重難點培優(yōu)03柯西不等式與權(quán)方和不等式

目錄

01知識重構(gòu)?重難梳理固根基....................................................1

02題型精研?技巧通法提能力....................................................3

題型一二維柯西不等式直接使用（★★★★）.............................................3

題型二二維柯西不等式變式型（★★★★★）.............................................5

題型三二維柯西不等式三角型（★★★）..................................................8

題型四三維（多維）柯西不等式（★★★★★）.........................................10

題型五權(quán)方和不等式基本型（★★★★）.................................................13

題型六權(quán)方和不等式的推廣型（★★★★★）............................................15

題型七權(quán)方和不等式三角型（★★★）..................................................16

03實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效...................................................17

檢測I組重難知識鞏固.................................................................17

檢測II組創(chuàng)新能力提升.................................................................25

01..

知識重構(gòu)?重難梳理固根基

一、柯西不等式

1、二維形式的柯西不等式

（a2+&2）（c2+J2）>{ac+bd）2（a,b,c,deR,當且僅當“d=bc時，等號成立.）

2、二維形式的柯西不等式的變式

（1）y1a2+Z?2-A/C2+d2>\ac+bd\b.c.deR,當且僅當ad=Z?c吐等號成立.）

（2）J〃2+匕2.J02+/（a,b,c,duR,當且僅當ad二be時，等號成立.）

（3）（a+Z?）（c+d）>（y!~ac+4bd）2（a,b,c,d20,當且僅當ad=Z?c時,等號成立.）

3.擴展：(a；+a：+a；+—Fa；-\----1-)N(。也+%仇+a也臺+…+a也-，當且僅當

%：b]—a2*b2—**'—〃〃：bn時,等節(jié)成_\/^

注：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用.比如，對/+〃+/,并不是不等式的形狀，但變成

|*(12+12+12)?(?2+/+C2)就可以用柯西不等式了.

二、權(quán)方和不等式

權(quán)方和不等式：若a,b,x,y>0,則土+忙2(a+?一,當且僅當q時，等號成立.

xyx+yxy

證明1：瓦%,y>0

*、十〃b（a+Z?）

要證一+———-

xyx+y

只需證當上Zsi

xy%+y

2222

即證孫a2+ya+九2人2+孫匕2>xya+2xyab+xyb

故只要證y2a2+x2Z?2>2xyab

{ya-xbY>0當且僅當ya-xb=0時，等號成立

即￡+匕？(0+1),當且僅當@=2時，等號成立.

xyx+yxy

證明2：對柯西不等式變形，易得(<+Z)(x+y)Z(a+b)2在a,"x,y>0時，就有了工+工2絲七當

xyxyx+y

q=2時，等號成立.

推廣1：4+^+^2絲士之，當4=2=9時，等號成立.

xyzx+y+zxyz

2

.4c什八7八mt|a；a；a；、（4+4----）

推廣:2：若區(qū)>0,。〉0,則」-+」+???+」~2———-------—當時，等號成立.

a偽b〃4+燈+…+2

"'球'I琛+:（。+%+…+4產(chǎn)

推廣3：若tz.>0,Z?z>0,m>0,當4=獨.時，等號

b：勿邛一（4+用+..?+”）"

成立.

02

題型精研?技巧通法提能力

?題型一二維柯西不等式直接使用?

【技巧通法?提分快招】

1、二維形式的柯西不等式

(a2+ZJ2)(c2+<72)>(ac+bd)2(a,b,c,deR,當且僅當ad=be時，等號成立.)

2、記憶方法：口訣：平和城，城和平

平：平方

城：同“乘”，相乘的意思

1.(24-25高三下?河北?期中)柯西不等式是法國數(shù)學(xué)家柯西與德國數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)

學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.二維柯西不等式為(/+〃)(/+1”(4+〃)2,當且僅當口/=歷時等號成立.已

知。>0,6>0,直線y=2x-3a與曲線y=ln(2x+b)相切，則&+當日的最大值為()

A.3B.邁C.9D.邁

3332

【答案】B

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切點橫坐標，再結(jié)合切點在函數(shù)圖象和直線上得到。與6的關(guān)系，然后對

所求式子進行變形，利用柯西不等式來求解最值即可.

