《弧長和扇形面積（第一課時）》知識回顧回憶小學(xué)學(xué)習(xí)的圓的知識，半徑為r

的圓，周長是多少？面積是多少？

學(xué)習(xí)目標(biāo)2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.課堂導(dǎo)入如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣來計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.知識點1新知探究

下圖中各圓心角所對的弧長分別是圓周長的幾分之幾?OR180°OR90°OR45°ORn°

知識點1新知探究

知識點1新知探究1.題目中若沒有寫明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長，如弧長為3π，11π等.2.公式中的n和180表示倍數(shù)關(guān)系，沒有單位.3.不要混淆弧長相等和弧相等，弧相等指兩條弧全等，弧長相等指弧的長度相等.弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才是等弧.知識點1新知探究例

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算如圖所示管道的展直長度L.(單位：mm，精確到1mm)解：由弧長公式，可得弧AB的長因此所要求的展直長度L≈2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直長度約為2970mm．

跟蹤訓(xùn)練新知探究已知扇形的圓心角為120°，弧長為10πcm，則該扇形的半徑為

cm.15

知識點2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖，劣弧AB與半徑OA，OB圍成的圖形記作扇形OAB；優(yōu)弧AB與半徑OA，OB圍成的圖形記作扇形OACB.知識點2新知探究下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾，具體是多少呢?

OR180°OR90°OR45°ORn°知識點2新知探究扇形面積公式半徑為r的圓中，圓心角為n°的扇形的面積扇形面積公式中的“n”和弧長公式中的“n”一樣，表示“1°”的圓心角的倍數(shù)，參與計算時不帶單位.知識點2新知探究圓心角大小不變時，對應(yīng)的扇形面積與半徑有關(guān)，半徑越長，面積越大.圓的半徑不變時，扇形面積與圓心角有關(guān)，圓心角越大，面積越大.扇形的面積與哪些因素有關(guān)？O

ABDCEF

●OABCD●扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).知識點2新知探究扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？ABOO知識點2新知探究扇形的面積公式與什么公式類似？知識點2新知探究(1)截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？陰影部分.例

如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積.（精確到0.01m）(2)水面高0.3m是指哪一條線段的長？這條線段應(yīng)該怎樣畫出來？線段DC.過點O作OD垂直于AB并交圓O于C.知識點2新知探究例

如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積.（精確到0.01m）(3)要求圖中陰影部分的面積，應(yīng)該怎么算？陰影部分面積=扇形OAB的面積-

△OAB的面積知識點2新知探究

∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-

DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是線段OC的垂直平分線，∴AC＝AO＝OC.

從而∠AOD＝60?,∠AOB=120?.有水部分的面積：S＝S扇形OAB

-SΔOAB知識點2新知探究

由弦及弦所對的弧組成的圖形叫做弓形.跟蹤訓(xùn)練新知探究(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇形的圓心角的度數(shù)為

.(2)（2018?哈爾濱中考）一個扇形的圓心角為135°，弧長為3πcm，則此扇形的面積是

cm2.60°6π

隨堂練習(xí)1如圖，實線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的圓的半徑均為15m.若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則游泳池的周長是

m.40π

隨堂練習(xí)2如圖，AC是汽車擋風(fēng)玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，

CO=5cm，當(dāng)AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，則雨刷器AC掃過的區(qū)城(陰影部分)的面積為

cm2(結(jié)果保留π).500π

隨堂練習(xí)2在求解陰影部分面積的問題中，如果所求的陰影部分是不規(guī)則圖形，可以采取各種方法，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差的形式.與圓有關(guān)的陰影部分面積的問題，往往需要利用扇形面積公式或弓形面積的計算公式.不規(guī)則圖形面積的求解方法隨堂練習(xí)3如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點D,E.若∠A=60°,BC=4,則圖中陰影部分的面積為______(結(jié)果保留π).

課堂小結(jié)弧長計算公式：扇形定義公式陰影部分面積求法：整體思想弓形S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形對接中考1

D

對接中考2如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無滑動翻滾，當(dāng)點A第一次翻滾到點A1的位置時，則點A經(jīng)過的路線長為

.

對接中考2

如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無滑動翻滾，當(dāng)點A第一次翻滾到點A1的位置時，則點A經(jīng)過的路線長為

.6π如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.解：(1)如圖，連接OD.因為∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,所以∠DOP=180°-120°=60°.因為∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,所以O(shè)D⊥DP.又OD為⊙O的半徑，所以DP是⊙O的切線.對接中考3對接中考3

如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.

弧長公式及其應(yīng)用

A.3πB.4πC.10πD.12πB123456789101112【解析】如圖，連接

OA

，

OC

.

∵∠

ABC

＝60°，∴∠

AOC

＝2∠

ABC

＝120°.

1234567891011122.已知扇形的弧長為6πcm，且此扇形的圓心角為90°，則此扇形的半

徑為(

C

)A.3cmB.6cmC.12cmD.18cm

C123456789101112

A.4πcmB.4cmC.2πcmD.2cm第3題圖C123456789101112【解析】如圖，連接

OC

，

OD

，∵

AC

，

BD

分別與☉

O

相切于點

C

，

D

，∴∠

OCP

＝∠

ODP

＝90°.∵∠

P

＝120°，∠

OCP

＋∠

ODP

＋∠

P

＋∠

COD

＝360°，∴∠

COD

＝60°.

123456789101112

A.12πmB.24πmC.36πmD.48πm第4題圖B123456789101112

123456789101112

扇形面積公式及其應(yīng)用5.(滄州一模)數(shù)學(xué)課上，老師將如圖所示的邊長為1的正方形鐵絲

框變形成以

A

為圓心，

AB

為半徑的扇形(鐵絲的粗細(xì)忽略不計)，則所

得扇形的面積是(

A

)A.1B.1.5C.2A

1234567891011126.如圖，分別以△

ABC

的三個頂點為圓心，作半徑均為1的三個圓，三

個圓兩兩不相交，那么三個圓落在△

ABC

內(nèi)的面積之和為(

D

)A.3πB.2πC.π

D1234567891011127.(2024·承德興隆縣期末)如圖，正五邊形

ABCDE

內(nèi)接于半徑為3的☉

O

，則陰影部分的面積為(

A

)

A1234567891011128.若一個扇形的弧長是10πcm，面積是60πcm2，則此扇形的圓心角的

度數(shù)是(

B

)A.300°B.150°C.120°D.75°

B123456789101112

9.(廊坊?？茧A段練習(xí))如圖，在△

ABC

中，∠

B

＝50°，

AC

＝3，

將△

ABC

繞點

A

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'，點B'在邊

BC

上，則邊

AC

在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為(

B

)A.πB.2πC.2.5πD.4πB123456789101112

123456789101112

0.8

12345678910111211.如圖，將一個直徑

AB