28.1銳角三角函數(shù)第1課時(shí)正弦王笑男郾城初級(jí)中學(xué)1坊郾城區(qū)郾城初級(jí)中學(xué)一、設(shè)計(jì)意圖課標(biāo)依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“圖形與幾何”領(lǐng)域明確要求：“利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角；能利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，形成模型觀念?！蓖瑫r(shí)強(qiáng)調(diào)：①抽象能力：從實(shí)際問題抽象出邊角函數(shù)關(guān)系；②推理意識(shí)：通過實(shí)驗(yàn)歸納證明“角度定則比值定”；③應(yīng)用意識(shí)：解決測(cè)量、工程中的坡度問題。本節(jié)課作為銳角三角函數(shù)的起始課，承擔(dān)著建立概念、培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的重要任務(wù)。教材分析本節(jié)課內(nèi)容選自《人教版義務(wù)教育教科書》九年級(jí)下冊(cè)第二十八章銳角三角函數(shù)第一課時(shí)正弦函數(shù)，這部分內(nèi)容在課本61頁~63頁。銳角三角函數(shù)是全章乃至整個(gè)三角學(xué)的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。從教材的編排體系來看，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形的性質(zhì)（勾股定理）、相似三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，掌握了正弦函數(shù)的概念和研究方法，不僅可以使學(xué)生更全面的認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念，同時(shí)又為解直角三角形以及后續(xù)高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)做鋪墊，起到了承上啟下的作用。知識(shí)結(jié)構(gòu)圖本課定位：承前：相似三角形性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例）啟后：余弦函數(shù)→正切函數(shù)→解直角三角形→高中三角函數(shù)學(xué)情分析1.知識(shí)基礎(chǔ)：學(xué)生已熟練掌握直角三角形邊角名稱、勾股定理、相似三角形判定及比例相關(guān)知識(shí)2.認(rèn)知特點(diǎn)：九年級(jí)學(xué)生具備一定的抽象思維能力，對(duì)動(dòng)手操作、信息技術(shù)融合活動(dòng)興趣濃厚，但對(duì)函數(shù)概念的理解仍需具體實(shí)例支撐，將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力較弱。3.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：從"邊的關(guān)系"角度理解三角函數(shù)本質(zhì)，建立角度與比值之間的函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，從靜態(tài)邊角關(guān)系向動(dòng)態(tài)函數(shù)對(duì)應(yīng)的思維跨越。二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能：理解銳角正弦的概念，掌握正弦的表示方法；會(huì)根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)求一個(gè)銳角的正弦值，能利用正弦求直角三角形的邊長(zhǎng)。2.過程與方法：經(jīng)歷探索直角三角形中的邊與角的關(guān)系，培養(yǎng)由特殊到一般的演繹推理能力；通過自我發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)自我反思能力，通過提出困惑提升發(fā)現(xiàn)問題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：在主動(dòng)參與探索概念的過程中，發(fā)展合情推理能力和合作交流、探究發(fā)現(xiàn)的意識(shí)；培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣，獲得成功體驗(yàn)，建立自信心。4.數(shù)學(xué)文化與德育：了解正弦函數(shù)的歷史背景，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，同時(shí)滲透德育教育，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的價(jià)值觀和人生觀。教學(xué)重點(diǎn)建構(gòu)正弦概念，理解“角度定則比值定”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。（三）教學(xué)難點(diǎn)體會(huì)當(dāng)銳角一定時(shí)，它的正弦值也唯一確定，理解直角三角形中一個(gè)銳角與其對(duì)邊及斜邊比值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計(jì)算。突破策略（四）教學(xué)過程環(huán)節(jié)1：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，溫故知新問題1：在Rt△ABC中，∠C=90°，結(jié)合我們所學(xué)過的知識(shí)，三角形的邊角有什么樣的結(jié)論呢？問題2：對(duì)于直角三角形的邊角關(guān)系，我們知道了三邊之間的關(guān)系：兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方，也知道了角關(guān)系，兩個(gè)銳角之和為90°。