第04講一元二次方程的應(yīng)用

內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

§S"其守教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

⑤知識點(diǎn)1一元二次方程的應(yīng)用-變化率問題

設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a,兩次增長(或下降)后為b；增長率(下降率)為x,第一次增長(或下

降)后為ax(l±x)；第二次增長(或下降)后為?(l±x)2.可列方程為a(l±x)2=b

⑤知識點(diǎn)2一元二次方程的應(yīng)用-傳染、樹干問題

有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設(shè)每輪傳染

中平均一個人傳染了X個人：

1第一輪傳染后T+x第二輪傳染后T+X+X(1+X)

向知識點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用-單循環(huán)和雙循環(huán)問題

握手問題：n個人見面，任意兩個人都要握一次手，問總共握心二D次手。

2

贈卡問題：n個人相互之間送卡片，總共要送n(n-l)張卡片。

向知識點(diǎn)4一元二次方程的應(yīng)用-銷售利潤問題

(1)常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤x銷售量；

(2)每每問題中，單價每漲a元，少買b件。若漲價y元，則少買的數(shù)量為BxM牛

a

為知識點(diǎn)5一元二次方程的應(yīng)用-幾何面積問題

(1)如圖①，設(shè)空白部分的寬為X,則S腿=(a-2x)(b-2x)；

(2)如圖②，設(shè)陰影道路的寬為X,則S空白=(a-x)(b-x)

ab

(3)如圖③，欄桿總長為a,BC的長為b,則S=^-b

?知識點(diǎn)6一元二次方程的應(yīng)用-動點(diǎn)與幾何問題

關(guān)鍵是將點(diǎn)的運(yùn)動關(guān)系表示出來，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.

8練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01解題方法

用一根長100cm的金屬絲能否制成面積是600cm?的矩形框子？幾何面積問題

能否制成面積是800cm2的矩形框子？

【答案】

設(shè)矩形的長為cm,則寬為(50-x)cm,矩形面積為S=x(50-)。

令S=600,貝!1方程為:x(50-x)=600,BPx2-50x+600=0o

解得xi=30,X2=20o

此時寬為50-30=20cm或

50-20=30cm,均為正數(shù)，符合實(shí)際。

令S=800,則方程為:x(50-x)=800,即x2-50x+800=0?

A=(-50)2-4xlx800=2500-3200=-700,由于△<0,方程無實(shí)數(shù)解。

無法制成面積為800cm2的矩形框子。

XIX2

教材習(xí)題02

解題方法

某種服裝原價每件80元，經(jīng)兩次降價，現(xiàn)售價每件51.2元

變化率問題

求該種服裝平均每次降價的百分率.

【答案】

設(shè)該種服裝平均每次降價的百分率為必(0〈史<Do

根據(jù)題意可列方程：80(Lx)2=51.2

解答：xi=0.2=20%X2=-.08=-80%

該種服裝平均每次降價的百分率為20%o

教材習(xí)題03

某商店經(jīng)銷的某種商品，每件成本為40元:經(jīng)市場調(diào)研，售

價為50元時，可銷售200件;售價每增加1元，銷售量將解題方法

減少10件:如果這種商品全部銷售完，那么該商店可盈利每每問題

2000元：問：該商店銷售了這種商品多少件?每件售價多少

元？

【答案】

設(shè)每件售價為x元(x>50),則每件利潤為(X-40)元。

總盈利為利潤乘以銷售量，可列方程:(x-40)(70040x)=2000

解得:xi=50X2=60

當(dāng)x=50元時，銷售量為700-10x50=200件

當(dāng)x=60元時，銷售量為700-10x60=100件。

教材習(xí)題04

如圖，在矩形ABCD中，AB=

點(diǎn)尸從點(diǎn)

7cm,BC=2j2era,A解題方法

出發(fā)沿AB以lcm/s的速度向點(diǎn)B動點(diǎn)與幾何問題

移動.點(diǎn)P出發(fā)幾秒后，點(diǎn)P、A

的距離是點(diǎn)P、C的距離的2倍.

解:設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，點(diǎn)P、A的距離是點(diǎn)P、C的距

離的2倍，

則PA=x,

PC=yjBC，+PB'2=x/8+(7-a;)2,

由題意得,;r=2,8+(7-工產(chǎn),

QQ

解得:g=?(不合題意,舍去)加=6,

答:點(diǎn)P出發(fā)6秒后，點(diǎn)P、A的距離是點(diǎn)P、C的距離

的2倍.

