_2.2用內切球探索圓錐曲線的性質[對應學生用書P40][讀教材·填要點]1．球的切線與切平面(1)球的切線：①定義：與球只有唯一公共點的直線叫做球的切線，如果球的切線通過一點P，切點為A，則稱線段PA的長為從點P引的球的切線長．②性質：球的切線垂直于過切點的半徑．從球外任一點引球的所有切線長相等．(2)球的切平面：①定義：與球只有唯一公共點的平面叫做球的切平面．②性質：一個球的切平面，垂直于過切點的半徑．2．圓柱面的內切球與圓柱面的平面截線．(1)圓柱面的定義：一條直線繞著與它平行的一條直線旋轉一周，形成的曲面叫做圓柱面，這條直線叫做圓柱面的母線，平行直線叫做圓柱面的軸．(2)圓柱面的內切球：在圓柱面的軸上任取一點C，過C作垂直于軸的平面δ，則平面δ在圓柱面上的截線⊙(C，r)稱為切點圓，以C為圓心，r為半徑作球，該球叫做圓柱面的內切球．(3)圓柱面的平面截線：①如果平面δ與圓柱面的軸線垂直，則平面δ截圓柱所得的截線是一個圓，此時δ平面為圓柱面的直截面；②如果平面δ與圓柱面的軸所成的角為銳角，此時稱平面δ為斜截面，平面δ截圓柱所得的截線是一個橢圓．③橢圓的定義：在一個平面內，到兩個定點距離和等于定長(大于兩定點的距離)的點的軌跡，叫做橢圓．3．圓錐面及其內切球(1)圓錐面：①定義：一條直線繞著與它相交成定角θ(0<θ<eq\f(π,2))的另一條直線旋轉一周，形成的曲面叫做圓錐面，這條直線叫做圓錐面的母線，另一條直線叫做圓錐面的軸，母線與軸的交點，叫做圓錐面的頂點，頂點為S的圓錐面通常記作圓錐面S.②性質：性質1：圓錐面的軸線和每一條母線的夾角相等．性質2：如果一個平面垂直于圓錐面的軸線，則其截圓錐面所得的截線是圓．(2)圓錐面的內切球及其性質：圓錐面與內切球的交線是一個圓，并且該圓所在平面垂直于該圓錐面的軸線．(3)圓錐面的平面截線：定理：在空間給定一個圓錐面S，軸線與母線的夾角為α，任取一個不通過S的頂點的平面δ，設其與軸線的夾角為β(δ與軸線平行時，規(guī)定β＝0)則①當β>α時，平面δ與圓錐面的交線為橢圓；②當β＝α時，平面δ與圓錐面的交線為拋物線；③當β<α時，平面δ與圓錐面的交線為雙曲線．4．圓錐曲線的統(tǒng)一定義定理：除了圓之外，每一條圓錐曲線都是平面上到某個定點F和到某條定直線l的距離的比值等于常數(shù)的點的軌跡，其中F叫做圓錐曲線的焦點，直線叫做圓錐曲線的準線．[小問題·大思維]用平面截球面和圓柱面所得到的截線分別是什么形狀？提示：聯(lián)想立體圖形及課本方法，可知用平面截球面所得截線的形狀是圓；用平面截圓柱面所得截線的形狀是圓或橢圓．[對應學生用書P41]圓柱面的平面截線[例1]已知圓柱底面半徑為eq\r(3)，平面β與圓柱母線夾角為60°，在平面β上以G1G2所在直線為橫軸，以G1G2中點為原點，建立平面直角坐標系，求平面β與圓柱截口橢圓的方程．[思路點撥]本題考查平面與圓柱面的截線．解答本題需要根據題目條件確定橢圓的長軸和短軸．[精解詳析]過G1作G1H⊥BC于H.∵圓柱底面半徑為eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3).∵四邊形ABHG1是矩形，∴AB＝G1H＝2eq\r(3).在Rt△G1G2H中，G1G2＝eq\f(G1H,sin∠G1G2H)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.又橢圓短軸長等于底面圓的直徑2eq\r(3)，∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.借助條件中已經建立的直角坐標系，通過相關平面圖形轉換確定橢圓的長、短軸的長是關鍵．1．平面α與圓柱軸線成60°角，截圓柱面所得橢圓焦距為2eq\r(3)，求圓柱面的半徑．解：如圖所示，O為橢圓中心，AA′是橢圓的長軸，其長設為2a，過O向圓柱母線作垂線，垂足為B，則△OAB是直角三角形，且∠OAB＝60°是平面α與圓柱母線(也是與軸線)所成的角．