第10講正多邊形與圓

蚓內(nèi)容導(dǎo)航一預(yù)習(xí)三步曲

第一步：學(xué)

匕教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

教材習(xí)題學(xué)解題、快速掌握解題方法

6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第二步：記

R-思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握

第三步：測

穩(wěn)提升〈小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

8析教材學(xué)知識

s知識點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在HfAfiOD中進(jìn)行：OD.BD.OB=1:6:2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在及AOAE中進(jìn)行，OE:A￡:OA=1:1:^：

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，AB:OB-.OA=l：y(3:2.

S知識點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

②知識點(diǎn)3與正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形

8練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01

如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為5,求對角線AD、AC

解題方法

的長.

①正多邊形的性質(zhì)

ED

②勾股定理

AB

【答案】

過點(diǎn)B作月M_LAC，垂足為M

\AB=BC,Z4BC=120°

,-.ZB4C=Z4CB=30°

在AtAABA，中，4B=5

.-.4A/=|y3

:.AC=^Z

-,ZBCD=120°

.\ZACD=90°

:.AD=ylAC2+CD2=Jm=^

.?.40=10,

E________D

FWC

AB

8練考點(diǎn)強(qiáng)知識/8練題型強(qiáng)知識

考點(diǎn)一求正多邊形的中心角

1.（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測）青秀山的龍象塔是南寧市的地標(biāo)建筑之一，始建于明代萬歷年間.該塔為八

角九層，重檐磚結(jié)構(gòu).如圖所示的正八邊形是龍象塔其中一層的平面示意圖，點(diǎn)。為正八邊形的中心，

則乙4OB的度數(shù)為（）

A.60°B.54°

【答案】C

【分析】本題考查求正多邊形中心角度數(shù)，掌握正W邊形中心角的計(jì)算公式360。+n是解題的關(guān)鍵.

用360。除以正多邊形的邊數(shù)，計(jì)算即可.

【詳解】解：4AOB=360°+8=45。

故選：C.

2.（2025?上海寶山?二模）如果一個正多邊形的內(nèi)角和為1800。，那么這個正多邊形的中心角度數(shù)是（）

A.10B.12C.18D.30

【答案】D

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的定義和多邊形的內(nèi)角和

公式.設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n,列方程求出上再根據(jù)正多邊形每條邊所對的中心角都相等，列出算式

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為律，列方程得：

180°（n-2）=1800°,

解得n=12,

這個正多邊形的中心角的度數(shù)為：360。+12=30°,

:.A,B,C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

3.（2025?四川南充?一模）如圖，正五邊形4BCDE內(nèi)接于。0,點(diǎn)尸為趣的中點(diǎn)，則N4BF=（）

B.12°C.18°D.36°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形的中心角、圓心角與弧的關(guān)系、圓周角定理，熟練掌握圓心角與弧的關(guān)系

是解題關(guān)鍵.連接04。已。尸，先求出N4OE=72。，再求出乙4。尸=36。，然后根據(jù)圓周角定理即可得.

【詳解】解:如圖，連接。4,。與。心

?.?正五邊形4BCDE內(nèi)接于。0,

：.z.AOE=—=72°,

5

施的度數(shù)為72。，

?..點(diǎn)尸為AE的中點(diǎn)，

...和的度數(shù)為jx72。=36°,

：./-AOF=36°,

由圓周角定理得：^ABF=^AOF=18°,

故選：C.

4.（2025?安徽池州三模）如圖，在正多邊形4BCD…PMN中，若乙4MB=18。，則該多邊形的內(nèi)角和為.

【答案】1440。

【分析】本題考查了正多邊形與中心角，正多邊形內(nèi)角和問題，根據(jù)N4MB=18。，得出該正多邊形的

中心角為36。，從而求出該多邊形為十邊形，然后通過內(nèi)角和公式即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.24MB=18。，

...該正多邊形的中心角為36。，

該多邊形為十邊形，

由（n-2）X180。得其內(nèi)角和為（10-2）x180°=1440°,

故答案為:1440°.

