課時目標(biāo)1.通過拋擲硬幣、摸球等隨機(jī)試驗,了解頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別,知道通過大量重復(fù)試驗,可以用頻率估計概率,培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)頻率集中趨勢估計概率的能力.2.選擇生活中的實(shí)例進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生在解決實(shí)際問題過程中加強(qiáng)對概率的認(rèn)識,突出用頻率的集中趨勢估計概率的思想,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.學(xué)習(xí)重點(diǎn)體會用頻率估計概率的必要性和合理性,學(xué)會依據(jù)問題特點(diǎn),用頻率來估計事件發(fā)生的概率.學(xué)習(xí)難點(diǎn)理解頻率與概率的關(guān)系,用頻率估計概率解決實(shí)際問題.課時活動設(shè)計收集各組課前預(yù)習(xí)作業(yè)的數(shù)據(jù)并進(jìn)行整理分析.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,“正面向上”的概率為0.5,是否意味著拋擲一枚硬幣50次時,就會有25次“正面向上”呢?拋擲一枚硬幣100次時,各組的“正面向上”的頻數(shù)是50嗎?請各組匯報試驗數(shù)據(jù).師生活動:統(tǒng)計各組試驗數(shù)據(jù),利用Excel形成各組拋一枚硬幣50次和100次“正面向上”的頻率散點(diǎn)圖.分析統(tǒng)計圖,體會頻率與概率的區(qū)別并能夠初步感受頻率可能與概率存在的關(guān)系.設(shè)計意圖:讓學(xué)生親身參與到實(shí)際操作中,通過分配給學(xué)生們不同的任務(wù),來促進(jìn)學(xué)生間的合作、交流,根據(jù)圖象體會頻率的隨機(jī)性,培養(yǎng)隨機(jī)觀念.如果重復(fù)試驗次數(shù)增多,結(jié)果會如何呢?拋擲次數(shù)n501001502003004006008001000“正面向上”的頻數(shù)m“正面向上”的頻率m師生活動:師生討論,由于試驗條件基本相同,可以用逐步累加各組數(shù)據(jù)的方法近似地模擬重復(fù)試驗次數(shù)不斷增多的情況,教師組織學(xué)生整理試驗數(shù)據(jù),并對生成的頻率統(tǒng)計圖進(jìn)行分析.設(shè)計意圖:全班合作對分組試驗獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析,鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生初步探索數(shù)據(jù)中隱藏的規(guī)律,提高學(xué)生的統(tǒng)計意識,進(jìn)一步理解概率的意義.隨著重復(fù)試驗次數(shù)的增加,“正面向上”的頻率的變化趨勢是什么?師生活動:教師利用拋擲硬幣模擬軟件演示一組拋擲硬幣2000次的模擬試驗,學(xué)生將模擬試驗的結(jié)果與全班真實(shí)試驗的結(jié)果做比較,歸納發(fā)現(xiàn):正面向上的頻率在0.5左右擺動,隨著拋擲次數(shù)的增加,在0.5左右擺動的幅度越來越小的可能性變大.學(xué)生發(fā)現(xiàn),由于隨機(jī)事件的隨機(jī)性,每組試驗得到的頻率分布都不盡相同,但都無一例外的顯示出,在做大量重復(fù)試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性,試驗次數(shù)較少時,頻率表現(xiàn)出隨機(jī)性的可能性很大,隨著重復(fù)試驗次數(shù)的不斷增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性的可能性越來越大.設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解頻率具有隨機(jī)性,在做大量重復(fù)試驗時,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性,逐漸能夠完整表述頻率與概率的關(guān)系.閱讀另外四次模擬拋擲硬幣2000次的試驗數(shù)據(jù)圖表(見附錄),你讀出哪些信息?師生活動:學(xué)生閱讀圖表,驗證頻率與概率的關(guān)系,進(jìn)一步認(rèn)可,在做大量重復(fù)試驗時,隨著試驗次數(shù)的增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性.由于隨機(jī)事件的隨機(jī)性,各次模擬的頻率分布圖均有不同,但都顯示出在做大量重復(fù)試驗時頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性.設(shè)計意圖:通過多次模擬試驗,進(jìn)一步驗證頻率與概率的關(guān)系是正確的,發(fā)現(xiàn)試驗次數(shù)多時頻率更多的呈現(xiàn)穩(wěn)定性.同時感受不論試驗次數(shù)是多少,都存在頻率偏離概率較大的可能性,只是這種可能性在多次重復(fù)試驗的前提下變小.初步形成了對于這個拋擲硬幣的簡單試驗的概率可以通過頻率進(jìn)行估計的觀念.