【詳解】設(shè)直線y=2x-3a與曲線y=ln(2x+b)相切的切點為(%,%),

由y=ln2x+6)得y=1y,則丁工=2,即2%+6=1,

f%=2x-3a,、

則為=ln((}2x0+方得％-3a=ln(2x0+b)=lnl=0,

所以飛=2，代入2%+匕=1得3a+Z?=l,

因為a>0,b>0,所以

因為［（而）+（痣）+j=（3tz+Z?）x|=|,

所以g=逅2血+返，當且僅當屬X走=而」，即。等號成立.

V3333V362

故選：B.

2.已知x>0,y>0,9+y2=l，則5x+&y的最大值是.

【答案】2

【分析】利用柯西不等式即可求解

【詳解】由柯西不等式得]]+卜（仔+12）…[xi+yxi：=（>y）2

所以lx2.g+y）2,當]=y,即x=0,y=#時等號成立.

所以：+為夜，即走x+&y的最大值是2

22

3.VABC中角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知a=3,。為BC的點，且3D=2cD,AD=1,

則6+c的最大值為

【答案】巫

2

【分析】根據(jù)在-4?。一ADC中根據(jù)加8,ZADC互補，余弦和為0,由余弦定理可得方+02=9,再結(jié)合

柯西不等式或者利用三角換元方法求得.

【詳解】

1+4-M14-1-A2

由cosZADB+cosZADC=0得—+=0,即2從+/=9,

2x2x12x1x1

解法一：柯西不等式法

由柯西不等式可得（2〃+/）&+“2伍+C『，得伍+4V§,

當且僅當6=半,c=卡時，等號成立.

故b+c的最大值為地.

2

解法二：三角換元方法

42b=3cosac=3sin。，

Z?+c=-^cos^+3sin^=<^-i-9sin(^+^)=^^-sin(^+^),

最大值為手.

故答案為：音

?題型二二維柯西不等式變式型?

1.f(x)=。5%-4-Jx—4的最小值為

【答案】吟》

【分析】運用Aczel不等式即可解.

［詳解］/(X)=A/5X-4-A/X-4=A/5-JX-1-1-VJV-4

_4

當且僅當無一g5即x=?時取等號，

x-41

故/(x)=j5x-4-G7的最小值為竽.

故答案為：—.

5

2.若不等式上+6dj5x+y對任意正實數(shù)x,y都成立，則實數(shù)上的最小值為.

【答案】叵1上屈

55

【分析】運用柯西不等式進行求解即可.

【詳解】由柯西不等式的變形可知7^行=埠-+甲--整理得。手,

N5卜k5

Vx_77

當且僅當丁=丁，即y=25x時等號成立，

5

則左的最小值為畫.

5

故答案為：T

5

3.(24-25高三上?遼寧?月考)已知空間向量a,6,c,若a，b，c在a,b上的正投影數(shù)量分別為1和3,且

\c\=y/15,則e與所成角余弦的最大值等于.

【答案】亞

3

【分析】由向量垂直得到a.6=0，由投影得到ca=忖,。=3而表達出c與。+。所成角余弦值，利用柯

西不等式求出最值，得到答案.

【詳解】因為〃_L/?,所以〃.。=0，

c-a1C'b_III-I

其中耳=1'M=3，故。,〃=卜|。/7=3網(wǎng)，

(a+Z?)=a+2a-b+b=忖+|/?|,

c\a+b\c-a+c-bH+3H

則e與a+b所成角余弦值為IcIIa+b,|=L"=LI|2，

\\-\\岳+\b\小駒+w

由柯西不等式得J1+卜『爐工+3w,當且僅當3口=舊時，等號成立,

。("+6)_問+3可<V10_V6

故麗T西笆《樂F，

所以C與“+6所成角余弦的最大值為YS.

3

故答案為：當

【點睛】柯西不等式：^a2+b2-^c2+d2>{ac+bd^,當且僅當㈤=歷時，等號成立.