考點(diǎn)二正多邊形與圓求線段長度

1.（24-25九年級下?湖北黃岡?期中）魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，就是通過不斷倍增圓內(nèi)接正多

邊形的邊數(shù)求出圓周率，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖，六邊形4BCDEF是。。的

內(nèi)接正六邊形，連接EB.若4B=2,則的長為（）

A.3B.V5C.2V2D.2V3

【答案】D

【分析】本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)、圓與正多邊形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等

知識點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵.

180°(6-2)

由題意可得NB4F==120°,AB=AF,進(jìn)而得到乙4BH=30。，如圖：過A作力“1BF,根據(jù)

6

等腰三角形的性質(zhì)可得BF=2BH,30度直角三角形的性質(zhì)可得4H=^AB=1,再運(yùn)用勾股定理求得

BH=V3,進(jìn)而完成解答.

【詳解】解：?六邊形力BCDEF是O。的內(nèi)接正六邊形,

180°(6-2)

：.^BAF==120°,AB=AF,

6

180°-NA

J./.ABH==30°

2

如圖：過A作4HlBF,

：.BF=2BH,AH=lAB=l,

：.BH=y/AB2-AH2=愿,

：.BF=2BH=2V3.

故選D.

2.（2025?湖南?模擬預(yù)測）如圖是我國清代康熙年間八角青花碗，其輪廓是一個正八邊形，若正八邊形的邊

長為4cm,對角線45、CD相交于點(diǎn)E.則線段力B的長為（）

C

A.6V2B.4+2V2C.4+4V2D.12

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.根

據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEGF是矩形，△aCE、ABFG是等腰直角三角形，4C=CF=FB=EG=4,

再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出4E,GE,BG即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作FG148于G,

EG

由題意可知，四邊形CEGF是矩形，△力CE、ABFG是等腰直角三角形，AC=CF=FB=EG=2,

在RtAACE中，AC=4,AE=CE,

AE=CE=^-AC=2V2,

同理8G=2V2,

???BE=EG+BG=4+2&,

???AB=BE+AE=2y[2+4+242=4/+4.

故選：C.

3.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，已知。。的周長等于8?ran,則圓內(nèi)接正六邊形力BCDEF的邊心距。M的長

為.

【答案】2gcm

【分析】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接OC、OD,

由正六邊形4BCDEF可求出=60。，證明ACOD是等邊三角形，進(jìn)而可求出“OM=30。，則有

CM=|OC,然后通過勾股定理得OM=苧。C,設(shè)。C=2x,則CM=比，OM=V3x,再由圓周長公式

求出x的值即可，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接。C、OD,

,/正六邊形4BCDEF是圓內(nèi)接正六邊形,

C.Z.COD=60°,

U：OC=OD,

**.△COD是等邊三角形，

9COM1CD,

i

工乙COM=-/.COD=30°,乙CMO=90°,

2

1

：.CM=-OC,

2

由勾股定理得：。。2=。M2+。時(shí)2,

：,OC2=G0c)2+OM2,

：.OM=—OC,

2

設(shè)OC=2%,貝！JCM=%,OM=V3x,

O。的周長等于8;rcm,

2TTx2%=8TT,解得：x=2,

.,.OM=V3x=2V3,

故答案為：2V5cm.

考點(diǎn)三正多邊形與圓求半徑

1.（24-25九年級下?貴州貴陽?階段練習(xí)）若正六邊形的內(nèi)切圓半徑為2,則其外接圓半徑為（）

A46n26C3遮C36

A.D.C.L）.

3324

【答案】A

【分析】本題主要考查正多邊形的內(nèi)切圓和外接圓，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握內(nèi)切圓與外接圓的性

質(zhì)以及正多邊形的中心角，求出正六邊形的中心角的度數(shù)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。4、OB,過。作。G14B,

又：正六邊形中心角N40B=60°,

；.△40B為正三角形，

AAOG=Z.BOG=30°,

：.0G=V3BG=2,

故選：A.

