第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算高三一輪復(fù)習(xí)講義湘教版第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)

0403考教銜接精研教材課時測評02考點探究提升能力教材梳理夯實基礎(chǔ)01內(nèi)容索引教材梳理夯實基礎(chǔ)1.函數(shù)的平均變化率(1)定義：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的平均變化率為___________.(2)過曲線上兩點的直線斜率(即幾何意義)：在函數(shù)f(x)的圖象上取兩點A(a，f(a))，B(b，f(b))，則直線AB的斜率為___________.

某一個時刻

瞬時變化率導(dǎo)數(shù)微商f'(x0)可導(dǎo)或可微導(dǎo)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)

微提醒當(dāng)函數(shù)S=f(t)表示運動方程時，其導(dǎo)數(shù)f'(t)的物理意義是該運動物體在時刻t的瞬時速度；而當(dāng)函數(shù)y=f(x)表示曲線方程時，其導(dǎo)數(shù)f'(x)的幾何意義就是該曲線在點(x，f(x))處的切線的斜率.PTf'(x0)y－f(x0)=f'(x0)(x－x0)5.幾個基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)常見冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=___f(x)=xf'(x)=___f(x)=x2f'(x)=_____f(x)=x3f'(x)=_____f(x)=f'(x)=___f(x)=f'(x)=_012x3x2

(2)一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=___f(x)=xα(α≠0)f'(x)=_______f(x)=exf'(x)=____f(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=_________f(x)=lnxf'(x)=__f(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=_____f(x)=sinxf'(x)=_______f(x)=cosxf'(x)=________f(x)=tanxf'(x)=0αxα－1exaxlna

cosx－sinx

f'(x)+g'(x)f'(x)－g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)7.簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(1)定義：一般地，設(shè)y=f(u)是關(guān)于u的函數(shù)，u=g(x)是關(guān)于x的函數(shù)，則y=f(g(x))是關(guān)于x的函數(shù)，稱為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的__________.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：一般地，對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于______________________________.復(fù)合函數(shù)y'u·u'xy對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積常用結(jié)論

自主檢測

√√√2.跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是h(t)=10－4.9t2+8t(距離單位：米，時間單位：秒)，則他在0.5秒時的瞬時速度為A．9.1米/秒 B．6.75米/秒C．3.1米/秒 D．2.75米/秒√

3.設(shè)f(x)=ln(3－2x)+cos2x，則f'(0)=________.

y=(e－1)x+2

返回考點探究提升能力考點一導(dǎo)數(shù)的運算

自主練透

√√√

2.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)=x3+x2f'(1)+2x－1，則f'(2)等于A．1 B．－9 C．－6 D．4√因為f(x)=x3+x2f'(1)+2x－1，所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2，把x=1代入f'(x)，得f'(1)=3×12+2f'(1)+2，解得f'(1)=－5，所以f'(x)=3x2－10x+2，所以f'(2)=－6.故選C．

－2

規(guī)律方法考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義

多維探究典例1

√

(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為_______，_________________.

求曲線過點P的切線方程的方法1.當(dāng)點P(x0，y0)是切點時，切線方程為y－y0=f'(x0)·(x－x0).

2.當(dāng)點P(x0，y0)不是切點時，可分以下四步完成：

第一步：設(shè)出切點坐標(biāo)P'(x1，f(x1))；

第二步：寫出過點P'(x1，f(x1))的切線方程y－f(x1)=f'(x1)(x－x1)；

第三步：將點P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；

第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)=f'(x1)·(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程.規(guī)律方法角度2

求切點坐標(biāo)(1)(2025·山東濟南模擬)設(shè)x0>1，曲線f(x)=alnx－3x+2a(a≠0)在點P(x0，0)處的切線經(jīng)過點(0，2e)，則alnx0=A．0 B．1 C．e D．2e√

典例2

求切點坐標(biāo)的思路

已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo).規(guī)律方法角度3

與切線有關(guān)的參數(shù)問題

(1)(2024·陜西榆林模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2的圖象在x=1處的切線方程為3x－y+b=0，則a+b=A．－2 B．－1 C．0 D．1√

典例３

(－∞，－4)∪(0，+∞)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

注意：(1)注意曲線上點的橫坐標(biāo)的取值范圍.(2)謹(jǐn)記切點既在切線上又在曲線上.規(guī)律方法對點練1.(多選)(2024·湖南九校聯(lián)盟聯(lián)考二)下列函數(shù)的圖象與直線y=x+1相切的有A．y=ex B．y=lnxC．y=sinx+1 D．y=x3+1√√

1或－3

考點三兩曲線的公切線

師生共研典例４

(2)(新設(shè)問)(2024·山東濰坊模擬)已知f(x)=ex－1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+1，請寫出f(x)與g(x)圖象的一條公切線的方程為__________________.

y=ex－1(或y=x)設(shè)公切線與f(x)的圖象相切于點(m，em－1)，與g(x)的圖象相切于點(n，ln

n+1)，

解決兩曲線的公切線問題的兩種方法1.利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解.

2.設(shè)公切線l在曲線y=f(x)上的切點為P1(x1，f(x1))，在曲線y=g(x)上的切點為P2(x2，g(x2))，則f'(x1)=g'(x2).規(guī)律方法對點練3.(2024·福建泉州模擬)若一直線與曲線y=lnx和曲線x2=ay(a>0)相切于同一點P，則a的值為________.

2e

對點練4.(2024·山東棗莊模擬)已知曲線C1：y=ex+x，C2：y=

－x2+2x+a(a>0)，若有且只有一條直線同時與C1，C2都相切，則a=_____.

1

則f'(x)=2e2x－6ex+4ex+4xex=2e2x－2ex+4xex=ex(2ex+4x－2)，令g(x)=2ex+4x－2，則g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且g(0)=0，所以當(dāng)x<0時，g(x)<0，f'(x)<0，當(dāng)x>0時，g(x)>0，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x→－∞時，f(x)→0，f(0)=－5，x→+∞時，f(x)→+∞，又－1－4a<－1，結(jié)合函數(shù)圖象(圖略)可知，要使f(x)=－1－4a有一解，則－1－4a=－5，a=1.返回考教銜接精研教材真題再現(xiàn)

√

教材呈現(xiàn)真題再現(xiàn)2.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(0，1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=________.

ln2

返回教材呈現(xiàn)(人教A選擇性必修二P104T13)已知曲線y=x+lnx在點(1，1)處的切線與曲線y=ax2+(2a+3)x+1只有一個公共點，求a的值.點評：高考題與教材習(xí)題都是考查兩曲線的公切線問題.課時測評

√

√

√

√

5.(新定義)(多選)定義方程f(x)=f'(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“新不動點”，則下列函數(shù)中只有一個“新不動點”的是A．g(x)=x·2x B．g(x)=－ex－2xC．g(x)=lnx D．g(x)=sinx+2cosx√√√

6.(新定義)(多選)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是A．y=cosx B．y=lnxC．y=ex D．y=x2√√

7.函數(shù)f(x)的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則f(1)－f'(1)=________.

4

8.已知函數(shù)f(x)=2e－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則曲線