江蘇省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)按難度和題型歸納

一、填空題

答卷提醒：重視填空題的解法和得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石！

A、1?4題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題！

A1.集合性質(zhì)和運(yùn)算

1.性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為；

②空集是任何集合的子集，記為；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果，同時(shí)，那么A=B.

如果.

［注意］,

①｛整數(shù)｝(J)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(X)

③鍍晰卜集是鐮

④若集合集合B,則=，=()=D(注：=).

2、若A=｛｝,則A的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè).

3.

(Ac3)cC=Ac(3cC),(AJ8)C=A\JC)

4.公式:?

【提醒】：數(shù)廟和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具.

在具體計(jì)算時(shí)不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定

型或止面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

A2.命題的否定和否命題

*1.命題的否定和它的否命題的區(qū)別：

命題〃=>鄉(xiāng)的否定是pn—q,否命題是-p=>r.

命題“〃或夕”的否定是“力且F”，“〃且「的否定是或F”.

*2.常考模式：

全稱命題P：;全稱命題P的否定P：.

特稱命題P：;特稱命題p的否定p：.

A3.復(fù)數(shù)運(yùn)算

（5）性質(zhì)：4；.

【拓展】：或.

A4.幕函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律：

（1）所有的基函數(shù)在都有定義，并且圖像都過點(diǎn)；

（2）時(shí)，基函數(shù)的圖像通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地，當(dāng)時(shí)，累函

數(shù)的圖像下凸；當(dāng)時(shí)，黑函數(shù)的圖像上凸；

（3）時(shí)，累函數(shù)的圖像在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),

圖像在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖像在軸上方無限地逼近

軸正半軸.

【說明】：對于帚函數(shù)我們只要求掌握的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（0,0）和

（0,1）,并且時(shí)圖像都經(jīng)過（1,1）,把握好事函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了.

A5.統(tǒng)計(jì)

1.抽樣方法：

（1）簡單隨機(jī)抽樣（抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法）常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征

是從總體中逐個(gè)抽取.

（2）分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點(diǎn)：每

個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等（）.

2.總體分布的估計(jì)就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.

總體估計(jì)掌握：一“表”（頻率分布表）；兩“圖”（頻率分布直方圖和莖葉圖）.

⑴頻率分布直方圖

用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方

圖就是以圖形面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小.

①頻率二.

②小長方形面積二組距X二頻率.

③所有小長方形面積的和二各組頻率和=1.

【提醒】：直方圖的縱軸（小矩形的高）一般是頻率除以組距的商（而不是頻率），

橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.

⑵莖葉圖

當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的

數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出

來的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。

3.用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計(jì)：

樣本平均數(shù)：

4.用樣本方差的大小估計(jì)總體數(shù)據(jù)波動性的好差（方差大波動差）.

（1）一組數(shù)據(jù)x-

①樣本方差

212221ri[”]〃

S=-[（X]-X）+（x2-X）+???+（x?-X）]=一t（__?。?=一這：）一（一之七）2；

nn,=|n/=）n舊

②樣本標(biāo)準(zhǔn)差_____________________________

O—_?。?+（工2一亍^---HX”一無）」二

（2）兩組數(shù)據(jù)用,冷電和乂，%，%，???，然，其中N=。區(qū)+〃，i=則y=dx+hf

它們的方差為S：=落;,標(biāo)準(zhǔn)差為%=|〃?%

③若的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)為，方差為.

樣本數(shù)據(jù)做如此變換：，則，.

B、（5?9,中檔題，易丟分，防漏/多解）

B1.線性規(guī)劃

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：

（1）當(dāng)時(shí)，若表示直線的右邊，若則表示直線的左邊.

（2）當(dāng)時(shí)，若表示直線的上方，若則表示直線的下方.

2、設(shè)曲線（），則或所表示的平面區(qū)域：

兩直線/V+qy+G=0和4x+&y+C2=0所成的對頂角區(qū)域（上下或左右兩

部分）

3.點(diǎn)和曲線的位置關(guān)系：

若曲線為封閉曲線（圓、橢圓、曲線等），則，稱點(diǎn)在曲線外部；

若為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則，稱點(diǎn)亦在曲線“外部”.

4.已知直線，目標(biāo)函數(shù).