2.（24-25九年級下?上海?階段練習(xí)）如圖,邊長為2的正六邊形48CDEF內(nèi)接于OO,則它的內(nèi)切圓半徑為

【答案】V3

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是

解答本題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作。Ml4B,垂足為點(diǎn)M,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得乙4。8=60。，再結(jié)合04=。8,證明出AAOB

是正三角形，又OM1AB,所以4M=BM=345=1,最后根據(jù)0M=70A2-4"2即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。力，0B,過點(diǎn)。作。Ml4B,垂足為點(diǎn)M,

六邊形力BCDEF是止六邊形，點(diǎn)。是它的中心,

Z-AOB=----=60°,

???0A=0B,

.??△4。8是正三角形,

0M1AB,

??.AM=BM=-AB=1,

在Rt/XAOM中，。4=2,AM=1,

0M=y/OA2-AM2=V3,即內(nèi)切圓半徑為次,

故答案為：V3.

考點(diǎn)四正多邊形與圓求面積

1.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，正六邊形螺帽的邊長為4,則這個螺帽的面積是（）

A.V3B.6D.12V3

【答案】C

【分析】此題主要考查正多邊形的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形△力。G,然后求出。G

長，然后求出面積即可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心是。，一邊是4B,則N40B=3x360。=60。，0A=0B,過。作。G_L力B

6

于G,

如圖，在RtZkAOG中，AB=4,

：.AG=BG=2,AO=2AG=4,

：.0G=VOX2-XG2=2V3.

這個正六邊形的面積=Ix4X2V3X6=24V3.

故選：C.

2.（24-25九年級上,天津武清?階段練習(xí)）如圖，正△48C內(nèi)接于半徑為1的圓，則陰影部分的面積為（）

【答案】A

【分析】此題考查的是正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握正多邊形中心的性

質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

連接。4、OB,延長4。交于點(diǎn)。，根據(jù)題意可知：。為AABC的中心，6M=OB=1,/ABC=60。,

從而求出NOBC=30。，然后根據(jù)30。所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出。。和BD,然后根

據(jù)垂徑定理求出BC,最后根據(jù)S陰影=S0o-S—BC即可求出結(jié)論.

【詳解】解：連接。4、0B,延長4。交BC于點(diǎn)。，

?..正△ABC內(nèi)接于半徑是1的圓,

為△48C的中心，0A=OB1,^ABC=60°,

1

:?乙OBC=-/-ABC=30°,AD1BC,

2

???在Rt^BOO中，00=108=5

BD=-JOB2-OD2=—,

2

：.AD=OA+OD=1+-=-,BC=2BD=V3,

22

?，S陰影=SQO-S^ABC

01

=n-0A2--BC-AD

2

13

=7TX1Z9--XV3X-

=71--3V—3

4

故選：A.

3.（24-25九年級上?遼寧葫蘆島?階段練習(xí)）如圖，正八邊形ABCDEFG”內(nèi)接于。。，。。的半徑為2,連接

AF,BF,貝（JS-B產(chǎn)=（）

A.2^2B.V2

【答案】A

【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，連接Z。,

過點(diǎn)A作AM_LOB于點(diǎn)根據(jù)多邊形的性質(zhì)求得乙4。8=45。，勾股定理求得AM=VL進(jìn)而即可得

解，熟練掌握正多邊形與圓，勾股定理的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】連接40,過點(diǎn)A作AM10B于點(diǎn)

在正八邊形4BCDEFGH中，4A0B=360°+8=45°,

'S/.AMO=90°,

：.^MAO=^AOM=45°,

：.AM=MO,

在RtAAM。中，

,：AM2+MO2=AO2,O。的半徑為2,

：.AM=—x2=42,

2

是。。的直徑，

：.BF=2x2=4,

；.SA4BF=|B/7-/1M=|x4xV2=2V2,

故選：A.

