高中數(shù)學(xué)極限與導(dǎo)數(shù)教學(xué)講義第一章極限的概念與基本運算1.1極限的直觀引入1.1.1數(shù)列的極限數(shù)列是按一定順序排列的無窮多個數(shù)，記為$\{a_n\}$。若當(dāng)$n$無限增大時，$a_n$無限接近某個常數(shù)$A$，則稱$A$為數(shù)列$\{a_n\}$的極限，記作：$$\lim_{n\to\infty}a_n=A\quad\text{或}\quada_n\toA\(n\to\infty)$$例1：數(shù)列$\{a_n\}=\left\{\frac{1}{n}\right\}$，當(dāng)$n$增大時，$a_n$無限接近$0$，故$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$；例2：數(shù)列$\{a_n\}=\left\{1+\frac{(-1)^n}{n}\right\}$，無論$n$為奇數(shù)還是偶數(shù)，$a_n$均無限接近$1$，故$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=1$。1.1.2函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有定義（或$|x|$足夠大時有定義），若當(dāng)$x$無限接近$x_0$（或$x$的絕對值無限增大）時，$f(x)$無限接近某個常數(shù)$A$，則稱$A$為函數(shù)$f(x)$在$x\tox_0$（或$x\to\infty$）時的極限，記作：$$\lim_{x\tox_0}f(x)=A\quad\text{或}\quadf(x)\toA\(x\tox_0)$$$$\lim_{x\to\infty}f(x)=A\quad\text{或}\quadf(x)\toA\(x\to\infty)$$例3：函數(shù)$f(x)=x^2$，當(dāng)$x\to2$時，$f(x)$無限接近$4$，故$\lim_{x\to2}x^2=4$；例4：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$，當(dāng)$x\to\infty$時，$f(x)$無限接近$0$，故$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$。1.1.2.1左右極限左極限：$x$從$x_0$左側(cè)（$x<x_0$）無限接近$x_0$時，$f(x)$的極限，記作$\lim_{x\tox_0^-}f(x)$；右極限：$x$從$x_0$右側(cè)（$x>x_0$）無限接近$x_0$時，$f(x)$的極限，記作$\lim_{x\tox_0^+}f(x)$。極限存在的充要條件：$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$當(dāng)且僅當(dāng)$\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)=A$。例5：函數(shù)$f(x)=|x|$，$\lim_{x\to0^-}|x|=0$，$\lim_{x\to0^+}|x|=0$，故$\lim_{x\to0}|x|=0$；例6：函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\x-1,&x>0\end{cases}$，$\lim_{x\to0^-}f(x)=1$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$，故$\lim_{x\to0}f(x)$不存在。1.2極限的嚴(yán)格定義（選講）1.2.1數(shù)列極限的$\varepsilon-N$定義對于數(shù)列$\{a_n\}$，若存在常數(shù)$A$，使得對任意$\varepsilon>0$，總存在$N\in\mathbb{N}^*$，當(dāng)$n>N$時，$|a_n-A|<\varepsilon$恒成立，則稱$A$為$\{a_n\}$的極限，記作$\lim_{n\to\infty}a_n=A$。例7：用$\varepsilon-N$定義證明$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$：對任意$\varepsilon>0$，取$N=\left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor+1$，當(dāng)$n>N$時，$\frac{1}{n}<\varepsilon$，故極限為$0$。1.2.2函數(shù)極限的$\varepsilon-\delta$定義對于函數(shù)$f(x)$，若存在常數(shù)$A$，使得對任意$\varepsilon>0$，總存在$\delta>0$，當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時，$|f(x)-A|<\varepsilon$恒成立，則稱$A$為$f(x)$在$x\tox_0$時的極限，記作$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$。例8：用$\varepsilon-\delta$定義證明$\lim_{x\to2}x^2=4$：對任意$\varepsilon>0$，取$\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{5}\}$，當(dāng)$0<|x-2|<\delta$時，$|x^2-4|<\varepsilon$，故極限為$4$。1.3無窮大與無窮小1.3.1無窮大的概念若當(dāng)$x\tox_0$（或$x\to\infty$）時，$f(x)$的絕對值無限增大，則稱$f(x)$為$x\tox_0$（或$x\to\infty$）時的無窮大，記作：$$\lim_{x\tox_0}f(x)=\infty\quad\text{或}\quadf(x)\to\infty\(x\tox_0)$$例9：$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty$（$x\to0^+$時$\to+\infty$，$x\to0^-$時$\to-\infty$）；$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$。