第四章圖像的正交變換4.1圖像的傅里葉變換4.2圖像的離散余弦變換4.3圖像的沃爾什變換4.4離散K-L變換4.1圖像的傅里葉變換4.1.1傅里葉變換的定義（一）、連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換

一維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換的表達式如下：4.1.1傅里葉變換的定義（一）、連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換

二維連續(xù)函數(shù)的傅立葉變換及其逆變換的表達式如下：4.1.1傅里葉變換的定義（二）、離散函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換(1)一維離散傅立葉變換一維離散信號的傅里葉變換及其逆變換如下：4.1.1傅里葉變換的定義（二）、離散函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換

可以證明，F(xiàn)(u)和F(x)是周期為M的周期函數(shù)4.1.1傅里葉變換的定義（二）、離散函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換當u取不同值后，有下式：4.1.1傅里葉變換的定義（二）、離散函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換

從另一個角度來理解離散傅立葉變換的含義，首先可以將F(u)進行如下變換4.1.1傅里葉變換的定義

從Z變換的單位圓上的角度看，頻域采樣的情況如下圖

離散傅立葉變換的含義是有限長信號的離散頻譜，嚴格的說是F(u)在周期內(nèi)的一些離散值。4.1.1傅里葉變換的定義（2）二維離散傅立葉變換

處理離散信號時，應將連續(xù)傅立葉變換的積分形式轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散傅立葉變換的求和形式，把連續(xù)傅立葉變換的積分區(qū)間轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散傅立葉變換的求和區(qū)間。（二）、離散函數(shù)的傅里葉變換及其逆變換4.1.1傅里葉變換的定義

函數(shù)F(x,y)的傅立葉變換一般是一個復數(shù)，則它可由下式表示：頻譜信號的相位譜和幅度譜4.1.1傅里葉變換的定義原始圖像

圖像的傅立葉頻譜如果頻譜圖的亮點在中心區(qū)域比較集中，說明圖像含有較多的低頻分量；如果頻率圖的亮點在邊緣部分比較集中，則說明圖像含有較多的高頻分量。4.1.1傅里葉變換的定義圖像的幅度譜

圖像的相位譜4.1.1傅里葉變換的定義人為加入噪聲后圖像的頻譜人為加入噪聲后的圖像

4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)（一）、線性性質(zhì)

離散傅立葉變換是線性變換，因此其線性性質(zhì)可表達如下4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)證明過程如下圖像圖像4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)

二維離散傅立葉變換（2D-DFT）可以分解為沿x,y兩個方向的一維離散傅立葉變換（1D-DFT），且先進行x方向的傅立葉變換再進行y方向的傅立葉變換。（二）、可分離性(b)二維離散傅立葉變換的頻譜

(c)先進行行變換，再進行列變換后得到的頻譜（a）原始圖像4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的平移性質(zhì)可表示為（三）、平移性4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)

證明頻移性質(zhì)當

時，可以證明式原始圖像f(x,y)

f(x,y)的傅立葉頻譜 g(x,y)的傅立葉頻譜4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)（四）、旋轉(zhuǎn)性

首先借助極坐標將f(x,y)和F(u,v)轉(zhuǎn)換為和4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)證明過程將圖像旋轉(zhuǎn)

θ

角度時原圖 原圖的頻譜

將原圖旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)

后圖像的頻譜θ4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)（五）、尺度變換性給定標量a，則有下式成立：圖像尺度上的變化不影響圖像的頻譜分布。4.1.2(a)原始圖像(b)將原始圖像放大1.5倍后的圖像(c)原始圖像頻譜(d)將原始圖像放大1.5倍后圖像的頻譜4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)（六）、離散卷積定理

設(shè)f(x,y)、g(x,y)