4.（2025?湖北黃石?一模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率,

開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元.某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個如圖所示

的圓內(nèi)接正十二邊形.若。。的半徑為2,則這個圓內(nèi)接正十二邊形的面積為一.

【答案】12

【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，直角三角形的性質(zhì).如圖，過A作4C10B

于C,得到圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為若=30。，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過A作4C10B于C,

???圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為等=30。,OA=2,

：.AC=-OA=1,

2

??S&OAB=~^2xl=l,

，這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為12x1=12,

故答案為：12.

5.（2025?河南周口?二模）如圖，。為等邊三角形力BC的中心，分別以4c為圓心，4。的長為半徑作弧，兩

弧交于AABC外一點(diǎn)D,連接4。，CD,若4。=百，則四邊形A8CD的面積為.

【答案】3V3

【分析】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正多邊形的中心等知識，根據(jù)正多邊形的中

心的定義，可得出NBA。=/-OAC=l^BAC=30。,4。=C。,證明四邊形20CD是菱形，得出=

2/.OAC=60°,證明AZB。=ACBD,得出N4BO=乙CBD==30°.SAABD=SACBO,根據(jù)含30°的

直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求出力C=3,即可求解。

【詳解】解:???。為等邊三角形力BC的中心，

/.BAO=/.OAC=|zBXC=30°,4。=CO.AB=BC.Z.ABC=60°,

由作圖知:4D=CD=A0,

：.AD=CD=A0=CO,

四邊形a。。。是菱形，

^OAD=2ZOXC=60°,

ABAD=90°,

連接BD.

A

9：AB=CB,AD=CD,BD=BD,

??△ABD=ACBD

i

??乙ABD=Z-CBD=-Z-ABC—30°,S-BQ=SMBD”

：.BD=2/W=2A0=2V3,

：.AB=y/BD2-AD2=3,

'SAABD=SMBD=5XV3X3=-V3,

，四邊形28CD的面積為S-BO+S“CBD=3百，

故答案為：3V1

考點(diǎn)五正多邊形與圓求周長

1.（2024九年級上.江蘇.專題練習(xí)）如圖，O。是正六邊形4BCDEF的外接圓，若。。的半徑為6,則四邊

形4CDF的周長是（）

A.6+6V3B.12+6V3C.12+12V3D.6+12V3

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形和圓，矩形，掌握正六邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)

系是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出2F,。尸即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,OF,OD,過點(diǎn)。作。M1。尸于點(diǎn)M,則=

???點(diǎn)。是正六邊形ABC。E尸的中心，

?.""=*=60。,

???0A=OF,

??.△ZOF是正二角形,

AF=OA=6,

在RtZkFOM中，Z.OFM=90°-60°=30°,OF=6,

FM=*F=3V3,

???DF=2FM=6V3,

???四邊形ACDF的周長是24F+2DF=12+12V3,

故選：C

2.（24-25九年級上?河南信陽?期末）如圖，半徑為1的正六邊形ABCDEF的對角線8E、CF交于點(diǎn)M,則四

邊形MCDE的周長為.

【答案】4

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得△CMB.AEFM是等邊三角形，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：：邊長為1的正六邊形2BCDEF的對角線BE、CF交于點(diǎn)M,

."BMC=/.FME=乙BCM=4MFE=60°,

/.△CMB,AEFM是等邊三角形，

CM=ME=DE=CD=1

：.四邊形MCDE的周長為4

故答案為：4.

3.（23-24九年級上?浙江溫州?期中）如圖，六邊形4BCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形，記△4CE的周長為的,

正六邊形力BCDEF的周長為。2，則容的值為________________.

C2

【答案】y

【分析】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，設(shè)正六邊形的邊長為m利

用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出從而得出CE的長，進(jìn)而解決問題.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長為a,

連接4D,交CE于H,如下圖：

:六邊形2BCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形，

：.DC=DE=a,/-CDE=120°,AD1CE,

：.Z-EDH=60。,"E”=30°

：.DH=-a

2f

：.HE=y/DE2-DH2=Ja2-(|a)2=ya

：.CE=2CH=2HE=2X—a=V3a,

2

由正六邊形的性質(zhì)知，△4CE是等邊三角形,

,q_3CE_3xV3a_V3

Q6DC6a2

故答案為：y.

