第13講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

思維導(dǎo)圖

8析教材學(xué)知識(shí)

s知識(shí)點(diǎn)1正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、正比例函數(shù)的概念

正比例函數(shù)是指形如y=kx（k，0）的函數(shù)，其中k是常數(shù)，稱為比例系數(shù)。正比例函數(shù)描述了兩個(gè)變量之間

的直接比例關(guān)系，即當(dāng)一個(gè)變量增大時(shí)，另一個(gè)變量也按相同的比例增大。

二、正比例函數(shù)的圖像

正比例函數(shù)的圖像是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線。這條直線的斜率等于比例系數(shù)ko

1.當(dāng)k>0時(shí)，直線從左下方向右上方延伸，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨X的增大而增大。

2.當(dāng)k<0時(shí)，直線從左上方向右下方延伸，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。

在平面直角坐標(biāo)系中，可以通過(guò)描點(diǎn)法來(lái)畫出正比例函數(shù)的圖像。首先選取幾個(gè)易于計(jì)算的點(diǎn)，如（1,k）、

（2,2k）等，然后在坐標(biāo)系中標(biāo)出這些點(diǎn)，最后用直線連接這些點(diǎn)即可得到正比例函數(shù)的圖像。

三、正比例函數(shù)的性質(zhì)

1.增減性：當(dāng)k>0時(shí)，隨著x的增大，y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，隨著x的增大，y減小。

2.直線性：正比例函數(shù)的圖像是一條直線，具有線性性質(zhì)。

3.過(guò)原點(diǎn)：正比例函數(shù)的圖像總是經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）。

4.對(duì)稱性：正比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果點(diǎn)（xi，yi）在正比例函數(shù)的圖像上，那么點(diǎn)（-xi，-yi）

也在圖像上。

叵知識(shí)點(diǎn)2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、一次函數(shù)的圖象

一次函數(shù)y=kx+b（k,b為常數(shù)，原0）的圖象是一條直線。這條直線的位置由斜率k和截距b共同決定。

1.當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右上升，即y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右下降，即y隨x的增

大而減小。

2.b決定直線與y軸的交點(diǎn)位置。當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)b<0

時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸。

二、一次函數(shù)的性質(zhì)

1.在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，任意一點(diǎn)P（x,y）都滿足等式y(tǒng)=kx+b。

2.一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,b）,與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/k,0）。

3.k和b的值決定了直線經(jīng)過(guò)的象限。例如，當(dāng)k>0且b>0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限。

三、分段函數(shù)

對(duì)于某些量，不能用一個(gè)解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，這

樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)。在解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍，分段考慮問(wèn)題。

練習(xí)題講典例

教材習(xí)題01

己知三個(gè)函數(shù)的解析式分別為弘=3/必=尤,

（1）如圖，請(qǐng)?jiān)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的

大致圖象，并標(biāo)記好函數(shù)；

（2）仔細(xì)觀察畫出的函數(shù)圖象，寫出3條函數(shù)的圖象特

征.

(2)性質(zhì)1,三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y都

隨著X的增大而增大；

性質(zhì)2,三個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)

(0,0)；

性質(zhì)3,三個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)一、

三象限，

(1)解：一次函數(shù)y=-2+2自變量x的

取值范圍是全體實(shí)數(shù).

故答案為：全體實(shí)數(shù).

(2)當(dāng)x=-l時(shí)，

y=~^x+2=-^-x(-l)+2=2.5,

教材習(xí)題03當(dāng)x=0時(shí)，

已知一次函數(shù)y=-(x+2.

y=----x+2=-----x0+2=2,

22

(1)自變量x的取值范圍是；當(dāng)x=2時(shí)，

(2)將下面列表表示的部分?jǐn)?shù)值補(bǔ)充完整;

1c1cC1

y=----%+2=-----x2+2=I,

22

X......-2-I0I2......

列表補(bǔ)充完整如下:

y......31.5......

X......-2-I0I2......

(3)在下圖中畫出該函數(shù)的圖象;

y......32.521.52......

(4)該圖象與x軸的父點(diǎn)坐標(biāo)是

解得：x=4,

故該圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(4.0).

