第20章函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)教案一、教學(xué)目標(biāo)1.讓學(xué)生系統(tǒng)掌握函數(shù)的相關(guān)概念，包括函數(shù)的定義、表示方法、自變量的取值范圍等。2.使學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)（正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題。3.培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)知識分析和解決實際問題的能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用意識。4.通過小結(jié)與復(fù)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會歸納總結(jié)知識，構(gòu)建知識體系，提高學(xué)習(xí)效率。二、教學(xué)重難點（一）教學(xué)重點1.函數(shù)的概念和三種表示方法。2.一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。3.運用函數(shù)知識解決實際問題。（二）教學(xué)難點1.對函數(shù)概念的深入理解。2.綜合運用各種函數(shù)的性質(zhì)解決復(fù)雜問題。3.從實際問題中抽象出函數(shù)模型。三、教學(xué)方法講授法、練習(xí)法、討論法相結(jié)合。四、教學(xué)過程（一）知識梳理1.函數(shù)的概念一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量(x)與(y)，并且對于(x)的每一個確定的值，(y)都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說(x)是自變量，(y)是(x)的函數(shù)。自變量的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體。函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法。2.一次函數(shù)（正比例函數(shù)）定義：形如(y=kx+b)（(k)，(b)是常數(shù)，(k≠0)）的函數(shù)叫做一次函數(shù)；當(dāng)(b=0)時，(y=kx)（(k)是常數(shù)，(k≠0)）叫做正比例函數(shù)。圖象：一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象是一條直線；正比例函數(shù)(y=kx)的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。性質(zhì)：當(dāng)(k＞0)時，(y)隨(x)的增大而增大；當(dāng)(k＜0)時，(y)隨(x)的增大而減小。3.反比例函數(shù)定義：形如(y=frac{k}{x})（(k)是常數(shù)，(k≠0)）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線。性質(zhì)：當(dāng)(k＞0)時，圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)，(y)隨(x)的增大而減??；當(dāng)(k＜0)時，圖象在二、四象限，在每個象限內(nèi)，(y)隨(x)的增大而增大。4.二次函數(shù)定義：形如(y=ax2+bx+c)（(a)，(b)，(c)是常數(shù)，(a≠0)）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。圖象：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。性質(zhì)：當(dāng)(a＞0)時，拋物線開口向上，有最小值；當(dāng)(a＜0)時，拋物線開口向下，有最大值。對稱軸為(x=frac{2a})。（二）典型例題講解例1：下列關(guān)系式中，哪些(y)是(x)的函數(shù)，哪些不是？(1)(y=2x1)(2)(y=x2)(3)(x=y2)(4)(y=sqrt{x1})分析：根據(jù)函數(shù)的定義，對于(x)的每一個確定的值，(y)都有唯一確定的值與其對應(yīng)。(1)對于任意一個(x)的值，都有唯一的(y=2x1)與之對應(yīng)，所以(y)是(x)的函數(shù)。(2)對于任意一個(x)的值，都有唯一的(y=x2)與之對應(yīng)，所以(y)是(x)的函數(shù)。(3)當(dāng)(x=4)時，(y=±2)，即一個(x)值對應(yīng)兩個(y)值，所以(y)不是(x)的函數(shù)。(4)要使(y=sqrt{x1})有意義，則(x1≥0)，即(x≥1)，在(x)的取值范圍內(nèi)，對于每一個(x)的值，都有唯一的(y)值與之對應(yīng)，所以(y)是(x)的函數(shù)。