那么它的邊和角又存在了什么樣的關(guān)系呢？今天我們帶著這樣的問題走近本章——銳角三角函數(shù)。師生活動(dòng)：師生共憶，學(xué)生舉手回答，其他同學(xué)做補(bǔ)充，老師將學(xué)生說出的結(jié)論展示在黑板上。設(shè)計(jì)意圖：以一個(gè)直角三角形對(duì)我們學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，引出我們接下來要學(xué)習(xí)探究的方向。前面研究了直角三角形中角與角之間的關(guān)系（兩銳角互余）、三邊之間的關(guān)系（勾股定理），還可以研究邊與角之間的關(guān)系。環(huán)節(jié)2：探究發(fā)現(xiàn)，形成概念問題1：為了綠化荒山，市綠化辦打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌．現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？（1）解決問題，初步體驗(yàn)：追問1：你能將問題中的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言嗎？師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生將題干轉(zhuǎn)化為：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB的長(zhǎng)。追問2：利用我們所學(xué)知識(shí)，你能解答這個(gè)問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生舉手回答出問題的答案，并說明解題過程。追問3：在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？師生活動(dòng)：學(xué)生舉手回答問題，師生共評(píng)。追問4：根據(jù)上面幾個(gè)問題，我們由此能得出什么樣的結(jié)論呢？設(shè)計(jì)意圖：通過運(yùn)用我們之前在八年級(jí)學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)：“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，體會(huì)感受：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，無論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊和斜邊的比都等于12(2)類比探究，特殊角45°在直角三角形中，如果銳角的大小發(fā)生了改變，其對(duì)邊與斜邊的比值還是固定值嗎？問題2：請(qǐng)任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比。師生活動(dòng)：學(xué)生在自己的本子上畫出圖形，獨(dú)立思考并作答，作答后學(xué)生以小組為單位討論自己的運(yùn)算結(jié)果，交流展示。追問1：你們畫的三角形大小一樣嗎？那結(jié)果是什么呢？師生活動(dòng)：請(qǐng)兩個(gè)小組的代表起來回答問題。追問2：由此我們能得出什么結(jié)論？師生活動(dòng)：學(xué)生一起回答：在直角三角形中，若一個(gè)銳角為45°時(shí)，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值也是一個(gè)固定值，值為22，設(shè)計(jì)意圖：通過類比和探究，學(xué)生進(jìn)一步理解了直角三角形中邊角關(guān)系的規(guī)律性，感受到數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性與美感。(3）畫圖測(cè)量，大膽猜想通過對(duì)直角三角形中30°和45°兩個(gè)特殊角的探究，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值為定值。在Rt△ABC中，當(dāng)∠A取其他度數(shù)時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？問題3：請(qǐng)任意畫一個(gè)Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)∠A取其他度數(shù)時(shí)，算一算它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？師生活動(dòng)：學(xué)生通過畫圖，大膽猜想，教師在黑板上寫出猜想。設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生體驗(yàn)合理的猜想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中研究問題的方法之一，同時(shí)為學(xué)生提供自主探究的空間，增強(qiáng)語言表達(dá)能力，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“對(duì)邊與斜邊的比”的關(guān)注，為獲得“角度固定，比值也固定”作進(jìn)一步鋪墊。(4）運(yùn)用舊知，驗(yàn)證猜想接下倆就讓我們頭腦風(fēng)暴，來驗(yàn)證我們的猜想吧！問題4：驗(yàn)證猜想：已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，求證：BCAB=師生活動(dòng)：由學(xué)生自主證明，老師在學(xué)生之間根據(jù)學(xué)生問題進(jìn)行適當(dāng)指點(diǎn)，思路不清晰的同學(xué)可以小組之間進(jìn)行探討。證明結(jié)束后可同桌探討，并找一名學(xué)生來到講臺(tái)上講一講自己的證明過程。追問：根據(jù)證明，能否驗(yàn)證我們的猜想呢？由此我們可以得出什么樣的結(jié)論？在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．幾何畫板動(dòng)態(tài)演示：1.