第三單元分數(shù)除法【思維導圖+知識點講解+鞏固練習】思維導圖知識點講解知識點一：倒數(shù)的認識1.意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。例如：因為34×43=1，所以34和43互為倒數(shù)?？梢哉f34的倒數(shù)是2.求倒數(shù)的方法：（1）分數(shù)：交換分子和分母的位置。（帶分數(shù)要先化成假分數(shù)）例：25的倒數(shù)是52；113（2）整數(shù)（0除外）：可以看作分母是1的分數(shù)，再交換分子和分母的位置，即整數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是例：5的倒數(shù)是15；1的倒數(shù)是1（因為1×1=1（3）小數(shù)：先把小數(shù)化成分數(shù)，再交換分子和分母的位置。例：0.25=14，其倒數(shù)是43.特殊情況：（1）1的倒數(shù)是它本身。（2）0沒有倒數(shù)。（因為0乘任何數(shù)都得0，不可能等于1）易錯點提示：1.“互為”的理解：倒數(shù)是相互依存的，不能單獨說某個數(shù)是倒數(shù)。例如，不能說“34是倒數(shù)”，而應該說“34是43的倒數(shù)”或“34和42.0的倒數(shù)：容易誤認為0的倒數(shù)是0或不存在，要牢記0沒有倒數(shù)。3.1的倒數(shù)：容易忘記1的倒數(shù)是1。4.帶分數(shù)求倒數(shù)：忘記先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，直接交換整數(shù)部分和分數(shù)部分的位置。知識點二：分數(shù)除以整數(shù)的意義及計算方法1.意義：分數(shù)除以整數(shù)（0除外）的意義與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。例如：45÷2表示已知兩個因數(shù)的積是452.計算方法：分數(shù)除以整數(shù)（0除外），等于分數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。（1）字母表示：ba÷c=ba×（2）例：4（3）也可以理解為：把45平均分成2份，求每份是多少，就是求45的1易錯點提示：1.除數(shù)為0：強調除數(shù)不能為0。2.與分數(shù)乘法混淆：錯誤地將除法變成乘法后，沒有乘除數(shù)的倒數(shù)，而是乘了被除數(shù)的倒數(shù)或直接相乘。3.整數(shù)部分參與約分：如果是帶分數(shù)除以整數(shù)，要先把帶分數(shù)化成假分數(shù)再計算。知識點三：一個數(shù)除以分數(shù)的意義及計算方法1.意義：一個數(shù)除以分數(shù)的意義與整數(shù)除法的意義相同，也是已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。例如：2÷13表示已知兩個因數(shù)的積是2，其中一個因數(shù)是13，求另一個因數(shù)是多少；也可以理解為“2里面有幾個2.計算方法：一個數(shù)（可以是整數(shù)、分數(shù)或小數(shù)）除以分數(shù)，等于這個數(shù)乘分數(shù)的倒數(shù)。（1）字母表示：a÷bc=a×cb（2）例：①2÷1②3易錯點提示：1.倒數(shù)的對象：是乘“除數(shù)”的倒數(shù)，而不是“被除數(shù)”的倒數(shù)。例如34÷58是34×852.除數(shù)為0：同樣強調除數(shù)不能為0。3.約分問題：在計算過程中，可以先約分再相乘，以簡化計算，但要注意是分子與分母約分。知識點四：分數(shù)除法的統(tǒng)一計算法則1.法則：甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。（1）這是分數(shù)除法的核心法則，適用于所有情況：分數(shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分數(shù)、分數(shù)除以分數(shù)。（2）字母表示：a÷b=a×1b（易錯點提示：1.“除以”與“除”的區(qū)別：“A除以B”是A÷B=A×1B，“A除B”是2.忽視“0除外”：忘記乙數(shù)不能為0。知識點五：分數(shù)除法中商與被除數(shù)的大小關系（被除數(shù)不為0時）1.規(guī)律：（1）當除數(shù)大于1時，商小于被除數(shù)。例如：3（2）當除數(shù)等于1時，商等于被除數(shù)。例如：3（3）當除數(shù)小于1（且大于0）時，商大于被除數(shù)。例如：3易錯點提示：1.前提條件：被除數(shù)不為0。