第03講直線、平面平行的判定與性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：直線和平面平行........................................................4

知識點2：兩個平面平行..........................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................7

題型一：平行的判定.............................................................8

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法..........................................12

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法............................................14

題型四：利用面面平行證明線面平行..............................................18

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行........................................20

題型六：面面平行的證明........................................................22

題型七：面面平行的性質(zhì)........................................................26

題型八：平行關(guān)系的綜合應(yīng)用....................................................29

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................35

05課本典例?高考素材............................................................39

06易錯分析?答題模板............................................................44

易錯點：線面平行定理的理解不夠準(zhǔn)確............................................44

答題模板：面面平行的證明......................................................46

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

本節(jié)內(nèi)容是高考中的熱點，線線、線

2024年北京卷第17(1)題,5分面、面面平行與證明通常出現(xiàn)在解答題的第

(1)直線與平面平行的

2024年I卷第17(1)題，5分一問.本節(jié)內(nèi)容將空間中平行的判定與性質(zhì)

判定與性質(zhì)

2022年甲卷(文)第19題，12分綜合在一起復(fù)習(xí)，通常在高考題目中，雖然

(2)平面與平面平行的

2022年乙卷(文)第9題，5分證明的結(jié)論是平行，但是過程中經(jīng)常交叉使

判定與性質(zhì)

2021年浙江卷第6題，4分用空間直線、平面平行的判定定理或性質(zhì)，

因此題目的綜合性增強.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明.

(2)掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用.

匐2

〃二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與平面沒有公共點，

則稱此直線/與平面a平行，記作7〃a

如果平面外的一條直線和這個平

面內(nèi)的一條直線平行，那么這條

直線和這個平面平行

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過

（性質(zhì)定理這條直線的平面和這個平面相交，那

么這條直線就和交線平行

直線、平面平行的判定與性質(zhì)

一、、，沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，

用符號表示為：對于平面a和人若af|0=巾，則?！≒

割電二手如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行

兩個平面平行為正力由于另一個平面那么這兩個平面平行

性后一禪如果兩個平行平面同時和第三介平面

陽人正埋相交，那么他們的交線平行

老占突硒?力理慳宙

--------------CHyoo-u.

知識JJ

知識點1:直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/||a

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

I

如果平面外的一條直線和這1〃I、

線II線=線個平面內(nèi)的一條直線平行，那么Lua>=>/〃g

II面這條直線和這個平面平行（簡記￡__/IqLa

為“線線平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在a//p

>nQ〃0

面II面=線一個平面內(nèi)的所有直線都平行于z=yaua

II面另一個平面

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和1//a

一個平面平行，經(jīng)過IS,=>l//

線II面0線II線這條直線的平面和這aP—I'

個平面相交，那么這

條直線就和交線平行

【診斷自測】如圖，在長方體AB8-44G2中，E是棱。2的中點，試判斷82與平面AEC的位置關(guān)系,

并說明理由.

【解析】B2與平面AEC平行，理由如下,

連接3r>cAC=O,再連接EO,如圖，

。G

AB

因為在長方體A58-44G2中，四邊形是長方形，

所以。是的中點，又￡是棱。2的中點，所以。E//BR,

又OEu平面AEC,平面AEC,所以//平面AEC

知識點2：兩個平面平行

1、定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和4，若a7?=。，則a||/?

2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩aua,bucc,ab=P

線II面=條相交的直線都平行于另

a//0,b//p=>a//0

面II面一個平面，那么這兩個平//

面平行（簡記為“線面平行

=>面面平行

線"L面=>如果兩個平面同垂直1a]

面II面于一條直線，那么這兩個1

平面平行*

3、性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平

面〃面=>

行，那么在一個平面中a118\

線〃面\=a110

的所有直線都平行于另auaj

外一個平面

如果兩個平行平面

同時和第三個平面相/a11P

ay-a>=>Q//Z.