①當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的

值越來越?。?/p>

②當(dāng)時(shí)，將直線向上平移，則的值越來越??；直線向下平移，則的值越

來越大；

5.明確線性規(guī)劃中的幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)（方程）的幾何意義：

（1），若，直線在y軸上的截距越大，z越大，若，直線在y軸上的截距

越大，z越小.

（2）表示過兩點(diǎn)的直線的斜率，特別表示過原點(diǎn)和的直線的斜率.

（3）表示圓心固定，半徑變化的動圓,也可以認(rèn)為是二元方程的覆蓋問題.

（4）y=+（y-?）表不（X,y）到點(diǎn)（0,0）的距離.

（5）Reossin。）；

（6）；

（7）a1±ab+b2；

【點(diǎn)撥】：通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x22=l上的點(diǎn)及余弦定

理進(jìn)行轉(zhuǎn)化達(dá)到解題目的。

B2.三角變換：

三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換.

三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積

和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ).

三角代換是以三角函數(shù)的值域?yàn)楦鶕?jù)，進(jìn)行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三

角式，然后再使用上述諸公式進(jìn)行恒等變形，使問題得以解決.

三角變換是指角（“配”和“湊”）、函數(shù)名（切割化弦）、次數(shù)（降和升）、系數(shù)（常

值“1”）和運(yùn)算結(jié)構(gòu)（和和積）的變換,其核心是“角的變換”.

角的變換主要有：已知角和特殊角的變換、已知角和目標(biāo)角的變換、角和其倍角

的變換、兩角和其和差角的變換.

變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元

轉(zhuǎn)化，引入輔角，平方消元等.

具體地：

（1）角的“配”和“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應(yīng)

注意一些配湊變形技巧，如下:

，、

a=(/a+,c)一,c=(a—cc=---￡+-a---B=B+-a----B---a-;

乙444

2a=2[(a+/?)—=2[(a—〃)+￡]=(a+/7)+(a—￡)=(A+a)—(1-a);

15°=45°-30。,75°=45°+30°；

%竊=六(六竊)等，

(2)“降塞”和“升塞”(次的變化)

利用二倍角公式和二倍角公式的等價(jià)變形，，可以進(jìn)行“升”和“降”的變換，

即“二次”和“一次”的互化.

(3)切割化弦(名的變化)

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù),

以便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.

(4)常值變換

常值可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對常值“1”可作如下代換：等.

(5)引入輔助角

一般的，，期中.

特別的，；

\/3sinx+cosx=2sin(x+—)等.

6

(6)特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造

構(gòu)造對偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡.

舉例：，

可以通過兩式和，作進(jìn)一步化簡.

(7)整體代換

舉例：

,,可求出整體值，作為代換之用.

B3.三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn).

(1)角的變換

因?yàn)樵谥校?三內(nèi)角和定理)，所以

任意兩角和：和第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和和第二個(gè)角的半角總互余.

銳角三角形：①三內(nèi)角都是銳角；②三內(nèi)角的余弦值為正值；

③任兩角和都是鈍角；④任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

即，；;.

??

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.

面積公式：.

其中為三角形內(nèi)切圓半徑，為周長之半.

(3)對任意，；

在非直角中，.

(4)在中，熟記并會證明：

*1.成等差數(shù)列的充分必要條件是.

*2.是正三角形的充分必要條件是成等差數(shù)列且成等比數(shù)列.

*3?三邊成等差數(shù)歹U<=>2b=a+cO2sinA=sinB+sinC<=>;.

*4.三邊a,b,c,成等比數(shù)列<=>b2=etc<=>sin2A=sinZ?sinC,.

(5)銳角中：，；

sinA+sin4-sinC>cosA+cosB+cosC.

【思考】：鈍角中的類比結(jié)論

(6)兩內(nèi)角和其正弦值：

在中，，…

⑦若，則.

R4.三角恒等和不等式

組一

sin3a=3sina-4sin'a,cos3a=4cos'a-3cosa

sin2er-sin20=sin(er+/?)sin(?-/?)=cos2/7-cos2a

-c3tantan'0-4c

tan3。=-------；-----=tan0tan(-----0)tan(—+0)

l-3tan-6>33

組二

tanA+tan3+lanC=tanAlan8tanC

.?n-4ABC

sinA+sm?+sine=4cos—cos—cos—

222

cosA+cosfi+cosC=l+4sin-sin-sin-

222

sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC........

組三常見三角不等式

(1)若，則：

(2)若，則；

(3)|sinx|+|COSJV|>1；

(4)八*=平在(0,幻上是減函數(shù)；

B5.概率的M算公式：

⑴古曲概型：.

