數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)平行01§7.4空間直線、平面的平行1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.2.掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與_______

的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面

，那么該直線與交線平行

此平面內(nèi)相交

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條

與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行

相交直線

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面

，那么兩條_____平行

相交交線

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面.(

)(2)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(3)若直線a?平面α，直線b?平面β，a∥b，則α∥β.(

)(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也互相平行.(

)××××2.如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無公共點(diǎn)，因此直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交.√3.設(shè)有兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題正確的是A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥n，m∥α，則n∥αD.若α∥β，m?α，則m∥β√若m∥α，n∥α，則m，n可以平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故B錯(cuò)誤；若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)誤；若α∥β，m?α，則m∥β，故D正確.4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為

.

平行四邊形∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形.1.掌握三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化返回微點(diǎn)提醒2.靈活應(yīng)用以下結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即a⊥α，b⊥α，則a∥b.(4)若α∥β，a?α，則a∥β.探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2，CD＝4，E為PC的中點(diǎn).求證：BE∥平面PAD.題型一命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定與性質(zhì)

方法三如圖，取CD的中點(diǎn)H，連接BH，HE，∵E為PC的中點(diǎn)，∴EH∥PD，又EH?平面PAD，PD?平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由題意知AB綉DH，∴四邊形ABHD為平行四邊形，∴BH∥AD，又AD?平面PAD，BH?平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH?平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE?平面BHE，∴BE∥平面PAD.例2

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和PA作平面交BD于點(diǎn)H.求證：PA∥GH.命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α).③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β).④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.思維升華

√

(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BC，C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BB1D1D.

題型二例3

(1)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，AC，BC的中點(diǎn).證明：AD∥平面C1EF.平面與平面平行的判定與性質(zhì)連接BD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是棱AC，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AB.因?yàn)镋F?平面C1EF，AB?平面C1EF，所以AB∥平面C1EF.因?yàn)镈，F(xiàn)分別是棱B1C1，BC的中點(diǎn)，所以BF∥C1D，BF＝C1D，所以四邊形BDC1F是平行四邊形，則BD∥C1F.因?yàn)镃1F?平面C1EF，BD?平面C1EF，所以BD∥平面C1EF.因?yàn)锳B∩BD＝B，AB，BD?平面ABD，所以平面ABD∥平面C1EF，因?yàn)锳D?平面ABD，所以AD∥平面C1EF.(2)如圖所示，AA1，BB1為圓臺的兩條不同的母線，O1，O分別為圓臺的上、下底面圓的圓心.求證：A1B1∥AB.∵圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，∴圓臺的母線也就是生成這個(gè)圓臺的圓錐相應(yīng)母線的一部分.∴母線AA1與母線BB1的延長線必交于一點(diǎn)，∴A，A1，B，B1四點(diǎn)共面.∵圓O1∥圓O，且平面ABB1A1∩圓O1＝A1B1，平面ABB1A1∩圓O＝AB.∴A1B1∥AB.(1)證明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(l⊥α，l⊥β?α∥β).③利用面面平行的傳遞性，即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行(α∥β，β∥γ?α∥γ).(2)當(dāng)已知兩平面平行時(shí)，可以得出線面平行，如果要得出線線平行，必須是與第三個(gè)平面的交線.思維升華跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過BC的平面與上底面A1B1C1交于GH(GH與B1C1不重合).(1)求證：BC∥GH；∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝GH，∴由面面平行的性質(zhì)定理得BC∥GH.(2)若E，F(xiàn)，G分別是AB，AC，A1B1的中點(diǎn)，求證：平面EFA1∥平面BCHG.∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.題型三例4

如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，E為棱AA1的中點(diǎn).在DD1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PA1C∥平面EBD？如果存在，請說明P點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請說明理由.平行關(guān)系的綜合應(yīng)用當(dāng)P為棱DD1的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面PA1C∥平面EBD，證明如下：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，CP，A1P，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)，又E為棱AA1的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥A1C，又OE?平面PA1C，A1C?平面PA1C，所以O(shè)E∥平面PA1C，又P為棱DD1的中點(diǎn)，所以DP∥A1E且DP＝A1E，所以四邊形DPA1E為平行四邊形，所以DE∥A1P，又DE?平面PA1C，A1P?平面PA1C，所以DE∥平面PA1C，又DE∩OE＝E，DE，OE?平面EBD，所以平面PA1C∥平面EBD.解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于“模式化”.(2)解答探索性問題的基本策略是先假設(shè)，再嚴(yán)格證明，先猜想再證明是學(xué)習(xí)和研究的重要思想方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

如圖，在四棱錐A－BCDE中，N是BC的中點(diǎn)，四邊形BCDE為平行四邊形.試探究在線段AE上是否存在點(diǎn)M，使得MN∥平面ACD？若存在，請確定M點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由.