練考點(diǎn)強(qiáng)知識/國練題型強(qiáng)知識

考點(diǎn)——元二次方程應(yīng)用-變化率問題

1.(24-25八年級下?浙江杭州?期中)某公司今年一月的營業(yè)額為200萬元，按計(jì)劃第一季度的總營業(yè)額要達(dá)

到950萬元，求該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率.設(shè)該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率

為X,則根據(jù)題意可列方程為()

2

A.200[1+(l+x)+(l+x)2]=950B.200(1+x)=950

C.200[(l+x)+(l+x)2]=950D.950(1+x)2=200

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率為X,則

二月份公司的營業(yè)額為200(1+%)萬元，三月份公司的營業(yè)額為200(1+x)2萬元，根據(jù)第一季度的總營

業(yè)額包括一月、二月、三月的營業(yè)額總和，可列方程200[1+(1+x)+(1+%)2]=950.

【詳解】解：設(shè)該公司二、三兩個月營業(yè)額的月平均增長率為工,

則二月份公司的營業(yè)額為200(1+x)萬元，

三月份公司的營業(yè)額為200(1+x/萬元，

???第一季度的總營業(yè)額要達(dá)到950萬元，

200+200(1+%)+200(1+x)2=950,

BP200[l+(1+x)+(1+x)2]=950.

故選：A.

2.(24-25八年級下?山東煙臺?期中)今年春節(jié)期間上映的電影《哪吒2》講述了一個富有創(chuàng)意的故事，節(jié)奏

明快，令人耳目一新，影片一上映就獲得一眾好評，上映第一天票房為4.9億元，以后每天票房按相同

的增長率增長，第三天的票房約為5.8億元.若把增長率記作x.則可列方程為()

A.4.9(1+%)=5.8B.4.9(1-%)=5.8

C.4.9(1+%)2=5.8D.4.9+4.9(1+%)+4.9(1+%)2=5.8

【答案】C

【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.利用上映第三天的

票房=上映第一天的票房X(1+每天票房的增長率)2,即可列出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：4,9(1+x)2=5.8.

故選C.

3.(24-25九年級上?四川南充?階段練習(xí))為豐富學(xué)生課后活動，學(xué)校成立了“課外閱讀社團(tuán)”，并且不斷完

善藏書數(shù)量，今年3月份課外閱讀社團(tuán)有藏書500冊，到今年5月份藏書數(shù)量增長到720冊.

(1)求課外閱讀社團(tuán)這兩個月藏書的平均增長率.

(2)按照這樣的增長方式，今年6月份課外閱讀社團(tuán)的藏書量是多少冊？

【答案】(1)閱讀公園這兩個月藏書的平均增長率20%

(2)估算出今月6月份閱讀公園的藏書量是864冊

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)這兩個月藏書的月平均增長率為X,利用該?！伴喿x公園”5月底的藏書量=該?！伴喿x公園”3月

的藏書量X（1+藏書的月平均增長率）I即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之，取其正值即可得出

結(jié)論；

（2）利用該?！伴喿x公園”6月的藏書量=該?！伴喿x公園”5月的藏書量X（1+藏書的月平均增長率），即

可求出該?！伴喿x公園”6月的藏書量.

【詳解】（1）解：設(shè)該校這兩個月藏書的月均增長率為X,

根據(jù)題意，得500（1+%）2=720

解得利=20%,%2=-2.2（不合題意，舍去）

該校這兩個月藏書的月均增長率為20%；

（2）解；720X（1+20%）=864（冊），

所以，預(yù)測到6月該?！伴喿x公園”的藏書量是864冊.

4.（2025?安徽黃山?三模）某地區(qū)舉辦青少年科技創(chuàng)新大賽，其中機(jī)器人項(xiàng)目備受矚目.某商家為此次大賽

供應(yīng)比賽器材，賽事結(jié)束后，剩余30套器材待零售處理.為快速清空庫存回籠資金，商家決定實(shí)施降

價策略.起初每套器材售價為120元，歷經(jīng)兩次降價后，每套器材售價降至97.2元，且兩次降價的百

分率一致.求每次降價的百分率.

【答案】每次降價的百分率為10%

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.設(shè)每

次降價的百分率X，根據(jù)題意列出一元二次方程，求解并選取符合實(shí)際的值即可.

【詳解】解：設(shè)每次降價的百分率為％,

根據(jù)題意可得：120（1-X產(chǎn)=97.2

解得：%1=0.1=10%x2=1.9（不合題意，舍去）

答：每次降價的百分率為10%.