例2：已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((1,5))，且與正比例函數(shù)(y=frac{1}{2}x)的圖象相交于點((2,a))。(1)求(a)的值。(2)求一次函數(shù)的表達式。分析：(1)把(x=2)代入(y=frac{1}{2}x)，得(y=frac{1}{2}×2=1)，所以(a=1)。(2)因為一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((1,5))和((2,1))，把這兩點代入(y=kx+b)得(begin{cases}k+b=52k+b=1end{cases})，用第二個方程減去第一個方程得(3k=6)，解得(k=2)，把(k=2)代入(k+b=5)得(2+b=5)，解得(b=3)，所以一次函數(shù)的表達式為(y=2x3)。例3：已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象經(jīng)過點((2,3))。(1)求這個反比例函數(shù)的表達式。(2)當(dāng)(x=1)時，求(y)的值。分析：(1)把((2,3))代入(y=frac{k}{x})得(3=frac{k}{2})，解得(k=6)，所以反比例函數(shù)的表達式為(y=frac{6}{x})。(2)當(dāng)(x=1)時，(y=frac{6}{1}=6)。例4：已知二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)的圖象經(jīng)過點((0,3))，((1,0))，((2,3))。(1)求這個二次函數(shù)的表達式。(2)求該二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)。分析：(1)把((0,3))，((1,0))，((2,3))分別代入(y=ax2+bx+c)得(begin{cases}c=3ab+c=04a+2b+c=3end{cases})，把(c=3)代入后兩個方程得(begin{cases}ab=34a+2b=0end{cases})，將第一個方程乘以(2)再加上第二個方程得(6a=6)，解得(a=1)，把(a=1)代入(ab=3)得(1b=3)，解得(b=2)，所以二次函數(shù)的表達式為(y=x2+2x+3)。(2)對于二次函數(shù)(y=x2+2x+3)，其中(a=1)，(b=2)，(c=3)，對稱軸為(x=frac{2a}=frac{2}{2×(1)}=1)，把(x=1)代入(y=x2+2x+3)得(y=1+2+3=4)，所以頂點坐標(biāo)為((1,4))。（三）課堂練習(xí)1.下列函數(shù)中，自變量(x)的取值范圍是(x≥2)的是（）A.(y=frac{1}{x2})B.(y=frac{1}{sqrt{x2}})C.(y=sqrt{x2})D.(y=x2)答案：C。分析：A選項中(x2≠0)，即(x≠2)；B選項中(x2＞0)，即(x＞2)；C選項中(x2≥0)，即(x≥2)；D選項中(x)取任意實數(shù)。2.已知一次函數(shù)(y=(m1)x+m21)是正比例函數(shù)，則(m)的值是（）A.(1)B.(±1)C.(1)D.任意實數(shù)答案：C。分析：因為是正比例函數(shù)，所以(m21=0)且(m1≠0)，由(m21=0)得(m=±1)，又因為(m1≠0)，所以(m≠1)，則(m=1)。3.反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象經(jīng)過點((2,3))，則(k)的值為（）A.(6)B.(6)C.(frac{3}{2})D.(frac{3}{2})答案：B。分析：把((2,3))代入(y=frac{k}{x})得(3=frac{k}{2})，解得(k=6)。4.二次函數(shù)(y=x22x3)的圖象的頂點坐標(biāo)是（）A.((1,4))B.((1,4))C.((1,4))D.((1,4))答案：A。分析：對于(y=x22x3)，將其化為頂點式(y=(x1)24)，所以頂點坐標(biāo)為((1,4))。5.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((0,1))和((1,2))，則(k)，(b)的值分別為（）A.(k=3)，(b=1)B.(k=3)，(b=1)C.(k=2)，(b=1)D.(k=2)，(b=1)答案：A。分析：把((0,1))和((1,2))代入(y=kx+b)得(begin{cases}b=1k+b=2end{cases})，把(b=1)代入(k+b=2)得(k=3)。6.若反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象在第二、四象限，則(k)的取值范圍是（）A.(k＞0)B.(k＜0)C.(k≥0)D.(k≤0)答案：B。