是大小分別為

和

的兩個數(shù)組，為避免交疊，誤差取

，。則它們的離散卷積定義為：f(x,y)*g(x,y)均以補零的方式成為分別在x方向、y方向以M和N為周期的函數(shù)。4.1.2圖像傅里葉變換的性質(zhì)對上式兩邊進行傅立葉變換則有式這就是傅立葉的離散卷積定理。4.2圖像的離散余弦變換4.2.1離散余弦變換的基本概念

離散余弦變換用DCT表示，它的變換核為實數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計算速度比變換核為指數(shù)的DFT要快得多，已經(jīng)廣泛應用到圖像壓縮編碼和語音信號處理等眾多領(lǐng)域。4.2.1離散余弦變換的基本概念

當一個函數(shù)為偶函數(shù)時，其傅立葉變換的虛部為零，因而不需要計算，只計算余弦項變換，這就是余弦變換。將一個實函數(shù)對稱延拓成一個實偶函數(shù)，實偶函數(shù)的傅立葉變換也必然是實偶函數(shù)。DCT變換的基本思想：4.2.1離散余弦變換的基本概念（一）、一維離散余弦變換一維DCT的變換定義4.2.1離散余弦變換的基本概念一維離散余弦變換如下式將上式展開后寫成矩陣形式：F=Gf4.2.1離散余弦變換的基本概念一維離散余弦反變換IDCT4.2.1離散余弦變換的基本概念（二）、二維離散余弦變換

二維離散余弦變換正變換式：4.2.1離散余弦變換的基本概念

設(shè)f(x,y)為MxN的數(shù)字圖像矩陣，則二維DCT二維DCT的矩陣形式：4.2.1離散余弦變換的基本概念

離散余弦變換，尤其是二維離散余弦變換，主要用于圖像和視頻的有損壓縮。這是由于離散余弦變換具有很強的“能量集中”特性（三）、離散余弦變換在圖像處理中的應用4.2.1離散余弦變換的基本概念

經(jīng)過DCT變換后，矩陣處的像素代表直流分量，其它位置的元素則代表不同頻率的交流分量。DCT變換原始圖像

4.2.2離散余弦變換的計算

離散余弦變換的快速計算方法有很多種，一種最典型的算法是借助傅里葉變換。一維離散余弦變換與離散傅里葉變換具有相似性，對離散傅里葉變換進行下式的修改：4.2.2離散余弦變換的計算式中

由上式可見

是2M個點的傅立葉變換，因此在做離散余弦變換時，可將其拓展為2M個點，然后對其做離散傅立葉變換，取傅立葉變換的實部就是所要的離散余弦變換。4.2.2離散余弦變換的計算

同樣的道理，在做傅立葉反變換時，首先把F(u)在變換空間做以下拓展：反變換4.2.2離散余弦變換的計算

通過以上分析可以看出，將序列拓展之后，DFT變換的實部對應DCT，虛部對應著離散正弦變換，因此可以利用DFT實現(xiàn)DCT。缺點是將序列拓展了，因而增加了額外的計算量。4.3圖像的沃爾什變換4.3.1一維離散沃爾什變換

在快速算法中要用到復數(shù)乘法、三角函數(shù)乘法，但是占用時間仍然較多。在應用領(lǐng)域中需要有更為有效和便利的變換方法，沃爾什（Walsh）變換就是其中一種，它只包括+1和-1兩個值所構(gòu)成的完備正交基。減少了存儲空間，提高了運算速度4.3.1一維離散沃爾什變換

當N=2n時，函數(shù)f(x)的離散沃爾什變換記為W(u)，其變換如式：

4.3.1一維離散沃爾什變換當N=4時，一維沃爾什變換的值如表:4.3.1一維離散沃爾什變換

由沃爾什變換組成的矩陣是一個對稱矩陣，并且行和列是正交的。這些性質(zhì)表明反變換與正變換只相差一個常數(shù)1/N，如式一維離散沃爾什反變換4.3.2二維離散沃爾什變換二維沃爾什正變換逆變換4.3.2二維離散沃爾什變換沃爾什正變換和逆變換在形式上是一樣的4.3.2二維離散沃爾什變換二維沃爾什變換的矩陣表達式：二維沃爾什反變換的矩陣：4.3.2二維離散沃爾什變換例4-1：若一二維數(shù)字圖像信號的矩陣為：求出此信號的二維沃爾什變換。4.3.2二維離散沃爾什變換解：當N=4時，二維沃爾什變換為4.3.2二維離散沃爾什變換

