第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海實驗學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.12A.?52a?4c B.?52.已知兩個單位向量e1,e2的夾角為θA.e1在e2上的投影向量為cosθ B.e1?e23.山西應(yīng)縣木塔，始建于1056年，是世界上現(xiàn)存最高大、最古老的純木樓閣式建筑，與意大利比薩斜塔、巴黎埃菲爾鐵塔并稱“世界三大奇塔”.某同學(xué)為了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高為15m，在地面上點C處(B,C,N在同一水平面上且三點共線)測得木塔頂部M，建筑物頂部A的仰角分別為60°和15°，在A處測得木塔頂部M的仰角為30°，則可估算木塔的高度為(

)A.(15+452)m B.(45+152)m4.設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[?2.1]=?3，[2.1]=2.已知函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|，函數(shù)g(x)=[f(x)]，則以下結(jié)論中正確的個數(shù)有(

)

①函數(shù)g(x)的值域是{0,1,2}，②函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于x=π2對稱，③函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，④方程A.4個 B.3個 C.2個 D.1個二、填空題：本題共10小題，每小題4分，共40分。5.已知扇形的半徑為5，圓心角為3rad，則扇形的弧長為______．6.已知角α的終邊過點P(12,?5)，則cosα=______．7.若cos(π+α)=?35,α∈(0,π28.已知sinα=13,α∈(π2,π)9.已知tanα=2，則sinα?cosαsinα+cosα10.函數(shù)y=2sin(2x?π3),x∈[0,11.已知△ABC為等腰三角形，且sinA=2sinB，則cosB=______．12.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)+1(ω>0)的圖象在區(qū)間[0,1)上恰有2個最高點，則ω13.若關(guān)于x的方程sin2x+cosx+k=0在(?π4,14.已知函數(shù)f(x)=log2x,x>0?x,x≤0，函數(shù)g(x)滿足以下三點條件：①定義域為R；②對任意x∈R，有g(shù)(x+π)=2g(x)；③當(dāng)x∈[0,π]時，g(x)=sinx.則函數(shù)y=f(x)?g(x)三、解答題：本題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題10分)

已知|a|=10,|b?|=4，a與b的夾角θ=120°，求：

(1)|a+b|16.(本小題10分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ca=sinA+2sinBcosA2sinA．

(1)求B的大?。?/p>

(2)若b=22，△ABC17.(本小題12分)

已知tan(α+π4)=?3，cosβ=?7210，且α，β∈(0,π)18.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=sinxcosxcosφ+12cos2xsinφ(|φ|<π2)

(1)求f(x)的最小值；

(2)若將f(x)的圖象上所有點向左平移π6個單位長度得到g(x)=12sin2x的圖象，求函數(shù)f(x)的對稱軸和對稱中心；

(3)19.(本小題10分)

汽車轉(zhuǎn)彎時遵循阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理，即轉(zhuǎn)向時所有車輪中垂線交于一點，該點稱為轉(zhuǎn)向中心.如圖1，某汽車四輪中心分別為A，B，C，D向左轉(zhuǎn)向，左前輪轉(zhuǎn)向角為α，右前輪轉(zhuǎn)向角為β，轉(zhuǎn)向中心為O.設(shè)該汽車左右輪距AB為w米，前后軸距AD為l米．

(1)試用w、l和α表示tanβ；

(2)如圖2，有一直角彎道，M為內(nèi)直角頂點，EF為上路邊，路寬均為3.5米，汽車行駛其中，左輪A，D與路邊FS相距2米，測得左右輪距w=1.570米，前后軸距l(xiāng)=2.680米.試依據(jù)如下假設(shè)，回答問題，并說明理由．

假設(shè)：①轉(zhuǎn)向過程中，左前輪轉(zhuǎn)向角α固定，為30°；

②設(shè)轉(zhuǎn)向中心O到路邊EF的距離為d．

(2?1)(a)請你用文字描述：“汽車通過彎道”的限制條件；

(b)以下條件中選擇兩個，使得汽車能夠通過這一彎道：①OA<d，②OB<d，③OM<OD，④OM<OC.你的選擇是______．

(2?2)基于你在第(2?1)的選擇，建立合適的坐標(biāo)系，確立轉(zhuǎn)向中心的位置，使得汽車能夠順利通過彎道．

20.(本小題10分)

對于集合A={θ1,θ2,?,θn}和常數(shù)θ0，定義：μ=cos2(θ1?θ0)+cos2(θ2?θ0)+?+cos2(θn?θ0)n為集合A相對的θ0的“余弦方差”．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：12(a+2b?3c)?3(a2.【答案】D