性質(zhì)定理交，那么他們的交線平

Bv-b

行（簡記為“面面平行/口/

=線面平行”）

如果兩個平面中有

面〃面=>一個垂直于一條直線，±7alIB

線,面那么另一個平面也垂直/la

于這條直線37

【診斷自測】如圖1,在矩形ABCZ）中，AE=EF=FB=BC=CG=正，將三角形ADE沿著線段DE向上

折起，使得點A到達(dá)點A的位置，且平面平面。EFG,將正方形3CG尸沿著G尸向上折起，使得

點民C分別到達(dá)點2',C'的位置，且平面FCG尸，平面。"尸G,構(gòu)成如圖2所示的多面體，點加為線段

（1）證明：平面〃平面夕CG尸；

（2）求三棱錐D-HCN的體積.

【解析】（1）取0G的中點H,連接,

由于。N=；OG,故N為。”的中點，

又點M為線段OE的中點，

MN//EH,

EF//DG,EF=；DG且目為￡>G的中點，

:.EF//HG,EF=HG,因此四邊形￡7文汨為平行四邊形，

EH//FG,MN//FG,

A'E=A'D=壺,且點M為線段OE的中點，

AM±DE,

又平面ADE_L平面DEFG,且平面平面D￡FG=DE,4加匚平面4力后,

.?.A"_L平面DE尸G,

在矩形ABCD中，F(xiàn)B=CG,所以四邊形8CG尸為矩形，則3尸，F(xiàn)G,

所以/G,

:平面"平面DE尸G,且平面9CG/I平面DEFGuRS,月尸U平面B'C'G廠，

二3'尸_1平面。跳心,

:.B'F//A'M,

AM,肱Vu平面A'MN且A'MCACV=M,B'F,FGu平面3'C'G尸且EFIFG=F,

■■.平面A'MN//平面B'C'GF.

(2)因為DN=；DG,所以N到平面人心力的距離為G到平面AC力的距離的J,

44

連接4G,則力-A'C'N=^N-A'C'D=~^G-A!CD=^A'-C'DG，

由（1）知A'/〃"F〃C'G,

因為CGu平面C7）G,A/U平面CDG,

所以AM〃平面C'DG,

連接CM,MG,

又UG_L平面。EFG,

===XX

故^AI-C'DG^M-C,DGJ-MDG=耳義\CG\XSDMC后義］義2拒=~~,

解題方法總結(jié)

線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示.

線〃線面〃面

性質(zhì)

（1）證明直線與平面平行的常用方法：

①利用定義，證明直線。與平面a沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行n線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面,

同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；

（2）證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面.

（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

（題學(xué)？J

題型一：平行的判定

【典例1-1】（2024?山東淄博?二模）己知a,p,y為三個不同的平面，a,b,/為三條不同的直線.

若ap=l,a\\y=a,p7=仇”",則下列說法正確的是（）

A.。與/相交B.b與/相交C.a\\bD.。與￡相交

【答案】C

【解析】對于AB,〃/7,/u平面a,a,則/〃0,

同理可得〃/人則AB錯誤；

對于C,由AB知道a/多，則C正確；

對于D,由A知道〃/o,aa平面夕，/u平面/，則a〃夕，故D錯誤.

故選：C.

【典例1-2】（2024?高三?北京海淀?期末）設(shè)a,4是三個不同平面，且a"則“///相”是

“a〃戶的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】B

【解析】若a〃夕，a'y=l,/3'y=m,則由平面平行的性質(zhì)定理：得///根;

但當(dāng)///根，a?=加時，可能有a//，也可能有a,尸相交，

如/,根是三棱柱的兩條側(cè)棱所在直線，/是/,加確定的平面，

另兩個側(cè)面所在平面分別為尸，此時符合條件，而a,尸相交,

所以“///4，是“a〃），的必要不充分條件.

故選：B

【方法技巧】

排除法：畫一個正方體，在正方體內(nèi)部或表面找線或面進行排除.

【變式1-1］（多選題）（2024?河南?三模）已知a,尸是兩個不同平面，〃z,w是兩條不同直線，則下列命

題為假命題的是（）.