1.3.2無窮小的概念與性質(zhì)無窮?。喝?\lim_{x\tox_0}f(x)=0$（或$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$），則稱$f(x)$為$x\tox_0$（或$x\to\infty$）時的無窮小。性質(zhì)：1.有限個無窮小的和/積仍是無窮小；2.無窮小與有界函數(shù)的乘積仍是無窮?。ㄈ?\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$）。1.4極限的運算規(guī)則設(shè)$\limf(x)=A$，$\limg(x)=B$（極限均存在），則：1.和差法則：$\lim[f(x)\pmg(x)]=A\pmB$；2.乘積法則：$\lim[f(x)g(x)]=AB$；3.商法則：$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）；4.常數(shù)因子法則：$\lim[kf(x)]=kA$（$k$為常數(shù)）；5.冪法則：$\lim[f(x)]^n=A^n$（$n$為正整數(shù)）。例10：$\lim_{x\to1}(x^2+2x-3)=1^2+2\cdot1-3=0$；例11：$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$（約分后計算）。1.5兩個重要極限1.5.1$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$幾何證明：單位圓中，扇形面積介于兩個三角形面積之間，得$\cosx<\frac{\sinx}{x}<1$，當(dāng)$x\to0$時，$\cosx\to1$，由夾逼定理得極限為$1$。例12：$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\cosx\cdotx}=1\cdot1=1$。1.5.2$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$其中$e\approx2.____$，為自然對數(shù)底數(shù)。該極限可推廣為$\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$。例13：$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x=\left[\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^2=e^2$（令$t=\frac{x}{2}$）。第二章導(dǎo)數(shù)的概念與定義2.1導(dǎo)數(shù)的實際背景2.1.1瞬時速度問題：自由落體運動$s(t)=\frac{1}{2}gt^2$，求$t=t_0$時的瞬時速度。分析：平均速度$v_{\text{avg}}=\frac{s(t_0+\Deltat)-s(t_0)}{\Deltat}=gt_0+\frac{1}{2}g\Deltat$，當(dāng)$\Deltat\to0$時，$v_{\text{avg}}\togt_0$，故瞬時速度$v(t_0)=gt_0$。2.1.2切線斜率問題：求曲線$y=f(x)$在點$P(x_0,f(x_0))$處的切線斜率。分析：割線$PQ$的斜率為$\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$，當(dāng)$\Deltax\to0$時，割線的極限位置即為切線，故切線斜率為：$$k=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$$2.2導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義2.2.1導(dǎo)數(shù)的極限形式設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$取得增量$\Deltax$時，函數(shù)取得增量$\Deltay=f(x_0+\Deltax)-f(x_0)$。若$\lim_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}$存在，則稱$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，該極限稱為$f(x)$在$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$或$y'|_{x=x_0}$，即：$$f'(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}$$另一種形式（令$x=x_0+\Deltax$）：$$f'(x_0)=\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$2.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義幾何意義：$f'(x_0)$表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線斜率，切線方程為$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$；物理意義：導(dǎo)數(shù)表示瞬時變化率（如速度$v(t)=s'(t)$，加速度$a(t)=v'(t)$）。例14：求$f(x)=x^2$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)與切線方程：$f'(2)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(2+\Deltax)^2-4}{\Deltax}=4$，切線方程為$y=4x-4$。2.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系2.3.1可導(dǎo)必連續(xù)若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x_0$處必連續(xù)（證明：$\Deltay=f'(x_0)\Deltax+o(\Deltax)$，當(dāng)$\Deltax\to0$時，$\Deltay\to0$）。