《整式的乘法與因式分解小節(jié)（第二課時(shí)）》平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2知識梳理完全平方公式兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2添括號法則如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-

(b+c)因式分解概念提公因式法確定公因式提公因式并確定另外一個(gè)因式把多項(xiàng)式寫成這兩個(gè)因式的積的形式因式分解平方差公式法完全平方公式法a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2因式分解x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解十字相乘法一次項(xiàng)系數(shù)1p1q1×q+1×p=q+p平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.特點(diǎn)：(1)等號左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)等號右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.兩個(gè)數(shù)的和兩個(gè)數(shù)的差積平方差兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2.

兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.完全平方公式特點(diǎn)：(1)兩個(gè)公式的等號左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，兩者僅有一個(gè)“符號”不同；(2)兩個(gè)公式的等號右邊都是二次三項(xiàng)式，其中首尾兩項(xiàng)是等號左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，兩者也僅有一個(gè)“符號”不同.添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號.a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-

(b+c).添括號法則:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解：x2-1

(x+1)(x-1)因式分解整式乘法公因式：一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)三步確定公因式③定次數(shù)②定字母①定系數(shù)取各項(xiàng)中的相同字母取相同字母的最低次數(shù)當(dāng)各項(xiàng)都是整數(shù)時(shí)公因式的確定方法：可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另外一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

使用提公因式法分解因式時(shí)，所提的公因式必須是“最大公因式”，即提取公因式后，另一個(gè)因式中不再含有公因式.

寫成乘積的形式確定公因式用多項(xiàng)式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一個(gè)公因式提取公因式先確定系數(shù)，再確定字母和字母的次數(shù)提公因式法的一般步驟：確定另一個(gè)公因式a2-b2=(a+b)(a-b).用平方差公式分解因式能用平方差公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)：多項(xiàng)式是一個(gè)二項(xiàng)式,兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號相反..“兩個(gè)數(shù)”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.

a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.用完全平方公式分解因式:兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方.注意:公式中的a，b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.能用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，其中首、末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)符號相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或者兩個(gè)式子）的積的2倍，符號正負(fù)都可以；因式分解與整式乘法是方向相反的變形，利用這種關(guān)系可以得出：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解利用上式，可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.十字相乘法分解因式的步驟：(1)分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；(2)分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；(3)交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).一次項(xiàng)系數(shù)1p1q1×q+1×p=q+p檢查是否分解徹底，若沒有則繼續(xù)分解一提考慮是否可用公式法分解，兩項(xiàng)考慮平方差公式，三項(xiàng)考慮完全平方公式二套看多有無公因式，若有應(yīng)先提取公因式因式分解的一般步驟：三查不能直接套公式時(shí)可適當(dāng)變形整理分析：因式分解步驟①有公因式的先提取公因式

;②沒有公因式的試用公式法

;③不能提公因式，不能用公式法的用十字相乘法

;④分解因式必須進(jìn)行到不能再分解為止.1.綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).重難剖析解：(1)3a3b-48ab3

=3ab(a2-16b2)

=3ab[a2-(4b)2]

=

3ab(a+4b)(a-4b)

;

(2)

x4-8x2+16=(x2)2-2?x2?4+42=(x2-4)2

=

[(x+2)(x-2)]2=(x+2)2(x-2)2

.

1.綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).解：(3)-4x3y-8x2y-4xy

=-4xy(x2+2x+1)

=

-4xy(x+1)2;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a)=(a-b)(25x2-36y2)

=(a-b)[(5x)2-(6y)2]

=

(a-b)(5x+6y)(5x-6y)

.

1.綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式：(1)3a3b-48ab3;

(2)x4-8x2+16

;(3)-4x3y-8x2y-4xy

;

(4)25x2(a-b)+36y2(b-a).2.先局部分解或展開，再利用公式法分解因式：(1)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2;

(2)(x+2)(x-8)+25.

分析：當(dāng)多項(xiàng)式不能直接因式分解，但含有單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積或多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積時(shí)，一般先將乘積項(xiàng)展開合并同類項(xiàng)后，再根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解.解：(1)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2

=(x-y)2-8(x-y)(x+y)+[4(x+y)]2

=(x-y)2-2(x-y)?4(x+y)+[4(x+y)]2

=[(x-y)-4(x+y)]2=(-3x-5y)2=(3x+5y)2

；2.利用公式法分解因式：(1)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2;

(2)(x+2)(x-8)+25.

解：(2)(x+2)(x-8)+25

=x2-8x+2x-16+25=x2-6x+9=x2-2?x?3+32

=(x-3)2.2.先局部分解或展開，再利用公式法分解因式：(1)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2;

(2)(x+2)(x-8)+25.

3.已知△ABC的三邊長為分別為a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，試判斷此三角形的形狀.分析：觀察條件中的式子結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，有平方和，有兩個(gè)數(shù)的乘積.嘗試運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解，得到a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系，即可判斷出三角形的形狀.解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0.

∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.