A.如果小J_",m±a,nlIp,那么_L4

B.如果zn_La,nlla,那么_La

C.如果a〃尸,mua,那么?！ㄊ?/p>

D.如果利〃〃，alIp,那么相與a所成的角和”與尸所成的角的大小不相等

【答案】AD

【解析】對于A,可運用長方體，舉反例說明其錯誤，如圖，

不妨設(shè)A4'為直線相，8為直線“，平面為a,平面ABC77為尸，

顯然這些直線和平面滿足題目條件，但a，萬不成立，故A為假命題；

對于B,設(shè)過直線〃的某一個平面與平面a相交于直線/,貝!］〃/“，

由知力z_L/,從而故B為真命題；

對于C,如果a〃夕，mua,則加//用，故C為真命題；

對于D,如果〃7〃“，all/3,那么機與a所成的角和“與夕所成的角相等，故D為假命題.

故選：AD.

【變式1-2］（2024?貴州遵義?二模）己知平面a,⑸/滿足a,⑸P，7,a,下列結(jié)論正確的是（）

A.若直線則/〃6或〃/7

B.若直線///e,貝U與4和/相交

C.若/uar,貝1"1萬，且/1?

D.若直線/過空間某個定點，則與a,4/成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

【解析】在正方體ABC。-44G2中，平面ABCD,平面AO24,平面CD2G兩兩垂直,

令平面ABCD為平面a,平面ADD^為平面P,平面CDD}CX為平面V,

對于A,直線D?udDD、uy,當(dāng)/為直線DR時，lu/3,luy,A錯誤；

對于B,\BJIa,當(dāng)/為直線A4時，////,B錯誤；

對于C,AButz,當(dāng)/為直線AB時，Illy,C錯誤；

對于D,在正方體A8CD-A4G2中，直線AG，AC,B2,4。相交于點o,

它們與平面ABCD,平面AD2A，平面C02G所成的角都相等，

而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，

過空間給定點作直線平行于直線AG，AG瓦九之一，所得直線與與a,2，7所成角相等,

因此直線/過空間某個定點，與a,P，7成等角的直線/有且僅有4條，D正確.

故選:D

【變式1-3】下列四個正方體中，A,B,C為所在棱的中點，D,E,歹為正方體的三個頂點，則能得

出平面ABC〃平面。所的是（）

【答案】B

【解析】對于A選項，若平面ABC7/平面DEF,3Cu平面ABC,則BC//平面DE廠,

由圖可知3C與平面￡>￡尸相交，故平面ABC與平面OE廠不平行，A不滿足條件；

對于B選項，如下圖所示，連接NG,

因為A、C分別為PN、尸G的中點，則AC〃NG,

在正方體EHDG-MFNP中，F(xiàn)NHEG且FN=EG,

故四邊形）NG為平行四邊形，所以，NGHEF,AC//EF,

人。<2平面￡>￡尸，EFu平面。EF,〃平面DEF,

同理可證5c〃平面￡>￡F,ACBC=C,因此，平面ABC〃平面￡>EF,B滿足條件;

對于C選項，如下圖所示：

在正方體尸//DG-肱VFE中，若平面ABC〃平面￡>EF,且平面DE尸〃平面AEVHP,

則平面ABC7/平面MNHP，但這與平面ABC與平面MABP相交矛盾，

因此，平面ABC與平面。跖不平行，C不滿足條件；

對于D選項，在正方體PDEG-mEM中，連接尸“、PM、MH,如下圖所示：

因為ZW//F河且。H=則四邊形D/iWF為平行四邊形，則。尸〃

Z）尸（Z平面PHW,MHu平面PHW,所以，￡>尸〃平面PHM,

同理可證及7/平面尸打似，DFEF=F,所以，平面DEF7/平面尸

若平面ABC//平面DEF,則平面ABC//平面PHM,

這與平面ABC與平面相交矛盾，故平面ABC與平面DEF不平行，D不滿足條件.

故選：B.

題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法

【典例2-1】如圖，已知四棱錐P43C。的底面ABC。是平行四邊形，M,N分別是棱尸8,PC的中點，。

是棱以上一點，且AQ=3QP.

求證:NQ//平面MCD;

【解析】取膽的中點S,連接SM,SD,SC,因為M為的中點，

所以SA7//A5,又互〃CD,所以SA///C。，故S,M,C,。四點共面，

由題意知。，N分別為PS,PC的中點，故Nq/SC,

又NQ仁平面MCD,SCc平面MCD,因此NQ//平面MCD-,

【典例2-2】如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCZ）是正方形，點/在棱上（不與端點重合），E,F

【解析】連接

因為底面ABCD是正方形，所以尸是的中點，

又因為E是P。的中點，所以EF是△P5D的中位線,

所以EF//PB,

因為所（2平面PBC,PBu平面PBC,

所以￡F〃平面尸BC

P

【方法技巧】

利用三角形中位線找線線平行.