2.3.2連續(xù)不一定可導(dǎo)反例：$f(x)=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但左導(dǎo)數(shù)$\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1$，右導(dǎo)數(shù)$\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1$，左右導(dǎo)數(shù)不相等，故不可導(dǎo)。第三章導(dǎo)數(shù)的計算3.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)類型函數(shù)表達(dá)式導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)函數(shù)$y=C$$y'=0$冪函數(shù)$y=x^n$$y'=nx^{n-1}$正弦函數(shù)$y=\sinx$$y'=\cosx$余弦函數(shù)$y=\cosx$$y'=-\sinx$指數(shù)函數(shù)$y=a^x$$y'=a^x\lna$自然指數(shù)函數(shù)$y=e^x$$y'=e^x$對數(shù)函數(shù)$y=\log_ax$$y'=\frac{1}{x\lna}$自然對數(shù)函數(shù)$y=\lnx$$y'=\frac{1}{x}$例15：$(\sqrt{x})'=(x^{1/2})'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$；例16：$(e^{2x})'=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}$（復(fù)合函數(shù)，后續(xù)講解）。3.2導(dǎo)數(shù)的四則運算設(shè)$u=u(x)$，$v=v(x)$均可導(dǎo)，則：1.和差法則：$(u\pmv)'=u'\pmv'$；2.乘積法則：$(uv)'=u'v+uv'$；3.商法則：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\neq0$）。例17：求$f(x)=x^2\sinx$的導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=(x^2)'\sinx+x^2(\sinx)'=2x\sinx+x^2\cosx$。例18：求$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=\frac{(1)(x-1)-(x+1)(1)}{(x-1)^2}=-\frac{2}{(x-1)^2}$。3.3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）3.3.1復(fù)合函數(shù)的分解設(shè)$y=f(u)$，$u=g(x)$，則$y=f(g(x))$為復(fù)合函數(shù)，$u$為中間變量。例19：分解$y=\sin(2x+1)$：$y=\sinu$，$u=2x+1$；例20：分解$y=e^{\sqrt{x}}$：$y=e^u$，$u=\sqrt{v}$，$v=x$。3.3.2鏈?zhǔn)椒▌t的應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t：若$y=f(u)$可導(dǎo)，$u=g(x)$可導(dǎo)，則$y=f(g(x))$可導(dǎo)，且：$$y'=f'(u)\cdotg'(x)=f'(g(x))\cdotg'(x)$$例21：求$y=\sin(2x+1)$的導(dǎo)數(shù)：$y'=\cos(2x+1)\cdot(2x+1)'=2\cos(2x+1)$。例22：求$y=\ln(1+x^2)$的導(dǎo)數(shù)：$y'=\frac{1}{1+x^2}\cdot(1+x^2)'=\frac{2x}{1+x^2}$。第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)4.1.1單調(diào)性的判定定理設(shè)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則：若$f'(x)>0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增；若$f'(x)<0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞減。注：導(dǎo)數(shù)非負(fù)且僅在孤立點為0時，函數(shù)仍單調(diào)遞增（如$f(x)=x^3$，$f'(x)=3x^2\geq0$，在$\mathbb{R}$上單調(diào)遞增）。4.1.2單調(diào)區(qū)間的求法步驟：1.求定義域；2.求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；3.解$f'(x)>0$得遞增區(qū)間，解$f'(x)<0$得遞減區(qū)間。例23：求$f(x)=x^3-3x$的單調(diào)區(qū)間：定義域：$\mathbb{R}$；導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=3(x-1)(x+1)$；遞增區(qū)間：$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$；遞減區(qū)間：$(-1,1)$。4.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)4.2.1極值的定義設(shè)$f(x)$在$x_0$的某鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意$x\neqx_0$，都有：$f(x)<f(x_0)$，則$f(x_0)$為極大值，$x_0$為極大值點；$f(x)>f(x_0)$，則$f(x_0)$為極小值，$x_0$為極小值點。注：極值是局部概念，極大值不一定是最大值，極小值不一定是最小值。4.2.2極值點的判定方法必要條件：若$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)且取得極值，則$f'(x_0)=0$（費馬定理）。