專(zhuān)題3.4乘法公式

曹目標(biāo)導(dǎo)航

1、學(xué)會(huì)利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算；

2、掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用；

3、掌握整式的混合運(yùn)算：

冽:知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)（）1運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)】

平方差公式

平方差公式：（。+力）（。一方）=cr-b2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

特別說(shuō)明：在這里，。力既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又

有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類(lèi)型：

（1）位置變化：如（〃+〃）（-〃+。）利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型

（2）系數(shù)變化：如（3x+5y）（3x-5y）

（3）指數(shù)變化:如（加+/）（加3―〃2）

（4）符號(hào)變化：如（一々—加（"勿

（5）增項(xiàng)變化：如（m4-/7+〃）（，〃-〃+〃）

（6）增因式變化:如m-b）（Q+b）（/+從）（/+同）

【典型例題】

例1.（2022秋?福建福州?八年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱(chēng)該

正整數(shù)為"和諧數(shù)"如8=3?-產(chǎn),16=52-32,即8,16均為“和諧數(shù)”），在不超過(guò)100的正整數(shù)中，所有的“和

諧數(shù)〃之和為（）

A.614B.624C.634D.642

例2.（2023春.七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若—）,2）［2+,,4）=爐丁”，則心,〃=.

例3.（2023秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長(zhǎng)為〃的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為人的小正方

形，將陰影部分沿線剪開(kāi)，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形.

⑴【探究】

①請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積;;

②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）;

（2）【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：2001x1999.

【即學(xué)即練】

1.（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算（。-。）（〃+。）（/+⑹_.+/）的結(jié)果為（）

A.2/B.2b45C.-2a4D.-2b4

2.（2021春?江蘇泰州?七年級(jí)?？计谥校┤绻粋€(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“和

融數(shù)"，如：因?yàn)?0=62-42,所以稱(chēng)20為“和融數(shù)”，下面4個(gè)數(shù)中為“和融數(shù)〃的是（）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

3.（2023秋?新疆烏魯木齊?八年級(jí)校考期末）小麗在計(jì)算3x（4+l）x（4?+l）時(shí)，把3寫(xiě)成（4-1）后，發(fā)現(xiàn)可

以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.用類(lèi)似的方法計(jì)算:

4.（2021春.浙江寧波?七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：2（1+知+卻1+/）（|+/）+去=

5.（2022秋?福建泉州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）比較左、右兩圖的陰影部分面枳，可以得到乘法公式

.（用式子表達(dá)）

（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題:

①10.3x9.7

②（2m+〃一〃）（2m-n+p）

知識(shí)點(diǎn)02運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)】

完仝平方公式

2.（2022春?廣西?七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)〃，〃滿(mǎn)足。2+4〃—。+4〃+1=0,則〃的值為（）

4

1

A.0B.1C.-1D.——

2

3.（2023秋?福建寧德?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）己知。+〃=5,而=3,則a2+〃=.

4.（2022秋?廣西南寧?九年級(jí)三美學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如“已

知3〃一。=2,求代數(shù)式6a-2b-l的值."可以這樣解:6a-2Z?-l=2（3a-Z?）-l=2x2-l=3.根據(jù)閱讀材料,

解決問(wèn)題：若入=2是關(guān)于x的一元一次方程以+力=4的解，則代數(shù)式4/+4,而+/+6。+3人一1的值是.

5.（2022春?江蘇常州?七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┪覀冎?，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)

算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例：如圖①可以得到（4+?乂。+。）="+3"+2/＜請(qǐng)解答下列問(wèn)

題：

⑴寫(xiě)出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；

⑵利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+〃+c=12,ab+bc+ac=4O,求片+^+/的值；

⑶小明同學(xué)又用x張邊長(zhǎng)為，的正方形，V張邊長(zhǎng)為〃的正方形，z張邊長(zhǎng)為“〃的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)

面積為（25〃+劭）（2a+5b）的長(zhǎng)方形，求工+y+z的值.

知識(shí)點(diǎn)03完全平方公式在幾何圖形中應(yīng)用

【典型例題】

例1.（2022春?浙江寧波?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一塊邊長(zhǎng)為。的正方形花圃中，兩縱兩橫的4條寬度

為人的人行道把花圃分成9塊，下面是四個(gè)計(jì)算種花土地總面積的代數(shù)式:（l）（a-2b）（a-2b）；12）4一府〃；

（3）a2-4cib-4b2;（4）cJ-4a）+4〃？，其中正確的有（）

A.(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(4)

例2.（2022秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)為4”、寬為匕的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均

分成四塊小長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的寬為,然后用四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成如圖2所示的正方形，則圖

中陽(yáng)影正方形的面積為.