考點(diǎn)六正多邊形與直角坐標(biāo)系綜合

1.（2025?山西呂梁?二模）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖，這是部分巢房的橫截

面圖，圖中全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P,Q,M2,M3,

M4……均為正六邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為（3,2^）,（-3,0）,則點(diǎn)M3的坐標(biāo)為（）

A.(-6V3,-3)

C.(-3,-4V3)D.(-4V3,-3)

【答案】B

【分析】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，設(shè)中間正六邊形的中心為D,連接。8根據(jù)P,Q

的坐標(biāo)分別為（3,2次），（-3,0）,得出力B=BC=2V3,OQ=3,求出QM】=MrM2=M2M3=AB=

2V3,即可求出QM3=6V3,得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，設(shè)中間正六邊形的中心為D,連接OB.

???AB=BC=2V3,OQ=3,

OA=OB=V3.

vQM1=MrM2=M2M3=AB=2V3,

QM3=6A/3,

二點(diǎn)%的坐標(biāo)為（-3,-6⑸.

故選：B.

2.（2025?河南南陽?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形力BCDEF的中心與原點(diǎn)。重合,

AB\\x軸，交y軸于點(diǎn)P.將△。力P繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的

坐標(biāo)為（）

B\PA

vr/"

DIE

A.（V3,-l）B.（-1,V3）C.（-V3,-l）D.（1,V3）

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)的變化規(guī)律問題，根據(jù)正多邊形

的性質(zhì)可得力（1,百），進(jìn)而求出每旋轉(zhuǎn)一次點(diǎn)人的坐標(biāo)，再根據(jù)每旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)解答即可求解，找到

坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:aBCDEF是正六邊形，

AAOF=360°+6=60°,

^LAOP=90°-60°=30°,

VOA=OF,

為等邊三角形，

OA=AF=2,

■：AB\\x軸，

：.AAPO=/.COP=90°,

.?.*04=1,

OP=70A2—4p2=^/22—l2=V3,

:將AOAP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

...第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（百,-1）,

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-1,—四），

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一百,1）,

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,百），

,.-2025^4=506???1,

...第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（百,-1）,

故選：A.

3.（24-25九年級上?河南周口?期中）如圖，邊長為1的正六邊形4BCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在

無軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形4BCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，那

么經(jīng)過2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

ED

A-(-^1)B-仔-⑹C.(V3,-|)D,(f,|)

【答案】A

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)引起的坐標(biāo)變化規(guī)律問題，掌握正多邊形

各邊相等，各角相等的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及

它在坐標(biāo)系中的位置，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的規(guī)律求出旋轉(zhuǎn)2025次后頂點(diǎn)D的

坐標(biāo)即可.

【詳解】解：連接A。，BD,如圖，

在正六邊形2BCDEF中，AB=BC=CD=AF=1,^FAB=4ABe=乙BCD=120°,

1-1

：.^CBD=j（180°一乙BCD）=30°,^OAF=60°,乙BAD=AFAD=^FAB=60°,

：.^ABD=/-ABC-Z.CBD=90°,

：.^ADB=30°,

：.AD=2AB=2,

BD=>JAD2-AB2=V3,

在RtZkA。/中，AF=1,Z,OAF=60°,

???2L0FA=30°,

ii

??.OA=-AF=

22

3

??.OA+AB

2

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（I,百），

將正六邊形4BCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，

???4次一個循環(huán)，

???2025+4=506...1,

??.經(jīng)過2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)與第一次旋轉(zhuǎn)后得到的劣的坐標(biāo)相同，

???過點(diǎn)A作。止lx軸于尸，

."PODi+/PD1。=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知"。心+4DOB=90°,。心=OD,

:?乙DOB=Z-PDrO,

：.△OBD三△DiPO（AAS）

???DrP=。8=*OP=BD=痘

?.?點(diǎn)Di在第二象限，

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一百，o，

經(jīng)過2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一百,|）,

故選：A.