【變式2-1］（2024?山東濟南?三模）如圖所示，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面尸DCE_L平面ABCD,

ABAD=AADC=90°,AB^AD=^CD=1,PD=①.

若點/為R1的中點，證明:AC//平面MDE；

【解析】連接PC,交。E于N,連接MN

PDCE為矩形N為尸C的中點

在,B4c中，M,N分別為B4,PC的中點

:.MN//AC,

因為MNu平面MDE,ACU平面MDE,

所以AC〃平面MDE.

【變式2-2］（2024?陜西銅川?三模）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是正方形，尸￡＞，平面ABCD,點E是

E4的中點，尸是線段尸2上靠近尸的三等分點，PD=AD=2.

（1）求證：尸C〃平面80E；

（2）求點F到平面瓦宏的距離.

【解析】（1）證明：如圖，

連接AC交3D于點O,連接￡O,

四邊形ABC。是正方形，為AC中點，

E是24中點，EO//PC,

EOu平面BDE,尸Ca平面BDE,：.PC//平面BDE.

(2)PDJL平面ABCD,ABu平面ABC。，:.AB±PD.

又四邊形ABCD是正方形，.,.ABIAZX

又PDcAD=D,PRAOu平面皿)，平面尸AD.

又DEu平面PAD,:.ABIDE.

一點E是％的中點，PD=AD=2,，DE_LPA.

5

又ABPA=A,筋,/4匚平面%5,二10石1.平面/>48.

又BEu平面PAB,:.DELBE.

又易知DE=叵:.BE=>JBD2-DE2=y/6.

sBDE=；x5/2x&>=#>.

“1Ccac4

%ABD=]X[]X2x2jx2=§.

又SADE=SpDE,F是線段P8上靠近P的三等分點，

…VF-BDE~^P-ABD~^B-ADE-^F-PDE~§?

設(shè)點廠到平面BDE的距離為d,貝lj(x石xd=:，解得〃=迪.

399

???點F到平面BDE的距離為苧.

題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法

【典例3-1］如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A8C￡)是直角梯形，ADJ.AB,AB//DC,上4_L底面

ABCD,點E為棱PC的中點，AD=DC=AP=2AB=2.

證明：8E7/平面E4D；

【解析】在上取中點G,連接AG,EG,如圖:

??,G和E分別為尸。和PC的中點，??.￡67/CD,且￡<7='。。，

2

又?.,底面是直角梯形，CD=2AB,AB//CD,

：.AB//GE且AB=GE.即四邊形ABEG為平行四邊形，

AG//BE,

???AGu平面BEz平面B4￡),

；.2￡7/平面PAD-,

【典例3-2】如圖，在棱長為1的正方體ABCD-44和2中，E、尸及G分別為棱84、。烏和CG的中點.

D\C,

AB

求證：G尸〃平面OEG；

【解析】在正方體A8CD-A4GA中，E,F,G分別為棱和CG的中點,

.-.DF//QG,且。F=GG,

r.四邊形DGGF是平行四邊形，，G尸//DG,

DGu平面DEG,G尸《平面DEG,

.■?尸〃平面DEG.

【方法技巧］

利用平行四邊形找線線平行.

【變式3-1］（2024.江蘇南京.模擬預(yù)測）如圖，四棱錐尸-中，上4,底面ABC。，ADIIBC,

AB=AZ）=AC=3,%=8c=4,分另I］為線段AD,PC上一點，AM=2MD.

【解析】證明：由已知AM=2M￡>得4欣=2,取BP的中點T,連接AT,，V,

由N為尸。的中點知刀V〃BC,

TN《BC=2.又ADIIBC,故7N/Z4M,且77V=AM,

2

二.四邊形AAEVT為平行四邊形，.?.AGV〃4T,

??,ATu平面MNa平面

MN//平面PAB.

【變式3-2］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，",N分別

是尸D和的中點，平面RAB_L平面ABCD,A4=RB=AB=AE>=2.