4.(2024?北京朝陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/(尤)=Jx-f+"尤一爐的最大值為()

A.IB.72C.2D.20

【答案】C

【分析】由柯西不等式求解即可.

【詳解】/(尤)=Jx(l-x)+Jx(4-x),由1;x*x2"］。，解得04x<l,

當x=0時，/(x)=0,當尤=1,于(x)=6,

當0<x<l,則/'(x)>0,

止匕時l-x>0且4-x>0,

由柯西不等式可得口+Jx（4-＜[x+（4-x）][（l-x）+x]=4,

當且僅當戶=土三，即工=”時取等號，此時尸（力＜4,BP/（x）＜2,

1—xx5

所以函數(shù)/（x）=Jx—d+144--的最大值為2.

故選：C.

5.（23-24高三上?上海奉賢?期中）對于平面曲線S上任意一點尸和曲線7上任意一點。，稱IPQI的最小

值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線S:y=J7和曲線T：y="l-（尤—3）2，則曲線S與曲線T的距離為（）

A.巫-1B.叵C.V2-1D.2

22"

【答案】A

【分析】先根據(jù)距離公式算出|尸。|）然后利用柯西不等式合+即"如+⑹—+屋）代入求解即可.

【詳解】解：由題意得：

設(shè)尸（工,衣）,。（々,）

2

則|尸°「=（々一不了+（71-（%2-3）一日了

=尤22+X；―2尤]尤？+]—（尤2—3）+尤1—2fl—（x?一3）一■J%]

=（6_2玉）（無2—3）—2J1—（x?—3）,J%+無J—5X1+10

根據(jù)柯西不等式：（6+尸）（c2+J2）＞（ac+bd）。

ac+bd2-+）（c-+力）

于是|尸。「=（6—2七）（々-3）-2J1--3）2?衣+X；一5玉+10

>4（6_2±）2+4占?J（々-3）2+1-（無2-3）2+X；一5%+10

=-2dxj-5改+9+xj—5玉+9+1

令1x；-5%+9=t,貝卜=J,-g]+->

故I尸2「=〃_2,+]=?_1）22（半_1]=怛q2平一1

故d=「QL=4

故選：A

?題型三二維柯西不等式三角型.

1.(2024?浙江?一模)若sinx+cosy+sin(%+y)=2,則sinx的最小值是()

A.0B.2-gC.3-"D.；

【答案】C

【分析】先把己知整理成2-sinx=(sinx+l)cosy+cosxsiny的形式，再把等式的右邊利用柯西不等式進行

放縮，得到關(guān)于sinx的一元二次不等式進行求解.

【詳解1由已知sin%+cosy+sinxcosy+cosxsiny=2整理得

2-sinx=(sin%+l)cosy+cosxsiny,

由柯西不等式得

(sinX+l)cosy+cosxsiny<^(1+sinx)*2+cos2x?Jcos」y+sin」y=j2+2sinx,

當(sinx+1)siny=cosycosx時取等號，

所以(2-sinx)2<2+2sinx,即sin2x-6sinx+2<0,

解得3-J7?sinxW1,所以sinx的最小值為3-J7.

故選：C.

CQ

2.<:人的最小值為_______________________

2sinx+35cosx+6

【答案】"

，/、585242

【分析】/⑴=3?+3v=3^+爐…,進而利用權(quán)方和不等式可求最小值?

58

【詳解】/(%)=------2--------'-------9------

2sinx+35cosx+6

52?42〉(5+4『_巴

5(2sin2%+3)2(5cos2x+6^10(sin2x+cos2x)+2737

、尺

當且僅當語in52x+3)=2(5co4s"+6)，即sinx=±.,cosx=±2*取等號,

58

所以/(%)=----2------1-----2-----的最小值為三.

2sinx+35cosx+6

故答案為：—

4

3.（2025?浙江杭州?模擬預(yù)測）已知VASC面積為1,邊上的中線為3￡>,CE,KBD=jCE,則邊

AC的最小值為.