【解析】解：A選項，根據(jù)投影向量的定義可得：|e1|cosθe2=cosθe2，故A錯誤；

B選項，根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得：e1?e2=|e1||e2|cosθ=cosθ，故B錯誤；

C選項，兩單位向量的方向不知，當(dāng)兩向量方向不同時不相等，故C錯誤；

D選項，(e1+e2)?(3.【答案】D

【解析】解：因為sin15°=sin(45°?30°)=sin45°cos30°?cos45°sin30°=6?24，

在Rt△ABC中，AC=ABsin∠ACB=15sin15°，

在△ACM中，∠ACM=180°?60°?15°=105°，∠MAC=30°+15°=45°，

則∠AMC=180°?∠ACM?∠MAC=30°，

由正弦定理，得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC，

所以MC=ACsin∠MACsin∠AMC=15sin154.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域為R，

因為f(?x)=sin|?x|+|sin(?x)|=sin|x|+|sinx|=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)x≥0時，f(x)=sinx+|sinx|，

則f(x+2π)=sin(x+2π)+|sin(x+2π)|=sinx+|sinx|=f(x)，

當(dāng)0<x≤π時，f(x)=sinx+sinx=2sinx，

當(dāng)π<x≤2π時，f(x)=sinx?sinx=0，

所以函數(shù)f(x)的圖象如下圖所示

由g(x)=[f(x)]可知，

在x≥0內(nèi)，g(x+2π)=[f(x+2π)]=[f(x)]=g(x)，

當(dāng)x=2kπ+π2，k∈Z時，g(x)=2，

當(dāng)2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6，且x≠2kπ+π2，k∈Z時，g(x)=1，

當(dāng)2kπ≤x<2kπ+π6或2kπ+5π6<x≤2kπ+2π，k∈Z時，g(x)=0，

因為g(?x)=[f(?x)]=[f(x)]=g(x)，

所以g(x)為偶函數(shù)，

則函數(shù)g(x)的圖象如下圖所示

故選項①和③正確，②錯誤；

對于方程π2g(x)=x，當(dāng)g(x)=0時，x=0方程有一個實數(shù)根，

當(dāng)g(x)=1時，x=π2，此時g(π2)=2≠1，方程沒有實數(shù)根，

當(dāng)g(x)=2時，x=π5.【答案】15

【解析】解：因為半徑r=5，圓心角α=3rad，

所以由弧長公式可知，弧長l=αr=15．

故答案為：15．

根據(jù)弧長公式計算可得．

本題主要考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題．6.【答案】1213【解析】解：角α的終邊過點P(12,?5)，

則由cosα=12122+(?5)2=127.【答案】43【解析】解：因為cos(π+α)=?35，

所以可得cosα=35，

又α∈(0,π2)，

所以sinα=1?cos2α8.【答案】1?2【解析】解：根據(jù)sinα=13，可得cos2α=1?sin2α=89，

因為α為鈍角，所以cosα=?89=?29.【答案】13【解析】解：因為tanα=2，

所以sinα?cosαsinα+cosα=tanα?1tanα+1=10.【答案】[0,5π【解析】解：∵x∈[0,π2]，∴2x?π3∈[?π3,2π3]，

∵函數(shù)y=2sinx在區(qū)間[?π2,π2]上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)?π3≤2x?π3≤11.【答案】78【解析】解：設(shè)△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

因為sinA=2sinB，則由正弦定理得a=2b，

因為△ABC是等腰三角形，所以a=c=2b，

由余弦定理得：cosB=a2+c2?b22ac=412.【答案】(7π【解析】解：根據(jù)ω為正數(shù)，可得x∈[0,1)時，ωx+π6∈[π6,ω+π6),

若f(x)的圖象在區(qū)間[0,1)上恰有2個最高點，

則ω+π6∈(5π2,9π2]，解得7π3<ω≤13π3，13.【答案】(?5【解析】解：依題意，sin2x+cosx+k=0，所以1?cos2x+cosx+k=0，