①等奇能事件的概率計(jì)算公式：；

②互斥事件的概率計(jì)算公式：P()=P(A)(B)；

③對立事件的概率計(jì)算公式是：P()=1-P(A)；

④獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式是：P(A-B)=P(A)-P(B)；

⑤獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式是：

p“(k)=c：p"py-k(是二項(xiàng)展開式［(1一。r的第⑴項(xiàng)).

⑵幾何概型：若記事件｛任取一個(gè)樣本點(diǎn)，它落在區(qū)域),則A的概率定義為

注意：探求一個(gè)事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想

處理：把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干

個(gè)互斥事件中有一個(gè)發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生

的概率；看作某一事件在n次實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.

事件互斥是事件獨(dú)立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.

【說明】：條件概率：稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率。

注意：①；②P（BU）（）（）。

B6,排列、組合

（1）解決有限制條件的（有序排列，無序組合）問題方法是：

①直接法：

②間接法：即排除不符合要求的情形

③一般先從特殊元素和特殊位置入手.

（2）解排列組合問題的方法有：

①特殊元素、特殊位置優(yōu)先法

元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮具他元素；

位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。

②間接法（對有限制條件的問題，先從總體考恚，再把不符合條件的所有情況去

掉））。

③相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素，然后再和其余

“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。

④不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用

插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排

好的元素之間）。

⑤多排問題單排法。

⑥多元問題分類法。

⑦有序問題組合法。

⑧選取問題先選后排法。

⑨至多至少問題間接法。

⑩相同元素分組可采用隔板法。

?!余色問題先分步考慮至某一步時(shí)再分類.

（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以

B7.最值定理

①，若積，則當(dāng)時(shí)和有最小值；

②，若和，則當(dāng)是積有最大值.

【推廣】：己知，則有.

（1）若積是定值，則當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)最小時(shí)，最小.

（2）若和是定值，則當(dāng)最大時(shí)，最??；當(dāng)最小時(shí)，最大.

③已知，若，則有：

④,若則有：

B8.求函數(shù)值域的常用方法：

①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解；

【點(diǎn)撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求

區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注

意開口方向和對稱軸和所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.

②逆求法：通過反解，用來表示，再由的1R值范圍，通過解不等式，得出

的取值范圍，型如的函數(shù)值減；

④換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮?/p>

數(shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，通過代換構(gòu)造容易求值域

的簡單函數(shù)，再求其值域；

⑤三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化

為只含正弦、余弦的函數(shù)，再運(yùn)用其有界性來求值域；

⑥不等式法：利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積

為定值，型如，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方

等技巧；

⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；

⑧數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如

斜率、距離、絕對值等，利用數(shù)和形相互配合的方法來求值域；

⑨分離常數(shù)法：對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題，把函數(shù)分離成一

個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式，進(jìn)而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域.

⑩判別式法：對于形如（，不同時(shí)為）的函數(shù)常采用此法.

【說明】：對分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)

也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用

均值不等式：

1.型，可直接用不等式性質(zhì)；

2.型，先化簡，再用均值不等式；

3.型，通常用判別式法；

4.型，可用判別式法或均值不等式法；

?導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)求值域.……

B9.函數(shù)值域的題型

（一）常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.

常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函

數(shù).

（二）非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域.

解題步驟：（D換元變形；

（2）求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；

（3）畫圖像，定區(qū)間，截段。

（三）分式函數(shù)求值域：四種題型

⑴：則且.

（2）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.

（3）:

,則且.

（4）求的雇域，當(dāng)時(shí)，用判別式法求值域。

,值域.

（四）不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的亙調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，

截段.

判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其

次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解.

（五）原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反

函數(shù)定義域.

（六）已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式

表示的值域和已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?

B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：

⑴湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例1,當(dāng)時(shí)，求函的數(shù)最大值.

⑵湊項(xiàng)（加、減常數(shù)項(xiàng)）：例2.已知，求函數(shù)的最大值.

⑶調(diào)整分子：例3.求函數(shù)的值域；

⑷變用公式：基本不等式有幾個(gè)常用變形：，，，.前兩個(gè)變形很直接，后兩個(gè)變形

則不易想到，應(yīng)重視；例4.求函數(shù)的最大值；

⑸連用公式：例5.已知，求的最小值；

⑹對數(shù)變換：例6.已知，且，求的最大值；

⑺三角變換：例7.已知，且，求的最大值；

⑻常數(shù)代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.