（1）證明：〃平面上鉆；

（2）求三棱錐M-ABC的體積.

【解析】（1）如圖，取E4的中點E,連接

因為ME■是的中位線，所以ME//AE>,且=

又因為BN//AD且BN=gAD,所以ME//8N且ME=,

所以四邊形是平行四邊形，所以A/N7ABE,

又因為平面PABIEu平面ER,所以MN//平面R4B；

(2)取的中的中點尸，連接尸R,

PA=PB=AB,所以W_LAB,且尸尸=百，

又因為平面平面ABCD,平面上4Bc平面ABCD=AB,

PRu平面F40,所以尸尸_L平面ABCD,

又因為M是尸。的中點，所以?

【變式3-3］如圖，在正三棱柱ABC-48c中，3田,尸分別是BC,B,C,,A4的中點，BC=4BE，

ABC的邊長為2.

求證：：所//平面AO2A；

【解析】證明：取A2的中點G,連接FG,DG,

根據(jù)題意可得尸G//B12,且尸G=g4R,DE=；BD,

由三棱柱得性質(zhì)知BD〃B、D\,所以尸G//RD,則四邊形DGEF是平行四邊形,

所以EF//DG,

因為EF<Z面ADDA,OGu面ADAM，

所以EF〃面ADRA.

題型四：利用面面平行證明線面平行

【典例4-1】（2024?貴州貴陽?二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺AB8-中,

瓦尸分別為ARAB的中點，AB=2A4=4,側(cè)面8aqe與底面AB8所成角為45。.

AFB

求證：8。"/平面4石產(chǎn)；

【解析】連接3D、BR,由E,尸分別為AD,AB的中點，則所//&）,

又EF<Z平面BBQ。，SDu平面B3Q。，故即〃平面MQQ,

正四棱臺ABC。-ABC，中，人均//AB且A4=gA8=BF,

則四邊形4尸2用為平行四邊形，故4尸//34，

又A尸（Z平面RBQ。，Bau平面RBQ。，故4F〃平面BBQ。，

又AFeEF=F,且平面AjEF,跳匚平面人后尸，

故平面AE尸//平面又8Qu平面8片2。，故平面AE尸;

【典例4-2］（2024?江蘇南京?二模）如圖，AD//BC,AD1AB,點E、尸在平面ABCD的同側(cè),

CF//AE,AD=\,AB=BC=2,平面AC尸E_L平面ABCD,EA=EC=s/3.

所以C7W平面ADE,同理5c〃平面ADE,

又BC,CFu平面8CF,BCCF=C,

所以平面8CF〃平面ADE,fiFu平面ADE,

所以班7/平面ADE；

【方法技巧】

本法原理：已知平面打〃平面尸，則平面萬里的任意直線均與平面a平行

【變式4-1］（2024?四川達(dá)州三模）如圖，在直角梯形中，AD//BC,AB±BC,AB=BC=2AD,

把梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至A2G2,E,尸分別為A3,CQ中點.

證明：跖〃平面CQA

【解析】證明：設(shè)AG中點為G

9G為△CG2中位線，F(xiàn)G//CD,,

又C'u平面CD,A,尸G<Z平面CDtA,

.?.尸G〃平面CD】A,

EG為梯形A8G2中位線，EG//AD.,

又ADXu平面CDtA,EG<Z平面CPA,

.1EG//平面CD】A,

EGFG=G,FGu平面￡FG,EGu平面EFG,

平面EFGH平面CDtA,

?EFu平面EPG,

E尸〃平面CDXA.

【變式4-2］（2024?廣東深圳.高三深圳外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，多面體MCDEF中，四邊形

ABCZ>為矩形，二面角A—CD-產(chǎn)的大小為45,DE//CF,CD工DE,AD=2,DC=3.

【解析】（1）證明：因為四邊形48。>是矩形，所以，BC//AD,

因為BCu平面8CF,平面BC尸，所以力￡>〃平面BCF,

因為￡>￡7/C萬，CFu平面3c尸，平面8CF,所以O(shè)E//平面BCF,

因為ADcnE=D,AD,"Eu平面ADE,則平面BC尸〃平面ADE,

因為BPu平面BCP,所以，班7/平面ADE.