故答案為：(4.0).

(1)解：???一次函數(shù)y的圖

像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2)和(1,T).

.(_k+b=2

-［左+萬(wàn)二-4

教材習(xí)題04|>二一3

解得：1

一次函數(shù)>=履+6的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(T2)和(1,T).7

(1)求這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)；???這個(gè)一次函數(shù)表達(dá)為y=-3x-i；

⑵若點(diǎn)A(2私》),8(根-1,%)在該一次函數(shù)的圖像(2)解：y=-3%-1,k——3<0,

二y隨犬的增大而減小，

上，且求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

:點(diǎn)A(2根,％),8(機(jī)一1,%)在該一

次函數(shù)的圖像上，且％<%，

2m>m—1,

解得：m>-l.

練考點(diǎn)強(qiáng)知識(shí)

考點(diǎn)一、判斷一次函數(shù)圖象

1.一次函數(shù)y=笈+上與正比例函數(shù)>=-履的大致圖象是()

【答案】D

【分析】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖象.此類題可用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答.根據(jù)正比例函

數(shù)圖象所在的象限判定k的符號(hào)，根據(jù)k的符號(hào)來(lái)判定一次函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的象限即可.

【詳解】解：A、正比例函數(shù)了=-辰與一次函數(shù)，=依+上的自變量系數(shù)上互為相反數(shù).故該選項(xiàng)不符合題

思；

B、正比例函數(shù)＞=-日與一次函數(shù)y=^+上的自變量系數(shù)互為相反數(shù).故該選項(xiàng)不符合題意;

C、正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則上＜0,那么一次函數(shù)、=笈+上應(yīng)經(jīng)過(guò)二、三、四象限，故該選

項(xiàng)不符合題意;

D、正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三象限，貝蛛＞0,那么一次函數(shù)、=履+左經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故該選項(xiàng)

符合題意.

故選：D.

2.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=()

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，分后＞0和左＜0兩種情況，討論出直線經(jīng)過(guò)的象限，再作出選擇即可.

【詳解】解：當(dāng)后＞0時(shí)，、=丘+左的圖象過(guò)一、二、三象限；y=-履的圖象過(guò)二、四象限;

當(dāng)左＜0時(shí)，，=履+左的圖象過(guò)二、三、四象限；y=-五的圖象過(guò)一、三象限;

可見，符合條件的只有B.

故選：B.

3.已知一次函數(shù)y=Ax+2（左片0）的函數(shù)值y隨X的減小而增大，則該函數(shù)的圖象大致是（）

【分析】本題主要考查了判斷一次函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)值y隨X的減小而增大，得出左＜0,再根據(jù)當(dāng)x=o

是，y=2可得出一次函數(shù)與y軸交于正半軸，即可得出答案.

【詳解】解：?.?已知一次函數(shù)丁=辰+2億片0）的函數(shù)值y隨x的減小而增大,

＜0,

且當(dāng)x=0是，y=2,

一次函數(shù)與y軸交于正半軸，

故選：C

考點(diǎn)二、正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正比例函數(shù)y=履化中。）的圖象如圖所示，貝必的值可能是（）

A.2B.—2C.D.—

22

【答案】C

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)左＞0,圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨X的增大而

增大；當(dāng)上＜0,圖象經(jīng)過(guò)第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小.利用正比例函數(shù)的性質(zhì)得

到左＜0,再結(jié)合直線y=x為第一、第三象限的角平分線組成的圖象，可得左＜1,然后在此范圍內(nèi)進(jìn)行判

斷即可.

【詳解】解：二?正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限，

女＞0,

如圖，直線y=x為第一、第三象限的角平分線組成的圖象,

：.k<l,

???上的值可以為：%=：，

二選項(xiàng)C符合題意.

故選：C.

2.某正比例函數(shù)y=履經(jīng)過(guò)二、四象限，寫出一個(gè)滿足條件的左的值________.

【答案】-1（答案不唯一）

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于正比例函數(shù)＞=依，當(dāng)左＞0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)一、三象限；當(dāng)上＜0

時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)二、四象限；據(jù)此即可求解.

