC,過(guò)。作O〃_LBC與從證明N8OC=120。，利用等腰三角形的性質(zhì)和含30。苣角三角形的性質(zhì)

求解即可.

(1)

解：VZAPC=ZC?=60°,

/.ZABC=ZBAC=60°,

Z/4CB=1800-ZABC-NZMC=600,

NABC=NBAGNACB,

???△/WC是正三角形；

(2)

解：連接。3、OC,過(guò)。作。H_L8C與，，

???ZBAC=60°,

???Z80c=2NSAC=120",

?：OB=OC,

??.NOBE=30。，BE=CE,

???在RQOBE中，OE=g0B=3,BE=JOB'OE?=，

:?BC=66

即正△ABC的邊長(zhǎng)為N5.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30。的直角三角形的性質(zhì)，熟練

掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

12.(1)見(jiàn)解析

13

(2)。。半徑為了

【分析】(1)連接OE,利用等腰三角形的性質(zhì)，證明OE//AC即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)O作OGJ_A。，垂足為G,易證四邊形OEFG是矩形，從而得出OG=七尸=3,設(shè)。。的半徑為x,然后利

用垂徑定理表示出4G,最后在利用勾股定理列出關(guān)于x的方程進(jìn)行計(jì)算即可解答.

(1)

證明：連接

*：EF±AC,

/.ZEFD=ZEFC=90°

*：A13=AC,

AZB=ZC,

?：0B=OE,

：?/B=/OEB,

：.ZOEB=ZC,

：.OEHAC,

：?NOEF=NEFC=90。,

YOE是。。的半徑，

尸是。。的切線；

(2)

過(guò)點(diǎn)。作。G1A。，垂足為G,

，NOG/=90。

ZOEF=ZEFG=90°

???四邊形OEFG是矩形,

：.OG=EF=3,

設(shè)。。的半徑為X,

,\AB=AC=2x,

VCD=4,

：,AD=AC-CD=2x-4,

OGIAD,

：.AG=-AD=x-2t

2

在R/ZkOAG中，AG2+OG2=OA2

(x-2)2+9=r2

13

x=-

4

。。的半徑為?13.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖

形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見(jiàn)解析

(2)AD=\2yf3

(3)5-96-3兀

用影一2

【分析】(1)連接OC,AC=CD,乙4€7>120。得乙4=/。=30。，根據(jù)圓周角定理求得/。0。=2/4=60。，則NOCD=90。,

可證得CD是。。的切線；

(2)設(shè)。。的半徑為八則。C=O4=r,由NOCO=90。，/。=30。得OD=2OC=2八在心△DOC中根據(jù)勾股定理列方

程求出r的值,即可求出AZ)的長(zhǎng);

(3)在MAOOC中根據(jù)勾股定理列方程求出CO的長(zhǎng)，而/COB=Sr,由S期行Sz\COD-S扃形CO4求出圖中陰影部

分的面積即可.

(I)

證明：連接。C.

VAC=CD,ZAC/>120°,

???NA=ND=300.

'：OA=OC,

???ZACO=ZA=30°.

/.ZOCD=ZACD-ZACO=9Q°.BPOCLCD,

是0O的切線.

⑵

解：如圖，設(shè)。0的半徑為小則

TN08=90°,ZD=30",

：.OD=2OC=2r,

,/OC2+CD2=OD2,且CD=AC=12,

Ar2+122=(2r)2,解得或「=-46(不符合題意，舍去),

；?0/)=2x475=86，04=46

八￡>=0￡>十。八=86十4石=126.

(3)

如圖，?.,。0的半徑為3,

，。。=3,

VZOCD=90°,/止30。，

；?OD=2OC=6,

,CD=ylOD2-OC2=V62-32=3A/3.

丁ZCOB=60°,

9百-3萬(wàn)

=—x3Gx3---x乃x32

2360~T~

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、圓周甭定理.、含30。角的直角三角形、勾股定理、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)，正確地

作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

14.(1)證明見(jiàn)解析

⑵行

【分析】(1)連接O。，利用切線的性質(zhì)可以得到NOOC=90。，則N8DO+NAQC=9()。，然后利用等腰三角形的

性質(zhì)以及等角的余角相等證明ZA=ZADC,即可解答；

(2)利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出NOCB=ND8C=NBQO=30。，然后在RdODC中進(jìn)行計(jì)

算即可.

(1)

證明：如圖，連接0。,

;。。是。的切線,

ACD-OD,

?二ZODC=90°,

JZBDO+ZADC=90°,

???NACA=90。，

J4+4=90°,

?：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

，Z4=ZA￡>C,

：,CD=AC；

(2)

DC=DB,

/.ADCB=ZDBC,

，/DCB=ZDBC=/BDO,

4DCB+ZDBC+/BDO+ZODC=180°,

???/DCB=ZDBC=/BDO=30°,

：.OC=2OD=2,

,,DC=x/22—I2=G?

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練

掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(1)答案見(jiàn)解析

(2)5

【分析】(1)連接O。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得ND48+NQBA=90。，再由NCD4=NCB?？傻?/p>

NCZM+/D4O=90。，然后利用0。=。4證出NZM8=/AOO,從而得NCOO=90。，根據(jù)切線的判定即可得出；

(2)在RtACQO中利用勾股定理列出關(guān)于r的方程即可解答.