師生活動:擦除模擬拋擲一枚硬幣2000次“正面向上”的頻率散點(diǎn)圖中表示概率的直線,基于現(xiàn)有的頻率分布情況,學(xué)生能夠估計此未知概率事件發(fā)生的概率是0.5,再擦除學(xué)生拋擲硬幣100次中表示概率的直線,學(xué)生的估計并不是0.5,分析估計不準(zhǔn)確的原因,是試驗次數(shù)少,頻率分布不穩(wěn)定,大量重復(fù)試驗頻率穩(wěn)定時才能夠估計得相對準(zhǔn)確.設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)通過對拋擲硬幣這個已知概率的試驗對頻率進(jìn)行分析,使學(xué)生理解和鞏固利用頻率估計概率的方法.通過兩次“擦線”的對比,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)對于此隨機(jī)試驗,可以用頻率估計概率,并且隨著試驗次數(shù)的增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性時所估計的概率相對準(zhǔn)確.摸球問題1.問題呈現(xiàn):在不透明的箱子中,有紅色和黃色兩種除顏色外無其他差別的5個小球.在不打開箱子的前提下,每次隨機(jī)摸出一個小球后放回,你能說出箱子里面有幾個黃球嗎?2.試驗設(shè)計:學(xué)生通過討論發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵在于要知道摸到黃球的概率,于是仿照課前預(yù)習(xí)作業(yè)設(shè)計摸球試驗.3.實(shí)施試驗:在試驗過程中知道需要大量重復(fù)試驗,可以累加數(shù)據(jù)得到較大試驗次數(shù),對于數(shù)據(jù)是否穩(wěn)定需要檢驗.4.問題解決:通過頻率估計摸出黃球的概率從而求得黃球的個數(shù).師生活動:學(xué)生小組合作設(shè)計試驗,分享交流后執(zhí)行試驗,利用圖形計算器統(tǒng)計試驗結(jié)果,繪制頻率分布圖,利用頻率估計概率,從而解決問題.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)對于此概率未知的問題也可以利用頻率估計概率,形成用頻率估計概率的方法.學(xué)生總結(jié)歸納獲得概率的方法,教師給出:對一般的隨機(jī)事件,在做大量重復(fù)試驗時,隨著試驗次數(shù)的增加,一個事件出現(xiàn)的頻率,總是在一個固定數(shù)的附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性.頻率穩(wěn)定性規(guī)律不但由人們大量的生活實(shí)踐所驗證,還由數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利給出了嚴(yán)格的證明.設(shè)計意圖:通過分析摸球問題,發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵是獲得事件的概率,經(jīng)歷解決問題的過程,學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)同用頻率估計概率的方法.體會到對于概率未知的隨機(jī)事件仍然可以使用頻率估計概率的方法解決.通過設(shè)計試驗方案,更加明確“重復(fù)”與“大量”的含義.兩個環(huán)節(jié)分別從學(xué)生已知概率的問題和未知概率(但是概率可計算)的問題兩個角度讓學(xué)生逐步認(rèn)同用頻率估計概率的方法.投一枚圖釘,你能估計出“釘尖朝上”的概率嗎?師生活動:學(xué)生討論,發(fā)現(xiàn)由于無法確定“釘尖朝上”、“釘尖朝下”的可能性是否相等,不能用列舉法求這個隨機(jī)事件的概率,有必要采用新學(xué)的方法——用頻率估計概率.設(shè)計意圖:對于未知概率的事件(概率不可計算求得),學(xué)生進(jìn)一步意識到用頻率估計概率是一種獲得隨機(jī)事件的概率的新方法,它的使用范圍比用列舉法求概率更廣.對于這個不能求出概率的問題,學(xué)生能夠獨(dú)立設(shè)計試驗,完整的說明運(yùn)用頻率估計概率的全過程,加深對規(guī)律和方法的理解.教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容,并請學(xué)生回答以下問題:1.目前我們學(xué)習(xí)了哪些求隨機(jī)事件概率的方法?2.說說你對頻率與概率之間關(guān)系的認(rèn)識.設(shè)計意圖:通過對本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的回顧、歸納,來讓學(xué)生鞏固對頻率的穩(wěn)定性規(guī)律和用頻率估計概率的方法的認(rèn)識,增強(qiáng)學(xué)生對頻率與概率之間關(guān)系的認(rèn)識.鞏固訓(xùn)練下表是某班同學(xué)隨機(jī)投擲一枚硬幣的試驗結(jié)果.拋擲次數(shù)n50100150200250300350400450500“正面向上”次數(shù)m22527195116138160187214238“正面向上”頻率m0.440.520.470.480.460.460.460.470.480.48下面有三個推斷:①表中沒有出現(xiàn)“正面向上”的頻率是0.5的情況,所以不能估計“正面向上”的概率是0.5;②這些次試驗投擲次數(shù)的最大值是500,此時“正面向上”的頻率是0.48,所以“正面向上”的概率是0.48;③投擲硬幣“正面向上”的概率應(yīng)該是確定的,但是大量重復(fù)試驗反映的規(guī)律并非在每一次試驗中都發(fā)生.其中合理的是③.