考點(diǎn)二一元二次方程應(yīng)用傳染問題

1.（24-25九年級上?遼寧大連?期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有216人患了流感，則可列方

程（）

A.x+x-x=216B.x-%（1—%）=216

C.l+x+x（l+x）=216D.l-x-（l-x）（l-x）=216

【答案】C

【分析】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程.找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程

是解決問題的關(guān)鍵，根據(jù)題意，設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪

作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+l）人，依題意列方程：1+x+x（l+x）=216,即可.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，

???第一輪傳染了X個人，第二輪作為傳染源的是（X+1）人，則傳染%（%+1）人，

.*.1+x+x（l+%）=216,

故選：C.

2.（24-25九年級上?四川綿陽?期末）秋季是流感的高發(fā)時期，某校11月初有2個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳

染后共有200個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了人.

【答案】9

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握傳播問題的列式方法.

設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為x人，根據(jù)“有2人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有200人患了

流感“，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為x人，

依題意,得:2（1+%）2=200,

解得：X]=9,犯=—11（不合題意，舍去）.

故答案為：9.

3.（24-25九年級上?河南安陽?階段練習(xí)）有一個人患了某種傳染病，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患病.

（1）每輪平均1個人會感染幾人？

（2）若病毒得不到有效控制，三輪感染后，患病的人數(shù)會不會超過700人？

【答案】（1）每輪傳染中平均一個人傳染8個人

（2）患病的人數(shù)會超過700人

【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了這種傳染病即

可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病的人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后患病的人數(shù)X8,即

可求出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）

根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算.

【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，

根據(jù)題意得：1+x+%（久+1）=81,

整理，得：%2+2%-80=0,

解得：%1=8,%2=不合題意，舍去>

答：每輪傳染中平均一個人傳染8個人.

（2）

三輪感染后，患病的人數(shù)為81+81x8=729（人1

V729>700,

，患病的人數(shù)會超過700人.

答：患病的人數(shù)會超過700人

考點(diǎn)三一元二次方程應(yīng)用枝干問題

1.（2024?遼寧撫順?二模）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、

支干和小分支的總數(shù)是91,求每個支干長出多少小分支：設(shè)每個支干長出x小分支，那么根據(jù)題意可以

列方程為（）

A.1+x+x2=91B.1+x+x（l+x）=91

C.l+x+（l+x）2=91D.1+（1+x）+（1+%）2=91

【答案】A

【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程：主干+支干+小

分支=91,進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：依題意得支干的數(shù)量為x個，

小分支的數(shù)量為％-x=/個，

那么根據(jù)題意可列出方程為：l+x+/=91.

故選：A.

2.（24-25九年級上?河南新鄉(xiāng)?期中）某種植物的主干長出若干個分支，每個支干又長出同樣個數(shù)的小分支，

主干、支干、小分支的總數(shù)是241,設(shè)每個支干長出小分支的個數(shù)是x,則可列方程為.

【答案】1+x+x2=241

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)“主干長出若干個分支，每個支干又長出同樣個數(shù)的小分

支，主干、支干、小分支的總數(shù)是241”列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每個支干長出小分支的個數(shù)是X,

根據(jù)題意，得l+x+/=241,

故答案為：1+久+%2=241.

考點(diǎn)四一元二次方程應(yīng)用雙循環(huán)問題

1.（24-25九年級上?福建福州?階段練習(xí)）某校組織一次籃球賽，各班均組隊(duì)參賽，賽制為單循環(huán)形式（每

兩班之間都賽一場），共需安排15場比賽，則班級的個數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，得到比賽總數(shù)的等量關(guān)系.設(shè)有x個

班級參加比賽，根據(jù)題目中的比賽規(guī)則，可得一共進(jìn)行了《久。-1）場比賽，即可列出方程，求解即可.

【詳解】解：設(shè)有x個班級參加比賽，

1

-x（x—1）=15,

x2—x—30=0,

解得：=6,x2=-5(舍)，

則共有6個班級參加比賽，

故選：C.

2.(24-25九年級上?內(nèi)蒙古興安盟?階段練習(xí))要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式(每兩隊(duì)之間都進(jìn)

行兩場比賽)，共要比賽90場.設(shè)共有x個隊(duì)參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為.

【答案】%(%-1)=90

【分析】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場數(shù)作為等量關(guān)系列方程求

解.設(shè)共有x個隊(duì)參加比賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場場比賽，共要比賽90場，

可列出方程.

【詳解】賽制為雙循環(huán)形式，每個隊(duì)都要和其他隊(duì)賽兩場，則比賽總場數(shù)為1)場，

已知共比賽90場，

所以1)=90.