4.（24-25九年級上?吉林?階段練習(xí)）在北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、

天下一家”的主題，如圖將“雪花”圖案（邊長為4的正六邊形4BCDEF）放在平面直角坐標(biāo)系中，若AB與

“軸垂直，頂點(diǎn)力的坐標(biāo)為（2,-3）,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（2—2?,3）

【分析】連接BD交CF于點(diǎn)M,根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可：首先根據(jù)點(diǎn)

4坐標(biāo)及正六邊形的邊長求出點(diǎn)B坐標(biāo)，然后通過解直角三角形BCM即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，連接交CF于點(diǎn)

???A(2,-3),AB=4,

二B(2,—3+4),即B(2,l),

在RtABCM中，BC=4,

1

Z5CM=-X12O°=6O°,

2

???乙CBM=90°一乙BCM=90°-60°=30°,

???CM=-BC=-x4=2,

22

BM=VBC2-CM2=V42-22=2V3,

.,.點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為：一（2百一2）=2-2b，縱坐標(biāo)為：1+2=3,

???頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2-2V3.3）,

故答案為：（2-273,3）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓的綜合，坐標(biāo)與圖形綜合，直角三角形的兩個銳角互余，含30度

角的直角三角形，勾股定理，寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)等知識點(diǎn)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)以及坐

標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

串知識識框架

09一一一一一一一一一一一一一

科）知識導(dǎo)圖記憶

值）知識目標(biāo)復(fù)核

1.正多邊形的性質(zhì)

2.正多邊形與圓綜合應(yīng)用

3.正多邊形與坐標(biāo)綜合

03過關(guān)測穩(wěn)提升

一、單選題

1.(2025?河南濮陽?二模)如圖，4B是。。內(nèi)接正門邊形的一條邊，點(diǎn)C在。。上，ZXCB=30°,貝加=()

A.4B.6D.12

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，由圓周角定理得乙4OB=60。，再根據(jù)正邊形的邊數(shù)

“71=360。+中心角”，即可求出兀的值，求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：Vz^CF=2。B=30°,

/LAOB=60°,

：.n=360°+60°=6,

故選：B.

2.(2025?安徽六安?三模)如圖，正五邊形力BCDE內(nèi)接于。。，連接。C,OD,則NOCB+NODE=()

A.72°B.98°C.102°D.108°

【答案】D

【分析】本題考查正多邊形與圓、正五邊形的性質(zhì)、正多邊形的中心角等知識，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和

可以求得NBCD=乙CDE=108。，根據(jù)周角等于360。，可以求得NCOD的度數(shù)，然后即可計(jì)算出NOCB+

NODE的度數(shù).

【詳解】解：???五邊形ABCDE是正五邊形，

/.BCD=乙CDE=(5-2*0。=log。，=若=72。，

VOC=OD,

:.乙OCD="DC=|x(180°-72°)=54°,

：./.OCB+乙ODE=4BCD+乙CDE-乙OCD-/.ODC=108°+108°-54°-54°=108°,

故選：D.

3.(2025?山東臨沂?一模)如圖,4,B,C,D為一個正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)。為正多邊形的中心，若NADB=22.5°,

則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.8

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

連接04,0B,根據(jù)圓周角定理得到乙40B=241DB=45。，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接。40B,

?；A、B、C、。為一個正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心,

...點(diǎn)A、B、C、。在以點(diǎn)。為圓心，。&為半徑的同一個圓上,

ZXDB=22.5°,

J./.A0B=24ADB=45°,

這個正多邊形的邊數(shù)=黑=8,

故選：B.

4.（2025?吉林長春?一模）我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計(jì)，如圖所示，其輪廓是一個正八邊形，

從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中.若將八角形窗戶進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，旋轉(zhuǎn)角

至少為（）

A.22.5°B.30°C.45°D.90°

【答案】C

【分析】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.根據(jù)正八

邊形的中心角為萼=45。，則旋轉(zhuǎn)角至少為45。，從而求解.