【答案】叵

3

【分析】設(shè)助CE=G'CG=3x'?由三角形面積公式得到心出q再由余弦定理得到

,13-12cos6

AC=2令z=13-12三,得到I3=12cos，+zsin，，結(jié)合柯西不等式進而可求解.

V18sin6>sine/

【詳解】設(shè)2。CE=G,

易知G為VABC的重心,

44

又BDtCE,由重心為中線三等分點可得：BG=-CG,

211

同時SBGC=gSBCD=]SABC=§,

設(shè)CG=3x,Z.CGD=6,

貝BG-4x,GD=2x,

2

則SBGC=（3x）（4x）sin（7i-0）=6xsin6=；,

所以/=1

18sin<9

13-12cos￡

由余弦定理可得：AC=2CD=+9/一i2fcos。=2.

18sin<9

令Z=13T2?S。,求其最小值即可,

sine/

上式化簡可得：13=12cos0+zsin0<1^（122+z2）（cos26^+sin20^=V122+z2

也即z2>132-122=25當且僅當55抽9+1285。=13時取得等號,

J13-12cos<9

所以AC=2

V18sin。

故答案為：羋

題型四三維(多維)柯西不等式

【技巧通法?提分快招】

2

(Q；+~\----------FX"；+。；+力；H----------F2(〃，］+。202+a3b3H-----------F。也葭)?當且僅當

q:b1—a2?b?—??**—c1n:bn時,*7

1.柯西不等式的三元形式如下:對實數(shù)%,%，生和偽也,優(yōu)，有(吊+區(qū)+d)("+以+片)2+a2b2+a3b3)2，

當且僅當?=今=*等號成立，已知Y+y2+z2=i4,請你用柯西不等式，求出尤+2y+3z的最大值是

4及4

()

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)柯西不等式的三元形式，構(gòu)造(f+y2+z2)02+22+32)“x+2y+3z)2求解即可.

【詳解】因為/+產(chǎn)+22=14,

根據(jù)題目中柯西不等式的三元形式可知(尤2+y2+z2)(l2+22+32)>(x+2y+3z)2,

所以(x+2y+3zjV14xl4,x+2y+3z<14

X=1

當且僅當］=(=：,即y=2時等號成立,

123卜=3

所以x+2y+3z的最大值是14,

故選：A

2.已知〃，b,CGR,滿足(〃+2)2+加+(。+1)2=12,則a+b+c的最大值為()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)柯西不等式的等號成立條件，即可求出Q+0+c的最大值.

【詳角軍】設(shè)。+2=墳，b=v,c+l=〃，可得M+F+〃2=12,

所以a+b+c=w+u+〃-3.

因為(叩+口+4<(12+12+l2)(w2+v2+I/2)=36,

所以-6Ww+u+6,

當且僅當w=v=〃=2,墳+"+〃取得最大值6,

此時〃+2=Z?=c+l=2,

所以〃+Z?+c的最大值為6-3=3.

故選：B.

3.（23-24高三上?陜西咸陽?月考）若+而++4=8）"為偶數(shù)），則%出+%/+。3。4+，

的最小值為（）

A.25B.8C.-8D.-25

【答案】C

【分析】利用柯西不等式求解.

【詳解】由柯西不等式，得（。；+靖++〃；++"：）之+。2〃3++。〃—I%+AM）2,

:?（。1。2+〃2a3++〃〃-尸48x8,

-8<+a2a3+。3〃4++an-ian+<8,

當幺=&=旦==-=%=_1且+時,

a2a3a4anax

即同=同=|%|==|?-||=|。"|="叵",且［,。3,。5,與。2，。4,。6,…異號時,

%a?+a2a3+a3a4++an-ian+anai=一8,

aa

則01a2+42a3+a3a4++%%+?i的最小值為-8.

選：C.

4.（2024高二下.北京.競賽）對于c>0,若非零實數(shù)a,b滿足4a2-2ab+4b2-c^O,且使|2。+可

342

最大，則--y+-的最小值為.