所以方程cos2x?cosx?k?1=0在(?π4,π2)上有兩解，令t=cosx，

①若方程t2?t?k?1=0存在兩個相等根，

則結(jié)合三角函數(shù)t=cosx在(?π4,π2)上的單調(diào)性可知，

方程t2?t?k?1=0必在(22,1)內(nèi)存在兩個相等根，

因一元二次函數(shù)g(t)=t2?t?k?1對稱軸t=12?(22,1)，

則方程t2?t?k?1=0在(22,1)內(nèi)不可能存在兩個相等根；

②若方程t2?t?k?1=0存在兩個不相等實根，

則結(jié)合三角函數(shù)t=cosx在(?π4,π2)上的單調(diào)性可知，

方程t2?t?k?1=0必在(0,22]∪{1}上存在兩個不相等實根，

若方程g(t)=t2?t?k?1=0兩個不等實根都在14.【答案】4048

【解析】解：當(dāng)x∈[0,π]時，g(x)=sinx，

當(dāng)x∈[π,2π]時，x?π∈[0,π]，

故g(x)=2g(x?π)=2sin(x?π)=?2sinx，

當(dāng)x∈[2π,3π]時，x?π∈[π,2π]，

故g(x)=2g(x?π)=2×(?2)sin(x?π)=(?2)2sinx，

……

依次類推，可知x∈[nπ,(n+1)π]，n∈Z時，有g(shù)(x)=(?2)nsinx，

當(dāng)x∈[?2π,?π]時，

g(x)=(?2)?2sinx=14sinx<0，

所以y=f(x)?g(x)=?x?g(x)≥π+14sinx>0，

故y=f(x)?g(x)在[?2π,?π]無零點，

同理y=f(x)?g(x)在[?4π,?2π]也無零點．

因為g(x+π)=2g(x)，

故將y=g(x)，x∈[0,π]的圖象向右平移π個單位后，圖象縱向伸長為原來的兩倍，

則在平面直角坐標(biāo)系中，作出y=f(x)與y=g(x)在[?π,2025π]上的部分圖象，如圖所示：

又log23π2>log24=2,log25π2<log216=4,log27π2<log2256=8，

故f(x)、g(x)在[0,2025π]上的圖象共有4047個不同交點，

下證：當(dāng)x∈[?π,0]，y=f(x)?g(x)=?x+12sinx有且只有一個零點．

由于當(dāng)0<x<π2時，sinx<x，

故12sinx<sinx<x，

即當(dāng)0<x<π2時，?x+12sinx<0，

當(dāng)π2≤x≤π時，12sinx≤12,x≥π2，

所以?x≤?π2，

所以?x+12sinx<12?π2<0，

也滿足?x+12sinx<0，

因此對任意的x∈(0,π]，都有?x+15.【答案】|a+b|=219【解析】(1)因為|a|=10，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，

因此a?b=|a|?|b|cos120°=10×4×(?12)=?20，

則|a+b|2=(a+16.【答案】解：(1)由題意得及正弦定理可得sinCsinA=sinA+2sinBcosA2sinA

因為sinA≠0，所以sinA+2sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB，

得sinA=2sinAcosB，得cosB=12，而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)由S△ABC=12acsinB=23，由(1)可得ac=8，

而b=22，

由余弦定理cosB=a【解析】(1)由正弦定理及三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)可得B的余弦值，進(jìn)而求出B角的大??；

(2)由三角形的面積和(1)可得ac的值，再由余弦定理可得a+c，進(jìn)而求出三角形的周長．

本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.【答案】解：(1)由tan(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα?tanπ4=tanα+11?tanα=?3，

解得tanα=2，

所以sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=2×222+1=45；

(2)cos2α=cos2α?sin2αsin2α+cos2【解析】(1)先利用兩角和的正切公式求出tanα，再利用二倍角的正弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解；

(2)先利用利用二倍角的余弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系化弦為切求出cos2α，再利用兩角差的正弦公式求出2α?β的正弦值，并求出2α?β的范圍，即可得解．

本題主要考查三角恒等變換，考查運算求解能力，屬于中檔題．18.【答案】?12；

x=5π12+kπ2,k∈Z，(【解析】(1)由題意可整理得：f(x)=12sin(2x+φ)．

因為x∈R，所以f(x)的最小值為?12．

(2)由平移變換知g(x)=12sin(2x+π3+φ)，

又因為g(x)=12sin2x，則π3+φ=2kπ,k∈Z，解得φ=?π3+2kπ,k∈Z，

又因為|φ|<π2，可得k=0,φ=?π3，所以f(x)=12sin(2x?π3)，

令2x?π3=π2+kπ,k∈Z，對稱軸為x=5π12+kπ2,k∈Z，

令2x?π3=kπ,k∈Z，對稱中心為(π6+kπ2,0),k∈Z

(3)當(dāng)x∈[π12,π2]時，則2x+φ∈[π6+φ,π+φ]，此時f(x