二維沃爾什變換具有集中能量的特性，而且原始數(shù)據(jù)越是均勻分布，變換后越是集中在矩陣的左上角。4.3.2二維離散沃爾什變換

原始圖像

沃爾什變換后的圖像4.3.3哈達瑪變換

哈達瑪變換是一種特殊的沃爾什變換，其優(yōu)點在于變換函數(shù)具有簡單的遞推關(guān)系。一維離散哈達瑪變換的正反變換如下式：4.3.3哈達瑪變換一維離散哈達瑪變換的遞推關(guān)系如下式：4.3.3哈達瑪變換例4-2：若一二維數(shù)字圖像信號的矩陣為：求此信號的二維哈達瑪變換。4.3.3哈達瑪變換解：其中N=4時：4.3.34.4離散K-L變換4.4.1離散K-L變換的基本思想

離散K-L變換(Karhunen-LoeveTransform)是建立在統(tǒng)計特性基礎(chǔ)上的一種變換，也稱為霍特林(Hotelling)變換。優(yōu)點是：相關(guān)性好，是均方誤差意義下的最佳變換，它在數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)中占有重要地位。思想是：

尋求正交矩陣A，使變換后信號對應的協(xié)方差矩陣為對角矩陣。4.4.1離散K-L變換的基本思想

對于一幅大小為，在某信道中傳輸了M次的圖像，由于受到了各種因素的干擾，存在隨機圖像樣本集合：4.4.1離散K-L變換的基本思想

對其中的第i幅NxN圖像，可以將其按列排列得到一個N2x1維向量，令：

則

鑒于圖像序列是隨機變量，度量隨機變量可用協(xié)方差矩陣Cx表示：4.4.1離散K-L變換的基本思想4.4.1離散K-L變換的基本思想

離散K-L變換核矩陣的行是Cx的特征向量，則變換核矩陣4.4.1離散K-L變換的基本思想離散K-L變換可定義為：4.4.2離散K-L變換的步驟1.求原圖像樣本的協(xié)方差矩陣Cx；2.求協(xié)方差矩陣的特征值λi,Cx

;3.求相應的特征向量ei；4.用特征向量ei構(gòu)成變換矩陣A;5.求

。4.4.3離散K-L變換的性質(zhì)和特點1.由于K-L變換是正交線性變換，所以變換前后的方差總和不變，變換只是把原來的方差不等量的分配到新的主成分圖像中。2.第一主成分包含了總方差的絕大部分（一般在80%以上），其余各主成分的方差依次減小。3.可以證明，變換后各主成分之間的相關(guān)系數(shù)為零，各主成分間的內(nèi)容是“垂直”的。

4.4.1離散K-L變換的基本思想4.第一主成分相當于原來各波段的加權(quán)和，而且每個波段的加權(quán)值與該波段的方差大小成正比（方差大說明信息量大）。其余各主成分相當于不同波段組合的加權(quán)差值圖像。5.K-L變換的第一主成分降低了噪聲，因而有利于細部特征的增強和分析，適用于進行高通濾波、線性特征增強和提取以及密度分割等處理。6.K-L變換是一種數(shù)據(jù)壓縮的技術(shù)，第一成分雖信息量大，但有時對于特定的專題信息，第五、第六主成分也有重要的意義。4.4.1離散K-L變換的基本思想

7.

可以在圖像的局部地區(qū)或者選取訓練區(qū)的統(tǒng)計特征基礎(chǔ)上作整個圖像的K-L變換，則所選區(qū)域的圖像就會更突出。8.可以將所有波段分