【詳解】解：：正比例函數(shù)y=區(qū)經(jīng)過(guò)二、四象限,

k<0,

：.k=-l(答案不唯一)

ab{b>0)

3.定義運(yùn)算“※”為：。※人=<

-ab(b<0)，

川

5-

4-

3-

2-

1-

-4-3-2-\O~\2345x

-1-

-2-

-3-

一4-

⑴計(jì)算：3X4；

(2)畫出函數(shù)丁=2派工的圖象.

【答案】⑴12；

⑵見解析

【分析】本題考查了新定義運(yùn)算、畫正比例函數(shù)圖象，理解新定義是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題干所給定義計(jì)算即可得解;

(2)由題意可得：當(dāng)時(shí)，y與X的關(guān)系式為y=2x；當(dāng)XV。時(shí)，y與龍的關(guān)系式為y=-2x；再畫出

函數(shù)圖象即可.

【詳解】⑴解：?.?4之0,

「.3X4=3x4=12；

(2)解：由題意可得：當(dāng)％之0時(shí)，y與冗的關(guān)系式為y=2x；

當(dāng)％<0時(shí)，y與X的關(guān)系式為y=-2x；

列表如下：

X-2-1012

y42024

描點(diǎn)、連線，如圖所示.

考點(diǎn)三、一次函數(shù)的增減性

1.已知一次函數(shù)y=依-左過(guò)點(diǎn)（-1,4）,下列結(jié)論正確的是（）

A.y隨尤的增大而增大B.左的值為2

C.當(dāng)X>-1時(shí)，y>4D.圖象不經(jīng)過(guò)第三象限

【答案】D

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及

函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,??一次函數(shù)產(chǎn)履一左過(guò)點(diǎn)（T4）,

：.4=-k-k,

解得：k=-2,

???一次函數(shù)解析式為y=-2x+2,

A...?一次函數(shù)解析式為y=-2x+2,

隨x的增大而減小，原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B....一次函數(shù)解析式為>=-2尤+2,

：.k=-2,原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.：一次函數(shù)解析式為>=-2尤+2,

...當(dāng)x>-l時(shí)，y<4,原結(jié)論錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

D...?一次函數(shù)解析式為y=-2x+2,

.?.圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，原結(jié)論正確，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

2.已知一次函數(shù)y=（左-l）x-2,y隨尤的增大而減小，那么左的取值范圍是.

【答案】k<l

【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

一次函數(shù)>=依+6（左W0）,當(dāng)左<0時(shí)，y隨X的增大而減小.據(jù)此列式解答即可.

【詳解】解：：一次函數(shù),=（左-1戶-2,>隨尤的增大而減小，

k<l.

故答案為：k<l

3.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，一次函數(shù)切=尿+6化工。)的圖象過(guò)點(diǎn)(o,2)和(1,3).

⑴求3b的值；

⑵當(dāng)x>l時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)％=履+6的值與函數(shù)%=，小(加二。)的值之和都大于6,直接寫出機(jī)

的取值范圍.

【答案】(1)左=1,6=2

(2)m>3

【分析】本題考查了求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的增減性，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

(1)將點(diǎn)(0,2)和(1,3)代入一次函數(shù)yi=kx+b(k^6)求解即可得;

(2)先求出當(dāng)x=l時(shí)，％=3,再根據(jù)函數(shù)的增減性求解即可得.

【詳解】(1)解：看一次函數(shù)乃=區(qū)+6(無(wú)。。)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,3),

.jk+b=3

,%=2'

解得k=l力=2.

(2)解：由(1)可知，％=x+2,

X隨尤的增大而增大，

當(dāng)x=l時(shí)，％=1+2=3,

...當(dāng)x>l時(shí),%>3,

要使得當(dāng)X>1時(shí)，對(duì)于X的每一個(gè)值，函數(shù)％=履+6的值與函數(shù)%=3：(7〃片0)的值之和都大于6,

則上隨x的增大而增大，且當(dāng)x=l時(shí)，y2>6-3,即%23,

m>3.