【答案】-5

【分析】根據(jù)等式先配方出平方和1-再利用柯西不等式，湊出|2a+6|,以等號成立的條件為

依據(jù)，把三3-；4+*2轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)，求最值即可.

abc

【詳解】因為4/_2必+462—c=0,所以￡="。防+〃/口-2丫+”氏

424；16

「---|2

、Jb\V1562

>2a——H----b7'—r==2a+Z7|7,

_I4j4^15]11

3

當3+.最大時，有，所以〃=二人，c=10Z?2,

A/15

342_342_1f1Y2_1f1V

所以,—另+1_—l+—~b~5{b~J—

2

當[=5,即b時，上式取得最小值-5.

b5

故答案為：-5.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查柯西不等式，關(guān)鍵在于用柯西不等式湊出|2a+”,當反推柯西不等式時，

需要結(jié)合不等式兩邊已有的式子，對相同未知數(shù)的系數(shù)進行分析配湊.

5.(24-25高三上?上海楊浦?期末)已知平面向量。，b,e滿足同=1,網(wǎng)=2,(“->)年=。且=。.記

平面向量d在人。方向上的數(shù)量投影分別為一九向量d-a在萬方向上的數(shù)量投影為z,則對任意滿足

條件的向量c,代數(shù)式d+9+z?的最小值是.

2

【答案】1/0.4

【分析】設(shè)a=(l,0),6=(0,2),c=(辦磯，由平面向量的知識可得2x+y土君z=2,再結(jié)合柯西不等式即可

得解.

【詳解】令。=(1,0),萬=(O,2),c=(m,〃)，因為(d-b)Y=。，故(1,一2>(?1,〃)=。，：.m-2n=0,

令3=(2”,〃),平面向量)在凰6方向上的投影分別為羽兒

設(shè)d=(x,y),貝lj：d-a=^x-l,y'),(d-a^-c=2n(x-l)+ny,\c\=y[5\n\,

從而：z=(±fh=^y-2n)故力+y土石z=2

|c|6同

22222

由柯西不等式可得2x+=2<^2+1+(-^).7X+/+Z

化簡得=當且僅當2=J.=*,

105xyz

即X=2,y=1,z=-且時取等號，故Y+V+Z?的最小值為1?.

5555

2

故答案為：—

6.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知a,Z?,c>0,且a+=

(1)求a。/的最小值m；

(2)證明：mabc+(a+b)c2>m2.

【答案】(1)4

⑵證明見解析

【分析】(1)將等式變形為a+b+c=a+6+；+；,再利用基本不等式，

22

(2)對已知條件。+匕+°=%2兩邊同除或，可得\+二+工=。，再利用柯西不等式求證.

abbeac

【詳解】⑴由均值不等式可知"+"。="+"尹1"色三’即漏"杵!’(當且僅當

。=6，=1時，”力成立).

2

整理得a6c224,故abc?的最小值為4.

(2)由(1)知771=4,即證4abe+(a+b)<?224~,由o+b+c=aZ?c2可得--+-—I-----=c,

abbeac

BP有4abe+(a+b)c2=(4ab+ac+bc)c=(4QZ;+ac+bc)(—+—+—),

abacbe

由柯西不等式可知(4ab+ac+bc)(—+—+—)>Ci4ab--+.ac--+.be--)2=(2+1+1)2=42,

abacbeVab\ac\be

4ab_acbe

取等條件為工=工=工，即Q=b=g=l.故4abe+3+。)，242,

abacbe

即：mabc+(4Z+b)c2>m2

?題型五權(quán)方和不等式基本型?

【技巧通法?提分快招】

1、很多題目是不會直接可以利用權(quán)方和不等式解決的，需要進行一定的配湊與變形.

2、權(quán)方和不等式的特征是分子的事指數(shù)比分母的幕指數(shù)大1,用于“知和求和型”快速求最值，本質(zhì)還是代

數(shù)式常數(shù)化.另外，一定要驗證等號成立條件.