例3.（2021春?四川成都?七年級(jí)校考期中）把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算同

一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些圖形的面積.例如，由圖1,可得等式：

（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2/r.

⑴如圖2,將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為。+〃+c的正方形，試用不同的形式表示

這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，請(qǐng)用等式表示出來(lái).

（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+h+c=10,ab+bc+ac=30,求的值.

【即學(xué)即練】

1.（2021春?浙江溫州?七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為4,寬為〃的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)大正方形，

用兩種不同的方法表示這個(gè)大正方形的面積，則可以得出一個(gè)等式為（）

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(f/-Z?)2=a2-lab+b1D.(A+b)2=(a-b)~+4ab

2.（2022秋?河南鄭州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，麥麥用9張A類(lèi)正方形卡片、1張B類(lèi)正方形卡片和6

張C類(lèi)長(zhǎng)方形卡片，拼成了一個(gè)大正方形，拼成的大正方形的邊長(zhǎng)是（）

0ba

A.a+bB.a+2bC.2a+bD.3a+b

3.（2021春?遼寧沈陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2小寬為2人的長(zhǎng)方形，用剪刀沿圖中虛線

剪開(kāi)，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，中間空余部分的

面積是16,若則原長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為.

4.（2022秋?河北保定?九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）4張長(zhǎng)為〃、寬為力（。＞〃）的長(zhǎng)方形紙片,

按如圖的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為（〃+〃）的正方形，圖中空白部分的面積為耳，陰影部分的面積為邑.

(1)若“=3,b=l,則$二

（2）若￡=2邑，求。與〃滿(mǎn)足關(guān)系：.

5.（2022春?江蘇宿遷?七年級(jí)統(tǒng)考期中）圖（1）是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均

分成四個(gè)小長(zhǎng)方形.然后按圖（2）的形狀拼成一個(gè)正方形.

⑴你認(rèn)為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)是（用"、〃表示）；

⑵請(qǐng)用兩種不同的方法表示出圖（2）中陰影部分的面積：①：,②：

⑶觀察圖（2）,請(qǐng)寫(xiě)出（〃?+〃『、（〃?-〃）2、之間的一個(gè)等量關(guān)系：

⑷根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若a+b=7,ab=6,求。-人的值.

知識(shí)點(diǎn)04整式的混合運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)】

整式的混合運(yùn)算，也是遵循四則運(yùn)算法則的，記得結(jié)果要化簡(jiǎn)；

【典型例題】

例1.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.（x+2y）（2x->,）=2x2-3xy-2y2B.=?4Z?6

C.（一〃?）'=m4D.（x-y）2=x2-y1

例2.（2023秋?安徽宣城?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若小丑/+出/乜f=（］+4，則q+a2M=.

例3.（2022秋?廣西南寧?九年級(jí)三美學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：（x+y）（x-y）+（分2-2冷，）+

其中x=l,5=2.

【即學(xué)即練】

1.（2022秋?河南信陽(yáng)?七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明化簡(jiǎn)（4/一2〃-6）-2（2/-2吁5）的過(guò)程如下：

解：（4/-2々-6）-2（2/-24-5）.@

=4ci2—2a—6—4。2+4。+5...②

=（4—4）/+（-2+4”+（-6+5）…③

=勿-1…④

在化簡(jiǎn)過(guò)程中，他是從第（）步開(kāi)始出錯(cuò)的？

A.①B.②C.③D.（4）

2.（2022春?甘肅蘭州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）為了求1+2+2?+2+2劉4的5值，可令5=1+2+22+2、…+2?°，

則25=2+2?+23+24+…+2刈-因此2S-S=2刈$-1,所以1+2+2?+2?+…+220"=22015T.仿照以上推

理計(jì)算出1+5+52+53+…+59的值是（）

520,5-1520,6-1

A.520,5-1B.5劉6_]C.-——-D.-——-

44

3.（2023春?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為〃、b,且滿(mǎn)足。+〃=6,ab=4,圖中陰影部

分的面積為.

4.（2022春?浙江紹興?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知/一工=2022,則代數(shù)式（彳+1）（4-1）+耳工-2）=.

5.（2023秋?廣東湛江?八年級(jí)?？计谀┮阎?+皿=3）（2]+”的展開(kāi)式中不含工項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是-6.

（1）求〃7、〃的值:

（2）當(dāng)〃?、〃取第（1）小題的值時(shí)，先化簡(jiǎn)，再求值：[（〃2+2〃）5-2〃）-（利-〃）2卜2〃.