分析：因為反比例函數(shù)圖象在二、四象限，所以(k＜0)。7.二次函數(shù)(y=2x2+4x5)的最大值是（）A.(3)B.(5)C.(7)D.(5)答案：A。分析：對于(y=2x2+4x5)，(a=2＜0)，有最大值，先將其化為頂點式(y=2(x1)23)，所以最大值為(3)。8.已知一次函數(shù)(y=2x+m)的圖象與(x)軸交于點(A(2,0))，則(m)的值為（）A.(4)B.(4)C.(2)D.(2)答案：B。分析：把(A(2,0))代入(y=2x+m)得(0=2×(2)+m)，解得(m=4)。9.反比例函數(shù)(y=frac{6}{x})的圖象上有兩點(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，若(x_1＞x_2＞0)，則(y_1)與(y_2)的大小關(guān)系是（）A.(y_1＞y_2)B.(y_1＜y_2)C.(y_1=y_2)D.無法確定答案：B。分析：因為(k=6＞0)，在每個象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而減小，(x_1＞x_2＞0)，所以(y_1＜y_2)。10.已知二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)的圖象開口向下，對稱軸為(x=1)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)(x＞1)時，(y)隨(x)的增大而增大B.當(dāng)(x＞1)時，(y)隨(x)的增大而減小C.當(dāng)(x＜1)時，(y)隨(x)的增大而減小D.當(dāng)(x＜1)時，(y)隨(x)的增大而增大答案：B。分析：因為圖象開口向下，對稱軸為(x=1)，所以當(dāng)(x＞1)時，(y)隨(x)的增大而減??；當(dāng)(x＜1)時，(y)隨(x)的增大而增大。11.函數(shù)(y=frac{1}{x+3})中自變量(x)的取值范圍是______。答案：(x≠3)。分析：分母不能為(0)，即(x+3≠0)，解得(x≠3)。12.若正比例函數(shù)(y=kx)的圖象經(jīng)過點((1,2))，則(k)的值為______。答案：(2)。分析：把((1,2))代入(y=kx)得(2=k×1)，所以(k=2)。13.反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象經(jīng)過點((3,4))，則(k)的值為______。答案：(12)。分析：把((3,4))代入(y=frac{k}{x})得(4=frac{k}{3})，解得(k=12)。14.二次函數(shù)(y=2x24x+1)的對稱軸是______。答案：(x=1)。分析：對于(y=2x24x+1)，(a=2)，(b=4)，對稱軸(x=frac{2a}=frac{4}{2×2}=1)。15.已知一次函數(shù)(y=(m+2)x+1)，若(y)隨(x)的增大而增大，則(m)的取值范圍是______。答案：(m＞2)。分析：因為(y)隨(x)的增大而增大，所以(m+2＞0)，解得(m＞2)。16.若反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象經(jīng)過點((1,2))，則當(dāng)(x＞0)時，(y)隨(x)的增大而______。答案：減小。分析：把((1,2))代入(y=frac{k}{x})得(2=frac{k}{1})，解得(k=2＞0)，所以當(dāng)(x＞0)時，(y)隨(x)的增大而減小。17.二次函數(shù)(y=x2+2x+3)的圖象與(x)軸的交點坐標(biāo)是______。答案：((1,0))，((3,0))。分析：令(y=0)，即(x2+2x+3=0)，因式分解得((x+1)(x3)=0)，解得(x=1)或(x=3)，所以交點坐標(biāo)為((1,0))，((3,0))。18.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((0,3))和((2,1))，則該一次函數(shù)的表達式為______。答案：(y=2x3)。分析：把((0,3))和((2,1))代入(y=kx+b)得(begin{cases}b=32k+b=1end{cases})，把(b=3)代入(2k+b=1)得(2k3=1)，解得(k=2)，所以表達式為(y=2x3)。19.反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象在第一、三象限，則一次函數(shù)(y=kx+1)的圖象經(jīng)過第______象限。答案：一、二、三。分析：因為反比例函數(shù)圖象在一、三象限，所以(k＞0)，對于一次函數(shù)(y=kx+1)，(k＞0)，(b=1＞0)，所以圖象經(jīng)過一、二、三象限。20.已知二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)的圖象經(jīng)過點((1,0))，((0,3))，且對稱軸為(x=2)，則該二次函數(shù)的表達式為______。