1.則函數(shù)/(%)=3+丁，的最小值為()

x1一3隊3)

A.16B.25C.36D.49

【詳解】因為a,b,x,y,則當且僅當q=2時等號成立,

xyx+yxy

XO<x<-,BPl-3x>0,于是得/(x)=二+」一2-°：、)―-=49,

3v73xl-3x3x+(l-3x)

141

當且僅當一即％=三時取

xl-3x7

所以函數(shù)的"x)=q+\|^O<x<￡|最小值為49.故選：D

2.(24-25高三下?遼寧葫蘆島?月考)權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很

廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a,b,X,y>0,貝l］d+，2但皿，當且僅當q=2時等號成立.根據(jù)權(quán)

xyx+yxy

方和不等式，函數(shù)〃另=修+告］。<X<:］的最小值為（）

x1-3x13）

A.39B.52C.49D.36

【答案】B

鼻2A2

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式的定義，將函數(shù)/（%）變形為：/（力=二+二二+3,再根據(jù)權(quán)方和不等式求出

3x1—3x

最小值即可.

、￥缶八甲斗,"\3X+316916342+3[0<x<—

r【詳角軍】因為/(x)=-------+--------=—+-------+3=—+--------

xl-3x3xl-3x3xl-3x

因為0<x<；,所以l—3x>0,3x>0,

根據(jù)權(quán)方和不等式有：2+工+329+4)_+3=52,

3xl-3x3x+l-3x

341

當且僅當?=T1時，即X=:時等號成立.

所以函數(shù)/（力=如0+普（0<*<與的最小值為52.

x1—JX15J

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)權(quán)方和不等式定義將函數(shù)解析式變形，從而利用權(quán)方和不等式求

最值.

22

3.已知。>0,b>0,且x+y=l,貝!J■的最小值是__.

x+2y+1

/?//+?」；當上=上21

【詳解】：即尤=t，y=：時，等號成立.

x+2y+1x+y+34x+2y+1

4.已知x>0,y>0,且;7^一+」~7=1，則x+2y的最小值為________

2x+yy+1

【答案】^3+—

【詳解】

/、…丁6”為"b2(a+b)2

權(quán)方和不等式：1-----------,

xyx+y

1=^—+—龐Q+同n2x+4y+34+2技

2x+y3y+32x+4y+3

所以x+2y..豆+1,當且僅當尤=工y=時取等號.

2233

故答案為：6+—.

?題型六權(quán)方和不等式的推廣型?

a2b2c2

1.已知x,y,z>0且x+y+z=l,a,b,。為常數(shù)，則一十幺+J的最小值為()

xyz

A.a2+Z?2+c2B.3(?2+Z?2+C2)

C.(a+Z?+c)3D.前三個答案都不對

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可求最小值.

【詳解】根據(jù)柯西不等式，有

2221

abc(a+b+c),、2

——+——+——>------------=(za+b+cY,

xyzx+y+z

ahc

等號當一=—=->0時取得，因此所求最小值為3+"。,

xyz

故選：D.

X222

2.已知正數(shù)九，九z滿足x+y+z=l,則——+^v—+一z丁的最小值為

y+2zz+2xx+2y

【答案】:

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因為正數(shù)X,y滿足x+y+z=l,

所以上+上(x+y+z『」，

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

即x=y=z=g時取等號.

當?shù)﹥H當y+2z一z+2x一x+2y

故答案為：

3.已知x+2y+3z+4〃+5V=30,求f+2/+3z?+4/+5-的最小值為

【答案】60

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

22

22222(2y『(3Z)2(4)(5V)

x2+2y2+3z2+4u2+5v2=-+^^-+^-+^―M+

12345

【詳解】2

(x+2y+3z+4〃+5v)302

>------------------------------=-----=60

1+2+3+4+515

當且僅當x=y=z="="時取等號

故答案為：60

?題型七權(quán)方和不等式三角型?

14

1.函數(shù)/=二廠+」廠的最小值是.

sinxcosx

【答案】9

【詳解】由sin2x+cos2%=l,

14(1+2)2°

y=—^+——^~r=9

sinxcosxsin%+cosx

當」丁=二丁時，等號成立.

sin2xcos2x

14

所以函數(shù)y=」1+」廠的最小值是9.

sinxcosx

故答案為：9.

