高三數(shù)學平面向量多選題專項訓練單元測試含答案一、平面向量多選題1．下列說法中錯誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°答案：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B解析：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項錯誤.故錯誤的選項為ACD故選：ACD【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準確度要求比較高，中檔題.2．正方形的邊長為，記，，，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．答案：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運算可判斷C選項的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項的正誤.【詳解解析：ABC【分析】作出圖形，利用平面向量加、減法法則與正方形的性質(zhì)可判斷A、B選項的正誤；利用平面向量的減法法則與向量的數(shù)乘運算可判斷C選項的正誤；利用平面向量的加法法則可判斷D選項的正誤.【詳解】如下圖所示：對于A選項，四邊形為正方形，則，，，A選項正確；對于B選項，，則，B選項正確；對于C選項，，則，則，C選項正確；對于D選項，，，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查平面向量相關命題正誤的判斷，同時也考查了平面向量加、減法法則以及平面向量數(shù)量積的應用，考查計算能力，屬于中等題.3．在中，，，分別是內(nèi)角，，所對的邊，，且，，則以下說法正確的是（）A．B．若，則C．若，則是等邊三角形D．若的面積是，則該三角形外接圓半徑為4答案：AC【分析】對于，利用正弦定理可將條件轉化得到，即可求出；對于，利用正弦定理可求得，進而可得；對于，利用正弦定理條件可轉化為，結合原題干條件可得，進而求得；對于，根據(jù)三角形面積公式求得，利解析：AC【分析】對于，利用正弦定理可將條件轉化得到，即可求出；對于，利用正弦定理可求得，進而可得；對于，利用正弦定理條件可轉化為，結合原題干條件可得，進而求得；對于，根據(jù)三角形面積公式求得，利用余弦定理求得，進而由正弦定理求得．【詳解】解：由正弦定理可將條件轉化為，因為，故，因為，則，故正確；若，則由正弦定理可知，則，因為，則，故錯誤；若，根據(jù)正弦定理可得，又因為，即，即有，所以，因為，則，故，整理得，即，解得，故，則，即，所以是等邊三角形，故正確；若的面積是，即，解得，由余弦定理可得，即設三角形的外接圓半徑是，由正弦定理可得，則該三角形外接圓半徑為2，故D錯誤，故選：AC．【點睛】本題考查正余弦定理的應用及同角三角函數(shù)的基本關系和兩角和與差的三角公式，轉化思想，計算能力，屬于中檔題．4．中，，，則下列敘述正確的是（）A．的外接圓的直徑為4.B．若，則滿足條件的有且只有1個C．若滿足條件的有且只有1個，則D．若滿足條件的有兩個，則答案：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項：如圖解析：ABD【分析】根據(jù)正弦定理，可直接判斷的對錯，然后，，三個選項，都是已知兩邊及一邊的對角，判斷解得個數(shù)的問題，做出圖象，構造不等式即可．【詳解】解：由正弦定理得，故正確；對于，，選項：如圖：以為圓心，為半徑畫圓弧，該圓弧與射線的交點個數(shù)，即為解得個數(shù)．易知當，或即時，三角形為直角三角形，有唯一解；當時，三角形是等腰三角形，也是唯一解；當，即，時，滿足條件的三角形有兩個．故，正確，錯誤．故選：．【點睛】本題考查已知兩邊及一邊的對角的前提下，三角形解得個數(shù)的判斷問題．屬于中檔題．5．下列結論正確的是（）A．已知是非零向量，，若，則⊥（）B．向量，滿足||＝1，||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影向量為C．點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）為頂點的四邊形是一個矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為解析：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為60°，故可得.故在上的投影向量為，故選項正確；對：點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點為三角形的重心，故選項錯誤；對：不妨設，則，故四邊形是平行四邊形；又，則，故四邊形是矩形.故選項正確；綜上所述，正確的有：.故選：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，向量的坐標運算，向量垂直的轉化，屬綜合中檔題.6．中，，，面積，則邊（）A． B． C． D．答案：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在中，根據(jù)，，由，解得或，然后分兩種情況利用余弦定理求解.【詳解】中，因為，，面積，所以，所以，解得或，當時，由余弦定理得：，解得，當時，由余弦定理得：，解得所以或故選：AB【點睛】本題主要考查三角形面積公式和余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.7．在下列結論中，正確的有（）A．若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合 B．平行向量又稱為共線向量C．兩個相等向量的模相等 D．兩個相反向量的模相等答案：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點和終點不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確解析：BCD【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)依次判斷每個選項得到答案.【詳解】A.若兩個向量相等，它們的起點和終點不一定不重合，故錯誤；B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；C.相等向量方向相同，模相等，正確；D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：【點睛】本題考查了向量的定義和性質(zhì)，屬于簡單題.8．下列命題中，正確的是（）A．在中，，B．在銳角中，不等式恒成立C．在中，若，則必是等腰直角三角形D．