答案：(y=x24x+3)。分析：設(shè)二次函數(shù)表達式為(y=a(x2)2+k)，把((1,0))，((0,3))代入得(begin{cases}a+k=04a+k=3end{cases})，兩式相減得(3a=3)，解得(a=1)，把(a=1)代入(a+k=0)得(k=1)，所以(y=(x2)21=x24x+3)。21.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象與直線(y=2x+1)平行，且經(jīng)過點((1,1))，求該一次函數(shù)的表達式。答案：因為兩直線平行，所以(k=2)，把((1,1))代入(y=2x+b)得(1=2×(1)+b)，解得(b=3)，所以一次函數(shù)表達式為(y=2x+3)。22.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})與一次函數(shù)(y=x+1)的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為(2)，求(k)的值。答案：把(x=2)代入(y=x+1)得(y=2+1=3)，所以交點坐標(biāo)為((2,3))，把((2,3))代入(y=frac{k}{x})得(3=frac{k}{2})，解得(k=6)。23.已知二次函數(shù)(y=x2+bx+c)的圖象經(jīng)過點((0,3))和((2,1))，求該二次函數(shù)的表達式。答案：把((0,3))和((2,1))代入(y=x2+bx+c)得(begin{cases}c=34+2b+c=1end{cases})，把(c=3)代入(4+2b+c=1)得(4+2b+3=1)，解得(b=0)，所以二次函數(shù)表達式為(y=x2+3)。24.已知一次函數(shù)(y=kx+b)，當(dāng)(x=1)時，(y=3)；當(dāng)(x=1)時，(y=7)，求(k)，(b)的值。答案：把(begin{cases}x=1,y=3x=1,y=7end{cases})代入(y=kx+b)得(begin{cases}k+b=3k+b=7end{cases})，兩式相加得(2b=10)，解得(b=5)，把(b=5)代入(k+b=3)得(k=2)。25.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象在每個象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而增大，且經(jīng)過點((3,a))，((1,b))，比較(a)，(b)的大小。答案：因為(y)隨(x)的增大而增大，所以(k＜0)，又因為(3＜1)，且在每個象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而增大，所以(a＜b)。26.已知二次函數(shù)(y=x22mx+m2+1)，當(dāng)(x≤3)時，(y)隨(x)的增大而減小，求(m)的取值范圍。答案：對于(y=x22mx+m2+1)，對稱軸為(x=m)，因為(a=1＞0)，開口向上，當(dāng)(x≤3)時(y)隨(x)的增大而減小，所以(m≥3)。27.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((2,0))，且與(y)軸的交點到原點的距離為(3)，求該一次函數(shù)的表達式。答案：當(dāng)與(y)軸交點為((0,3))時，把((2,0))，((0,3))代入(y=kx+b)得(begin{cases}2k+b=0b=3end{cases})，解得(k=frac{3}{2})，(b=3)，表達式為(y=frac{3}{2}x+3)；當(dāng)與(y)軸交點為((0,3))時，把((2,0))，((0,3))代入(y=kx+b)得(begin{cases}2k+b=0b=3end{cases})，解得(k=frac{3}{2})，(b=3)，表達式為(y=frac{3}{2}x3)。28.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})與一次函數(shù)(y=x+5)的圖象有一個交點的縱坐標(biāo)為(4)，求(k)的值。答案：把(y=4)代入(y=x+5)得(4=x+5)，解得(x=1)，所以交點坐標(biāo)為((1,4))，把((1,4))代入(y=frac{k}{x})得(k=4)。29.已知二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)的圖象頂點坐標(biāo)為((1,3))，且經(jīng)過點((1,5))，求該二次函數(shù)的表達式。答案：設(shè)二次函數(shù)表達式為(y=a(x+1)23)，把((1,5))代入得(5=a(1+1)23)，即(4a3=5)，解得(a=2)，所以二次函數(shù)表達式為(y=2(x+1)23=2x2+4x1)。30.