所以四邊形CNMG為平行四邊形.所以GC∥MN.因?yàn)镚C?平面ACD，MN?平面ACD，所以MN∥平面ACD.返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號1234567答案DADDABDAB矩形題號81112答案ACD2對一對答案123456789101112(1)如圖，連接A1C，與AC1交于點(diǎn)O，連接DO，則DO是△A1BC的中位線，∴A1B∥DO，∵DO?平面AC1D，A1B?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.9.答案123456789101112(2)∵D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn)，則D1C1∥BD，D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，則D1B∥C1D，又D1B?平面AC1D，C1D?平面AC1D，∴D1B∥平面AC1D，∵由(1)可知A1B∥平面AC1D，又D1B∩A1B＝B，D1B，A1B?平面A1BD1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、單項(xiàng)選擇題1.已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不同的直線m，n，下面四個(gè)命題中，正確的是A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m∥α，n∥α且m?β，n?β，則α∥βC.若m∥α，n?α，則m∥nD.若m⊥α，m⊥β，則α∥β123456789101112知識過關(guān)答案√123456789101112答案對于A，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)m∥α，n∥α，m?β，n?β且m與n相交時(shí)，α∥β，故B錯(cuò)誤；對于C，若m∥α，n?α，則m∥n或m與n異面，故C錯(cuò)誤；對于D，由線面垂直的性質(zhì)可以證得，故D正確.123456789101112答案2.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，F(xiàn)，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，EH∥平面BCD，則EH與FG的位置關(guān)系是A.平行

B.相交C.異面

D.不確定因?yàn)镕，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以FG∥BD，因?yàn)镋H∥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，EH?平面ABD，所以EH∥BD，由平行的傳遞性可知EH∥FG.√123456789101112答案3.(2024·貴陽模擬)設(shè)l為直線，α為平面，則l∥α的一個(gè)充要條件是A.α內(nèi)存在一條直線與l平行B.l平行α內(nèi)無數(shù)條直線C.垂直于α的直線都垂直于lD.存在一個(gè)與α平行的平面經(jīng)過l√123456789101112答案對于A中，由α內(nèi)存在一條直線與l平行，則l∥α或l?α，所以A不正確；對于B中，由l平行α內(nèi)無數(shù)條直線，則l∥α或l?α，所以B不正確；對于C中，由垂直于α的直線都垂直于l，則l∥α或l?α，所以C不正確；對于D中，如圖所示，由l∥α，在直線l上任取一點(diǎn)P作直線a，使得a∥α，因?yàn)閘∩a＝P且l，a?平面β，所以α∥β，即充分性成立；反之，若存在一個(gè)與α平行的平面經(jīng)過l，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可得l∥α，即必要性成立，所以D正確.123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案二、多項(xiàng)選擇題5.下列說法不正確的有A.若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D.若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行√√√123456789101112答案若兩條直線和同一平面所成的角相等，這兩條直線可能平行，也可能異面，也可能相交，故A錯(cuò)誤；若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)定理可知C正確；若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面，則兩平面可以平行，也可以垂直，故D錯(cuò)誤.123456789101112答案6.(2025·黃山模擬)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CC1，CD的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有A.AE與D1F共面B.平面AB1D1∥平面EFGC.AE⊥EFD.BF∥平面AB1D1√√123456789101112答案

123456789101112答案則BD∥B1D1，又因?yàn)镋，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則EG∥BD，所以EG∥B1D1，因?yàn)镋G?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，所以EG∥平面AB1D1，同理可證EF∥平面AB1D1，因?yàn)镋F∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面AB1D1∥平面EFG，B正確；因?yàn)槠矫鍱FG∥平面AB1D1，且BF與平面EFG相交，故BF與平面AB1D1相交，D錯(cuò)誤.三、填空題7.如圖所示，在三棱錐D－ABC中，E，F(xiàn)，G，H分別在棱BD，BC，AC，AD上，CD，AB均與平面EFGH平行，且CD⊥AB，則四邊形EFGH的形狀為

.

123456789101112答案矩形123456789101112答案因?yàn)镃D∥平面EFGH，CD?平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形.又因?yàn)镃D⊥AB，所以HE⊥EF，所以四邊形EFGH為矩形.123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答題9.(2024·銀川模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn).求證：(1)A1B∥平面AC1D；123456789101112答案如圖，連接A1C，與AC1交于點(diǎn)O，連接DO，則DO是△A1BC的中位線，∴A1B∥DO，∵DO?平面AC1D，A1B?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.123456789101112答案(2)平面A1BD1∥平面AC1D.123456789101112答案∵D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn)，則D1C1∥BD，D1C1＝BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，則D1B∥C1D，又D1B?平面AC1D，C1D?平面AC1D，∴D1B∥平面AC1D，∵由(1)可知A1B∥平面AC1D，又D1B∩A1B＝B，D1B，A1B?平面A1BD1，∴平面A1BD1∥平面AC1D.123456789101112答案10.(2024·太原統(tǒng)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為PD，BC的中點(diǎn)，平面PAB∩平面PCD＝l.(1)證明：l∥AB；因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，則AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又因?yàn)槠矫鍼AB∩平面PCD＝l，AB?平面PAB，所以l∥AB.123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案能力拓展11.(多選)(2024·沈陽模擬)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝4，E是棱BB1上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在棱DD1上，若A1，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則下列結(jié)論正確的是A.四邊形A1ECF為平行四邊形B.BE＝DFC.存在點(diǎn)E，使得BD∥平面A1CED.四棱錐C1－A1ECF的體積為定值√√√123456789101112答案在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若A1