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.(2022秋?江西南昌?八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列計(jì)算正確的是()

A.。3力3=?3B.(-2a)2=4a2

C.(a+b)2=a2+b2D.(x+2)(x-2)=x2—2

2.(2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)?？计谥?已知f+2x+〃?是完全平方式，則常數(shù)〃，可以取()

A.-1B.1C.-2D.2

3.(2023秋?河北唐山?八年級(jí)?？计谀?若。+力=-4,"=1,則/+〃=()

A.-14B.14C.7D.-7

4.(2022秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))為了運(yùn)用平方差公式計(jì)算(x+3)，-z)(x-3.y+z),下列變形正確的是

()

A.[x-(3.y+z)]2B.[(x-3)，)+z][(x-3y)-z]

C.[x-(3>,-z)][x+(3.y-z)]D.[(x+3y)-zJ(x-3y)+z]

5.(2023秋?江西宜春?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知多項(xiàng)式9/+12X+Z是完全平方式，則左=.

6.(2022秋?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期末)若〃-人=5,片+〃=13,則。b=.

7.（2021秋吶蒙古巴彥淖爾?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)你觀察圖形，不再添加輔助線，依據(jù)圖形面積之間的

關(guān)系，便可得到一個(gè)非常熟悉的公式，寫(xiě)出這個(gè)公式.

8.（2023秋?河北保定?八年級(jí)?？计谀┈F(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長(zhǎng)方形紙片（邊長(zhǎng)如圖）.

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為;

（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼或成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊，還需取丙紙片

塊.

9.（2021秋?四川資陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：［（X-3），）2+（X+），）（.L），）—X（2..4），）］+（—2），）,

其中x=2,y=-\.

10.（2022秋?上海?七年級(jí)上海市建平中學(xué)西校校考期中）用乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算：20212—2020x2022

題組B能力提升練

1.（2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算2014?-2013x2015的結(jié)果為（）

A.-IB.1C.11D.4027

2.（2。22秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知。+。=7,必=12,則的值為（）

A.5B.25C.37D.6

3.（2023秋?廣東汕頭?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為〃的小正方形（。>人），

把余下的部分剪成一個(gè)長(zhǎng)方形，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形（陰影部分、從左圖到右圖）的面積，驗(yàn)證的公式為（）

A.（a+Z?）（tz-Z?）=a2-b1B.=a2-2ab+b2

C.a2-b2=（?+Z?）（￡Z-Z?）D.a2-2ab+b2=（a-b）2

4.（2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若。=2021x2022+1,^=20212-2021x2022+2022z,在下列判斷結(jié)果正確

是（）.

A.a>bB.a<bC.a=bD.無(wú)法判斷

5.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)校考期中）已知Y+丁=10,芍=3,則（x+），）2=.

6.（2022秋?河南南陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為。、b,如果，+〃=7,必=10,

則陰影部分的面積為一.

3

7.（2023秋?四川內(nèi)江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們經(jīng)常利用完全平方公式以及變形公式進(jìn)行代數(shù)式變形.已知美

于”的代數(shù)式4=/+。，請(qǐng)結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，判斷下列說(shuō)法：①當(dāng)。=-2時(shí)，A=2；②無(wú)論。取任何實(shí)

數(shù)，不等式A+[N()恒成立；③若A—1=0,則"+與二牝正確的有.

8.(2022秋?湖北恩施?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中,

用圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，我們稱(chēng)這個(gè)三角形為“楊輝三角這個(gè)三角形給出了

(a+9"(〃=L2,3L)的展開(kāi)式(按”的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.

(a+Z>)°=l1

S+6)i=a+6K11

(a+b)2=『+2"+M|展開(kāi)式的系數(shù))121

(。+6)3=/+3026+3。廬+63V1331

(a+b)4=aA^4a3b+6crb2+4ab3+b414641

(a+b)^=a5+5a4b+1OcPb2+1OarA3+5a/>4+/>515101051

根據(jù)上面的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出(。+勾7的第三項(xiàng)：.

9.(2023秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算:

⑴(2x-3)(3x+2)；

(2)(0+2)("2)-(a_3>.

10.(2023秋?廣東汕頭?八年級(jí)統(tǒng)考期末)請(qǐng)認(rèn)真觀察圖形，解答下列問(wèn)題：

⑴根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示陰影圖形的面積的和(只需表示，不必化簡(jiǎn))

①_______________②:

⑵rti(D你能得到怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)用式子表示：

(3)如果圖中的a、儀a>米)滿(mǎn)足片+力2=53,"=14.