如果被除數(shù)是0，那么商永遠是0。2.除數(shù)的范圍：除數(shù)必須是正數(shù)。（本單元暫不涉及負數(shù)除法）3.與乘法比較：容易與乘法中積與因數(shù)的大小關系混淆，要注意區(qū)分是“乘”還是“除”。知識點六：分數(shù)混合運算1.運算順序：與整數(shù)混合運算的順序相同。（1）同級運算（只有乘除或只有加減）：從左往右依次計算。（2）不同級運算（既有乘除又有加減）：先算乘除，后算加減。（3）有括號的運算：先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。2.簡便運算：整數(shù)乘法的運算定律（乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律）對于分數(shù)乘法同樣適用，在分數(shù)除法中，通常先將除法轉化為乘法后，再運用運算定律進行簡便計算。（1）例如：56（2）例如：(1易錯點提示：1.運算順序錯誤：特別是在沒有括號的情況下，混淆乘除和加減的順序。2.除法的簡便運算：乘法分配律在除法中直接應用容易出錯，一般是將除法轉化為乘法后再看是否能運用分配律。例如：a÷c+b÷c=(a+b)÷c是正確的，但不能錯誤地寫成(a+b)÷c=a÷c+b÷c然后反過來用，除非是分配律的正用。更穩(wěn)妥的是轉化為乘法：a×1知識點七：“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的問題（簡單分數(shù)除法應用題）1.解題關鍵：（1）找準單位“1”的量：通常在“是”、“占”、“比”、“相當于”等詞的后面，或者“的幾分之幾”的前面那個量就是單位“1”。（這類問題中，單位“1”的量是未知的）（2）分析數(shù)量關系：單位“1”的量×分率=分率對應的量。（3）列方程或算術法解答：①方程法：設單位“1”的量為x，根據(jù)數(shù)量關系列出方程：x×分率②算術法（除法）：已知量÷對應的分率=單位“1”的量。（對應量÷對應分率=單位“1”）2.步驟：（1）找出單位“1”（未知）。（2）找出已知量及其對應的分率。（3）列方程或用除法計算。3.示例：小明體內有28kg的水分，占體重的45（1）單位“1”：小明的體重（未知）。（2）數(shù)量關系：小明的體重×45=（3）方程法：解：設小明的體重是xkg。45x=28÷4x=28×5x=35（4）算術法：28÷45=28×易錯點提示：1.單位“1”判斷錯誤：找錯單位“1”會導致列錯算式。2.混淆乘除法：已知單位“1”用乘法，求單位“1”用除法。容易看到分數(shù)就用乘法，或看到“求這個數(shù)”就用除法，而忽略了單位“1”是否已知。3.對應分率找錯：不能準確找到已知量所對應的分率。4.計算錯誤：特別是除法轉化為乘法后，乘以倒數(shù)容易出錯。知識點八：“已知比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”的問題1.解題關鍵：（1）找準單位“1”的量：通常是“比”字后面的那個量。（單位“1”的量未知）（2）理解分率的含義：“比單位‘1’多幾分之幾”表示為單位“1”的(1+幾分之幾)；“比單位‘1’少幾分之幾”表示為單位“1”的（3）分析數(shù)量關系：①單位“1”的量×(1+多的分率)②單位“1”的量×(1?少的分率)（4）列方程或算術法解答：①方程法：設單位“1”的量為x，則x×(1±分率②算術法：已知量÷(1±分率)=單位2.示例：學校有男生240人，比女生多15（1）單位“1”：女生人數(shù)（未知）。（2）男生人數(shù)是女生人數(shù)的(1+1（3）方程法：解：設女生有x人。x×(1+1x×6x=240÷6x=240×5x=200（4）算術法：240÷(1+1易錯點提示：1.“多”與“少”的分率處理：“多幾分之幾”用“1+分率”，“少幾分之幾”用“1-分率”，容易混淆加減號。2.單位“1”的判斷：同前面，務必找準單位“1”。3.對分率的理解：例如“比女生多15”，是指多女生人數(shù)的15，而不是多男生人數(shù)的知識點九：“已知一個數(shù)的幾分之幾與它的幾分之幾的差（或和）是多少，求這個數(shù)”的問題1.解題關鍵：（1）找準單位“1”的量（未知）。（2）找出已知的差（或和）所對應的分率差（或分率和）。（3）數(shù)量關系：單位“1”的量×（分率1±分率2）=已知的差（或和）。（4）列方程解答或用算術法（已知差或和÷對應的分率差或和=單位“1”）。2.示例：一張課桌比一把椅子貴45元，已知椅子的單價是課桌的25（1）單位“1”：課桌的單價（未知，設為x元）。（2）椅子單價：25x（3）數(shù)量關系：課桌單價-椅子單價=45元。（4）方程法：x?35x=45÷3x=75椅子單價：25易錯點提示：1.分率對應的“量”要準確：確保所計算的分率差或和與已知的數(shù)量差或和相對應。2.