題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行

【典例5-1】如圖，直四棱柱A8CD-4與GA被平面a所截，截面為。斯，且￡F=￡>C,

7T4/—

DC=2AD=4AE=2,ZADC=-,平面與平面AB。所成角的正切值為2力.證明：AD//BC.

i33

【解析】在直四棱柱A8CD-a4G2中，平面ABCD//平面44G2,

平面ABCDa=CD,平面A4GDce=￡'尸，則跳7/CD,

而C.DJ/CD且G2=CD,又EF=CD,因此G口〃所且CQ=EF,

則四邊形EFGA是平行四邊形，所以AQ//BC，又&DJ/AD,BCHBG，

所以AD//BC.

【典例5-2】如圖，平面ABC￡）,8f7/平面ADE,CF//AE.求證：AD//BC.

【解析】CF//AE,CT<z平面A￡)E,AEu平面ADE,,CP〃平面ADE.

???BFII平面ADE,BFcCF=F,BF,CFu平面BCF,

平面ADE〃平面BCP.

又平面4001平面"8=4>,平面BCPc平面ABCDnBC,

/.AD//BC.

【方法技巧】

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行

【變式5-1］如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,44,,為圓臺的兩條不同的母線

分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且為等邊三角形.求證：HAB.

【解析】證明：圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應(yīng)母線的一部分.

■■■母線M與母線BB,的延長線必交于一點，二A,4,8,4四點共面.

:,圓面。"/圓面。，且平面ABBA1圓面Q=4用，平面ABgd圓面O=A3.

:.A,BJ/AB.

【變式5-2］（2024?江蘇?模擬預(yù)測）如圖，在四棱臺ABCO-ABQQ中，。。一平面ABCDAD//BC,

AD=DC=2,BC=1,ZBCD=60,A^D,=DtD=1.

記平面AAOR與平面4BCG的交線為/,證明：IUBC；

【解析】

3c1

因為ADIIBC,ADu平面4A￡>。，BCg平面A,ADD,,

DD

所以BC〃平面Mt.

又BCu平面B^CC,,平面\ADD,平面gBCG=/,所以UIBC.

【變式5-3]（2024?甘肅?一模）如圖，空間六面體ABCDEFGH中,AD//5C,E〃//PG,

NBCD=NFGH=90，平面ABGD〃平面所GH,C￡歸G為正方形，平面//DCG_L平面

ABCD,AD=FG=2EH,BC=3EH.

求證：AEHBF-,

【解析】AD//BC,AD<t[gBCGF,BCcBCGF,

.1AD//平面BCG廠.

CDHG為正方形，：.HDUCG,

同理可得HD//平面BCGF.

ADcHD=D,ADu平面ADHE,HDu平面ADHE,

，平面ADHE//平面BCGF.

■平面A￡>HEc平面ABFE=AE,

平面BCGFc平面ABFE=BF,

.-.AEHBF.

題型六：面面平行的證明

【典例6-1］如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，OE_L平面ABC。，W_L平面ABC。,

DE=2BF=2AB.

E

(1)求證：平面AB尸〃平面CDE；

(2)若AB=2,求多面體ABCD￡尸的體積.

【解析】(1)因為OE_L平面ABC。，B尸"L平面ABC。,

所以DE//BP,

因為DEu平面CDE,5F<z平面CDE,

所以3尸〃平面CDE,

因為四邊形A3C￡>是正方形，所以AB//CD,

因為CDu平面CDE,AB<Z平面CDE,

所以AB〃平面CDE,

又"u平面ABRBFu平面ABF,且ABBF=B,

所以平面ABF〃平面CDE.

(2)如圖，連接AC,3。，記AC=

因為四邊形ABC。是正方形，

所以AC1B￡),AH=CH=-AC,

2

因為DEL平面A3C2AC1平面ABCD,

所以DESAC,

因為DEu平面BDERBDu平面BDEF,且DEcBD=D,

所以AC_L平面BDEF,

因為QE=23尸=2AB,且AB=2,所以8尸=2,DE=4,

因為四邊形ABC。是正方形，所以AC=9=2&,

則AH=CH=7L

故多面體ABCDEF的體積V=匕如+VCBDEF

^1X（2+4）X2^X^+1X（2+4）X2V2X^=8-

【典例6-2】（2024.高三?陜西西安?期中）如圖，在圓臺《。中，AA2狙為軸截面，A8=2A耳=4,

ZA.AB=60°,C為下底面圓周上一點，尸為下底面圓。內(nèi)一點，KE垂直下底面圓。于點E,

ZCOF=ZEFO.

