第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)浙附玉泉、丁蘭高一下學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知i?z=2+i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.2 B.?2 C.2i D.?2i2.已知向量a=(1,2)，b=(?2,m)，若a⊥b，則A.1 B.?1 C.4 D.?43.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為(

)

A.2+22 B.8 C.4.已知向量e1,e2為非零向量，則“|e1+eA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點E在邊CD上運動(包含端點)，則AE?BE的取值范圍為(

)A.22,72 B.[26.某圓錐的底面半徑為6，其內(nèi)切球半徑為3，則該圓錐的側(cè)面積為(

)A.20π B.30π C.60π D.90π7.如圖所示，A，B，P，Q在同一個鉛垂面，在山腳A測得山頂P的仰角∠QAP為60°，∠QAB=30°，斜坡AB長為m，在B處測得山頂P的仰角∠CBP為α，則山的高度PQ為(

)

A.3msin(α+30°)2sin8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b2?2csinB+c2=aA.5?2 B.3?5 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.i2025=1

B.若z1>z2，則z1>z2

C.z10.在?ABC中，內(nèi)角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，已知a=3，(a+b)sinA.A=π6 B.?ABC的周長的最大值為33

C.當(dāng)b最大時，?ABC的面積為11.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB=4，A.正三棱柱ABC?A1B1C1的外接球表面積為112π3

B.若D是棱CC1中點，則三棱錐A?BCD的體積為833

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.空間四邊形ABCD,M,N,P分別為BD,AC,BC的中點，若異面直線AB和CD成30°的角，則∠NPM=

．13.如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC=λAE+μAF，其中λ,μ∈R，則λ+μ=14.水平桌面上放置了3個半徑為2的小球，它們兩兩相切，并均與桌面相切.若用一個半球形容器(容器厚度忽略不計)罩住三個小球，則半球形容器的半徑的最小值是

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)設(shè)i為虛數(shù)單位，a∈R，復(fù)數(shù)z1①z1+z2∈R(1)求實數(shù)a的值；(2)若z1z2(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)16.(本小題12分)已知a(1)求a在b上的投影向量的坐標．(2)若ka?b與a+217.(本小題12分)如圖，已知在正三棱柱ABC?A1B1C1中，(1)求正三棱柱ABC?A(2)求證：直線AB1//平面18.(本小題12分)在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，過?ABC內(nèi)一點M的直線l與直線AB交于D，記BA與DM夾角為(1)已知c?acos(i)求角A﹔(ii)M為?ABC的重心，b=c=1,θ=30°，求(2)請用向量方法探究θ與?ABC的邊和角之間的等量關(guān)系．19.(本小題12分)據(jù)報道，2024年4月15日，正值全民國家安全教育日，田灣核電8號機組穹頂球冠吊裝成功(如圖(1))，標志著國內(nèi)最重核電機組薄殼鋼襯里穹頂?shù)跹b工作安全完成，有力推動了我國產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)的調(diào)整，助力“雙碳”目標順利實現(xiàn).報道中提到的球冠是一個空間幾何概念，它是指球面被一個平面所截得的一部分(不包含截面)，垂直于截面的直徑被截得的部分是球冠的高.球冠面積等于截得它的球面上大圓(過球心的截面圓)周長與球冠的高的乘積.和球冠相對應(yīng)的幾何體叫球缺，它是指球體被一個平面所截得的一部分，截面是球缺的底.當(dāng)球缺的高小于球半徑時，我們把球缺與以球缺的底為底?以球心為頂點的圓錐所構(gòu)成的體，稱作“球錐”(如圖(2))當(dāng)一個四面體各頂點都在“球錐”表面上時，稱這個四面體內(nèi)接此“球錐”.如圖(2)，設(shè)一個“球錐”所在球的半徑為R，其中球冠高為?(?<(1)類比球體積公式的推導(dǎo)過程(可參考圖(3))，寫出“球錐”的體積公式；(2)在該“球錐”中，當(dāng)球缺的體積與圓錐的體積相等時，求?R(3)已知一個棱長為a的正四面體內(nèi)接此“球錐”，并且有一個頂點與球心重合，若滿足條件的a有且只有一個，求?R的取值范圍．

參考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.D

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.BC

11.ABD

12.30°或15013.4314.2+215.【詳解】(1)若選①：由z1+z2=3+若選②：由z1z2若選③：由2=a2?1(2)z1z2+b=

16.【詳解】(1)依題意，a?b=?1×2+0(2)依題意，ka?b由ka?b與a+2b的夾角為鈍角，得(k則3(?k?2)?2<0且2(?k?2)≠?3，解得k>?所以實數(shù)k的取值范圍是(?

17.【詳解】(1)S(2)取C1B和B1C交點∵D，M分別為AC，B1C中點，故AB1?平面BDC1∴AB1//

18.【詳解】(1)(i)因為c?acos由正弦定理可得sinC?即sin(A+B)?sinA又0°<B<180°，所以又0°<A(ii)由題意b=c=1,θ=30°，因為M為?ABC的重心，所以所以|AM|=AM在?ADM中，由正弦定理知|AD|sin∠AMD顯然?ABC為等腰三角形，則AM平分∠所以AD==2(2)直線l與?ABC的邊AC相交于點E因為BA=BC+即DE?又因為DE?DE?DE?所以c|即ccos

19.【詳解】(1)把“球錐”切割成無數(shù)個小錐體，由題意得球冠面積為S=2πR?，所有小錐體的底面積之和即球冠面積，結(jié)合錐體體積公式得“球錐”的體積為(2)設(shè)圓錐半徑為r，則r2當(dāng)球缺的體積與圓錐的體積相等時，V“球錐”即23消去r2，得2整理得R2?3R?+?2=0(3)設(shè)正四面體P?ABC內(nèi)