(1)

證明：連接

TA4是0O的直徑,

/.ZADB=90°,

/.ZD/tB+ZDBA=90°,

VZCDA=ZCBD,

AZDZB+ZCDA=90°,

'：OD=OA,

：,ZDAB=ZADO,

：,ZCDA+ZADO=90°,

：,ZCDO=90°,

???。。是。。的半徑，

，C。是OO的切線；

(2)

解：在RlZXCDO中，CD2+OD2=OC2,

：.122+r2=(8+r)2,

???/?=5,

???半徑的長(zhǎng)度為5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.(1)見(jiàn)解析

(2)\/3--7T

【分析】(1)連接。。，根據(jù)08=0C以及8c平分NA8。推導(dǎo)出/OC8=NOC8,即可得出8O〃OC,從而推出

OCJ.DE,即證明得出結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)。作O/_L6于立利用與影=$陰形詠-她即可得出答案.

(1)

證明：連接0C,如圖，

???ZOBC=ZOCB,

*/8C平分Z48。，

???40BC=4DCB,

：.4OCB=/DCB,

：,BD//OC,

?：BD工CE于點(diǎn)、D,

/.OC工DE,

???直線CE是。的切線；

（2）

過(guò)點(diǎn)。作O尸_LCB于尸，如圖,

VZABC=30°,08=2,

/.OF=\,Br=OBcos30°二百，

/.BC=2BF=2g,

5AOBC=^HCOF=ix2>/3xl=>/3,

VZB0F=90°-30°=60°,

/.ZBOC=2ZBOF=120°,

.c_120°。2_4

??S扇形（W一正市x/rx2,

**,S陰影=S扇形08c-S&OBC=J5-§乃.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，包拈垂在定理，圓的切線，扇形的面枳公式等，熟練掌握以上性質(zhì)并正確作出

輔助線是本題的關(guān)鍵.

17.（I）見(jiàn)解析

⑵//=2乃

【分析】（1）連接OC,根據(jù)題意證明N8OC=N3AO,得出OC〃4E,根據(jù)EF_LAF,得出OC_LM,即可證明

結(jié)論；

（2）設(shè)。。=1，貝IJOE=AE-OA=9-r,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于「的方程，解方程，得出圓的半徑，求出

OC1

cosZEOC=—=-,得出NEOC=60。，根據(jù)圓周角定理得出NAOC=120。，即可求出AC的長(zhǎng)度.

OE2

(1)

解：連接OC,

A

TC是弧80的中點(diǎn)，

/.BC=-BD

2t

VABAD=；BD,/BOC=BC

，ZB0C=ZBAD,

???0C//AF,

VEF1AF,

：?0C_EF,

石尸是圓。的切線.

(2)

設(shè)OC=r,則。石二花-。4=9-「，

，：0C_EF,EC=30

Ar2+(3x/3)2=(9-r)2,解得r=3,

nr1

VcosZEOC=—=-,

OE2

工ZEOC=60°,

/.ZA0C=120°,

120x/rx3

??/,八二---------=27r.

“180

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線判定，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)題意證

明N80C=N8AO,求出圓的半徑兒是解題的關(guān)鍵.

18.(1)相切，理由見(jiàn)解析

(2)475-y

【分析】(1)證明：連接AE,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AA8C,AD//BC,求得NOA后NAE8,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到NDE4=NC4B,得到于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)已知條件得到△48E是等邊三角形，求得NEAB=60。，得至Ij/CA斤NACB,得至U根據(jù)

三角形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

(1)

QE與G)A相切

證明：連接

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：,AD=BC,AD//BC,

AZDAE=ZAEB,

'：AE=AB,

/.NAEB-NARC,

：.ZDAE=ZABC,

(SAS),

：.ZDEA=ZCAB,

???/08=90。，

???NO￡A=90。，

DE±AE,

???AE是。人的半徑，

JOE與。A相切；

(2)

???NABC=60。，AB=AE=4,

???△A6￡是等邊三角形，

:.AE=BE,ZEAB=60°,

VZC/4B=9O°,

???ZCAE=9()0-NEA4=90°-60°=30°,

ZACB=90Q-NB=90°-60°=30%

：.^CAE=ZACB,

：.AE=CE,

:.CE=BE,

/.S^ABC=：48?AC=gx4x46=86,

工S^ACE=1S4ABe=1X8V3=473,

VZC/1E=30°,AE=4,

2

30兀xA爐rtx4-4JTI

,*Sm彤AEF=)731

36060

3”

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

扇形的面積的計(jì)算，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

19.(1)證明見(jiàn)解析

⑵石式

(2)V7

［分析】(1)連接04,AB,AB交OP于點(diǎn)。,易得NC4Z?=90。，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得ZCAO=ZAOP，結(jié)合。4=,

利用等提三角形的三線合一易得OP是4408的平分線，得到NAOO=N88,利用判定三角形全等的“SA夕得到

JOP與、BOP全等,進(jìn)而得到/。"=90。，再利用切線的判定求解；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得NCW=60。，利用平行線的性質(zhì)求得NAOP=60。，結(jié)合NC48=90。得到

4Po=30°,求出。。和AP的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積減去扇形的面積求出陰影部分的面積即可.