（1）求證：平面OQC〃平面4石尸；

【解析】（1）因為NCOF=NEFO,所以EF//CO,

又E尸（Z平面OQC,COu平面O0C,所以跖〃平面OQC.

因為AE垂直下底面圓。于點E,。。垂直下底面圓。于點。，所以4初/。。，

又\E<Z平面OfiC,OXOu平面OfiC,

故AE〃平面O0C.

又&EcEF=E,AtE,EFu平面AE尸，

所以平面O0C〃平面AE尸.

【方法技巧】

常用證明面面平行的方法是在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時

垂直于這兩個平面.證明面面平行關(guān)鍵是找到兩組相交直線分別平行.

【變式6-1］（2024?重慶?二模）如圖，直棱柱ABCD-AgCA中，底面ABCD為梯形，AB//DC,且

AB=2DC,E,尸分別是棱A3,AD的中點.

證明：平面尸〃平面GB。；

【解析】在中，瓦尸分別為的中點，則￡F〃助,

而EF<Z平面G8D,u平面G8D,因此EF〃平面,

又DCUAB,DC=；AB=EB,而D.CJ/DC,DXCX=DC,

于是EB//AG且EB=AC，四邊形BG2E為平行四邊形，則RE//GB,

又。E<Z平面GBE）,C18u平面G8。，因此。E//平面G8D.

而EF,。也為平面中兩相交直線，所以平面DtEF//平面C|B。.

【變式6-2］（2024?四川眉山.三模）如圖，在多面體ABCDE尸中，四邊形ABC。為菱形，平面尸8,平面

一7T

ABCD,平面平面A8C￡>,.AEB,CFD是等腰直角三角形，且NO尸C=N8E4=萬.

證明：平面AB尸〃平面CDE；

【解析】如圖，取A氏。的中點M,N,連接ME,EN,NF,FM.

因為.AEB是等腰直角三角形，板FN1DC,平面廠CD,平面ABCD,

平面產(chǎn)CDc平面ABCD=CD,FNu平面FCD,

所以月Vl_平面ABCD.

同理，EM_L平面ABCD

所以FN〃ME.

又人4￡?和△CTO是等腰直角三角形，四邊形為菱形，所以尸N=3OC=ME,

四邊形MEN尸為平行四邊形，所以MF〃EN,

ENu平面CDE,M尸0平面CDE,所以MR//平面CDE,

又因為AB〃CD,CDu平面CDE,AB<Z平面CDE,所以43〃平面CDE,

又ABMF=M,45,知產(chǎn)<3平面/16小，

所以平面ABF〃平面CDE.

【變式6-3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-A與G中，側(cè)面為矩形，M,N

分別為AC,4G的中點.

求證：平面BMA"/平面gNC；

【解析】因為M,N分別為側(cè)面AAGC為矩形的邊AC,4G的中點，

所以AM〃4N,AM=4N,即四邊形A&7W是平行四邊形，

所以胡//MN,AA=MN,

因為8月〃9,3片=441,

所以BBJ/MN,BB、=MN,即四邊形BgMW是平行四邊形，

所以BM//B3,

因為BN0平面片NC,B\Nu平面BNC,

所以BM//平面4NC,

因為M,N分別為側(cè)面A41G。為矩形的邊AC，4G的中點，

所以MC//4N,VC=AN,即四邊形”6典是平行四邊形，

所以&W//NC,

因為AA/后平面片NC,CNu平面aNC,

所以AM//平面片NC,

因為?W//平面片NC,且BMc"="，BMu平面BMA],平面8肪i

所以平面BMAJ/平面B、NC；

題型七：面面平行的性質(zhì)

【典例7-1]（2024?福建南平.二模）在正四面體ABCD中，P為棱AO的中點，過點A的平面a與平面

PBC平行，平面。