第四節(jié)條件概率與事件的獨(dú)立性、

全概率公式高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第十章計(jì)數(shù)原理與概率課程標(biāo)準(zhǔn)1.在具體情境中，結(jié)合古典概型，了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的條件概率.

2.結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會(huì)用乘法公式計(jì)算概率.

3.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率.0403考教銜接精研教材課時(shí)測(cè)評(píng)02考點(diǎn)探究提升能力教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實(shí)基礎(chǔ)1.條件概率的概念定義如果事件A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，則在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率叫作條件概率，記為________公式若P(A)>0，則P(B|A)=______；類似地，若P(B)>0，則P(A|B)=______P(B|A)

2.事件的獨(dú)立性(1)若事件A與事件B獨(dú)立，則事件A的發(fā)生不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，即有____________，反之，若P(B|A)=P(B)成立，則P(AB)=_________.(2)如果n(n≥2)個(gè)事件A1，A2，…，An中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率都不受其余事件發(fā)生與否的影響，則稱A1，A2，…，An相互獨(dú)立.當(dāng)n(n≥2)個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)，P(A1A2…An)=____________________.微提醒

(1)當(dāng)P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An)成立時(shí)，不表示A1，A2，…，An相互獨(dú)立.(2)兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互斥的區(qū)別：兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響.兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是可以同時(shí)發(fā)生的，相互獨(dú)立事件和互斥事件之間沒(méi)有聯(lián)系.P(B|A)=P(B)P(A)P(B)

P(A1)P(A2)·…·P(An)

概率的乘法公式

P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)常用結(jié)論

自主檢測(cè)1.(多選)下列結(jié)論正確的是A．對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B．若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)C．拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第2枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立D．若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)√√√2.(多選)袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，其對(duì)立事件記為C，那么事件A與B，A與C的關(guān)系是

A．A與B相互獨(dú)立

B．A與C相互獨(dú)立C．A與C互斥

D．A與B互斥√√由于摸球過(guò)程是有放回地，所以第一次摸球的結(jié)果對(duì)第二次摸球的結(jié)果沒(méi)有影響，故事件A與B，A與C均相互獨(dú)立，且A與B，A與C均有可能同時(shí)發(fā)生，說(shuō)明A與B，A與C均不互斥.故選AB．

√

5.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占30%，次品率為5%；第二批占70%，次品率為4%，將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件，則取到這件產(chǎn)品是合格品的概率為

.

設(shè)B=“取到合格品”，Ai=“取到的產(chǎn)品來(lái)自第i批”(i=1，2)，則P(A1)=0.3，P(A2)=0.7，P(B|A1)=0.95，P(B|A2)=0.96，由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.3×0.95+0.7×0.96=0.957.0.957返回考點(diǎn)探究提升能力考點(diǎn)一相互獨(dú)立事件的概率

多維探究角度1

事件相互獨(dú)立性的判斷(2024·山東菏澤三模)盒中有4個(gè)大小相同的小球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，第一次在盒中隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回，第二次在盒中也隨機(jī)摸出2個(gè)小球，記下顏色后放回.設(shè)事件A=“兩次均未摸出紅球”，事件B=“兩次均未摸出白球”，事件C=“第一次摸出的兩個(gè)球中有紅球”，事件D=“第二次摸出的兩個(gè)球中有白球”，則

A．A與B相互獨(dú)立

B．A與C相互獨(dú)立C．B與C相互獨(dú)立

D．C與D相互獨(dú)立√典例1

角度2

相互獨(dú)立事件的概率(多選)(2023·新高考Ⅱ卷)在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1-α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β

(0<β<1)，收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為(1-α)(1-β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1-β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3D．當(dāng)0<α<0.5