1Q

2.已知正實數(shù)x、y且滿足x+y=l,求F+二的最小值_______.

xy

【答案】27

【分析】設(shè)x=cos%,y=sin2a,夕[。,]],由權(quán)方和不等式計算可得.

【詳解】設(shè)工=￡：0520：,y=sin2a,

18I323(1+2)3

由權(quán)方和不等式，可知；7+》=/,?+/,、2.1—~~」V=27,

“ycosaIsina)cosa+sina)

當且僅當一^21?

即x=§，)=§時取等號，

cosasin2a

1Q

所以r+二的最小值為27.

尤y

故答案為：27

3.(2024?四川?模擬預(yù)測)“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀80年代初命名的.其具

nz+1m+1/n+1琛+1(〃1+%+〃3++。廣

體內(nèi)容為:設(shè)?！?gt;0,">0,〃eN*,〃z>0,則―+―+工+------二----當---且---僅---------------------

b；3+H+&++次

當=$一吟時，等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，若當空+」_取得最小值時，x

仄b2b3b“V2）siiircosx

的值為（）

A.烏B.四C.四D.史

126312

【答案】C

【分析】由給定的權(quán)方和不等式定義處理即可.

【詳解】由題意得，siiw>0,cos無>0,

333

3A/31弟,(3+1/

2

貝|二一+-----48

sinxcosxii

(sin2%尸(cos2(sin2x+cos2x)，

當且僅當二二=」，即cosx=：時等號成立，所以x=g.

smxcosx23

故選：C.

03

實戰(zhàn)檢測?分層突破驗成效

?檢測I組重難知識鞏固?

1.實數(shù)加，“，X,y滿足加+/=4,x2+y2=b（a^b）,那么7加+79的最大值為（）.

A.*B.UC.、歸還D.

2V22

【答案】B

【分析】根據(jù)柯西不得式（?+〃?<（療+叫（V+力，直接計算結(jié)果.

【詳解】由柯西不等式（〃式+，”/+叫（/+力=<?6

等號成立的條件是沖=",

所以inx+ny的最大值是J石.

故選：B

【點睛】本題考查柯西不等式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

2.實數(shù)x、y滿足3爐+4;/=12,貝|z=2x+6y的最小值是（）

A.-5B.-6C.3D.4

【答案】A

【分析】由3f+4y2=12得;+：=1,運用柯西不等式有］9+向(16+9以2》+技；『，進而得解.

【詳解】解：；實數(shù)x、y滿足3/+4丁=12,

-5<2X+A/3J<5,

當且僅當3gx=8y時取等號，

.?.z=2x+gy的最小值是—5.

故選：A.

【點睛】考查柯西不等式的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.

3.已知a,b>0,a+b=5,則Ja+1+Jb+3的最大值為()

A.18B.9C.3&D.2后

【答案】C

【分析】利用柯西不等式，即可求出+工I的最大值.

【詳解】由題意，+w(l+l)(a+l+b+3)=18,

當且僅當yja+l=Jb+3時等號成立，

73

.??當〃=—,b=一時，

22

故Ja+l+"+3的最大值為3A/L

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)的最值，考查柯西不等式的運用，正確運用柯西不等式是關(guān)鍵.屬于較易題.

4.若實數(shù)x+2y+3z=l,則V+V+z?的最小值為()

A.14B.—C.29D.—

1429

【答案】B

【分析】直接利用柯西不等式得到答案.

22222

【詳解】根據(jù)柯西不等式：(x+/+z)(l+4+9)>2+2y+3z=l,^x+y+z>^,

113

當且僅當x=jy=gz=9時等號成立.

14714

故選：B.

【點睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學(xué)生對于柯西不等式的應(yīng)用能力.

5.柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的.而后來有兩位數(shù)

學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.

該不等式的三兀形式如下：對實數(shù)'和"1也也:‘有+而+6；+以"（〃也+%%+。34）等

號成立當且僅當?=*=魯已知尤2+y2+z2=i4，，請你用柯西不等式，求出x+2y+3zi的最大值是（）

4%4

A.14B.12C.10