已知一次函數(shù)(y=kx+b)，當(dāng)(x)的值每增加(1)時，(y)的值就減少(2)，且圖象經(jīng)過點((1,3))，求該一次函數(shù)的表達式。答案：因為當(dāng)(x)的值每增加(1)時，(y)的值就減少(2)，所以(k=2)，把((1,3))代入(y=2x+b)得(3=2×(1)+b)，解得(b=1)，所以一次函數(shù)表達式為(y=2x+1)。31.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象與一次函數(shù)(y=2x1)的圖象的一個交點的橫坐標(biāo)為(1)，求這兩個函數(shù)圖象的另一個交點坐標(biāo)。答案：把(x=1)代入(y=2x1)得(y=2×11=1)，所以交點坐標(biāo)為((1,1))，把((1,1))代入(y=frac{k}{x})得(k=1)，則反比例函數(shù)為(y=frac{1}{x})，聯(lián)立(begin{cases}y=frac{1}{x}y=2x1end{cases})，得(frac{1}{x}=2x1)，即(2x2x1=0)，因式分解得((2x+1)(x1)=0)，解得(x=1)或(x=frac{1}{2})，當(dāng)(x=frac{1}{2})時，(y=2)，所以另一個交點坐標(biāo)為((frac{1}{2},2))。32.已知二次函數(shù)(y=x2+2x+c)的圖象與(x)軸有兩個不同的交點。(1)求(c)的取值范圍。(2)若該二次函數(shù)圖象與(x)軸的兩個交點之間的距離為(2)，求(c)的值。答案：(1)因為圖象與(x)軸有兩個不同交點，所以(Delta=224×(1)×c＞0)，即(4+4c＞0)，解得(c＞1)。(2)設(shè)方程(x2+2x+c=0)的兩根為(x_1)，(x_2)，由韋達定理得(x_1+x_2=2)，(x_1x_2=c)，又因為(vertx_1x_2vert=2)，((x_1x_2)2=(x_1+x_2)24x_1x_2)，所以(4=4+4c)，解得(c=0)。33.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象經(jīng)過點((3,2))和((1,6))。(1)求該一次函數(shù)的表達式。(2)若該一次函數(shù)的圖象與(y)軸交于點(A)，與(x)軸交于點(B)，求(triangleAOB)的面積。答案：(1)把((3,2))和((1,6))代入(y=kx+b)得(begin{cases}3k+b=2k+b=6end{cases})，兩式相減得(4k=8)，解得(k=2)，把(k=2)代入(k+b=6)得(b=4)，所以一次函數(shù)表達式為(y=2x+4)。(2)當(dāng)(x=0)時，(y=4)，所以(A(0,4))；當(dāng)(y=0)時，(2x+4=0)，解得(x=2)，所以(B(2,0))，則(OA=4)，(OB=2)，(S_{triangleAOB}=frac{1}{2}×OA×OB=frac{1}{2}×4×2=4)。34.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})的圖象在第二象限內(nèi)，(y)隨(x)的增大而增大，且經(jīng)過點((3,a))，((1,b))，((2,c))，比較(a)，(b)，(c)的大小。答案：因為反比例函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)(y)隨(x)的增大而增大，所以(k＜0)，((3,a))，((1,b))在第二象限，((2,c))在第四象限，(c＜0)，又因為(3＜1)，所以(a＜b)，且(a)，(b)都大于(0)，所以(c＜a＜b)。35.已知二次函數(shù)(y=ax2+bx+c)的圖象經(jīng)過點((1,0))，((3,0))，且函數(shù)的最小值為(4)，求該二次函數(shù)的表達式。答案：因為圖象經(jīng)過((1,0))，((3,0))，所以對稱軸為(x=frac{1+3}{2}=1)，又因為函數(shù)最小值為(4)，所以頂點坐標(biāo)為((1,4))，設(shè)二次函數(shù)表達式為(y=a(x1)24)，把((1,0))代入得(0=a(11)24)，即(4a4=0)，解得(a=1)，所以二次函數(shù)表達式為(y=(x1)24=x22x3)。36.已知一次函數(shù)(y=kx+b)的圖象與直線(y=x+2)平行，且與(y)軸的交點的縱坐標(biāo)為(3)，求該一次函數(shù)的表達式。答案：因為兩直線平行，所以(k=1)，又因為與(y)軸交點縱坐標(biāo)為(3)，即(b=3)，所以一次函數(shù)表達式為(y=x+3)。37.已知反比例函數(shù)(y=frac{k}{x})與一次函數(shù)(y=3x+m)的圖象有一個交點的坐標(biāo)為((1,5))。(1)求(k)和(m)的值。(2)求這兩個函數(shù)圖象的另一個交點坐標(biāo)。答案：(1)把((1,5))代入(y=frac{k}{x})得(k=5)，把((1,5))代入(