時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率√√典例2√

規(guī)律方法2.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立；(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.②正面計(jì)算較煩瑣或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練1.(1)(2024·北京海淀高三期末)4×100米接力賽是田徑運(yùn)動(dòng)中的集體項(xiàng)目.一根小小的木棒，要四個(gè)人共同打造一個(gè)信念，一起拼搏，每次交接都是信任的傳遞.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將代表高一年級(jí)參加校運(yùn)會(huì)4×100米接力賽，教練根據(jù)訓(xùn)練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是p1，p2，p3，假設(shè)三次交接棒相互獨(dú)立，則此次比賽中該組合交接棒沒(méi)有失誤的概率是A．P1p2p3 B．(1-p1)(1-p2)(1-p3)C．1-p1p2p3 D．1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)√由題意得，三次交接棒不失誤的概率分別為1-p1，1-p2，1-p3，則該組合不失誤的概率為(1-p1)(1-p2)(1-p3).故選B．(2)臺(tái)風(fēng)在危害人類的同時(shí)，也在保護(hù)人類.臺(tái)風(fēng)給人類送來(lái)了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對(duì)均衡.甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時(shí)監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)，在同一時(shí)刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0.8，0.7，0.9，各衛(wèi)星間預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)相互獨(dú)立，則在同一時(shí)刻至少有兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率是

.

0.902

考點(diǎn)二條件概率

多維探究角度1

條件概率(1)(2023·全國(guó)甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為A．0.8

B．0.6

C．0.5

D．0.4√

典例3

√√√

條件概率的兩種求解方法規(guī)律方法

√

(2)(2025·貴州六盤水模擬)逢年過(guò)節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過(guò)度會(huì)影響健康，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了針對(duì)性的調(diào)查研究.據(jù)統(tǒng)計(jì)，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為__.

√典例4√

角度3

乘法公式的應(yīng)用經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么該射擊運(yùn)動(dòng)員兩次均擊中9環(huán)的概率為

A．0.24

B．0.36

C．0.48

D．0.75√設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員“第一次擊中9環(huán)”為事件A，“第二次擊中9環(huán)”為事件B，由題意得P(A)=0.6，P(B|A)=0.8，所以該射擊運(yùn)動(dòng)員兩次均擊中9環(huán)的概率為P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6×0.8=0.48.故選C．典例5

規(guī)律方法

√

考點(diǎn)三全概率公式的應(yīng)用

師生共研

典例6√

全概率公式的適用范圍及步驟1.適用范圍：所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式.2.運(yùn)用全概率公式的一般步驟：第一步：求出樣本空間Ω的一個(gè)劃分A1，A2，…，An；第二步：求P(Ai)(i=1，2，…，n)；第三步：求P(B|Ai)(i=1，2，…，n)；第四步：求目標(biāo)事件的概率P(B).注意：對(duì)Ω中的任意事件B，都有B=BA1+BA2+…+BAn.

規(guī)律方法對(duì)點(diǎn)練4.(1)(2024·廣西南寧模擬)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號(hào)1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收的信號(hào)為1的概率為A．0.48

B．0.49

C．0.52

D．0.51√

√

返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A．甲與丙相互獨(dú)立

B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立

D．丙與丁相互獨(dú)立√

返回教材呈現(xiàn)(湘教版必修二P237習(xí)題T1)一個(gè)口袋裝有相同的兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，把“從中任意摸出一個(gè)球，得到白球”記作事件A，把“從剩下的三個(gè)球中任意摸出一個(gè)球，得到白球”記作事件B．則：(1)在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少?(2)在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少?(3)事件A與B是獨(dú)立的嗎?點(diǎn)評(píng)：該高考題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，判斷是否為獨(dú)立事件的方法是檢驗(yàn)P(AB)=P(A)P(B)是否成立，與教材習(xí)題命題角度類似.課時(shí)測(cè)評(píng)

√

√

√

4.(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)深受廣大球迷喜愛的某支足球隊(duì)在對(duì)球員的安排上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，乙球員能夠勝任前鋒、中鋒和后衛(wèi)三個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.3，當(dāng)乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒、中鋒以及后衛(wèi)時(shí)，球隊(duì)輸球的概率依次為0.4，0.2，0.8.當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)這場(chǎng)比賽不輸球的概率為A．0.32

B．0.68

C．0.58

D．0.64√設(shè)事件A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”，事件A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”，事件A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”，事件B表示“當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，球隊(duì)輸球”.則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42.所以當(dāng)乙球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)這場(chǎng)比賽不輸球的概率為1-0.42=0.58.故選C．