求：①4+〃的值②/一從的值

題組C培優(yōu)拔尖練

1.（2022秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）a,8為實(shí)數(shù)，整式/+/一4〃+6〃的最小值是（）

A.-13B.-4C.-9D.-5

2.（2023秋?廣東湛江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）現(xiàn)有甲，乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長(zhǎng)如圖）

（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為.

（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形,先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊,還需取丙紙片

塊.

A./+/和6B./+〃和5C./+〃和4D./+〃和3

3.（2023秋?福建三明?七年級(jí)統(tǒng)考期末）若占，乙，5，??????，是2022個(gè)由1和-1組成的數(shù)，且滿(mǎn)足

為+々+七+…+4022=1。。，則（四一1『+（9一1『+（七-+…+（馬22-1『的值為（）

A.2122B.2422C.3844D.4244

4.（2022秋?重慶江津?九年級(jí)校考期中）設(shè)m）是有理數(shù)，定義運(yùn)算a十力=（〃-2）2+〃，例如：

（-1）?（-3）=［（-1）-212+（-3）=6,182=（1-2）2+2=3，0?1=（0-2）2+1=5.下列結(jié)論：①2十（-5）=-5；

②090=0；③機(jī)，〃為有理數(shù)，當(dāng)"z+〃=4時(shí)，則〃通6=〃十。；④x,），為有理數(shù)，當(dāng)x十y=）⑥工時(shí)，

則A>⑤設(shè)A=5十（-2）+6十［一2）+7十（-2）+…+100衣-2）,

B=（-l）十2+（-2）十2+（-3）十2+…+（-96）十2,則.其中所有正確的結(jié)論有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.（2023秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：a+b=6,ab=7,則.

ab

6.（2021秋?浙江?九年級(jí)自主招生）若Y+2（"L3）X+I是完全平方式，X+〃與x+2的乘積中不含x的一一次

項(xiàng)，則””的值為.

7.（2022秋?天津?yàn)I海新?八年級(jí)?？计谀┮阎猉2+3X+］=O,則/+二=.

8.(2022春?福建三明?七年級(jí)校考階段練習(xí))若4=(24-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1,則A

-2022的末位數(shù)字是

9.(2023秋?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)統(tǒng)考期末)【閱讀理解】

若J滿(mǎn)足(32—x)(x—12)=100,求(327『+(X-I2)2的值.

解：設(shè)32-x=a,x-12=。，則(32—x)(x—12)=8。=100,fl+Z?=(32—x)+(x-12)=20,

(32-不7+(12『=/+從—2a〃=2()2—2xl00=200,

我們把這種方法叫做換元法.利用換元法達(dá)到簡(jiǎn)化方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

【解決問(wèn)題】

⑴若x滿(mǎn)足(100一力"-95)=5,則(i00_xy+(x_95)2=；

⑵若x滿(mǎn)足(20237)2+(x-2000『=229,求(2023-加-2000)的值；

(3)如圖，在長(zhǎng)方形A6CQ中，4B=24cm,點(diǎn)旦”是邊4GC。上的點(diǎn)，EC=12cm,RBE=DF=x,分別

以FCCB為邊在長(zhǎng)方形ABC0外惻作正方形CFGH和CBMN,若長(zhǎng)方形CBQF的面枳為320cm?,求圖中

10.(2022秋?河南周口?八年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料：在求多項(xiàng)式V+4X+8的最小值時(shí)，小明的解法如下：

x2+4x+8=X2+4X+4+4=(X+2|2+4,因?yàn)?X+2了之0,所以(/+2『+424,即f+4x+8的最小值為4.請(qǐng)

仿照以上解法，解決以下問(wèn)題：

⑴求多項(xiàng)式2.d+i6x+20的最小值：

⑵猜想多項(xiàng)式-V+i2x-25有最大值還是最小值，并求出這個(gè)最值.

專(zhuān)題3.4乘法公式

粵目標(biāo)導(dǎo)航

1、學(xué)會(huì)利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算；

2、掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用；

3、掌握整式的混合運(yùn)算：

顫:辯只橫井

知識(shí)點(diǎn)()1運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)】

平方差公式

邛:方差公式：(a+b)(a-b)=a2-h2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

特別說(shuō)明：在這里，〃,方既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多

項(xiàng)式.

抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：

既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變

式有以下類(lèi)型：

(1)位置變化：如(〃+0)(-利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型

(2)系數(shù)變化：如(3元+5)，)(3/一5)，)

(3)指數(shù)變化：如(，/+〃2)("3一〃2)

(4)符號(hào)變化：如(-〃一力(〃一切

(5)增項(xiàng)變化:如(，〃+〃++〃)

(6)增因式變化：如(a-b)m+8)(/+/)(/+//)

【典型例題】

例1.(2022秋?福建福州?八年級(jí)?？计谥?如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方

差,那么稱(chēng)該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如8=3?-4，16=52-32,即8,16均為“和諧數(shù)〃)，在不

超過(guò)100的止整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)〃之和為()

A.614B.624C.634D.642

【答案】B

【分析】根據(jù)(2〃+1)2-(2〃-1)2=8〃力00,確定小于100的“和諧數(shù)''，再求和，根據(jù)計(jì)算

結(jié)果的規(guī)律性，可得出答案.

【詳解】解:依題意設(shè)連續(xù)的兩個(gè)奇數(shù)為2〃-+

(2/?+l)2-(2n-l)2=8/?^100

解得：

252-232=48X2=96<100-

???在不超過(guò)100的正整數(shù)中，所有的"和諧數(shù)"之和為：

(32-l2)+(52-32)+...+(252-232)

=-12+32-32+52-52+72+……-212+232-232+252

=25-12

=625-1

=624,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，理解“和諧數(shù)〃的意義是解決問(wèn)題的前提，得出計(jì)算結(jié)果的規(guī)

律性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

例2.(2023春?七年級(jí)課時(shí)練習(xí))若(工+丁)卜一)，2)12+力=乂”_)嚴(yán)，則昨,

【答案】48

【分析】根據(jù)平方差公式，進(jìn)行乘法運(yùn)算，找到機(jī)、〃的值便可求解.

【詳解】解：(x+y2)(x-y2)(x2+/)=(x2+/)(^2-/)=x4-/

m=4,n=8

故答案為：4,8.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式，熟練運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵.

例3.(2023秋?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖①，從邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪掉一個(gè)邊

長(zhǎng)為人的小正方形，將陰影部分沿線剪開(kāi)，如圖所示，拼成圖②的長(zhǎng)方形.

⑴【探究】

①請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積;;

②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：(用字母表示)；

(2)【應(yīng)用】請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)公式完成計(jì)算：2001x1999.

【答案】⑴①?gòu)模?a+b)(a-b).②(4+初(〃一萬(wàn))=/_火

(2)3999999.

【分析】(1)①、圖①陰影部分的面積為兩個(gè)正方形面積的差，圖②陰影部分的面積是長(zhǎng)

為…,寬為(。-力的長(zhǎng)方形面積;

②、圖①陰影部分的面積和圖②陰影部分的面積相等，即可列出式子；

(2)將2001x1999轉(zhuǎn)化為(2000+1)(2000-1),根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：①、在圖①中：

大正方形的面積為小正方形的面積為從,

???陰影部分的面積為:合一萬(wàn)；

在圖②中：

???陰影部分為長(zhǎng)方形，且長(zhǎng)為小㈤，寬為(a-b),

???陰影部分的面積為:3+力)(。-分；

②、???圖①陰影部分的面積和圖②陰影部分的面積相等，

二可得到乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)原式=(2000+1X20C0-1)=20002-1=3999999.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何意義和平方差公式的應(yīng)用，用代數(shù)式表示陰影部分的面

積是得出平方差公式的關(guān)涯.

【即學(xué)即練】

1.(2022秋?河北邯鄲?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))計(jì)算(。-3(a+3(/+〃2)-S+/)的結(jié)果為

()

A.2/B.2bAc.-2a4D.-2b4

【答案】D

【分析】利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：(所加+購(gòu)+吁("好

=(^a2-b2)^a2+b2)-a4-hA

=a4-b4-a4-bA

=-?.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.

2.(2021春?江蘇泰州?七年級(jí)校考期中)如果一個(gè)數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們

稱(chēng)這個(gè)數(shù)為〃和融數(shù)〃，如：因?yàn)?0=62—4?,所以稱(chēng)20為“和融數(shù)〃，下面4個(gè)數(shù)中為"和融

數(shù)”的是().

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】C

【分析】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為〃，〃+2,應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算可得(〃+2)2-〃2=而+4,

代入計(jì)算〃的值，即可得中答案.