B11.“單調(diào)性”補(bǔ)了“基本不等式”的漏洞：

⑴平方和為定值

若（為定值，），可設(shè)，其中.

①在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

②在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

③.令，其中.由，得，從而在上是減函數(shù).

⑵和為定值

若（為定值，），貝U

①在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)口寸，在上是減函數(shù)，在上是增函

數(shù).

③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

⑶積為定值

若（為定值，），則

①.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；

③在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

⑷倒數(shù)和為定值

若（為定值，），則成等差數(shù)列且均不為零，可設(shè)公差為，其中，則得.

①.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上減函數(shù)；

②.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函

數(shù)；

③.令，其中且，從而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

B12.理解幾組概念

*1.廣義判別式

設(shè)是關(guān)于實(shí)數(shù)的一個(gè)解析式，都是和有關(guān)或無關(guān)的實(shí)數(shù)且，則是方程

有實(shí)根的必要條件，稱“"為廣義判別式.

*2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：

一是從具體條件入手,運(yùn)用有關(guān)性質(zhì)，數(shù)據(jù),進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo),從而使數(shù)學(xué)問題得以解決；

二是從整體上考查命題結(jié)構(gòu)，找出某些本質(zhì)屬性,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮怂?從而使問題容易解決，

這一方法稱為定性核算法.

*3二元函數(shù)

設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的變量和在其給定的變域中中，任取一組數(shù)值時(shí)，第三個(gè)變量

就以某一確定的法則有唯一確定的值和其對應(yīng)，那末變量稱為變量和的二元函

數(shù).記作：.其中和稱為自變量，函數(shù)也叫做因變量，自變量和的變域

稱為函數(shù)的定義域.

把自變量、及因變量當(dāng)作空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)，先在平面內(nèi)作出函數(shù)的定義

域；再過域中得任一點(diǎn)作垂直于平面的有向線段，使其值為和對應(yīng)的函

數(shù)值；

當(dāng)點(diǎn)在中變動時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡就是函數(shù)的幾何圖形.它通常是一

張曲面，其定義域就是此曲面在平面上的投影.

*4.格點(diǎn)

在直角坐標(biāo)系中，各個(gè)坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)（又稱整數(shù)點(diǎn)）.在數(shù)論中，有所謂

格點(diǎn)估計(jì)問題.在直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，這樣的多邊

形叫做格點(diǎn)多邊形.特別是凸的格點(diǎn)多邊形，它是運(yùn)籌學(xué)中的一個(gè)基本概念.

*5.間斷點(diǎn)

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，

我們把稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類

間斷點(diǎn).

*6.拐點(diǎn)

連續(xù)函數(shù)上，上凹弧和下凹弧的分界點(diǎn)稱為此曲線上的拐點(diǎn).

如果在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定的拐點(diǎn).

⑴求/“⑴；

（2）令，解出此方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根；

（3）對于⑵中解出的每一個(gè)實(shí)根，檢查在左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反,

則此點(diǎn)是拐點(diǎn)，若相同，則不是拐點(diǎn).

*7駐點(diǎn)

由線,速它的極值點(diǎn)處的切線都平行于軸，即,這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一

定是它的駐點(diǎn)（又稱穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)，卻不一定是它的

極值點(diǎn).

*8.凹凸性

定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意的都有，則稱是上的凸函數(shù),定義在

上的函數(shù)如果滿足：對任意的都有，則稱上的凹函數(shù).

【注】：一次函數(shù)的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）.

若曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點(diǎn)的

切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)此線凹和凸部分的分界點(diǎn)稱為曲線的

拐點(diǎn).

B13.了解幾個(gè)定理

*1.拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那末在內(nèi)至少有一點(diǎn)

,使成立.這個(gè)定理的特殊情形，B|J：的情形.描述如下：

若在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)

,使成立.

*2.零點(diǎn)定理：

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且.那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),

即至少有一點(diǎn)（VV）使.

*3.介值定理：

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同函數(shù)值，，那么對于之

間任意的一個(gè)數(shù)，在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得（VV）.

*4.夾逼定理：

設(shè)當(dāng)時(shí)，有，且，則必有

【注】：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數(shù)）

C、10?12,思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力

C1.線段的定比分點(diǎn)公式

設(shè)，，是線段的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且（或=）,則

<=><=>op=to^+（\-t）oe（）

推廣1:當(dāng)時(shí)，得線段的中點(diǎn)公式：

推廣2:則（對應(yīng)終點(diǎn)向量）.