在中，若，，則必是等邊三角形答案：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】對于選項在中，由正弦定理可得，即可判斷出正誤；對于選項在銳角中，由，可得，即可判斷出正誤；對于選項在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判斷出正誤；對于選項在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形狀，即可判斷出正誤.【詳解】對于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正確；對于，在銳角中，，，，，，因此不等式恒成立，正確；對于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，錯誤.對于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正確.故選：.【點睛】本題考查正弦定理與余弦定理及三角形邊角關系，主要涉及的考點是三角形內(nèi)角的誘導公式的應用，同時考查正弦定理進行邊角轉化，屬于中等題.9．設、是兩個非零向量，則下列描述正確的有（）A．若，則存在實數(shù)使得B．若，則C．若，則在方向上的投影向量為D．若存在實數(shù)使得，則答案：AB【分析】根據(jù)向量模的三角不等式找出和的等價條件，可判斷A、C、D選項的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】當時，則、方向相反且，則存在負實數(shù)解析：AB【分析】根據(jù)向量模的三角不等式找出和的等價條件，可判斷A、C、D選項的正誤，利用平面向量加法的平行四邊形法則可判斷B選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】當時，則、方向相反且，則存在負實數(shù)，使得，A選項正確，D選項錯誤；若，則、方向相同，在方向上的投影向量為，C選項錯誤；若，則以、為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個矩形的兩條對角線長，則，B選項正確.故選：AB.【點睛】本題考查平面向量線性運算相關的命題的判斷，涉及平面向量模的三角不等式的應用，考查推理能力，屬于中等題.10．對于菱形ABCD，給出下列各式，其中結論正確的為（）A． B．C． D．答案：BCD【分析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結論正確，A結論錯誤；因為，，且，所以，即C結論正確；因為，解析：BCD【分析】由向量的加法減法法則及菱形的幾何性質(zhì)即可求解.【詳解】菱形中向量與的方向是不同的，但它們的模是相等的，所以B結論正確，A結論錯誤；因為，，且，所以，即C結論正確；因為，，所以D結論正確.故選：BCD【點睛】本題主要考查了向量加法、減法的運算，菱形的性質(zhì)，屬于中檔題.11．給出下面四個命題，其中是真命題的是（）A． B． C． D．答案：AB【解析】【分析】根據(jù)向量加法化簡即可判斷真假.【詳解】因為，正確；，由向量加法知正確；，不滿足加法運算法則，錯誤；，所以錯誤.故選：AB.【點睛】本題主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根據(jù)向量加法化簡即可判斷真假.【詳解】因為，正確；，由向量加法知正確；，不滿足加法運算法則，錯誤；，所以錯誤.故選：AB.【點睛】本題主要考查了向量加法的運算，屬于容易題.12．已知正三角形的邊長為2，設，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．答案：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】解析：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】本題考查正三角形的性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.13．下列命題中，正確的有（）A．向量與是共線向量，則點、、、必在同一條直線上B．若且，則角為第二或第四象限角C．函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是D．中，若，則為鈍角三角形答案：BCD【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷A選項的正誤；根據(jù)題意判斷出角的終邊的位置，然后利用等分象限法可判斷出角的終邊的位置，進而判斷B選項的正誤；利用圖象法求出函數(shù)的最小正周期，可判斷C選項的正誤解析：BCD【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷A選項的正誤；根據(jù)題意判斷出角的終邊的位置，然后利用等分象限法可判斷出角的終邊的位置，進而判斷B選項的正誤；利用圖象法求出函數(shù)的最小正周期，可判斷C選項的正誤；利用切化弦思想化簡不等式得出，進而可判斷出選項D的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于A選項，向量與共線，則或點、、、在同一條直線上，A選項錯誤；對于B選項，，，所以，則角為第四象限角，如下圖所示：則為第二或第四象限角，B選項正確；對于C選項，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為，C選項正確；對于D選項，，，，對于任意三角形，必有兩個角為銳角，則的三個內(nèi)角余弦值必有一個為負數(shù)，則為鈍角三角形，D選項正確.故選：BCD.【點睛】本題考查三角函數(shù)、三角恒等變換與向量相關命題真假的判斷，考查共線向量的定義、角的終邊位置、三角函數(shù)的周期以及三角形形狀的判斷，考查推理能力，屬于中等題.14．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形答案：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝解析：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝B時，△ABC為等腰三角形；當時，△ABC為直角三角形，故A不正確，對于B，若，則，由正弦定理得，即成立．故B正確；對于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C錯誤；對于D，若，由正弦定理得，∴，∴C為鈍角，∴是鈍角三角形，故D正確；綜上，正確的判斷為選項B和D．故選：BD．