【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為〃，〃+2,

則（〃+2）“-n~=（〃+2+〃）（〃+2-〃）=4〃+4,

A.4〃+4=2018,解得〃=詈，〃不是偶數(shù)，故不符合題意：

B.4〃+4=2019,解得”羋，〃不是偶數(shù)，故不符合題意：

C.4/7+4=2020,解得“=504,〃是偶數(shù)，故符合題意；

D.4?+4=2021,解得〃=?與01上7，〃不是偶數(shù)，故不符合題意；

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?新疆烏魯木齊,八年級(jí)?？计谀┬←愒谟?jì)算3、（4+1N（42+1）時(shí),把3寫(xiě)成（4-1）

后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.用類(lèi)似的方法計(jì)算：

（I4XI4XI+F]4=-------

【答案】2

【分析】根據(jù)平方差公式解決此題.

=_2%一1句)+齊1

=2凸+1

2727

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解決本題的關(guān)鍵.

4.（2021春?浙江寧波?七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：+-

【答案】3

【分析】將原式變形為3（1-；）（1+$（1+"）（1+/）（1+/）+*,再根據(jù)平方差公式計(jì)算即小

【洋解】2(1+如+孰1+孰1+撲擊

=3(i-|)(i+|)(i+fa+fJ+表

=3(1-")(1+")。+/)。+/)+/

=3(1-中(1+/)(1+")+/

=3(T)嗎)+看

=3。爭(zhēng)+/

=3

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，解決本題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，并熟練運(yùn)用.

5.(2022秋?福建泉州?八年級(jí)校考階段練習(xí))(1)比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得

到乘法公式.(用式子表達(dá))

圖1圖2

(2)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：

①10.3x9.7

②(2"?+〃一-〃+p)

【答案】(1)a2-b2=(a^b)(a-h)；(2)①99.91：@W-n2+2np-p2

【分析】(1)根據(jù)面積的兩種計(jì)算方式進(jìn)而可得到/-/=(〃+力)("—〃)：

(2)①因?yàn)?0.3=10+0.3,9.7=10-0.3,根據(jù)(1)的結(jié)論即可求得結(jié)果；②先添括號(hào)再

根據(jù)(1)的結(jié)論化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解:(1).?圖1的陰影部分的面積為部-從,圖2中陰影部分的面積(a+b)(a-b)

/.a'-lr=(A+b)(a-b)

故答案為：a2—b~=(a+b)(a—b)

(2)①]03x9.7

=(10+0.3)(10-0.3)

=102-0.32

=100-0.09

=99.91；

②(2"7+〃一〃)(2〃7-〃+p)

=(2fn)2-(n-p)2

=4/n2-(/?2-2/2/7+p2)

=4/fi2-n:+2np-p?

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)02運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)】

完全平方公式

完全平方公式：(。+力『=6+2出?+/?2

(。-〃尸=a2-2ah+h2

兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.

特別說(shuō)明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩

數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：

a2+b2+-lab=(a-bf+2ab

(a+b)2=(〃-〃)“+4a〃

添括號(hào)法則

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào),

括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).

特別說(shuō)明：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查

添括號(hào)是否正確.

補(bǔ)充公式

(x+p)(x+q)=x2+(〃+q)x+pq；(a±b)(a2^.ab+b1)=a3±b'；

(a±b)3=a±3a2b+3ab2±〃'；(。+〃+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

【典型例題】

例1.(2023秋?山西朔州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)下列各式計(jì)算正確的是()

A.(a+b)(a-b)=a2+b2B.(a-b'f=a2-b2

C.(a+b)'=a2+2ab+b'D.(6/-l)(6i-2)=a2+3a+2

【答案】C

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式，完全平方公進(jìn)行計(jì)算可得出答案.

【詳解】解：A.（a+b）（a-b）=a2-b2,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.（a-by=a2-2ab+b2,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2,原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；

D、（。-1）（。-2）=/_3々+2,原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則和乘法公式是解題的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)?？计谥校┮阎▁+y）2=25,秒=4,則

f+）廣=.

【答案】17

【分析】根據(jù)完全平方公式得出結(jié)論即可.

【詳解】?「（%+），）2=25中，=4,

/.（x+y）2=25,

x2+y2+2xy=25,

/.x2+y2+2x4=25,

/.^+/=17

故答案為：17

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023秋?廣東韶關(guān)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：（x-y1+（2x+），）（2x-），）-M3x-2F）.

【答案】2/

【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式以及整式的加減運(yùn)算，求解即可；

【詳解】解：原式=/一2xy+y2+4x2-y2-3x2+2xy=2x2.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整

式的相關(guān)運(yùn)算法則.

【即學(xué)即練】

1.（重慶市祭江區(qū)2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列計(jì)算正確的是（）

A.b2+b2=b4B.3小3—2加=]

C.（?-/?）2=a2-b2D.（a2b）=a$3

【答案】D

【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，幕的乘方、積的乘方運(yùn)算法則逐項(xiàng)分析判斷即可.