任取一個(gè)角度，當(dāng)銳角∠A的大小不變，拖動(dòng)點(diǎn)改變?nèi)切未笮。瑢?shí)時(shí)顯示∠A的對(duì)邊/斜邊比值，學(xué)生可以清晰地看到，無論三角形的大小如何變化，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值始終保持不變。這一動(dòng)態(tài)演示進(jìn)一步驗(yàn)證了之前的猜想，加深了學(xué)生對(duì)正弦概念的理解，還體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)探究的樂趣和成就感。2.構(gòu)建[角度-比值]坐標(biāo)系，學(xué)生觀察幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，直觀感受角度與比值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪點(diǎn)展現(xiàn)函數(shù)關(guān)系的初步形態(tài)，體會(huì)其變化規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的推理論證意識(shí)，進(jìn)一步熟悉發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論的基本套路，為引出銳角的正弦概念奠定基礎(chǔ)。讓學(xué)生在一系列的問題解決中，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，經(jīng)歷從特殊到一般建立數(shù)學(xué)概念過程。(5）反復(fù)論證，形成概念在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的對(duì)邊記作a，∠B的對(duì)邊記作b，∠C的對(duì)邊記作c．在Rt△BC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝∠A數(shù)學(xué)史融入：“正弦”一詞源于阿拉伯語“jiba”（彎曲），12世紀(jì)翻譯成拉丁語“sinus”（海灣）。明代徐光啟翻譯《幾何原本》時(shí)，根據(jù)“半弦”含義創(chuàng)譯“正弦”。注意：“sinA”是一個(gè)完整的符號(hào)，單獨(dú)寫符號(hào)sin是沒有意義的，表達(dá)時(shí)有時(shí)要省去角的符號(hào)“∠”。正弦的表示：1.sinA、sin39°、sinβ（省去角的符號(hào)）；2.sin∠ABC、sin∠1（不能省去角的符號(hào)）.特殊角總結(jié)：當(dāng)∠A=30°時(shí)，sinA=sin30°=1當(dāng)∠A=45°時(shí)，sinA=sin45°=2當(dāng)∠A=60°時(shí)，sinA=sin60°=3環(huán)節(jié)三：例題示范，分層演練例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。問題：（1）求sinA要確定什么?求sinB呢?（2）它們的對(duì)邊和斜邊都已知嗎？未知的怎么辦呢？（3）請(qǐng)計(jì)算并書寫過程師生活動(dòng)：找學(xué)生分別回答出圖1和圖2的答案，教師在黑板上書寫解題過程，引導(dǎo)規(guī)范步驟。設(shè)計(jì)意圖：例題鞏固銳角的正弦概念，求正弦時(shí)需要先明確對(duì)邊與斜邊分別是誰，規(guī)范學(xué)生的解題格式。如果沒有給出銳角對(duì)邊長(zhǎng)或者斜邊長(zhǎng)，那么應(yīng)先根據(jù)勾股定理求出所需的邊長(zhǎng)，再根據(jù)定義求解。例2在Rt△ABC中，∠C=90°，AC:BC=2:3，求sinA的值。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，學(xué)生上臺(tái)講解，師生共評(píng)。一題多變：若將條件中的“AC:BC=2:3”變?yōu)椤皊inB=25設(shè)計(jì)意圖：當(dāng)題干沒有給出圖形時(shí)，要學(xué)會(huì)根據(jù)題干自己畫圖，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。遇到比值問題，要善于使用方程思想來解決問題。一題多變，改變條件，通過這一道題來加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。例3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，sinA=513，求BC的長(zhǎng)師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，做完的同學(xué)舉手老師流動(dòng)進(jìn)行批改，并請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)講解，師生共同點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用銳角的正弦值求直角三角形邊長(zhǎng)，已知銳角的正弦值及三角形的一邊長(zhǎng)，可根據(jù)正弦的定義確定對(duì)邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)的比值，結(jié)合勾股定理列方程求解。環(huán)節(jié)5：文化拓展，總結(jié)升華古代智慧：展示埃及金字塔建造示意圖“據(jù)測(cè)算，胡夫金字塔斜面與地面夾角52°，sin52°≈0.788，使每塊巨石重力沿斜面的分力恰好等于摩擦力”環(huán)節(jié)6：自我評(píng)價(jià)，課堂小結(jié)問題1：請(qǐng)同學(xué)們談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲？問題2：如果給今天自己的學(xué)習(xí)打分，滿分為10分，你能給自己打多少分呢？6分以上的舉手。如果自我評(píng)分低于6分，請(qǐng)自我檢查一下自己還有哪些知識(shí)點(diǎn)沒有掌握，可以利用課下的時(shí)間問問老師或者同學(xué)。