【點睛】本題只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的二倍角公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．15．已知為非零向量,則下列命題中正確的是()A．若,則與方向相同B．若,則與方向相反C．若,則與有相等的模D．若,則與方向相同答案：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時解析：ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時有,.當反向時有,故選：ABD【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算與三角不等式,屬于基礎題型.二、平面向量及其應用選擇題16．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且，點在線段上(與點，不重合)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．解析：D【分析】設，則，根據(jù)得出的范圍，再結合得到的關系，從而得出的取值范圍.【詳解】設，則,因為，點在線段上(與點C，D不重合)，所以，又因為，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的線性運算，考查利用向量關系式求參數(shù)的取值范圍問題，難度一般.17．已知中，，則等于（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°解析：D【分析】由正弦定理可得，，根據(jù)，可得B角的大小.【詳解】由正弦定理可得，，又，或.故選：D【點睛】本題考查了正弦定理的應用，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于基礎題目.18．中，內(nèi)角所對的邊分別為.若，則的面積為（）A．6 B． C． D．解析：B【分析】由條件和余弦定理得到，再根據(jù)三角形的面積公式計算結果.【詳解】由條件可知：，①由余弦定理可知：，②所以由①②可知，，即，則的面積為.故選：B【點睛】本題考查解三角形，重點考查轉化與化歸思想，計算能力，屬于基礎題型.19．已知，，，(m，).存在，，對于任意實數(shù)m，n，不等式恒成立，則實數(shù)T的取值范圍為（）A． B． C． D．解析：A【分析】不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放縮，轉化即求最小值，再轉化為等邊三角形的邊的中點和一條直線上動點的距離最小值.當運動到時且反向時，取得最小值得解.【詳解】，,易得設，中點為，中點為則在單位圓上運動，且三角形是等邊三角形,，所在直線方程為因為恒成立，,(當且僅當與共線同向，即與共線反向時等號成立)即求最小值.三角形是等邊三角形，在單位圓上運動，是中點，的軌跡是以原點為圓心，半徑為的一個圓.又在直線方程為上運動，當運動到時且反向時，取得最小值此時到直線的距離故選：A【點睛】本題考查平面向量與幾何綜合問題解決向量三角不等式恒成立.平面向量與幾何綜合問題的求解坐標法：把問題轉化為幾何圖形的研究，再把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．20．已知點O是內(nèi)一點，滿足，，則實數(shù)m為（）A．2 B．-2 C．4 D．-4解析：D【分析】將已知向量關系變?yōu)椋?，可得到且共線；由和反向共線，可構造關于的方程，求解得到結果.【詳解】由得：設，則三點共線如下圖所示：與反向共線本題正確選項：【點睛】本題考查向量的線性運算性質(zhì)及向量的幾何意義，關鍵是通過向量線性運算關系得到三點共線的結果，從而得到向量模長之間的關系.21．已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的()（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心解析：C【詳解】試題分析：因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.考點：向量在幾何中的應用.22．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=A． B． C．2 D．3解析：D【詳解】由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！23．已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．解析：B【分析】將轉化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.24．在中，角、、所對的邊分別是、、，若，，，則等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系式可得，進而可得，再利用正弦定理即可得出．【詳解】解：，．，．．由正弦定理可得：，．故選：．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、正弦定理、兩角和差的余弦公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．25．在中，則的值等于（）A． B． C． D．解析：A【解析】分析：先利用三角形的面積公式求得的值，進而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.詳解：由題意，在中，利用三角形的面積公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故選A.點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.26．在中，，，所對的邊分別為，，，過作直線與邊相交于點，，.當直線時，值為；當為邊的中點時，值為.當，變化時，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（）A． B． C． D．1解析：C【分析】當直線時，由直角三角形的勾股定理和等面積法，可得出，，再由基本不等式可得出，從而得出M的范圍.當為邊的中點時，由直角三角形的斜邊上的中線為斜邊的一半和勾股定理可得，，由基本不等式可得出，從而得出的范圍，可得選項.【詳解】當直線時，因為，，所以，由等面積法得，因為有（當且僅當時，取等號），即，所以，所以（當且僅當時，取等號），當為邊的中點時，因為，，所以，，因為有（當且僅當時，取等號），即，所以，所以（當且僅當時，取等號），當，變化時，記（即、中較大的數(shù)），則的最小值為（此時，）；故選：C.【點睛】本題考查解直角三角形中的邊的關系和基本不等式的應用，以及考查對新定義的理解，屬于中檔題.27