故答案為：=90.

3.(24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?期中)某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都

能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動群內(nèi)所有人共收到1640個紅包.設(shè)群內(nèi)共有x

個人，根據(jù)題意可列方程.

【答案】%(x-1)=1640

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)該群一共有x人，則每人收到0-1)個紅包，根據(jù)群內(nèi)所有人共收到1640個紅包，即可得出關(guān)于x

的一元二次方程.

【詳解】解：設(shè)該群一共有x人，則每人收到0-1)個紅包，

依題意，得：x(x-1)=1640,

故答案為：%(x-l)=1640.

4.(24-25八年級下?安徽安慶?階段練習(xí))今天是個特別的日子，我們班有好多人都在今天過生日，為慶祝

生日，凡是今天過生日的都要制作生日賀卡相互贈送，結(jié)果一共贈送了56個生日賀卡，那么，誰知道

我們班一共有多少人今天過生日？(用一元二次方程解決)

【答案】一共有8個人過生日.

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)一共有x人過生日，由已知，每個過生日的人要做。-1)

個生日賀卡，即共做x(x-1)個.根據(jù)一共贈送了56個生日賀卡列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)一共有x人過生日，由已知，每個過生日的人要做(％-1)個生日賀卡，即共做x(x-1)

個.由題意得

x(x-1)=56

整理可得/-%-56=0

解得=8,x2=-7（舍）

答：一共有8個人過生日.

考點(diǎn)五一元二次方程應(yīng)用單循環(huán)問題

1.（24-25九年級上?廣東汕頭?期末）在一次聚餐上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，則參加聚

餐的人數(shù)為（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

【答案】D

【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.

設(shè)參加聚餐的人數(shù)為x人，每人碰杯次數(shù)為”次，根據(jù)一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之即可

得出答案.

【詳解】解：設(shè)參加聚餐的人數(shù)為x人，

依題可得：|x（x-1）=66,

化簡得：x2—x—132=0,

解得：x1=12,x2=-11（舍去），

故選：D.

2.（24-25九年級上?廣東廣州?期末）若干個好朋友除夕夜打電話互相問候，兩個朋友之間都通話交流一次，

一共通話21次，設(shè)這些朋友一共工人，則可列方程：.

【答案】.（%-1）=21

【分析】本題主要考查一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等量關(guān)系列

出方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)這些朋友一共x人，

根據(jù)題意得，1x（x-1）=21.

故答案為：jx（x-1）=21.

3.（24-25九年級上?廣東江門?階段練習(xí)）某次商品交易會上，所有參加會議的兩個商家之間都簽訂了一份

合同，共簽訂合同45份，則共有個商家參加了交易會.

【答案】10

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)共有x個商家參加了交易會，利用簽訂合同的總數(shù)=參加

會議的商家數(shù)x（參加會議的商家數(shù)-1）+2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出

參加交易會的商家數(shù).

【詳解】解：設(shè)共有x個商家參加了交易會，

依題意得：|x（x—1）=45,

整理得：x2-x-90=0,

解得：Xi=10,x2=-9（不合題意，舍去）.

故答案為：10.

4.（24-25九年級下?廣東惠州?開學(xué)考試）參加會議的每兩人握一次手，共握45次，問有多少人參加會議？

若設(shè)有無人參加會議，則可列方程為.

【答案】卜0-1）=45

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意列出一元二次方程即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，=45,

故答案為：=45.

考點(diǎn)六一元二次方程應(yīng)用-銷售利潤問題

1.（2025?遼寧鐵嶺?二模）某公司推出一款日用產(chǎn)品，成本為8元/千克，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量y（單位：

千克）是關(guān)于銷售單價無（單位：元）的一次函數(shù)，銷售單價為15元時，日銷量為190千克，銷售單

價為20元時，日銷量為140千克.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.（不要求寫出自變量x的取值范圍）

（2）若要每天盈利1200元，且銷售單價不得高于22元，則銷售單價應(yīng)為多少元？

【答案】（l）y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+340

（2）銷售單價應(yīng)為14元

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理清題中

的數(shù)量關(guān)系.

（1）利用給定的兩組銷售單價與日銷售量的值，代入一次函數(shù)表達(dá)式，通過解方程組求出函數(shù)表達(dá)式；

（2）根據(jù)利潤等于每千克利潤乘以銷售量列出一元二次方程，求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為丫=/^+6,

把（15,190）,（20,140）代入得，

（15k+b=190

hok+b=140'

解得仁都，

lb=340

關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10%+340；

（2）解：設(shè)銷售單價應(yīng)為1元,根據(jù)題意得：

（%-8）（-10%+340）=1200,

解得，=14,%2=28,

???銷售單價不得高于22元，即％<22,

=14,

...銷售單價應(yīng)為14元.