三角形重心坐標(biāo)公式：△的頂點(diǎn)，重心坐標(biāo)：

注意：在△中，若o為重心，則，這是充要條件.A

【公式理解】：

*1.人是關(guān)鍵（4"-1）

P

2AP2PPR8

（內(nèi)分）人>0(外分)A.<0(A.<-l)(外分)入<0

(-KX<0)

若P和Pl重合，入=0P和P2重合，入不存在P離P2pl無窮遠(yuǎn)，入二

*2.中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式2=1的特例；

*3.始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如若P分的定比入二，則P分的定比入=2；

*4.百,七，乂4知三求一;

*5.利用幾有界性可求一些分式函數(shù)取值范圍；

*6.而uqoA+&OB則4+4=1是三點(diǎn)248共線的充要條件.

C2.抽象函數(shù)

抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的

定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)向題.

求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

（1）借助模型函數(shù)探究抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：.

②指數(shù)函數(shù)型：

③對數(shù)函數(shù)型：.

④幕函數(shù)型：

⑤三角函數(shù)型:

f(x)=tanx,.

（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進(jìn)行演繹探究：

（3）利用一些方法（如賦值法（令=0或1,求出或、令或等）、遞推法、

反證法等）進(jìn)行邏輯探究。

C3.函數(shù)圖像的對稱性

（1）一個(gè)函數(shù)圖像自身的對稱性

性質(zhì)1:對于函數(shù)，若存在常數(shù)使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有的圖像關(guān)

于直線對稱.

【注】：亦然.

【特例】，當(dāng)‘、時(shí)，的圖像關(guān)于直線對稱.

【注】：亦然.

性質(zhì)2:對半函數(shù)，若存在常數(shù)使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有的圖像

關(guān)于點(diǎn)對稱.

【特例工當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

【注】：亦然.

事實(shí)上，上述結(jié)論是廣義奇(偶)函數(shù)的性質(zhì).

性質(zhì)3:設(shè)函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)任意的，都有，則的國像關(guān)于直

線對稱.(這實(shí)際上是偶函數(shù)的一般情形)廣義偶函數(shù).

性質(zhì)4：設(shè)函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)任意的，都有，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對

稱.(實(shí)際上是奇函數(shù)的一般情形)廣義奇函數(shù).

【小結(jié)】函數(shù)對稱性的充要條件

函數(shù)關(guān)系式(XWR)對稱性

函數(shù)/(x)圖像是奇函數(shù)

fM=函數(shù)/3)圖像是偶函數(shù)

j\x)=f(2a-x)函數(shù)人》)圖像關(guān)于直線x對

或+=稱

f(x)=2ly-f(2a-x)函數(shù)/(x)圖像關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對

或f(a+x)=2b-f(a-x)稱

【注】：這里代數(shù)關(guān)系式中兩個(gè)“”(對應(yīng)法則)內(nèi)的“”(變量)前的正負(fù)號相

異，如果把兩個(gè)“”放在“”的兩邊，則“"前的正負(fù)號也相異.因?yàn)閷ΨQ性關(guān)乎

翻轉(zhuǎn).

(2)兩個(gè)函數(shù)圖像之間的對稱性

1.函數(shù)y=/(x)和1y=--(幻的圖像關(guān)于直線y=0對稱.

2.函數(shù)y=/(“)和y=/(T)的圖像關(guān)于直線X=0對稱.

3.函數(shù)y=和y=-/(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對稱.

4.函數(shù)y=/(x)和它的反函數(shù)y=f'(X)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

5.函數(shù)y=f(a+nix)和)，=/(〃-心)的圖像(a,b,meR,mw0)關(guān)于直線對稱.

特別地，函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對稱.

C4.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定心。)

⑴若，或，則的周期；

(2)若，或，或，或，

或，或，或，

或，或，則的周期；

⑶若，則的周期；

(4)若，或，或，或

，或，或且，則的周期；

⑸若，則的周期；

(6)若，則的周期.

【說明】函數(shù)y=/(x)滿足對定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)x(其中。為常數(shù))，都有等式成立.上

述結(jié)論可以通過反復(fù)運(yùn)用已知條件來證明.

