第八節(jié)概率、統(tǒng)計中的創(chuàng)新性問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀

概率統(tǒng)計中的創(chuàng)新性問題是考查學(xué)生應(yīng)用意識的重要載體，解決此類

問題的關(guān)鍵是通過閱讀理解題意，作出分析判斷，獲取關(guān)鍵信息；搞清各

數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問

題，結(jié)合已有的數(shù)學(xué)知識，對實際問題作出合理的解釋或決策.目錄CONTENTS考點·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練

概率、統(tǒng)計與函數(shù)的交匯問題（師生共研過關(guān)）

（2025·懷化一模）現(xiàn)有甲、乙兩名運動員爭奪某項比賽的獎金，規(guī)

定兩名運動員誰先贏k（k＞1，k∈N*）局，誰便贏得全部獎金a元.假設(shè)

每局甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1－p，且每場比賽相互

獨立.在甲贏了m（m＜k）局，乙贏了n（n＜k）局時，比賽意外終止，

獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進行下

去各自贏得全部獎金的概率之比P甲∶P乙分配獎金.

解題技法

概率與函數(shù)的交匯問題，多以概率問題為解題主線，通過設(shè)置變量，

利用隨機變量的概率、均值與方差的計算公式構(gòu)造函數(shù).求解時可借助二

次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)確定最優(yōu)解.解決此類問題應(yīng)注意以

下兩點：（1）準確構(gòu)造函數(shù)，利用公式搭建函數(shù)模型時，由于隨機變量

的均值、方差，隨機事件概率的計算中涉及變量較多，式子較為復(fù)雜，所

以準確運算化簡是關(guān)鍵；（2）注意變量的范圍，一是題中給出的范圍，

二是實際問題中變量自身范圍的限制.

某老年公寓負責(zé)人為了能給老年人提供更加良好的服務(wù)，現(xiàn)對所入住的

120名老年人征集意見，該公寓老年人的入住房間類型情況如下表：入住房間的類型單人間雙人間三人間人數(shù)366024（1）若按入住房間的類型采用分層隨機抽樣的方法從這120名老年人中隨

機抽取10人，再從這10人中隨機抽取4人進行詢問，記隨機抽取的4人中入

住單人間的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

ξ0123P?

?

?

?

（2）記雙人間與三人間為多人間，若在征集意見時要求把入住單人間的2

人和入住多人間的m（m＞2且m∈N*）人組成一組，負責(zé)人從某組中任

選2人進行詢問，若選出的2人入住房間類型相同，則該組被標為Ⅰ，否則該

組被標為Ⅱ.記詢問的某組被標為Ⅱ的概率為p.①試用含m的代數(shù)式表示p；②若一共詢問了5組，用g（p）表示恰有3組被標為Ⅱ的概率，試求g

（p）的最大值及此時m的值.

概率、統(tǒng)計與數(shù)列的交匯問題（師生共研過關(guān)）

為了驗證某款電池的安全性，小明在實驗室中進行試驗，假設(shè)小明

每次試驗成功的概率為p（0＜p＜1），且每次試驗相互獨立.

X012345P?

?

?

?

?

?

解題技法

概率與數(shù)列問題的交匯，多以概率的求解為主線，建立關(guān)于概率的遞

推關(guān)系.解決此類問題的基本步驟為：（1）精準定性，即明確所求概率的

“事件屬性”，這是確定概率模型的依據(jù)，也是建立遞推關(guān)系的準則；

（2）準確建模，即通過概率的求解，建立遞推關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型問

題；（3）解決模型，也就是遞推數(shù)列的求解，多通過構(gòu)造的方法轉(zhuǎn)化為

等差、等比數(shù)列的問題求解.求解過程應(yīng)靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應(yīng)用

相關(guān)公式.

概率中的證明問題（師生共研過關(guān)）

最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗成功

的概率為p（0＜p＜1）.現(xiàn)對該產(chǎn)品進行獨立重復(fù)試驗，若試驗成功，則

試驗結(jié)束；若試驗不成功，則繼續(xù)試驗，且最多試驗8次.記X為試驗結(jié)束

時所進行的試驗次數(shù)，X的數(shù)學(xué)期望為E（X）.

解：

證明：由題意，X＝1，2，3，…，8，故P（X＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，…，7，P（X＝8）＝（1－

p）7.分布列如下表所示：X1234Ppp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3X5678Pp（1－p）4p（1－p）5p（1－p）6（1－p）7

（2）某公司意向投資該產(chǎn)品，若p＝0.2，每次試驗的成本為a（a＞0）

元，若試驗成功則獲利8a元，則該公司應(yīng)如何決策投資？請說明理由.

解題技法

解決概率中的證明問題的關(guān)鍵是理解隨機事件中互斥、對立、獨立事

件的概念及相互關(guān)系，理解條件概率、全概率公式的意義及性質(zhì)，掌握隨

機變量的分布列、均值、方差的計算公式，掌握二項分布、超幾何分布、

正態(tài)分布概率模型的特點及求解規(guī)律.會靈活運用上述定義、性質(zhì)及公式

進行邏輯推理、數(shù)學(xué)運算，進而推出要證結(jié)論成立.

（2024·濰坊一模）若ξ，η是樣本空間Ω上的兩個離散型隨機變量，則稱

（ξ，η）是Ω上的二維離散型隨機變量或二維隨機變量.設(shè)（ξ，η）的一切

可能取值為（ai，bj），i，j＝1，2，…，記pij表示（ai，bj）在Ω中出現(xiàn)的概率，其中pij＝P（ξ＝ai，η＝bj）＝P[（ξ＝ai）∩（η＝bj）].（1）將三個相同的小球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，記1

號盒子中的小球個數(shù)為ξ，2號盒子中的小球個數(shù)為η，則（ξ，η）是一個二

維隨機變量.①寫出該二維離散型隨機變量（ξ，η）的所有可能取值；②若（m，n）是①中的值，求P（ξ＝m，η＝n）（結(jié)果用m，n表

示）；

PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

（1）若該同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率；

12345678910111213141516171819202022232425

（2）該同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計劃如下：先投n（n∈N*，n≤33）個

球，若這n個球都投進，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投100－3n個.試問n為

何值時，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？

2.

（2024·金麗衢十二校第二次聯(lián)考）某工廠生產(chǎn)某種元件，其質(zhì)量按測

試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現(xiàn)抽取這種

元件100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表：測試指標[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件數(shù)

（件）121836304（1）現(xiàn)從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件

也為合格品的概率；

（1）求此人三次答題后，乙罐內(nèi)恰有紅球、黑球各1個的概率；

（2）設(shè)第n（n∈N*，n≥5）次答題后游戲停止的概率為an.①求an；②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，試說明理由.

4.

（2025·菏澤模擬）2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行夏季奧運

會.為了普及奧運知識，M大學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽

與決賽，初賽