8

【詳解】解：由題意得，正八邊形的中心角為等=45。，

二八角形窗戶進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，旋轉(zhuǎn)角至少為45。，

故選：C.

5.（2025?安徽合肥?一模）如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形4BCDEF,已知這個正六邊形的半徑是2,

則它的面積是（）

A.6V3B.12

【答案】A

【分析】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意得出△AOB是等邊三角

形是解題關(guān)鍵.由正六邊形的性質(zhì)證出A40B是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出48=。4即可

得出答案.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為O,連接4。，BO,過點(diǎn)。作。于點(diǎn)”，如圖所示：

?/O是正六邊形2BCDEF的中心，

：.AB=BC=CD=DE=EF=AF,^AOB=60°,4。=BO=2,

A4。8是等邊三角形，

：.AB=。力，AH=BH=-AB=1,

2

OH=y/OA2-AH2=V3,

正六邊形4BCDEF的面積=6xjx2xV3=6次.

故選：A.

6.（24-25九年級下?海南海口?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為6的正六邊形4BCDEF的中

心與原點(diǎn)。重合，ABM，將六邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，則第900次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的

對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(-3,3V3)B.(3,-3V3)

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形和圓，規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，連接04、0B,設(shè)4B交

y軸于點(diǎn)尸，由正多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求出4（-3,3,），再根據(jù)旋轉(zhuǎn)8

次為一個循環(huán)，由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接。力、0B,設(shè)4B交y軸于點(diǎn)尸，

:邊長為6的正六邊形ABCDEF的中心與原點(diǎn)。重合，力8|比軸,

：.AB=6,ABly軸，N力。B=360°+6=60°,OA=OB,

；.△40B是等邊二角形，0P±AB,

：.AP=PB=3,OB=0A=6,

.OP=yj0B2-PB2=3V3,

，4（-3,3⑹，

同理得，B（3,3V3）,C（3V3,0）,D（3,-3V3）,

:將六邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，8次一個循環(huán)，

V9008=112---4,

...第900次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,—3舊），

故選：B.

7.（24-25九年級上?山東淄博?期末）如圖，邊長為4的正六邊形4BCDEF內(nèi)接于。0,則它的內(nèi)切圓半徑為

()

【答案】c

【分析】本題主要考查了正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】解：如圖，連接040B,過點(diǎn)。作。M1AB,垂足為點(diǎn)M,

Z-A0B==60°,

6

OA—OB,

：.△4。8是正三角形，

OM1AB,

1

???AM=BM=-AB=2,

2

在RtAAOM中，。4=4,AM=2,

OM=y/OA2-AM2=2V3.

即它的內(nèi)切圓半徑為2次，

故答案為：C.

8.（24-25九年級上?內(nèi)蒙古赤峰?期末）若一個正六邊形的周長為24,則該正六邊形的邊心距為（）

A.3V3B.2V3C.V3D.y

【答案】B

【分析】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，掌握正六邊形的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

先求出正六邊形的邊長，再構(gòu)建直角三角形，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖：連接04作。

圓內(nèi)接正六邊形4BC0E戶的周長為24,

??AB=0A=4,

,?ZOM=30°,

：.AM=-710=2,

2

OM=>JOA2-AM2=2V3.

正六邊形的邊心距是2g.

故選B.

9.（24-25九年級上?山東濟(jì)寧?期末）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的.正六邊形蜂巢的建筑結(jié)

構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅(jiān)固.如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形A8CDEF,

若O。的內(nèi)接正六邊形為正六邊形4BCDEF,則的長為（）

A.2A/3B.4A/3C.6A/3D.6V2

【答案】C

【分析】連接。4,根據(jù)垂徑定理可得BM=FM=3BF,OA1BF,再證明△04B是等邊三角形，可得

OB=AB=6,OM=^0A=3,再根據(jù)勾股定理求出即可得解.