C5.對稱性和周期性的關(guān)系

定理1:若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于直線和對稱，則是周期函數(shù)，且

是它的一個(gè)周期.

推論1:若函數(shù)滿足及則是以為周期的周期函數(shù).

定理2:若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和直線對稱，則是周期函數(shù),

且是它的一個(gè)周期.

推論2:若函數(shù)滿足及,則是以為周期的周期函數(shù).

定理3:若定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和對稱，則是周期函數(shù)，且

是它的一個(gè)周期.

推論3：若函數(shù)滿足及，則是以為周期的周期函數(shù).

C6.函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心舉例

函數(shù)滿足的條件對稱軸(中

心)

滿足/(。+只=/(。-6的函數(shù)y=/(x)的圖像x=a

[或/(x)=x)=f(2a+x)]

滿足/(a+x)=-/(a-x)的函數(shù)y=/(x)的圖像(4,0)

[或/(x)=(2〃一x),/(-X)=(2〃+X)]

滿足/(a+x)=-x)的函數(shù)y=/(x)的圖像

滿足/(a+x)f(I)的函數(shù)y=f(x)的圖像

滿足/(x)=/(-x)的函數(shù)y=f(X)的圖像(偶函x=0

數(shù))

滿足=-/(-A)的函數(shù)y=/(x)的圖像(奇(0,0)

函數(shù))

滿足)，=f(a+x)和y=f(h-x)的兩個(gè)函數(shù)的圖

像

滿足y=/⑴和y=/(-舊的兩個(gè)函數(shù)的圖像x=0

滿足y=f(x)和y=-/(X)的兩個(gè)函數(shù)的圖像y=0

C7.函數(shù)周期性、對稱性和奇偶性的關(guān)系

1.定義在上的函數(shù)，若同時(shí)關(guān)于直線和對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)同

時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).

2.定義在上的函數(shù)，若同時(shí)關(guān)于直線和點(diǎn)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)

同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).

3.定義在上的函數(shù)，若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和直線對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)

同時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù).

4.定義在上的函數(shù)，若同時(shí)關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)同

時(shí)滿足，，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，且是奇函數(shù).

員若偶函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，則是以為

周期的周期函數(shù).

6.若偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，則是以為周

期的周期函數(shù).

7、若奇函數(shù)關(guān)于直線對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，則是以為

周期的周期函數(shù).

8、若奇函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，即對于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足，則是以為周

期的周期函數(shù).

【拓展】：

L若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.

2.若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

3.定義在上的函數(shù)滿足，且方程恰有個(gè)實(shí)根，則這個(gè)實(shí)根的和為.

4、定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.

C8.關(guān)于奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系.

①如果奇函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（0,y）上是遞增的，那么函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（-oo,0）上

也是遞增的；

②如果偶函數(shù)），=/"）在區(qū)間（0,+oo）上是遞增的，那么函數(shù)），=/（幻在區(qū)間（-oo,0）上

是遞減的；

【思考】：結(jié)論推導(dǎo)

C9.幾何體中數(shù)量運(yùn)算導(dǎo)出結(jié)論

數(shù)量運(yùn)算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì).

1.在長方體中：

①體對角線長為，外接球直徑；

②棱長總和為4（a+〃+c）；

③全（表）面積為，體積；

④體對角線和過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為民7,則有

222=1.222=2.

⑤體對角線和過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為。，民九則有

222=2,222=1.

2.在正三棱錐中：①側(cè)棱長相等（側(cè)棱和底面所成角相等）頂點(diǎn)在底上射影為底面

外心；②側(cè)棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心；③斜高長相等（側(cè)

面和底面所成角相等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)頂點(diǎn)在底上射影為底面內(nèi)心.

3.在正四面體中：設(shè)棱長為，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系：

①全面積S=6/；②體積；③對棱間的距離；

④相鄰面所成二面角；⑤外接球半徑；⑥內(nèi)切球半徑；

⑦正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各面距離之和為定值.6人廠

4.在立方體中：與=

設(shè)正方體的棱長為，則arccosl^V^!

①體對角線長為，②全面積為，③體積，④內(nèi)切z\H球半徑為，

外接球半徑為，和十二條棱均相切的球半徑為，則點(diǎn)*文迂外-共^出

6

24=。，24=百。，24且arccos3哼a?！鉻\：r2：r3=]：＞/2：

【點(diǎn)撥】：立務(wù)體承載著諸多幾何體的位置關(guān)系特征，只要作適當(dāng)變形，如切割：組

合、扭轉(zhuǎn)等處理，便可產(chǎn)生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、

三棱柱、球體等問題時(shí)，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)

造相應(yīng)的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果.