2.（2025?西藏日喀則?一模）列方程（組）解應(yīng)用題2024年“國慶”假期期間，拉薩某景區(qū)某特產(chǎn)店銷售4

B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進(jìn)價50元/件，B類特產(chǎn)進(jìn)價60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需

132元，購買3件4類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.

（1）求4類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？

（2）4類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出10

件（每件售價不低于進(jìn)價）.則每件A類特產(chǎn)定價多少元時，A類特產(chǎn)利潤能達(dá)到640元.

【答案】（1）4類特產(chǎn)的售價為60元/件，B類特產(chǎn)的售價為72元/件

（2）4類特產(chǎn)每件售價為58元時，利潤為640元

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

（1）設(shè)4類特產(chǎn)的售價為x元/件，B類特產(chǎn)的售價為y元/件，根據(jù)“購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)

需132元，購買3件4類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元”，列方程組求解即可；

（2）設(shè)4類特產(chǎn)每件售價為。元，根據(jù)“利潤為640元”列方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)4類特產(chǎn)的售價為x元/件，B類特產(chǎn)的售價為y元/件，

根據(jù)題意，得1夏丁芻0，

解得《二72,

答：4類特產(chǎn)的售價為60元/件，B類特產(chǎn)的售價為72元/件；

（2）解：設(shè)4類特產(chǎn)每件售價為a元,，

根據(jù)題意，得（x—50）（60+誓乂10）=640,

解得X】=x2=58,

答：4類特產(chǎn)每件售價為58元時，利潤為640元

3.（24-25九年級上?重慶?階段練習(xí)）重慶2023年馬拉松于3月19日在南濱路開賽，為了重慶馬拉松的順

利進(jìn)行，組委會委托甲乙兩個廠家共同生產(chǎn)紀(jì)念T恤.根據(jù)調(diào)研統(tǒng)計(jì)，甲廠每小時生產(chǎn)T恤80件，乙廠

每小時生產(chǎn)T恤100件.

（1）若甲、乙兩廠一天一共工作20個小時，且共生產(chǎn)1820件T恤，則乙廠生產(chǎn)T恤多少小時？

（2）在（1）的條件下，為了滿足組委會的需求，甲廠生產(chǎn)時間每減少1小時，該廠每小時的產(chǎn)量將增加

10件，乙廠生產(chǎn)時間不變，產(chǎn)量也不變，這樣一天兩廠的總產(chǎn)量仍為1820件，求甲廠減少的生產(chǎn)時間.

【答案】（1）乙廠生產(chǎn)T恤11小時

（2）甲廠減少1小時

【分析】本題考查一元一次方程，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出

方程.

(1)設(shè)乙廠生產(chǎn)7恤工小時，根據(jù)共生產(chǎn)1820件7恤得80(20-*)+100%=1820,即可解得答案；

(2)設(shè)甲廠減少m小時，求出乙廠生產(chǎn)7恤11小時，產(chǎn)量為1100件，故(80+10m)(20—11—m)=

1820-1100,即可解得答案.

【詳解】(1)解：設(shè)乙廠生產(chǎn)T恤x小時，則甲廠生產(chǎn)T恤(20-x)小時，

根據(jù)題意得：80(20-%)+100%=1820,

解得：x=11,

，乙廠生產(chǎn)T恤11小時；

(2)解：設(shè)甲廠減少m小時，則每小時產(chǎn)量為(80+10m)件，

由(1)知，乙廠生產(chǎn)7恤11小時，產(chǎn)量為1100件，

(80+10m)(20-11-m)=1820-1100,

解得：zn=1或zn=0(舍去)，

.?.甲廠減少1小時.

4.(24-25八年級下?安徽滁州?期中)某電子商鋪購進(jìn)一批電子配件，其進(jìn)價為每件40元，按每件60元出

售，平均每天可售出100件，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，平均每天的銷售量可增加20件,

現(xiàn)在該商鋪要盡快減少庫存，采取降價措施，并且平均每天獲利2240元，那么每件應(yīng)定價多少元？

【答案】每件應(yīng)定價54元

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每件應(yīng)降價尤元，則每件定價為(60-%)元，根

據(jù)每天獲得的利潤等于單件利潤乘以銷售量列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每件應(yīng)降價x元，則每件定價為(60-%)元，

根據(jù)題意得(60-%-40)(100+：.20)=2240,

化簡得：%2-10%+24=0,

解得：%1=4,%2=6,

..?商鋪要盡快減少庫存，

x=6,60—x=54,

答：每件應(yīng)定價54元.