考點(diǎn)四、一次函數(shù)的平移

1.在平面直角坐標(biāo)系中，若要使直線%=-4x+4平移后得到直線y2=-4x-4,則應(yīng)將直線以()

A.沿y軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B.沿y軸向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

C.沿x軸向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度D.沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】C

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：右加左減，上

加下減.利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，右加左減，上加下減，即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)將直線％=-4尤+4向左平移。個(gè)單位后得到直線%=T(x+a)+4(a>0),

-4(x+ci)+4=—4x—4,

解得：a=2,

故將直線％=-4%+4向左平移2個(gè)單位后得到直線y2=-4x-4,

故選：C.

2.將一次函數(shù)y=2x+l先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式

是.

【答案】—

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】解：將一次函數(shù)y=2尤+1先向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的函數(shù)

表達(dá)式是y=2（x-1）+1-l=2x-2,

即y=2x-2,

故答案為：y=2x-2.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(-2,0),8(1,4).

(1)求直線A3的解析式；

(2)將直線向下平移4個(gè)單位后得到直線/,直線/與y軸交于點(diǎn)M,求AABM的面積.

48

【答案】(i)y=§x+3；

⑵6

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì).

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先求得。7=4,根據(jù)AABM的面積=SACB材+SACBA，求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)直線的解析式的解析式為？=丘+匕，

/、/、1—2左+6=0

將點(diǎn)A(-2,0),3(1,4)代入得［+6=4,

解得二，

直線AB的解析式的解析式為丁=g4x+g8；

（2）解：記直線AB與y軸的交點(diǎn)C,

：將直線AB向下平移4個(gè)單位后得到直線I,直線/與y軸交于點(diǎn)M,

CM=4,

AABM的面積=S、CBM+S&CBA=5CW-曷一“=/義4x（1+2）=6.

考點(diǎn)五、一次函數(shù)的對(duì)稱

1.已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線丁="-3（左為常數(shù)，且左20）與直線y=2x+6（6為常數(shù)）關(guān)于y軸

對(duì)稱，則h6的值依次為（）

A.-3、2B.2、-3C.-2、-3D.一2、3

【答案】C

【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的計(jì)算，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)的計(jì)算是關(guān)

鍵.

根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的計(jì)算得到各自的交點(diǎn)坐標(biāo)，由關(guān)于y軸對(duì)稱得到6=-3,由此

即可求解.

3

【詳解】解：直線>3（%為常數(shù)，且左。0）中，當(dāng)％=0時(shí)，y=—3,當(dāng)y=0時(shí)，1==,

k

??.該直線與X軸的交點(diǎn)為Y，o）,與y軸的交點(diǎn)為（0,-3）,

h

直線y=2x+6（b為常數(shù)）中，當(dāng)x=0時(shí)，y=b,當(dāng)；y=0時(shí)，x=--,

...該直線與x軸的交點(diǎn)為與y軸的交點(diǎn)為（0,6）,

?直線y=米-3（左為常數(shù)，且左#0）與直線y=2x+6（b為常數(shù)）關(guān)于了軸對(duì)稱，

IO

解得，k=—2,

故選：C.

2.已知一次函數(shù)的圖像與直線y=x+2關(guān)于X軸對(duì)稱，則一次函數(shù)的表達(dá)式為.

【答案】y=-X-2

【分析】本題主要考查一次函數(shù)與幾何變換問(wèn)題，求一次函數(shù)表達(dá)式，首先求出直線丫=尤+2與y軸的交點(diǎn)

為（0,2）,與工軸的交點(diǎn)為（-2,0）,然后根據(jù)題意求出一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0,-2）,與x軸的交點(diǎn)為（-2,0）,

然后利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解：y=x+2,當(dāng)無(wú)=0時(shí)，y=2,

當(dāng)y=°時(shí)，x=-2,

直線y=x+2與y軸的交點(diǎn)為（0,2）,與x軸的交點(diǎn)為（-2,。）,

???一次函數(shù)的圖像與直線y=x+2關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱，

，一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0,-2）,與x軸的交點(diǎn)為（-2,0）,

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y

把（0,一2）,（-2,。）代入得，[￡二0,

\m--\

解得：C，

[n=—2

所以，一次函數(shù)的解析式為：y=-x-2.