5.在球體中：

球是一種常見的簡單幾何體.球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小.

球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內(nèi)的所有的點(diǎn).球面是到球心的距離等于定長（半徑）

的點(diǎn)的集合.

球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面,球面上兩點(diǎn)間的距離，是過這兩點(diǎn)

的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長，計(jì)算球面距離的關(guān)鍵是“根據(jù)已知經(jīng)緯度等條件，先尋求

球面上兩點(diǎn)間的弦長”，因?yàn)榇讼议L既是球面上兩點(diǎn)間的弦長，又是大圓上兩點(diǎn)間的弦

長.

球心和截面圓的距離d和球的半徑R及截面圓半徑〃之間的關(guān)系是一VF二

掌握球面上兩點(diǎn)、間的距離求法：

⑴計(jì)算線段的長;⑵計(jì)算球心角Z4O8的弧度數(shù);⑶用弧長公式計(jì)算劣弧加的

長.

【注】：“經(jīng)度是'小小半徑所成角'，緯度是'大小半徑的夾角

【補(bǔ)充】：

一、四面體.

1.對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質(zhì)：

①四面體的六條棱的垂直平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的外接球的球心；

②四面體的四個(gè)面組成六個(gè)二面角的角平分面交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的內(nèi)

接球的球心；

③四面體的四個(gè)面的重心和相對頂點(diǎn)的連接交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做此四面體的重心,

且重心將每條連線分為3：1；

?12個(gè)面角之和為720°,每個(gè)三面角中任兩個(gè)之和大于另一個(gè)面角，且三個(gè)面角之

和為180°.

2.直角四面體：有一個(gè)三面角的三個(gè)面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相

當(dāng)于平面兒何的直角三角形.（在直角四面體中，記V、1、S、R、r、h分別表示其體積、

六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內(nèi)切球半徑及側(cè)面上的高），則有空間勾股定理:

S2A2A2A2A.

3.等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三

角形.根據(jù)定義不難證明以長方體的一個(gè)頂點(diǎn)的三條面對角線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體是

等腰四面體，反之也可以將一個(gè)等腰四面體拼補(bǔ)成一個(gè)長方體.

（在等腰四面體中，記=，二=b,==c,體積為V,外接球半徑為R,內(nèi)

接球半徑為r,高為h）,則有

①等腰四面體的體積可表示為y產(chǎn)聲鏟中;

②等腰四面體的外接球半徑可表示為；

③等腰四面體的四條頂點(diǎn)和對面重心的連線段的長相等，且

可表示為；

@h=4r.

二、空間正余弦定理.

空間正弦定理：ZZZZZZ

空間余弦定理：ZZZZZZ

6.直角四面體的性質(zhì)：

在直角四面體O-A8c中，OAO3。。兩兩垂直,令OA=aQB=b、OC=c,則

⑴底面三角形ABC為銳角三角形；

⑵直角頂點(diǎn)O在底面的射影”為三角形ABC的垂心；

⑶=S.Uur,S

⑷s『+s.

(5)；

⑹外接球半徑.

7.球的組合體

(1)球和長方體的組合體：

長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球和正方體的組合體：

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,

正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

(3)球和正四面體的組合體：

外接球的半徑為.

CIO.圓錐曲線幾何性質(zhì)

如果涉及到其兩“焦點(diǎn)”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)

線”或“離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問題,

也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

橢圓方程的第一定義：

雙曲線的第一定義：

圓錐曲線第二定義(統(tǒng)一定義)：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的

點(diǎn)的軌跡.簡言之就是“(數(shù)的統(tǒng)一)”，橢圓，雙曲線，拋物線相對關(guān)系(形的統(tǒng)一)

如右圖.

當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；

當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；

當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線：

當(dāng)時(shí)，軌跡為炭I(,當(dāng)時(shí)).

圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢.

其中，橢圓中、雙曲線中.

圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：

P_

-(a+ex)

特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其“頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間和

坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

C1L函數(shù)圖像變換(主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等).

1.平移變換

向量平移法則：

按平移得，即按平移得，當(dāng)時(shí)，向右平移，時(shí)，向左平移.當(dāng)時(shí)，向上平移，時(shí)向

下平移.對于“從到”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量"”是“左負(fù)右正，上正下負(fù)”.