【詳解】解：A、b2+b2=2b2^b4,該選項(xiàng)不符合題意：

B、3加-2加=加=1,該選項(xiàng)不符合題意;

C、（a—b）2=c『一2ab+b?*c『一護(hù)，該選項(xiàng)不符合題意；

D、（a2b>l=a6b\正確，該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，幕的乘方、積的乘方運(yùn)算法則，掌握運(yùn)算

法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2022春廣西七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)明〃滿(mǎn)足"加"4"：=。，則j

的值為（）

A.0B.1C.—1D.—

2

【答案】B

【分析】通過(guò)配方得到（，-1+（2"1）2=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到幼+1=0,

求得心人的值，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：??.。2+4從一。+4/?+*=。，

4

+（4/+48-1）=0

（2/?+1）2=0,

2h+1=O.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握分組分解與完全平方公式是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

3.（2023秋?福建寧德?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a+〃=5,她=3,則

【答案】19

【分析】把力=5兩邊平方得〃2+2,活+〃=25,再代入訪=3,即可求解.

【詳解】解：把。+6=5兩邊平方，

可得：a2+2ab+b2=25,

把他=3代入得：/+〃=25-6=19,

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，熟練掌握和利用完全平方公式是解題的關(guān)鍵，注意整體思維

的運(yùn)用.

4.（2022秋?廣西南寧?九年級(jí)三美學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的

方法.例如“已知%-力=2,求代數(shù)式6〃-勸-1的值.”可以這樣解：

8-?一1二2（3。一3一1=2x2-1=3.根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若、=2是關(guān)于x的一元一

次方程ai-+〃=4的解，則代數(shù)式4/+4ab+b2+6a+3b-\的值是.

【答案】27

【分析】根據(jù)戶(hù)2是關(guān)于工的?元?次方程小+0=4的解，可得：2a+b=4,直接代入所

求式即可解答.

【詳解】解：■「％=2是關(guān)于1的一元一次方程or+8=4的解，

2。+力=4,

44+4。力+〃+6。+3。-1

=伽+4+3伽+勾-1

=42+3X4-I

=27.

故答案為：27.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解和代數(shù)式求值，運(yùn)用了整體代入的方法.解題的關(guān)鍵是

根據(jù)解的定義得出。、b之間的關(guān)系式.

5.（2022春?江蘇常州?七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┪覀冎?，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩

種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例：如圖①可以得到

（〃+?）5+"=cr+3ab+2b2.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴寫(xiě)出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；

⑵利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知〃+Z?+c=12,ab+bc+ac=40,求

的值；

⑶小明同學(xué)又用x張邊長(zhǎng)為“的正方形，）'張邊長(zhǎng)為〃的正方形，z張邊長(zhǎng)為db的長(zhǎng)方形

紙片拼出了一個(gè)面積為（25〃+4〃）（勿+5〃）的長(zhǎng)方形，求x+），+z的值.

［答案】⑴卜/+6+。）（。+/?+。）=。2+b2+c2+2ab+2bc-2ac.

（2）64.

⑶133.

【分析】（1）從整體看正方形的邊長(zhǎng)為a+〃+c，因此可得到正方形的面積；再計(jì)算各部分面

積的和：

⑵根據(jù)⑴的結(jié)論化簡(jiǎn)求值即可；

⑶根據(jù)面積的計(jì)算方法求出X、Az的系數(shù)進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：.?.正方形的邊長(zhǎng)為：a+b+c,

「?正方形的面積為：(〃+3+c)(a+b+c),

正方形是由3個(gè)正方形和6個(gè)長(zhǎng)方形組成，

正方形的面積可表示為：

a2\ah\ac\abIlrIbeIacIheIc2=a2Ib2Ic2I2abI2acI2bc>

(a+b+c)^a+b+c)=a￡+b2+c2+2cib+lac+2bc,

(2)^：\<[a+b+c)(a+b+c)=a2+b2+c2+2ab+2cic+2bc,a+h+c=\2,ah+bc+ac=40.

/.(〃+Z?+c)(a+Z?+c)=c『+b2+c2+2cib+2ac+2bc,

l22=2x40+a2+/?2+c2,

a~+b2+c2=64.