充分條件（第一判別法）：設(shè)$f(x)$在$x_0$處連續(xù)，且在$x_0$的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則：若$x<x_0$時$f'(x)>0$，$x>x_0$時$f'(x)<0$，則$x_0$為極大值點；若$x<x_0$時$f'(x)<0$，$x>x_0$時$f'(x)>0$，則$x_0$為極小值點；若$f'(x)$在$x_0$兩側(cè)符號不變，則$x_0$不是極值點。例24：求$f(x)=x^3-3x$的極值：臨界點：$x=-1$，$x=1$；極大值點：$x=-1$（左側(cè)遞增，右側(cè)遞減），極大值$f(-1)=2$；極小值點：$x=1$（左側(cè)遞減，右側(cè)遞增），極小值$f(1)=-2$。4.3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)4.3.1閉區(qū)間上函數(shù)的最值定理：閉區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值。求法步驟：1.求$(a,b)$內(nèi)的臨界點；2.計算臨界點與端點處的函數(shù)值；3.比較得最值。例25：求$f(x)=x^3-3x$在$[-2,2]$上的最值：臨界點：$x=-1$，$x=1$；端點值：$f(-2)=-2$，$f(2)=2$；最值：最大值$2$（$x=-1$，$x=2$），最小值$-2$（$x=-2$，$x=1$）。4.3.2實際問題中的優(yōu)化問題步驟：1.建立函數(shù)模型（目標(biāo)函數(shù)$y=f(x)$，定義域）；2.求導(dǎo)數(shù)$f'(x)$，找臨界點；3.判定臨界點是否為最值點（根據(jù)實際意義）；4.計算最值。例26：用12米鐵絲圍矩形，求面積最大的尺寸：設(shè)長為$x$米，寬為$6-x$米，面積$S(x)=x(6-x)$；導(dǎo)數(shù)$S'(x)=6-2x$，臨界點$x=3$；當(dāng)$x=3$時，寬為$3$米，面積$9$平方米（正方形）。4.4導(dǎo)數(shù)與曲線的凹凸性（選講）4.4.1凹凸性的定義設(shè)$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)連續(xù)，若對任意$x_1,x_2\in(a,b)$，都有：$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凹（上凹）；$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凸（下凹）。4.4.2凹凸性的判定定理設(shè)$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)二階可導(dǎo)，則：若$f''(x)>0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凹；若$f''(x)<0$在$(a,b)$內(nèi)恒成立，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)凸。例27：求$f(x)=x^3$的凹凸區(qū)間：二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x$；凹區(qū)間：$(0,+\infty)$（$f''(x)>0$）；凸區(qū)間：$(-\infty,0)$（$f''(x)<0$）。第五章導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用5.1函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系$f'(x)>0$：圖像上升；$f'(x)<0$：圖像下降；$f'(x)=0$：水平切線（極值點或拐點）；$f''(x)>0$：圖像凹；$f''(x)<0$：圖像凸；$f''(x)=0$：拐點（凹凸性改變的點）。例28：畫$f(x)=x^3-3x$的圖像：遞增區(qū)間：$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$；遞減區(qū)間：$(-1,1)$；極大值點：$(-1,2)$；極小值點：$(1,-2)$；凹區(qū)間：$(0,+\infty)$；凸區(qū)間：$(-\infty,0)$；拐點：$(0,0)$。5.2導(dǎo)數(shù)與不等式證明方法：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值或最值。例29：證明當(dāng)$x>0$時，$\lnx\leqx-1$：構(gòu)造$f(x)=\lnx-x+1$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}-1$；臨界點$x=1$，$f(x)$在$(0,1)$遞增，$(1,+\infty)$遞減；最大值$f(1)=0$，故$\lnx\leqx-1$（等號當(dāng)且僅當(dāng)$x=1$時成立）。5.3導(dǎo)數(shù)與方程根的個數(shù)方法：構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值、最值及漸近線。例30：判斷方程$x^3-3x+1=0$的實根個數(shù)：構(gòu)造$f(x)=x^3-3x+1$，導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3(x-1)(x+1)$；極大值$f(-1)=3$，極小值$f(1)=-1$；漸近線：$x\to-\infty$時$f(x)\to-\infty$，$x\to+\infty$時$f(x)\to+\infty$；根的個數(shù)：3個（$(-\infty,-1)$，$(-1,1)$，$(1,+\infty)$各1個）。5.4導(dǎo)數(shù)與參數(shù)問題例31：已知$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=-1$處取得極大值7，在$x=3$處取得極小值，求$a,b,c$：導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由$f'(-1)=0$，$f'(3)=0$得$\begin{cases}3-2a+b