【詳解】解：連接。兒交BF于點(diǎn)

:六邊形力BCDEF是。。的內(nèi)接正六邊形,

???AB=AF,/.AOB=-x360°=60°,

6

AB=AF，

BM=FM=-BF,OA1BF,

2

???乙OMB=90°,

???乙OBM=90°-4AOB=30°,

OA=OB,^AOB=60°,

△0AB是等邊三角形，

???OB=AB=6,OM^-OA=3,

2

BM=y/OA2-OM2=3V3,

：.BF=2BM=6后

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接正多邊形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵

是正確作出輔助線，綜合運(yùn)用以上知識點(diǎn).

二、填空題

10.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，。。是半徑為3的正八邊形4BCDEFGH的外接圓，連接OF,則DF的長

為.

【答案】3V2

【分析】本題主要考查了正多邊形的外接圓,

先求出中心角，再根據(jù)勾股定理可得答案.

【詳解】解:連接。D,OE,OF,如圖所示,

:這個多邊形是正八邊形，

360°

工人DOE=乙EOF=—=45°,

8

工人DOF=90°.

在Rt2kD0F中，DO=F0=3,

：.DF='DO?+尸。2=3V2.

故答案為：3V2.

A

B,H

E

11.（2025?江蘇鹽城?二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,若。。的周長是6兀，則正六邊形的邊長

是.

【答案】3

【分析】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

連接。B、OC,根據(jù)O。的周長等于6兀，可得。。的半徑OB=OC=3,而六邊形4BCDEF是正六邊形,

即知NBOC=陋=60。，ABOC是等邊三角形，即可得正六邊形的邊長.

6

【詳解】解：連接OB、OC,如圖：

:。。的周長等于6兀，

???。。的半徑OB=OC=—=3,

27T

???六邊形48CDEF是正六邊形，

???乙BOC=—=60°,

6

???△80C是等邊三角形，

.?.BC=OB=OC=3,

即正六邊形的邊長為3,

故答案為：3.

12.（2025?陜西渭南?一模）如圖，正六邊形4BCDEF的邊長為1,則對角線CF的長是

AD

【答案】2

【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

設(shè)。為正六邊形4BCDEF的中心，連接40,B0,則△BOC是等邊三角形，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：設(shè)。為正六邊形4BCDEF的中心，連接40,B。，如圖，

."40F=AAOB=乙BOC=—=60°,AO=BO=CO=F0,

6

△AOFAAOB,ABOC是等邊三角形，

:正六邊形4BCDEF的邊長為1,

FC=FO+OC=1+1=2.

故答案為：2.

13.（24-25九年級上?吉林?期中）如圖，正六邊形力BCDEF的邊CD、EF分別與O。相切于點(diǎn)C、F,連接。F、

CO,則NCOF的度數(shù)是.

【答案】120°

【分析】本題考查正多邊形和圓，切線的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及多邊形內(nèi)角和

的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可求出各個內(nèi)角的度數(shù)，由切線的性質(zhì)以及五邊

形內(nèi)角和的計(jì)算方法即可求出答案.

【詳解】解：：正六邊形48CDEF的邊CD,E尸與。。相切于點(diǎn)C,F,

:.乙OFE=90°=4OCD,

,/六邊形2BCDEF是正六邊形，

/.ZD==(L80°=120°,

6

在五邊形OCDEF中，

ZCOF=(5-2)x180°-90°x2-120°x2=120°,

故答案為：120。.

14.(24-25九年級上?河北廊坊?期末)由六塊相同的含30。的直角三角形拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下

一個小的正六邊形空隙，若該直角三角形最短的邊長為1,那么小正六邊形的面積為，周長為

【答案】6姜

【分析】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接2&CM,證明AMCN正三角

形，得ON=0M=MN=1,連接。M,0N,得AMON是等邊三角形，求出面積即可得解

【詳解】解：連接4C,CM,如圖，

,/六邊形48CDE尸是正