考點(diǎn)七一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問題

1.(24-25八年級下?北京?期中)為了增加同學(xué)們體育活動的場地，學(xué)校準(zhǔn)備將一塊長和寬分別為21米和12

米的長方形區(qū)域改造成一塊排球場，同時要在它四周外圍修建寬度相等的小路.若排球場地和小路的

總面積為400平方米，求小路的寬度.

排球場地

【答案】小路的寬度為2m

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)小路的寬度為xm,那么四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路

的長方形的長、寬分別為(21+2%)、(12+2%),根據(jù)長方形的面積公式和已知條件即可列出方程(21+

2%)(12+2%)=400,解方程即可求出小路的寬度.

【詳解】解：設(shè)小路的寬度為xm,依題意得(21+2x)(12+2%)=400,

整理：2/+33%-74=0,

=

解之：%!=2,%2-18.5(不合題意，舍去).

答：小路的寬度為2m.

2.(24-25八年級下?浙江溫州?期中)實(shí)踐活動：某中學(xué)“田園夢工廠”社團(tuán)準(zhǔn)備圍建一個長方形菜園2BCD(如

圖).

素材1：要圍建的菜園邊上有一堵墻，長為28m,菜園的一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的鋁合金材

料圍建.

素材2：與墻平行的一邊上要預(yù)留2m寬的入口.

任務(wù)1：當(dāng)長方形菜園4BCD的長BC為多少米時，菜園的面積為300m2?

任務(wù)2：能否圍成500m2的長方形菜園？若能，求出BC的長；若不能，請說明理由.

28m

<----------------------------------------------?

EA\\DF

2m

BMNC

【答案】任務(wù)1：12(m)；任務(wù)2：不能，見解析.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找

出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻EF最長可利用28m,舍掉不符合題意的數(shù)據(jù).

任務(wù)1：根據(jù)可以砌60m長的墻的材料，即總長度是60m,BC=xm,則48=(60-X+2)m,再根

據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可；

任務(wù)2：利用根的判別式進(jìn)行判斷即可.

【詳解】任務(wù)1：解：設(shè)的長為x米，

28m

EADF

2m

由題意，得%(60+2—2%)=300,

解得久i=25,孫=6(舍去)，

所以BC=62—2x=12(m),

任務(wù)2：解：由題意得x(60+2—2x)=500,

方程無解，

???不能圍成500n?的長方形菜園.

3.(24-25九年級上?河北邯鄲?期中)社區(qū)利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖13所示，B

知空地長2D=52m,寬力B=28m,陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬xm的道路,

已知鋪花磚的面積為640m2.

(1)求道路的寬是多少米；

(2)該停車場共有車位50個，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位

的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位.在停車位有剩余的情況下，當(dāng)每個車位的月租金上漲多

少元時，停車場的月租金收入與全部租出時相同？

【答案】(1)道路的寬為6米

(2)每個車位的月租金上漲50元時，停車場的月租金收入與全部租出時相同

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量

關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵.

(1)由題意知，道路的寬為%米，根據(jù)矩形的面積公式列出方程并解答即可；

(2)設(shè)車位的月租金上漲a元，則租出的車位數(shù)量是僅0-§個，根據(jù)月租金=每個車位的月租金x車

位數(shù)，列出方程并解答即可；

【詳解】(1)解：根據(jù)道路的寬為x米，

(52-2%)(28-2x)=640,

整理得：X2-40%+204=0,

解得：=34(舍去)，x2=6,

答：道路的寬為6米.

(2)解：全部租出時的租金為：50X200=10000(元)

設(shè)月租金上漲a元，

根據(jù)題意得：(200+a)(50-^)=10000,

解得：a=50,

答：每個車位的月租金上漲50元時，停車場的月租金收入與全部租出時相同

考點(diǎn)八一元二次方程應(yīng)用-動點(diǎn)與幾何問題

1.(24-25九年級上?湖北荊門?期中)已知：如圖，在AABC中，NB=90。,48=5cm,BC=7cm.點(diǎn)P從點(diǎn)

A開始沿2B邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動，點(diǎn)。從點(diǎn)2開始沿8C邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.

(1)如果尸，。分別從A,3同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm?