故答案為：y=—x—2.

3.列表法、解析式法、圖象法是三種表示函數(shù)的方法，它們從不同的角度反映了自變量與函數(shù)值之間的對(duì)

應(yīng)關(guān)系.下表是函數(shù)，=次+6與〉=2%部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

⑴求a和6的值.

(2)m=,并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=2x的圖象.

(3)設(shè)直線％="與直線》=依+6和y=2x分別交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A,B關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，直接寫出〃的值.

[a=—l

【答案】⑴,.

[b=2

(2)4,圖見詳解

⑶-2

【分析】本題考查的是一次函數(shù)與正比例函數(shù)的綜合，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵；

(1)根據(jù)表格信息建立方程組求解的值；

(2)把x=2代入y=2尤求出加，再由表格畫圖即可；

(3)求出48兩點(diǎn)縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A,3關(guān)于x軸對(duì)稱，列方程求解即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=l時(shí)，ax+b=l,即a+b=l,

當(dāng)尤=2時(shí)，ax+b=O,即2a+b=0,

(a+b=lf——1

..,c，解得：，°

[02a+b=0\b—2

(2)解：當(dāng)尤=2時(shí)，y=2x=m,

畫圖如下:

(3)解：令X="，貝I]y=_*+2=_〃+2,y=2x=2n,

當(dāng)點(diǎn)A,2關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱時(shí)，f+2=—2〃，

解得：n——2.

考點(diǎn)六、畫正比例函數(shù)圖象

1.畫出正比例函數(shù)y=-1■尤的圖象

【答案】見解析

【分析】本題考查了畫正比例函數(shù)的圖像，熟練掌握正比例函數(shù)圖像的畫法是解題關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)（0,0）,（2,-1）,畫出函數(shù)圖象，即可.

【詳解】解：當(dāng)x=2時(shí)，y=-；x2=-l,

???正比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2,-1）,

過(guò)點(diǎn)（0,0）,（2,-1）,畫出函數(shù)圖象，如圖,

2.（1）在下圖中畫出y=2x的圖象.

外

5-

4-

3-

2-

1-

II1II_________L1111A

—5—4—3-2-彳_12345%

-2-

-3-

-4-

-5-

（2）若點(diǎn)（3帆，機(jī)-10）在函數(shù)圖象上，求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】（1）作圖見解析；（2）（-6,-12）

【分析】本題考查的是畫正比例函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握“利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象”是解本

題的關(guān)鍵.

（1）先列表，再描點(diǎn)，連線即可；

（2）把代入函數(shù)解析式求處再代入坐標(biāo)即可.

【詳解】解：列表：

X01

y02

描點(diǎn)，連線如圖

(2)解：當(dāng)點(diǎn)(3m,〃L10)在圖象上，

貝!Jm-10=2x3m

解得：m=-2,

把機(jī)=-2代入點(diǎn)的坐標(biāo)(3帆，機(jī)-10)得，(-6,-12)

所以這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,-12).

3.已知一個(gè)正比例函數(shù)和一個(gè)一次函數(shù)，它們的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,1),且一次函數(shù)的圖象與y軸相交于

2(0,3).

年

5-

4-

3-

2-

1-

1111A

-5-4-3-2-\O12345%

-2

-3

-4

-5

(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；

(2)在給出的坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)圖象.

【答案】(1)正比例函數(shù)的解析式為y=-0.5x,一次函數(shù)解析式為y=x+3

(2)見解析

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式，畫函數(shù)圖象，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈

活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)(1)中求出的解析式畫出圖象即可.

【詳解】（1）解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為,=日（b0）,

將尸（-2,1）代入正比例函數(shù)解析式得：—2k=L

解得：左=—0.5,

???正比例函數(shù)的解析式為y=-0.5%,

設(shè)一次函數(shù)解析式為y=￡x+b（K片0）,

（—2lc+b=\

將尸（-2,1）,Q（0,3）代入解析式得：\=3',

解得:kffc=1,

.,.一次函數(shù)解析式為'=X+3；

（2）解：兩個(gè)函數(shù)的圖象如下：

考點(diǎn)七、畫一次函數(shù)圖象

1.作出函數(shù)y=-2尤+4的圖象，并利用圖象回答問(wèn)題:

>

X

⑴作出該函數(shù)圖象；

（2）寫出圖象與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)與y軸的交點(diǎn)8的坐標(biāo)

【答案】（1）見解析

⑵(2,0),(0,4)

【分析】本題考查了畫一次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

是解此題的關(guān)鍵.