設未知數(shù)：通常設單位“1”為未知數(shù)，其他量用含未知數(shù)的式子表示。知識點十：用分數(shù)除法解決“工作總量、工作效率、工作時間”的問題1.特點：這類問題中，工作總量通常不給出具體數(shù)量，可以把工作總量看作單位“1”。2.基本關系：（1）工作效率=工作總量÷工作時間（2）工作時間=工作總量÷工作效率（3）合作工作效率=各自工作效率之和3.解題關鍵：將工作總量設為“1”，用1工作時間4.示例：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。如果甲乙合作，幾天可以完成？（1）把這項工程的工作總量看作“1”。（2）甲的工作效率：1÷10=（3）乙的工作效率：1÷15=（4）甲乙合作的工作效率：1（5）合作時間：1÷1（6）綜合算式：1÷(1易錯點提示：1.工作效率的表示：容易錯誤地用工作時間直接表示工作效率，而忘記是“1÷工作時間”。2.合作效率：合作時，是工作效率相加，而不是工作時間相加。3.工作總量“1”的理解：不理解為什么可以把工作總量看作“1”，導致無法下手。鞏固練習一、填空題1．110的倒數(shù)是，最小的合數(shù)的倒數(shù)是，2．67×＝×133．在橫線上填上“>”“<”或“=”。79÷6579574．小明和小華是集郵愛好者，小華現(xiàn)有152張郵票，是小明的89，小明有5．一個長方體包裝盒的體積是78立方米，高是32米，底面積是6．某學校食堂有34噸大米，如果每天吃去14，可以吃天；如果每天吃去14噸，可以吃7．已知43×a=b÷45=c÷0.2=d×66，且a、b、c、d四個數(shù)均不為0。那么，在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是8．新能源汽車因其節(jié)約燃油能源、減少廢氣排放、使用費用低等好處，而越來越受人們的歡迎。某市祥和小區(qū)擁有新能源汽車的家庭有120戶，比滿庭芳小區(qū)擁有新能源汽車的家庭多15。滿庭芳小區(qū)有9．一桶油分兩次用完，第一次用去35，第二次用去35千克，這桶油一共有10．一批本子分發(fā)給六年級一班學生，平均每人分到12本。若只發(fā)給女生，平均每人可分到20本，若只發(fā)給男生，平均每人可分得本。二、判斷題11．因為2.5×0.4=1，所以2.5和0.4互為倒數(shù)。（）12．1的倒數(shù)比0的倒數(shù)大。（）13．一個非0的自然數(shù)除以1414．李叔叔騎自行車，54分鐘行了25千米。他每分鐘行15．笑笑錄入一份稿件，錄入57三、選擇題16．一艘客輪從乙港開往甲港，開到距甲港25時，離甲港還有20千米，甲乙兩港相距（）A．8千米 B．25千米 C．50千米 D．40千米17．如果A×7A．A<B B．A>B C．A=B D．不能確定18．公雞有80只，比母雞多35，母雞有（）A．80×(1?35) B．80÷(1?35)19．已知a和b互為倒數(shù)，a2÷4A．18 B． C．1420．一輛汽車從萬載行駛到百合之鄉(xiāng)白水，當行駛了全程的23A．46 B．12 C．24 D．48四、計算題21．直接寫出得數(shù)。1915÷5814÷7111÷4558114102121522．解方程。（1）x÷14=1112 （2）3x+4=112 （3）23．怎樣簡便怎樣算。①12?38÷34 ②④58×67+58÷7 24．看圖列式計算。五、解決問題25．某校六年級有男生260人，占全年級人數(shù)的5926．六年級同學收集了120個易拉罐，比五年級同學多收集了1427．笑笑看一本書，已經(jīng)看了84頁，還剩下3728．六年級有三好學生68人，是六年級學生人數(shù)的16，六年級學生人數(shù)占全校學生人數(shù)的229．某工廠有女職工52人，比男職工的8930．暑假期間，幸福路小學對全校的桌椅進行了維修，第一天修了全部的215，第二天修了全部的331．挖一條水渠，王伯伯單獨挖要20天完成，李叔叔單獨挖要30天完成，兩人合作，幾天能挖完？32．水果店運來一些水果，第一天賣了總數(shù)的15，第二天賣了總數(shù)的2

參考答案1．10；14；2．76；2713；13．＜；＝；＞4．1715．76．4；37．d；c8．1009．310．3011．正確12．錯誤13．正確14．正確15．錯誤16．C17．B18．D19．A20．D21．19÷3=15÷5814÷7111÷45=58÷114÷1021÷0.8=215÷22．（1）x÷14=1112

解：x÷14×14=1112（2）3x+4=112

解：3x=32

3x÷3=32÷3（3）（79-23）x=227

解：19x=227

19x÷1923．解：①12?38÷34②14×35+65÷4

=（35＋65）×14

=100×③2512?57÷56?17

=2512-（④58×67+58÷7

=（67＋⑤(58+1