∴a-b=0，b-c=0，a-c=0.∴a=b=c，3.已知△ABC的三邊長為分別為a，b，c，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，試判斷此三角形的形狀.所以則此三角形為等邊三角形.1.若4x2+mxy+9y2是完全平方式，則m的值為多少？

分析：完全平方公式是形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子，將條件中的式子進(jìn)行變形.解:∵4x2+mxy+9y2=(2x)2+mxy+(3y)2，且原式是完全平方式，∴±m(xù)xy=2?2x?3y.∴m=±12.能力提升2.因式分解：(1)a4-16a2;

(2)-2a2b2+a3b+ab3;(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2;

(4)(x2+y2)2-4x2y2.分解因式要觀察式子的形式，選擇合適的方法，并且分解后的結(jié)果一定要到不能再分解為止.2.因式分解：(1)a4-16a2;

(2)-2a2b2+a3b+ab3;解：(1)

a4-16a2

=a2(a2-16)

=a2(a+4)(a-4);

(2)

-2a2b2+a3b+ab3

=ab(-2ab+a2+b2)=ab(a-b)2;

2.因式分解：(3)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2;

(4)(x2+y2)2-4x2y2.解：(3)

(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2=

(a2+1)2-2?(a2+1)?2a+(2a)2=[(a2+1)-2a]2=[(a-1)2]2=(a-1)4;

(4)

(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2)2-(2xy)2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2.

3.整數(shù)x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y的值為多少？分析：利用因式分解將等式變形為左邊是兩個(gè)整式的乘積，右邊是一個(gè)整數(shù)的形式，再求出x，y的值，進(jìn)而求出x+y的值.∴2x+1=167，

2y+1=1或2x+1=1，

2y+1=1672x+1=-167，

2y+1=-1或2x+1=-1,2y+1=-167，或∴x+y=83或-85.∴x=83，

x=0

，

x=-84，

x=-1，y=0

y=83

y=-1

y=-84.或或或3.整數(shù)x，y滿足方程2xy+x+y=83，則x+y的值為多少？解:∵2xy+x+y=83，∴4xy+2x+2y=166，4xy+2x+2y+1=167.∴2x(2y+1)+(2y+1)=167.∴(2x+1)(2y+1)=167.

∵167是質(zhì)數(shù)，∴167只能分解為167和1,-167和-1的乘積的形式.

冪的運(yùn)算

A.

3B.

4C.

6D.

92.

不一定相等的一組是(

D

)A.

a

＋

b

與

b

＋

a

B.

3

a

與

a

＋

a

＋

a

C.

a3與

a

·

a

·

a

D.

3(

a

＋

b

)與3

a

＋

b

BD123456789101112131415161718193.

已知

a

＝255，

b

＝344，

c

＝433，

d

＝522，則這四個(gè)數(shù)從大到小排列

是

?.【解析】

a

＝255＝3211，

b

＝344＝8111，

c

＝433＝6411，

d

＝522＝2511，

∵81＞64＞32＞25，∴

b

＞

c

＞

a

＞

d

.b

＞

c

＞

a

＞

d

123456789101112131415161718194.

在冪的運(yùn)算中規(guī)定：若

ax

＝

ay

(

a

＞0且

a

≠1，

x

，

y

是正整數(shù))，則

x

＝

y

，利用上面結(jié)論解答下列問題：(1)若9

x

＝36，求

x

的值；解：∵9

x

＝36，32

x

＝36，∴2

x

＝6.解得

x

＝3.12345678910111213141516171819(2)若3

x＋2－3

x＋1＝18，求

x

的值；解：∵3

x＋2－3

x＋1＝18，∴3

x＋1×3－3

x＋1＝18.∴2×3

x＋1＝2×32.∴

x

＋1＝2.解得

x

＝1.12345678910111213141516171819(3)若

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，用含

m

的代數(shù)式表示

n

.解：∵

m

＝2

x

＋1，

n

＝4

x

＋2

x

，∴2

x

＝

m

－1.∴

n

＝(2

x

)2＋2

x

＝2

x

(2

x

＋1)＝

m

(

m

－1)＝

m2－

m

.12345678910111213141516171819

整式的乘除5.

(唐山路北區(qū)期中)如果(

x

＋

m

)(

x

－5)＝

x2－3

x

＋

k

，那么

k

，

m

的值分別是(

C

)A.

k

＝10，

m

＝2B.

k

＝10，

m

＝－2C.

k

＝－10，

m

＝2D.

k

＝－10，

m

＝－2C12345678910111213141516171819

(2)(30

x4－20

x3＋10

x

)÷10

x

；解：原式＝3

x3－2

x2＋1.(3)(

x

－3

y

)(3

x

＋

y

).解：原式＝3

x2－3

y2－8

xy

.123456789101112131415161718197.

先化簡，再求值：已知

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，求

x2＋

y2－2

xy

的值.解：∵

x

(

x

－1)－(

x2－

y

)＝－3，∴

x2－

x

－

x2＋

y

＝－3.∴

x

－

y

＝3.