(I)

證明：連接04,AB,AB交OP于點(diǎn)、D,如下圖.

?:BC是，。的直徑，

/.ZCAB=90°.

???OP\\CAf

，ZCAO=ZAOP,

JZC4O+ZOAB=ZOAB+ZAOP=SK)°,

/.ZAZ)O=90o.

\*OA=OB,

???0。垂直平分人8,

???OP是NAO4的平分線，

/.ZA0D=ZB0D.

在一AQP和..8OP中

OA=OB

-NAOP=NBOP,

OP=OP

：._AOP^_BOP(SAS),

NOAP=/OBP.

<PB是l。的切線,

JZOBP=90°,

NQ4尸=90。.

???點(diǎn)A是。上的一點(diǎn)，且為半徑，

???％是。的切線；

(2)

解：VZACO=60°,OA=OC,

工ZC4O=60°.

?IBC=2,

：,OA=OC=OB=\.

?JOPICA,

JZC4O=ZAOP=60°.

,?ZC4^=90°,

，ZATO=30°,

：,OP=2,

?**AP=yloP2-OA1=>/22-l2=V3，

?CnAAD60萬(wàn)?『_1口冗幾

??Srjiu；=-OA?AP------=-x1x-\/j=------.

陰極23602626

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含好的直角三角形

的性偵，勾股定理，扇形的面枳公式.作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解答關(guān)鍵.

20.(1)證明見(jiàn)解析

(2)8乃-56

【分析】(1)如圖，連接OC,根據(jù)等腰三角形“三線合一''的性質(zhì)可得OC_L48,根據(jù)OC是半徑即可證明A8是：O

的切線；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NAOC=/OCR根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NOCF=NOFC,ZAOC=ZCOF,可得

△COb是等邊三角形，/CO"MOC=NOOE=6()。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OE_LCD,根據(jù)垂注定理可得

DG=^CD=6t根據(jù)含30。角的直角三.角形的性質(zhì)可得OG$O。，利用勾股定理列方程可求出0。的長(zhǎng)，利用扇形

及三角形面積公式即可得答案.

(1)

如圖，連接。C,

'：OA=OB,CA=CB,

：.OC1AB,NAOG/C。尸，

???直線A3經(jīng)過(guò)。上的點(diǎn)C,OC是O半徑,

(2)

VCF//OA,

???NAOC=NOCF,

?：OC=OF,

JNOCF=NOFC,

,/ZAOC=ZCOF,

：.NCOF=ZOFC=/OCF,

???△C。/是等邊三角形，

???ZCOF=AOC=ZDOE=GO0,

\*OD=OCt

：,OE1CD,DG=^CD=6,NODG=30。,

：.OG=』OD,

在RtaOOG中，OD2=DG2+OG~,即OD?=6?+goQ)2,

解得：0。=46(負(fù)值舍去)，OG=2+,

??S樹:S^/^ODE-SAODG=60，(4\/^)--L%6x2\/3=8乃-6-73?

3602

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定、垂徑定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及扇形的面積公式，

過(guò)直徑的外端點(diǎn)且垂直于直徑的直線是圓的切線；垂直于弦的直徑平分弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條??；30。角所

對(duì)的直角邊等于斜邊的一半：勝利在望相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

21.(1)答案見(jiàn)解析

⑵聲

【分析】（1）連接。4、0D,通過(guò)A、。是半圓弧的三等分點(diǎn)，可求出NA8O=30°,由04=。?？傻肗a）B=30。,

從而證明A8//O。，因?yàn)椤Ｊ痏L"A,所以O(shè)E_LOD證出結(jié)論；

（2）把陰影部分面積轉(zhuǎn)化成扇形的面積求解即可.

（1）

證明：連接04、0D,

4、D是半圓弧的三等分點(diǎn)，

/.ZABD=ZADB=ZCBD=30°,

???03=00,

NOBD=NODB=3U°,

ZABD=NODB,

：.ABHOD,

-DEIBA，

.\DElODt

.?.OE是半。的切線；

(2)

解：A、。是半圓弧的三等分點(diǎn),

"400=60。，

OA=OD,

??.MOD是等邊三角形，

ZADO=60°,

ZADE=30°,

DE=G,

.?.A￡>=2,

AO=2,

?/ADUBC,

_60^-X22_2

..3網(wǎng)影一玉形A如--§乃.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定以及扇形的面積計(jì)算，掌握切線的判定方法以及扇形的計(jì)算公式是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

22.（1）見(jiàn)解析

⑵由線段PA,PC及弧AC所圍成陰影部分的面積為16省-華不

【分析】（1）連接OC,證明N8=N0C8,得到NAOC=2N8,根據(jù)2N8+N尸=180。，得到NAOC+NP=180。，

得至|JNOA〃+NOC『=360°—（NAOC+NA）=180。，根據(jù)如是。。的切線，得到NO4尸=90。，推出ZO