設圓柱面半徑為r，則a＝eq\f(r,sin60°)＝eq\f(2\r(3)r,3).橢圓的短軸長2b＝2r，即b＝r，由已知焦距2c＝2eq\r(3)，∴c＝eq\r(3).又在橢圓中，a2＝b2＋c2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3)r,3)))2＝r2＋(eq\r(3))2.解得r＝3，即圓柱面的半徑為3.圓錐面的平面截線[例2]證明：當β>α時，平面δ與圓錐的交線為橢圓．[思路點撥]本題考查平面與圓錐面的截線．解答本題需要明確橢圓的定義，利用橢圓的定義證明．[精解詳析]如圖，在圓錐內部嵌入Dandelin雙球，一個位于平面δ的上方，一個位于平面δ的下方，并且與平面δ及圓錐均相切．當β>α時，由上面的討論可知，平面δ與圓錐的交線是一個封閉曲線．設兩個球與平面δ的切點分別為F1、F2，與圓錐相切于圓S1、S2.在截口的曲線上任取一點P，連接PF1、PF2.過P作母線交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.由正圓錐的對稱性，Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的母線段的長度而與P的位置無關，由此我們可知在β>α時，平面δ與圓錐的交線是以F1、F2為焦點的橢圓．由平面中，直線與等腰三角形兩邊的位置關系拓廣為空間內圓錐與平面的截線之后，較難入手證明其所成曲線的形狀，尤其是焦點的確定更加不容易，但可以采用與本節(jié)中定理的證明相同的方法，即Danelin雙球法，這時較容易確定橢圓的焦點，學生也容易入手證明，使問題得到解決．2．已知一圓錐面S的軸線為Sx，軸線與母線的夾角為30°，在軸上取一點O，使SO＝3cm，球O與這個錐面相切，求球O的半徑和切點圓的半徑．解：如圖所示，點H為球O與圓錐面的一個切點，點C為切點圓心，連接OH，HC.則OH⊥SH，∠OSH＝30°，∴OH＝eq\f(1,2)SO＝eq\f(3,2)cm，且∠SOH＝60°，∴HC＝OHsin60°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),4)(cm)．∴球O的半徑為eq\f(3,2)cm，切點圓的半徑為eq\f(3\r(3),4)cm.[對應學生用書P42]一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．圓柱面的母線與軸線平行B．圓柱面的某一斜截面的軸面總是垂直于直截面C．圓柱面與斜截面截得的橢圓的離心率與圓柱面半徑無關，只與母線和斜線面的夾角有關D．平面截圓柱面的截線橢圓中，短軸長即為圓柱面的半徑解析：顯然A正確，由于任一軸面過軸線，故軸面與圓柱的直截面垂直，B正確，C顯然正確，D中短軸長應為圓柱面的直徑長，故不正確．答案：D2．已知半徑r＝2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45°角，則截線橢圓的焦距為()A．2eq\r(2) B．2C．4 D．4eq\r(2)解析：由橢圓長半軸a＝eq\f(2,sin45°)＝2eq\r(2)，短半軸b＝2，得焦距2c＝2eq\r(a2－b2)＝2eq\r(2\r(2)2－22)＝4.答案：C3．球的半徑為3，球面外一點到球心的距離為6，則過該點的球的切線和過切點的半徑所成的角為()A．30° B．60°C．90° D．不確定解析：因為球的切線垂直于過切點的球的半徑，所以所成的角為90°.答案：C4．一圓柱面被一平面所截，平面與母線成60°角，截線上最長的弦長為4eq\r(3)，則該圓柱底面的半徑為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．6解析：圓柱底半徑r＝2eq\r(3)sin60°＝3.答案：C二、填空題5．一平面與半徑為3的圓柱面截得橢圓，若橢圓的長軸長為10，則截面與圓柱面母線的夾角的余弦值為________．