(3)解：V(25a+4b)(2a+5b)=50a2-^\25cib^b^20b2=50a2+\33ab+20h2,

「?根據(jù)題意可知長(zhǎng)方形的組成是：x張邊長(zhǎng)為"的正方形，V張邊長(zhǎng)為〃的正方形，z張邊

長(zhǎng)為a,6的長(zhǎng)方形，

x=50,y=2(),z=133,

/.x+y+z=50+20+133=203.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與圖形面積，掌握多項(xiàng)式的乘法法

則是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)03完全平方公式在幾何圖形中應(yīng)用

【典型例題】

例1.（2022春?浙江寧波?七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在一塊邊長(zhǎng)為〃的正方形花圃中，兩縱

兩橫的4條寬度為人的人行道把花畫(huà)分成9塊，下面是用個(gè)計(jì)算種花上地總面積的代數(shù)式:

(1)(?-2Z?)(a—2b)；(2)a2—4ab；(3)a2—4ab—4b'；(4)a2—4ab+4Z?2,其中正確的

A.(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(4)

【答案】c

【分析】由平移法可得，種花土地總面枳等于邊長(zhǎng)為(“-2"的正方形的面積；由圖可得，

種花土地總面積=足4必+4/汽據(jù)此得出結(jié)論.

【詳解】解：由平移法可得，種花土地總面積=(〃?2力)(〃-2方)；

由圖可得，種花土地總面枳=/_4他+4人

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應(yīng)月，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用幾何

直觀理解，解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做

出幾何解釋.

例2.(2022秋?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)為4“、寬為人的長(zhǎng)方形，沿圖中虛

線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的寬為，然后用四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成

如圖2所示的正方形，則圖中陰影正方形的面積為.

ab

圖1圖2

【答案】a(/?—?)2^(a+b)~-4ab

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)四等分即可得出小長(zhǎng)方形的寬，結(jié)合圖形得出圖形中陰影正方形的

邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出面積.

【詳解】解：由題意可知，每個(gè)小長(zhǎng)方形的寬為長(zhǎng)為人，

則圖中大正方形的邊長(zhǎng)為圖中4個(gè)長(zhǎng)方形的面積為4而，

圖中陰影正方形的邊長(zhǎng)為a,

所以圖中陰影正方形的面積為

(b-a)(b-a)=(b-ay^(a+b)(a+b)-4ab=(a+b)~-4ab.

故答案為:a,或(a+匕)？-4他.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出陰影正方形的邊長(zhǎng).

例3.(2021春?四川成都?七年級(jí)?？计谥?把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過(guò)兩種不同

的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些圖形的面積.例如，由

圖1,可得等式：(a+2l^a+b)=a2+3ab+2lr.

b

⑴如圖2,將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+〃+c的正方形，試用

不同的形式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，請(qǐng)用等式表示出來(lái).

⑵利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問(wèn)題:已知a+0+c=10,ab+bc+ac=30,求

/+〃+/的值

【答案】(l)(a+〃+c)-=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

⑵40

【分析】(1)此題根據(jù)面枳的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一種可以是3個(gè)正方

形的面積和6個(gè)矩形的面積，一種是大正方形的面積，可得等式

(a+b+c)2=a'+b'+c'+2ab+2bc+2ac；

(2)利用(1)中的等式變形后，直接代人求得答案即可；

【詳解】(1)(a+b+c)2-a1+b2+c2+2ab+2bc+2ac

(2)a+Z?+c=10,ab+be+ac=30,

a2+b2+c2=(a+h+c)2-2(ab+bc+ac)=\()()-()0=4()；

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何意義，解題的關(guān)鍵是注意圖形的分割與拼合，會(huì)用不

同的方法表示同一圖形的面積.

【即學(xué)即練】

1.(2021春?浙江溫州?七年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，將四個(gè)長(zhǎng)為〃，寬為b的小長(zhǎng)方形紙片拼成

一個(gè)大正方形，用兩種不司的方法表示這個(gè)大正方形的面積，則可以得出一個(gè)等式為()

A.(?+Z?)2=?2+2ab+b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2

C.(6t-Z>)2=a2-2ab+b2D.(a+/?)"=(a-bj+4ab

【答案】D

【分析】根據(jù)題意表示出圖形的邊長(zhǎng)進(jìn)而得出其面積.

【詳解】解：由圖形可得：大正方形的邊長(zhǎng)為：。+人，則其面積為：（4+〃）2,

小正方形的邊長(zhǎng)為：（q—b）,則其面積為：（a-/?）2,長(zhǎng)方形面積為：出?，

正方形的面積又可以表示為Ca-b）2+4",

故（a+〃）2=（a~b）2+4".

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了完全平方公式的幾何背景，正確表示出各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?河南鄭州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，麥麥用9張A類(lèi)正方形卡片、1張8類(lèi)

正方形卡片和6張C類(lèi)長(zhǎng)方形卡片，拼成了一個(gè)大正方形，拼成的大正方形的邊