第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高一（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=2i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設(shè)向量a=(?1,1)，b=(1,3)，則b?2A.(3,1) B.(?2,?2) C.(2,?2) D.(?3,?1)3.將函數(shù)y=3sin(2x+π4)+1的圖象向左平移π3后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)A.(11π24,0) B.(11π24,1)4.已知向量a，b不共線，且向量a+λb與(λ?1)a+2b共線，則實(shí)數(shù)A.?2或?1 B.?2或1 C.?1或2 D.1或25.如圖，水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖為△A′B′C′，若A′B′=A′C′=1，則BC=(

)A.5 B.5 C.2 D.6.設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四個(gè)點(diǎn)，且滿足AB?AC=0，AC?AD=0，ADA.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形7.釋迦塔俗稱(chēng)應(yīng)縣木塔，建于公元1056年，是世界上現(xiàn)存最古老最高大之木塔，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱(chēng)“世界三大奇塔”.2016年、釋迦塔被吉尼斯世界紀(jì)錄認(rèn)定為世界最高的木塔.小張為測(cè)量木塔AB的高度，設(shè)計(jì)了如下方案：在木塔所在地面上取一點(diǎn)M，并垂直豎立一高度為1m的標(biāo)桿MN，從點(diǎn)N處測(cè)得木塔頂端A的仰角為60°，再沿BM方向前進(jìn)92m到達(dá)C點(diǎn)，并垂直豎立一高度為2.5m的標(biāo)桿CD，再沿BC方向前進(jìn)2m到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)恰好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A，D在一條直線上.若小張眼睛到地面的距離EF=1.5m，則小張用此法測(cè)得的釋迦塔的高度AB約為(參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)(

)

A.64.5m B.67.8m C.70.2m D.72.4m8.對(duì)于集合A={θ1,θ2,…,θn}和常數(shù)θ0，定義：μ=cos2(θ1?A.12 B.32 C.1 D.與二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知非零復(fù)數(shù)z1，z2，其共軛復(fù)數(shù)分別為z1?A.z12=z1?2B.z1+z210.重慶榮昌折扇是中國(guó)四大名扇之一，圖1為榮昌折扇，其平面圖為圖2的扇形COD，其中∠COD=2π3,OC=3OA=3，動(dòng)點(diǎn)P在CD上(含端點(diǎn))，連接OP交扇形OAB的弧AB于點(diǎn)Q，且OQ=xOC+yA.若y=x，則x+y=23 B.若y=2x，則OA?OP=0

11.《數(shù)書(shū)九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書(shū)十八卷共八十一個(gè)問(wèn)題，分為九類(lèi)，每類(lèi)九個(gè)問(wèn)題，《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S=14[c2a2?(c2+a2?b22)2A.△ABC周長(zhǎng)為5+7

B.△ABC三個(gè)內(nèi)角A，C，B滿足關(guān)系A(chǔ)+B=2C

C.△ABC外接圓半徑為2213

D.三、填空題：本題共3小題，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a：b：c=4：5：6，則cos2C的值為_(kāi)_____．13.方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)兩根tanα、tanβ，且α，β∈(?π2,π14.設(shè)x∈R，向量a=(x,1)，b=(3,?3)，且a⊥b，則x=

；當(dāng)t∈[?1,2]時(shí)，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,?x),c=(?3,5),x∈R．

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a//b，求|2a16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=2cosx(3sinx+cosx)?1，g(x)=f(2x?π4)．

(1)求f(x)最小正周期；

(2)求g(x)的對(duì)稱(chēng)中心；

(3)若17.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且1+sinAcosA=1+sinBcosB．

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)設(shè)AB=2，且D是邊BC的中點(diǎn)，求當(dāng)∠CAD18.(本小題17分)

有一個(gè)半徑為r，圓心角α=π3的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁前出一個(gè)矩形．

方案1：如圖1，裁前出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線段OM上；

方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿足PQ//RS//OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn)．

(1)按照方案1裁前，設(shè)∠NOC=θ，用θ表示矩形ABCD的面積，并求出其最大面積；

(2)按照方案2裁前，求矩形PQRS的最大面積，并與(1)中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁前出面積最大的矩形．19.(本小題17分)

如圖，設(shè)Ox、Oy是平面內(nèi)相交成α(0<α<π)的兩條射線，e1，e2分別為Ox、Oy同向的單位向量，定義平面坐標(biāo)系xOy為α?仿射坐標(biāo)系，在α?仿射坐標(biāo)系中，若OP=xe1+ye2，則記OP=(x,y)．

(1)在π4?仿射坐標(biāo)系中，若a=(2,1)，求|a|；

(2)如圖所示，在π3?仿射坐標(biāo)系中，B、C分別在

參考答案1.B

2.A

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.A

9.BD

10.ABD

11.ABD

12.?3113.?3π14.315.解：(1)已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,?x),c=(?3,5),x∈R，

若a⊥b，則a?b=(1,x)?(2x+3,?x)=1×(2x+3)+x(?x)=0，

整理得x2?2x?3=0，解得x=?1或x=3，

故x的值為?1或3；

(2)若a//b，則有1×(?x)?x(2x+3)=0，即x(2x+4)=0，解得x=0或x=?2，

當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0),b=(3,0)，則2a?b=(?1,0)，根據(jù)模長(zhǎng)公式可得|2a?b|=1；

當(dāng)x=?2時(shí)，a=(1,?2),b=(?1,2)，則2a?b=(3,?6)，根據(jù)模長(zhǎng)公式可得|2a?b|=32+(?616.解：(1)f(x)=2cosx(3sinx+cosx)?1

=23cosxsinx+2cos2x?1

=3sin2x+cos2x

=2(32sin2x+12cos2x)

=2sin(2x+π6)，

所以f(x)最小正周期為T(mén)=2π2=π；

(2)因?yàn)間(x)=f(2x?π4)

=2sin[2(2x?π4)+π6]

=2sin(4x?π2+π6)

=2sin(4x?π3)，

令4x?π3=kπ,k∈Z，

解得：x=π12+kπ4,k∈Z，

17.解：(1)因?yàn)?+sinAcosA=1+sinBcosB，所以(sinA2+cosA2)2cos2A2?sin2A2=(sinB2+cosB2)2cos2B2?sin2B2，

所以sinA2+cosA2cosA2?sinA2=sinB2+cosB2cosB2?sinB2，整理得sinA2cosB2?cosA2sinB2=0，即sin(18.(1)解：圖1中，因?yàn)椤螻OC=θ，扇形半徑為r，圓心角α=π3，

所以BC=rsinθ,OB=rcosθ,OA=ADtanπ3=33rsinθ，

則AB=OB?OA=rcosθ?33rsinθ，

所以矩形ABCD的面積為：S=BC?AB=rsinθ(rcosθ?33rsinθ)=r2(sinθcosθ?33sin2θ)=r2(12sin2θ?3(1?cos2θ)6)

=33r2(32sin2θ+12cos2θ?12)=33r19.解：(1)由