(2)如果尸，。分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，APBQ的面積等于6cm2?

【答案】(1)2秒

(2)2秒或3秒

【分析】本題考查勾股定理和一元二次方程的應(yīng)用：

(I)設(shè)x秒后，PQ的長度等于5cm,利用勾股定理，列出方程進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)y秒后，APBQ的面積等于6cm2,根據(jù)面積公式，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)x秒后，PQ的長度等于5cm,

由題意，得：AP=xcm,BQ=2xcm,則：BP=AB—AP=(5—x)cm,

VzB=90°,

：.PQ2=BP2+BQ2,即：52=(5—％)2+(2x)2,

解得：x=0(舍去)或x=2,

:.P,。分別從A,8同時出發(fā)2秒后，PQ的長度等于5cm；

(2)解：設(shè)y秒后，△PBQ的面積等于6cm2,

由題意，得：\BP-BQ=|-2y(5-y)=6,

解得：y=2或y=3；

答：P，。分別從A,B同時出發(fā)2秒或3秒后，APBQ的面積等于6cm2.

2.(24-25九年級上?江蘇宿遷?期中)如圖，RtAABC中，ZB=90°,AC=10cm,BC=6cm,現(xiàn)有兩個動

點(diǎn)、P、。分別從點(diǎn)A和點(diǎn)8同時出發(fā)，其中點(diǎn)尸以2cm/s的速度，沿4B向終點(diǎn)8移動；點(diǎn)。以lcm/s的

速度沿BC向終點(diǎn)C移動，其中一點(diǎn)到終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止.連接PQ.設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動時間為尤秒.

A

(1)當(dāng)x為何值時，APBQ為等腰三角形；

(2)是否存在x的值，使得四邊形4PQC的面積等于20cm2?若存在，請求出此時x的值；若不存在，請

說明理由.

【答案】(1)當(dāng)％=削寸，APBQ為等腰三角形

(2)存在，x=2

【分析】本題借助動點(diǎn)問題考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用，等腰三角形的定義計(jì)算.

(1)首先運(yùn)用勾股定理求出4B邊的長度，然后根據(jù)路程=速度x時間，分別表示出BQ、PB的長度，

由于NB=90。，如果APBQ為等腰三角形，那么只有一種情況，即BP=BQ,可列出方程，從而求出x

的值；

(2)根據(jù)四邊形4PQC的面積=A2BC的面積-APBQ的面積，列出方程，根據(jù)解的情況即可判斷.

【詳解】(1)解：VzS=90°,AC=10cm,BC=6cm,

.\AB=8cm,

:兩個動點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)A和點(diǎn)3同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以2cm/s的速度，沿向終點(diǎn)8移動；點(diǎn)。

以lcm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動，

.'.BQ=x,PB=8—2%,

為等腰三角形，

8—2x=%,

?

??％=一8,

3

當(dāng)久智時，APBQ為等腰三角形；

(2)解：假設(shè)存在x的值，使得四邊形2PQC的面積等于20cm2,

則：x6x8(8—2x)=20,

解得久1=x2=2.

假設(shè)成立，所以當(dāng)x=2時，四邊形2PQC面積的面積等于20cm2.

3.(24-25九年級上?廣東中山?期中)如圖，在矩形48CD中，AB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)A開始沿邊

2B向終點(diǎn)3以lcm/s的速度移動，與此同時，點(diǎn)。從點(diǎn)8開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.如

果P，。分別從A,2同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(0<t<4)

(1)當(dāng)/為何值時，PQ的長度等于6cm?

(2)連接PC,是否存在f的值，使得△PQC的面積等于10cm2?若存在，請求出此時/的值；若不存在,

請說明理由.

【答案】⑴t=￡

(2)t=5-Vil

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理：

(1)先求出BQ=2tcm,PB=(6—t)cm,再利用勾股定理建立方程(2t)2+(6-t)2=62,解方程即

可得到答案；

(2)先求出CQ=BC—BQ=(8-2t)cm,再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式得到方程*6-t)(8-2t)=10,

解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意知，BQ=2tcm,PB=(6-t)cm,

?.?矩形4BCD中，ZB=90°,

.??由勾股定理知BQ?+PB2=PQ2,

⑵7+(6-t)2=62,

解得t=￡,t=0(舍)，

即t=￡時，PQ的長度等于6cm；

(2)解：如圖，

由題意知，CQ=BC-BQ=(8—2t)cm,

△PQC的面積等于10cm2,

^QC-PB=10,

**?—(6—t)(8—21)=10,

解得t=5+VTT>4(舍)，t=5-VTT,

即t=5—V!T時，的面積等于10cm2.