解析：因為橢圓的長軸長為10，所以2a＝10，即a＝5.又橢圓短軸長b＝3，∴c＝4.故e＝cosφ＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5).答案：eq\f(4,5)6．一平面與圓柱面的母線成45°角，平面與圓柱面的截線橢圓的長軸長為6，則圓柱面的半徑為________．解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，得b＝c＝ea＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2)，即為圓柱面的半徑．答案：eq\f(3\r(2),2)7．設圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉而得，l′與l交點為V，l′與l的夾角為α(0°<α<90°)，不經過圓錐頂點V的平面δ與圓錐面V相交，設軸l與平面δ所成的角為β，則：當________時，平面δ與圓錐面的交線為圓；當________時，平面δ與圓錐面的交線為橢圓；當________時，平面δ與圓錐面的交線為雙曲線；當________時，平面δ與圓錐面的交線為拋物線．答案：β＝90°α<β<90°β<αβ＝α8．半徑分別為1和2的兩個球的球心距為12，則這兩個球的外公切線的長為________，內公切線的長為________．解析：設兩個球的球心為O1，O2，外公切線的切點為A、B，則有|AB|＝eq\r(O1O\o\al(2,2)－R1－R22)＝eq\r(122－2－12)＝eq\r(143)，設內公切線的切點分別為C、D，則|CD|＝eq\r(O1O\o\al(2,2)－R1＋R22)＝eq\r(122－2＋12)＝eq\r(144－9)＝eq\r(135)＝3eq\r(15).答案：eq\r(143)3eq\r(15)三、解答題9．一平面截圓錐的截線為橢圓，橢圓的長軸長為8，長軸的兩端點到頂點的距離分別是6和10，求橢圓的離心率．則AB＝8，SB＝6，SA＝10，則∠SBA＝eq\f(π,2)，cos∠ASB＝eq\f(3,5)，cos∠BSP＝coseq\f(1,2)∠ASB＝eq\r(\f(1＋cos∠ASB,2))＝eq\f(2\r(5),5).∴cos∠SPB＝sin∠BSP＝eq\f(\r(5),5)，∴e＝eq\f(cos∠SPB,cos∠BSP)＝eq\f(1,2).10．如圖，上面一個Dandelin球與圓錐面的交線為圓S，記圓S所在的平面為δ′，設δ與δ′的交線為m.在橢圓上任取一點P，連接PF1，在δ中過P作m的垂線，垂足為A，過P作δ′的垂線，垂足為B，連接AB是PA在平面δ′上的射影．若Rt△ABP中，∠APB＝β.求平面δ與δ′所成二面角的大?。猓河梢阎狿B⊥δ′，平面δ′∩平面δ＝m.∴m⊥PB.又PA⊥m，∴m⊥面PAB，∴∠PAB是δ與δ′所成二面角的平面角．又∠APB＝β，∴∠PAB＝eq\f(δ,2)－β.11．定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2＝x上移動，設線段AB的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的最短距離．解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AF＝x1＋eq\f(1,4)，BF＝x2＋eq\f(1,4)，若AB過F，則AF＋BF＝AB，此時點M到y(tǒng)軸距離為eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)；若AB不過F，則AF＋BF>AB，即x1＋eq\f(1,4)＋x2＋eq\f(1,4)>3，x1＋x2>eq\f(5,2)，從而M的橫坐標eq\f(x1＋x2,2)>eq\f(5,4)，顯然弦AB過焦點F時，M到y(tǒng)軸距離最短．設過F的直線方程為y＝