設(shè)計意圖:考查學(xué)生對頻率與概率的關(guān)系的理解,明確頻率與概率的聯(lián)系和區(qū)別,讓學(xué)生更深程度的理解用頻率估計概率的含義及方法.知能演練提升一、能力提升1.下面說法合理的是()A.小明在10次拋圖釘?shù)脑囼炛邪l(fā)現(xiàn)3次釘尖朝上,由此他說釘尖朝上的概率是3B.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,“擲得6”的概率是16C.某彩票的中獎機(jī)會是2%,則買100張彩票一定會有2張中獎D.在一次課堂進(jìn)行的試驗中,甲、乙兩組同學(xué)估計質(zhì)地均勻的硬幣落地后,正面朝上的概率分別為0.48和0.512.一個袋子中裝有12個完全相同的小球,每個球上分別寫有數(shù)字1~12.現(xiàn)在用摸球試驗來模擬6人中有2人生肖相同的概率,在此過程中,下面有幾種不同的觀點(diǎn),其中正確的是()A.摸出的球一定不能放回B.摸出的球必須要放回C.由于袋子中的球多于6個,因此摸出的球是否放回?zé)o所謂D.不能用摸球試驗來模擬此事件3.為了估計魚塘中魚的條數(shù),養(yǎng)魚者首先從魚塘中打撈30條魚做上標(biāo)記,然后放歸魚塘,經(jīng)過一段時間,等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中,再打撈200條魚,發(fā)現(xiàn)其中帶標(biāo)記的魚有5條,則魚塘中估計有條魚.

4.在“拋擲質(zhì)地均勻的正六面體”的試驗中,已知正六面體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,隨著試驗次數(shù)的增多,出現(xiàn)數(shù)字“1”的頻率的變化趨勢是接近.

5.某林業(yè)部門要考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率,下表是這種幼樹在移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):移植的棵數(shù)n10001500250040008000150002000030000成活的棵數(shù)m8651356222035007056131701758026430成活的頻率m0.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率為.

6.在一次大規(guī)模的統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)英文文獻(xiàn)中字母E的使用頻率在0.105附近,而字母J的使用頻率大約在0.001附近,如果這次統(tǒng)計是可信的,那么下列說法可信嗎?試說明理由.(1)在英文文獻(xiàn)中字母E出現(xiàn)的概率在10.5%左右,字母J出現(xiàn)的概率在0.1%左右;(2)如果再去統(tǒng)計一篇約含200個字母的英文文章時,那么字母E出現(xiàn)的頻率一定非常接近10.5%.7.兒童節(jié)期間,某公園游戲場舉行一場活動.有一種游戲規(guī)則是:在一個裝有8個紅球和若干個白球(每個球除顏色外,其他都相同)的不透明袋中,隨機(jī)摸1個球,摸到1個紅球就得到一個玩具.已知參加這種游戲的兒童有40000人,公園游戲場發(fā)放玩具8000個.(1)求參加此次活動得到玩具的頻率;(2)請你估計袋中白球的數(shù)量接近多少?★8.小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時,做拋擲骰子(質(zhì)地均勻的正方體)試驗,她們共做了60次試驗,試驗的結(jié)果如下:朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)79682010(1)計算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率.(2)小穎說:“根據(jù)試驗,一次試驗中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大”;小紅說:“如果拋擲600次,那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎?為什么?(3)小穎和小紅各拋擲一枚骰子,用列表的方法求出兩枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率.二、創(chuàng)新應(yīng)用★9.小紅和小明在操場做游戲,他們先在地上畫了半徑分別為2m和3m的同心圓(如圖),蒙上眼在一定距離外向大圓內(nèi)擲小石子,擲中陰影部分小紅勝,否則小明勝,未擲入大圓內(nèi)不算,你來當(dāng)裁判.(1)你認(rèn)為游戲公平嗎?為什么?(2)游戲結(jié)束,小明邊走邊想,“反過來,能否用頻率估計概率的方法,來估算非規(guī)則圖形的面積呢?”請你設(shè)計方案,解決這一問題.(要求畫出圖形,說明設(shè)計步驟、原理,寫出公式)知能演練·提升一、能力提升1.D2.B3.12004.15.0.8816.分析根據(jù)試驗頻率近似地等于概率的前提條件進(jìn)行判斷.解(1)正確.理由:本次大規(guī)模的統(tǒng)計是可信的,故試驗頻率近似地等于概率.(2)不正確.理由:含200個字母的英文文章中的字母E的使用頻率與英文文獻(xiàn)中字母E的使用頻率不是等價的,只能用試驗的方法去求得.7.解(1)參加此項游戲得到玩具的頻率mn=8(2)設(shè)袋中共有x個球,則摸到紅球的概率P(紅球)=8x.從而8解得x=40,故白球接近40-8=32(個).8.解(1)“3點(diǎn)朝上”出現(xiàn)的頻率是660=110;“5點(diǎn)朝上(2)小穎的說法是錯誤的.這是因為“5點(diǎn)朝上”的頻率最大并不能說明“5點(diǎn)朝上”這一事件發(fā)生的概率最大.只有當(dāng)試驗的次數(shù)足夠多時,該事件發(fā)生的頻率才穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近.小紅的說法也是錯誤的,因為事件發(fā)生具有隨機(jī)性,故“6點(diǎn)朝上”的次數(shù)不一定是100次.(3)列表如下小穎拋的點(diǎn)數(shù)小紅拋擲的點(diǎn)數(shù)123456123456723456783456789456789105678910116789101112P(點(diǎn)