【小結(jié)】："按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

①點(diǎn)P(x,y)按向量。=仇Z)平移后得到點(diǎn)P(x+4,y+攵).

②函數(shù)的圖像按向量平移后得到圖像，則的函數(shù)解析式為.

③圖像按向量平移后得到圖像，若的解析式，則的函數(shù)解析式為.

④曲線：按向量平移后得到圖像，則的方程為.

⑤向量m=(x,y)按向量。=(〃,口平移后得到的向量仍然為m-(x,y).

2.翻折變換

(1)由得到，就是把的圖像在軸下方的部分作關(guān)于軸對稱的圖像，即把

軸下方的部分翻到軸上方，而原來軸上方的部分不變.

(2)由得到，就是把的圖像在軸右邊的部分作關(guān)于軸對稱的圖像，即把

軸右邊的部分翻到軸的左力，而原來軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.

3.伸縮變換

(1)設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對應(yīng)于點(diǎn)，

函數(shù)在變換下得到

(2)將的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得?/p>

即>1=./(-0如y=〃j二

y=my\aJ

4.對稱變換

⑴函數(shù)y=/(-x)的圖像可以將函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即可得到；

y-/(3)一如y-f(-x)

(2)函數(shù)y=-/(x)的圖像可以將函數(shù))，=/(x)的圖像關(guān)于x軸對稱即可得到；

y=/(x)—=-/(x)

(3)函數(shù)y=-/(-x)的圖像可以將函數(shù))，=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱即可得到；

y=/(x)，羋jy=

(4)函數(shù)R=/()，)的圖像可以將函數(shù))，=/(x)的圖像關(guān)于直線)，=戈對稱得到.

y=f(力=f(y)

(5)函數(shù)y=f(2ax)的圖像可以將函數(shù))，=/(x)的圖像關(guān)于直線x=。對稱即可得到；

y=f(x)-^^y=f[2a-x).

【注意】：函數(shù)圖像平移和伸縮變換應(yīng)注意的問題

(1)觀察變換前后位置變化：.函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點(diǎn)、

特殊線也作相應(yīng)的變換.

(2)觀察變換前后量變化：直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、

雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及

它們的位置；

深刻理解圓錐曲線在形和數(shù)上的統(tǒng)

(2)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)和常見函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、

二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“函數(shù)），=x+K仕＞0）”及函數(shù)

y"二化＜0）等）相互轉(zhuǎn)化.

（3）理解等軸雙曲線），=@±4（c，°”/wA）和反二匕例函數(shù)）'=4（攵＞。）圖像的本質(zhì)聯(lián)

"i"Cl入

系.

（4）應(yīng)特別重視“二次三項(xiàng)式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間

的特別聯(lián)系，理解函數(shù)、方程、曲線及不等方程的聯(lián)系.

C12.借助圖象比較大小

C13.常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)國充分小時(shí)）

（1）；.

（2）（1+?1+ax{aeR）；.

（3）?1+x；ln（l+x）?x.

（4）sinx?x（x為弧度）；tanxux（x為弧度）；arctanx%x（x為弧度）.

C14.大小比較常用方法：

①作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；

②作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)基的代數(shù)式）；

③分析法；

④平方法；

⑤分子（或分母）有理化；

⑥利用函數(shù)的單調(diào)性；

⑦尋找中間量和“0”比，和“1”比或放縮法；

⑧圖像法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.

C15,不定項(xiàng)填空題易誤知識點(diǎn)拾遺：

（1）情況存在的“個(gè)數(shù)”問題

①空間中到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的平面一個(gè).（7個(gè)）；

②過直線外一點(diǎn)有一個(gè)平面和該直線平行（無數(shù)個(gè)）；

③一直線和一平面斜交，則平面內(nèi)有一條直線和該直線平行.（0）；

④3條兩兩相交的直線可以確定一個(gè)平面（1個(gè)或3個(gè)）；

⑤經(jīng)過空間外一點(diǎn)，和兩條異面直線都平行的平面有一條（0或1）；

⑥3個(gè)平面可以把空間分一個(gè)部分.（4或6或7或8）；

⑦兩兩相交的4條直線最多可以確定個(gè)平面（6個(gè)）；

⑧兩異面直線成60°,經(jīng)過空間外一點(diǎn)和它們都成30°（45°,60°,80°）的直線

有一條.（1;2；3；