第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年浙江省杭州市拱墅區(qū)源清中學(xué)高二下學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過點和點的直線傾斜角為（

）A. B. C. D.2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A.2 B.1 C.8 D.43.某校一次數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，已知，則（

）A.0.15 B.0.25 C.0.3 D.0.24.在某次無人機(jī)燈光表演秀中，有8架無人機(jī)排布成如下圖形式，已知每架無人機(jī)均可以發(fā)出紅、黃、藍(lán)3種顏色的光，編號1至5號的無人機(jī)顏色必須相同，編號7、8號的無人機(jī)顏色必須相同，編號6號的無人機(jī)與其他無人機(jī)顏色均不相同，則這8架無人機(jī)同時發(fā)光時，一共可以有（）種燈光組合.

A.18 B.15 C.12 D.95.已知為等差數(shù)列，且．若直線l：與圓：相切，則的公差為（

）A.8 B.4或8 C.6 D.2或66.關(guān)于二項式，若展開式中含的項的系數(shù)為，則（

）A.3 B.2 C.1 D.-17.已知拋物線，過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，交圓于兩點，其中位于第一象限，則的最小值為（

）A.2 B.3 C.4 D.58.在直三棱柱中，分別是的中點，D在線段上，則下面說法中不正確的是（

）

A.平面

B.直線與平面所成角的正弦值為

C.直三棱柱的外接球半徑為

D.直線與直線所成角最小時，線段長為二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，則（

）A.橢圓C的長軸為

B.橢圓C的離心率為

C.

D.拋物線上與焦點距離等于9的點的坐標(biāo)為10.餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好，現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡餃子，2盒三鮮餡餃子和5盒青菜餡餃子，乙箱中有3盒肉餡餃子，3盒三鮮餡餃子和4盒青菜餡餃子，則下列正確的是（）A.從甲箱中取出兩盒餃子都是肉餡的概率是

B.依次從甲箱中取出兩盒餃子，第一盒是肉餡的條件下，第二盒是青菜餡的概率是

C.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是

D.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，若從乙箱取出的餃子是肉餡的，則從甲箱中取出三鮮?餃子的概率是11.已知函數(shù)其中，則下列選項正確的是（

）A.

B.若，則

C.，使有兩解，則

D.有最大值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知數(shù)列滿足，且，則

.13.已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)

．14.為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門勞動教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報名參加該校勞動教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，而甲不能參加C課程，則不同的報名方法數(shù)為

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為．記，數(shù)列是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．16.(本小題12分)書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）(2)若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．17.(本小題12分)如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，點，分別為和的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求與平面所成角的正弦值.18.(本小題12分)已知橢圓C：，，，，這四點中恰有三點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)點E是橢圓C上的一個動點，求面積的最大值；(3)過的直線l交橢圓C于A、B兩點，設(shè)直線l的斜率，在x軸上是否存在一點，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.19.(本小題12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于的方程有兩根（其中），①求的取值范圍；②當(dāng)時，求的取值范圍.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】1

13.【答案】1

14.【答案】100

15.【答案】【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為由題意得，，，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得，，所以.（2）由（1）得，所以，故，所以因為，所以，故，因為為單調(diào)遞減函數(shù)，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故當(dāng)時，，綜上：.

16.【答案】【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意知，即，所以．（3）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：

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所以.

17.【答案】【詳解】（1）取中點，連接，由為中點，為中點，得，又，則，因此四邊形為平行四邊形，于是，而平面平面，所以平面.（2）過作于點，連接，由，得≌，則，即，而，因此，又平面，則平面，平面，所以平面平面.（3）由（2）知，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，設(shè)與平面所成角為，，所以與平面所成角的正弦值是.

18.【答案】【詳解】（1）因為，關(guān)于軸對稱，根據(jù)題意以及橢圓的對稱性可知，兩點都在橢圓上，即有成立.若在橢圓上，則有.聯(lián)立可得，，不合題意，舍去.所以，在橢圓上，即有，所以，代入，可得.所以，橢圓C的方程為.（2）要使面積最大，則應(yīng)有點E到直線的距離最大.由，，可得直線方程為.過點作直線，使得，則到直線的距離即等于直線到直線的距離.顯然，當(dāng)直線與橢圓相切時，距離為最大或最小.則設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.因為，直線與橢圓相切，則，解得，.則當(dāng)時，此時直線方程為，與直線距離最大，此時.又，所以面積的最大值為.（3）設(shè)，，假設(shè)在x軸上存在一點，使得、為鄰邊的平行四邊形為菱形.因為直線過點，則直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程可得，，恒成立，且，，，，所以，則的中點坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，顯然該直線過點.令，則，即.因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立.所以，，所以，則，所以.即實數(shù)m的取值范圍為.

19.【答案】【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，由解得，由解得，故的單