∴

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2＝32＝9.8.

小明與小樂兩人共同計(jì)算(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)，小明抄錯(cuò)為(2

x

－

a

)(3

x

＋

b

)，得到的結(jié)果為6

x2－13

x

＋6；小樂抄錯(cuò)為(2

x

＋

a

)(

x

＋

b

)，得到

的結(jié)果為2

x2－

x

－6.(1)式子中的

a

，

b

的值各是多少？12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)請計(jì)算出原題的答案.解：(2)(2

x

＋

a

)(3

x

＋

b

)＝(2

x

＋3)(3

x

－2)＝6

x2＋5

x

－6.12345678910111213141516171819

乘法公式9.

(2

m

＋3)(－2

m

－3)的計(jì)算結(jié)果是(

C

)A.

4

m2－9B.

－4

m2－9C.

－4

m2－12

m

－9D.

－4

m2＋12

m

－910.

若

a4＋

b4＋

a2

b2＝5，

ab

＝2，則

a2＋

b2的值是(

B

)A.

－2B.

3C.

±3D.

2【解析】∵

ab

＝2，∴

a2

b2＝4.∴

a4＋

b4＝1.∵

a4＋

b4＋2

a2

b2＝(

a2＋

b2)2＝1＋2×4＝9，∴

a2＋

b2＝3.CB1234567891011121314151617181911.

(石家莊第40中學(xué)期中)當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一

定能被下列哪個(gè)數(shù)整除(

D

)A.

5B.

6C.

7D.

8【解析】(

n

＋1)2－(

n

－3)2＝(

n

＋1＋

n

－3)(

n

＋1－

n

＋3)＝4(2

n

－2)＝8(

n

－1)，∴當(dāng)

n

為自然數(shù)時(shí)，(

n

＋1)2－(

n

－3)2一定能被8整除.D1234567891011121314151617181912.

若

x

，

y

均為實(shí)數(shù)，43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，則43

xy

×47

xy

＝(

)

x＋

y

.【解析】∵43

x

＝2

021，47

y

＝2

021，∴43

xy

×47

xy

＝(43

x

)

y

×(47

y

)

x

＝2

021

y

×2

021

x

＝2

021

x＋

y

.2021

1234567891011121314151617181913.

現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長方形紙片(邊長如圖).(1)取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

?；【解析】(1)∵甲、乙都是正方形紙片，其邊長分別為

a

，

b

，∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為

a2＋

b2.a2＋

b2

12345678910111213141516171819(2)嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再

取乙紙片4塊，還需取丙紙片

塊.【解析】(2)要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則它們的面積和為

a2＋4

b2，若再加上4

ab

(剛好是4個(gè)丙)，則a2＋4

b2＋4

ab

＝(

a

＋2

b

)2，則剛好能組成邊長為

a

＋2

b

的正方形，如圖所示，∴應(yīng)取丙紙片4塊.4

12345678910111213141516171819

因式分解14.

(邯鄲永年區(qū)期末)下列多項(xiàng)式因式分解：①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2；②16＋

a4＝(4＋

a2)(4－

a2)；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

)④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

).其中正確的有(

B

)A.

1個(gè)B.

2個(gè)C.

3個(gè)D.

4個(gè)【解析】①

x2－6

xy

＋9

y2＝(

x

－3

y

)2是正確的；②16＋

a4不能因式分解，故原來的因式分解錯(cuò)誤；③25

ab2＋10

ab

＋5

b

＝5

b

(5

ab

＋2

a

＋1)，故原來的因式分解錯(cuò)誤；④

x2－(2

y

)2＝(

x

－2

y

)(

x

＋2

y

)是正確的；故其中正確的有2個(gè).B1234567891011121314151617181915.

(邢臺平鄉(xiāng)縣期末)已知

x

，

y

，

z

是正整數(shù)，

x

＞

y

，且

x2－

xy

－

xz

＋

yz

＝23，則

x

－

z

等于(

B

)A.

－1B.

1或23C.

1D.

－1或－23B12345678910111213141516171819

1234567891011121314151617181916.

若｜

a

＋2｜＋

a2－4

ab

＋4

b2＝0，則

a

＝

，

b

＝

?.17.

老師有(

n

＋5)2－(

n

－1)2個(gè)禮物(其中

n

≥1，且

n

為整數(shù))，現(xiàn)在將

這些禮物平均分給班級的同學(xué)，恰好能分完，那么下列選項(xiàng)中：①4

個(gè)；②12個(gè)；③(

n

＋2)個(gè)；③(6

n

＋8)個(gè)，可以是班級的同學(xué)個(gè)數(shù)的

是

?.－2

－1

①②③

12345678910111213141516171819【解析】(

n

＋5)2－(

n

－1)2＝(

n

＋5＋

n

－1)(

n

＋5－

n

＋1)＝12

n

＋24，∵12

n

＋24＝4(3

n

＋6)，12

n

＋24＝12(

n

＋