問題3：我們能否用今天探究學(xué)習(xí)的方法展開研究，探究鄰邊與斜邊，對(duì)邊與鄰邊之間的關(guān)系呢?設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生梳理學(xué)習(xí)內(nèi)容，提煉學(xué)習(xí)過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法。并通過給自己今天的學(xué)習(xí)打分，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)自己學(xué)習(xí)中的漏洞，以及課堂上自己行為習(xí)慣的改變和調(diào)整。并引導(dǎo)學(xué)生在今天學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行遷移，探究學(xué)習(xí)新知，為下節(jié)課余弦以及正切做鋪墊。作業(yè)布置必做題：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，則AC=3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P(3，4)，連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值.4.如圖，在正方形網(wǎng)格中有△ABC，則sin∠ABC的值為5.已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求∠A，∠B的正弦值實(shí)踐探究（選做）任務(wù)A：測(cè)量手機(jī)支架與桌面的夾角任務(wù)B：用手機(jī)測(cè)角儀測(cè)量校園旗桿仰角，計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)到旗桿的距離任務(wù)C:文化拓展觀看紀(jì)錄片《數(shù)學(xué)的故事》第3集（東方數(shù)學(xué)），撰寫300字感想（六）板書設(shè)計(jì)28.1銳角三角函數(shù)——第1課時(shí)正弦憶舊知如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°易得：a2得新知當(dāng)∠A=30°時(shí)，sinA=sin30°=12當(dāng)∠A=45°時(shí)，sinA=sin45°=22當(dāng)∠A=60°時(shí)，sinA=sin60°=32三、正弦在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝∠A教學(xué)反思優(yōu)點(diǎn)：1.導(dǎo)引自然通過給出一個(gè)直角三角形回顧舊知，引出新知，激發(fā)學(xué)生的求知欲，自然過渡到對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的研究，為正弦概念的引入做了鋪墊。課堂上通過環(huán)環(huán)相扣的問題，破解學(xué)習(xí)過程中的重難點(diǎn)以及易錯(cuò)點(diǎn)。2.概念形成注重過程沒有直接給出正弦的定義，而是讓學(xué)生通過測(cè)量多個(gè)直角三角形中“對(duì)邊與斜邊的比值”，發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，當(dāng)銳角固定時(shí)，對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)定值”這一規(guī)律。這種由具體到抽象的過程，幫助學(xué)生更深刻地理解了正弦的本質(zhì)。通過傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)與數(shù)字技術(shù)互補(bǔ)，攻克認(rèn)知難點(diǎn)，使用GeoGebra動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生更直觀地看到角度變化時(shí)比值的變化情況，增強(qiáng)了教學(xué)的直觀性和生動(dòng)性。通過反復(fù)論證，學(xué)生逐步形成了正弦的概念，并掌握了正弦的求法。這一過程不僅培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和推理能力，還讓學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣和成就感。3.例題設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)例題和練習(xí)的難度逐步提升，從“已知直角三角形的兩邊求正弦值”到“已知正弦值以及一邊求另一邊”，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。在例題講解過程中，注重引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件，明確解題步驟，規(guī)范書寫格式，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的引導(dǎo)與總結(jié)。通過學(xué)生上臺(tái)講解、師生共評(píng)的方式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也鍛煉了他們的表達(dá)能力和思維能力。此外，還通過一題多變的形式，改變了題目條件，讓學(xué)生在新情境下運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，進(jìn)一步加深了對(duì)知識(shí)的理解和記憶。借力數(shù)學(xué)史與文化案例，落實(shí)立德樹人目標(biāo)在數(shù)學(xué)課堂上，我們不僅僅傳授知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文情懷。通過融入數(shù)學(xué)史，如“正弦”一詞的起源與發(fā)展，不僅豐富了學(xué)生的知識(shí)面，還激發(fā)了他們對(duì)數(shù)學(xué)文化的興趣和熱愛。同時(shí)，結(jié)合古代智慧，如埃