4.(24-25九年級上?云南昭通?期中)如圖，在△ABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=8cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A

開始沿AB邊向點(diǎn)2以lcm/s的速度移動，點(diǎn)。從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.

(1)如果尸，。分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，APBQ的面積等于8cm2?

(2)如果P,。分別從A,8同時出發(fā)，APBQ的面積能否等于10cm2?

(3)如果P,。分別從A,8同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于6cm?

【答案】⑴2秒

(2)APBQ的面積不能等于lOcm?；

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)經(jīng)過x秒，APBQ的面積等于8cm2,根據(jù)點(diǎn)尸從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度移動,

點(diǎn)。從2點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動,表示出BP=48—4P=(6—x)cm和8Q=2xcm,

可列方程求解；

(2)設(shè)經(jīng)過x秒鐘，APBQ的面積等于10cm2,根據(jù)點(diǎn)尸從A點(diǎn)開始沿4B邊向點(diǎn)3以lcm/s的速度移

動,點(diǎn)。從3點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，表示出BP=4B—4P=(6—x)cm和BQ=

2xcm,可列方程，根據(jù)方程有無實(shí)數(shù)根進(jìn)行判斷即可；

(3)設(shè)經(jīng)過x秒，PQ的長度等于6cm,根據(jù)勾股定理列方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)xs后，BP=AB-AP=(6-x)cm,BQ=2xcm.

根據(jù)三角形的面積公式列方程，

得：|X2x(6—%)=8.

解得：久1=2,x2=4.

當(dāng)x=4時，BQ=4x2=8cm>7cm,不合題意，舍去.

所以2秒后，APBQ的面積等于8cm2；

(2)APBQ的面積不能等于10cm2,

理由：根據(jù)三角形的面積公式列方程，

得：|x2x(6-x)=10,

整理，得：X2—6x+10=0.

=(一6尸-4x1x10=-4<0,

，/—6x+10=0沒有實(shí)數(shù)根，

所以△PBQ的面積不能等于10cm2.

(3)根據(jù)勾股定理得到，BP2+BQ2=PQ2,

得：(6-%)2+(2%)2=36.

解得：%1=葭，%2=0(不符合題意，舍去).

所以甘s后，PQ的長度等于6cm.

8串知識識框架

知識導(dǎo)圖記憶

知識目標(biāo)復(fù)核

1.一元二次方程應(yīng)用-變化率問題

2.一元二次方程應(yīng)用傳染問題

3.一元二次方程應(yīng)用枝干問題

4.一元二次方程應(yīng)用雙循環(huán)問題

5.一元二次方程應(yīng)用單循環(huán)問題

6.一元二次方程應(yīng)用-銷售利潤問題

7.一元二次方程應(yīng)用-幾何面積問題

8.一元二次方程應(yīng)用-動點(diǎn)與幾何問題

8過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.(24-25九年級下?四川廣安?期中)某旅游景點(diǎn)2022年接待游客25萬人次，2024年接待游客36萬人次,

設(shè)該景點(diǎn)接待游客人次年平均增長率為“，下列方程正確的是()

A.25(1+x)2=36B.25(1+/)=36

C.25(l+2x)=36D.25/=36

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)該景點(diǎn)接待游客人次年平均增長率為X,則2023

年接待的游客數(shù)為25(1+%)萬人次，則2024年接待的游客數(shù)為25(1+x)2萬人次，據(jù)此列出方程即可.

【詳解】解：由題意得，25(1+%)2=36,

故選：A.

2.(24-25八年級下?黑龍江綏化?階段練習(xí))已知相鄰的兩個偶數(shù)之積為360,若設(shè)較小的偶數(shù)為x,則可列

方程為()

A.%2+2=360B.%2-2=360C.x(x-2)=360D.x(x+2)=360

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)較小的偶

數(shù)為x,根據(jù)“相鄰的兩個偶數(shù)之積為360”作為等量關(guān)系列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)較小的偶數(shù)為X,

由題意得，x(x+2)=360.

故選：D.

3.(24-25八年級下?上海?階段練習(xí))如圖，從一個長10分米、寬8分米的鐵片中間截去一個面積為60平

方分米的小長方形，使剩下長方形框四周寬度一樣，如果設(shè)這個寬度為x分米，那么所列出的方程是()

A.(10-x)(8-x)=10x8-60B.(10-x)(8-x)=60

C.(10-2x)(8-2x)=60D.2(10-x)(8-x)=60

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)