(1)求出當(dāng)尤=0時(shí)，'=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=2,再畫出函數(shù)圖象即可得解；

(2)由函數(shù)圖象即可得解.

【詳解】(1)解：在＞=-2尤+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

當(dāng)，=0時(shí)，一2尤+4=0,解得x=2,

故畫出函數(shù)圖象如圖所示：

(2)解：由圖象可得：圖象與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,0),與y軸的交點(diǎn)8的坐標(biāo)(0,4).

2.已知一次函數(shù)》=-3》+3的圖象與無(wú)軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)8.

(1)直接寫出A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)＞=-3*+3的圖象.

【答案】⑴A點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),8點(diǎn)坐標(biāo)(0,3)

(2)見解析

【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的

解析式是解答此題的關(guān)鍵.

(1)令x=0求出y的值，再令、=。求出x的值即可得出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)利用兩點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)x=0時(shí)，＞=3；

當(dāng)y=0時(shí)，—3x+3=0,

解得：x=l,

AA（1,O）,5（0,3）；

（2）解：一次函數(shù)的圖象如圖:

3.一次函數(shù)y=kx+b{kw0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1）和點(diǎn)（2,7）.

八

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

1111_______________L????.

-4-3-2-IO12345x

-1-

-2-

（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在所給的坐標(biāo)系中，畫出一次函數(shù)的圖象.

【答案】（l）y=2尤+3

（2）畫圖見解析

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)法畫直線即可；

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，畫一次函數(shù)圖象，正確求出一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：：一次函數(shù)〉=丘+〃心0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,1）和點(diǎn)（2,7）

.f—k+b=l

，[2k+b=lf

[k=2

解得，c，

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2X+3；

3

(2)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=。時(shí)，x=—,

2

過(guò)點(diǎn)和電3)畫直線，如圖所示：

考點(diǎn)八、求一次函數(shù)解析式

1.已知丫="+6,當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)x=-2時(shí)，y=9.

⑴求出鼠b的值；

(2)當(dāng)x43時(shí)，求y的取值范圍.

【答案】⑴左=-2,6=5

⑵”-1

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

(1)把兩組x,y對(duì)應(yīng)的值分別代入函數(shù)式中，解二元一次方程組，即可求得結(jié)果；

(2)求出x=3時(shí)的函數(shù)值，利用函數(shù)的增減性質(zhì)即可求解.

(k+b=3[k=—2

【詳解】⑴解：由題意得：,C，解得：,<，

[-2k+o=9也=5

即上=—2,6=5；

(2)解：由(1)得：y=-2x+5,

當(dāng)x=3時(shí)，y=3x(-2)+5=-l,

.一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)-2<0,

函數(shù)值y隨x的增大而減小，

.?.當(dāng)x43,y>-l.

2.(1)若y-2與2X+3成正比例，且當(dāng)x=l時(shí)，y=12.求y與x的函數(shù)解析式.

(2)已知一次函數(shù)>=履+6的圖象與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(2,6).求該一次函數(shù)的解析式.

【答案】(1)y=4x+8；(2)y=x+4

【分析】本題考查的是成正比例的含義，一次函數(shù)的平移問(wèn)題，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.

(1)設(shè)丁一2=左(2彳+3),把x=l,y=12代入求解即可;

(2)利用一次函數(shù)的平移以及待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】解:(1)設(shè)y-2=%(2x+3),

把x=l,y=12代入得12-2=5左，

解得左=2,

所以y-2=2（2x+3）,

所以，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=4無(wú)+8；

k=l

(2)由條件可得

2k+b=6

k=T

解得

6=4

該一次函數(shù)的表達(dá)式為y=尤+4.

3.已知一次函數(shù)>=履+6,它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0)和(1,8).

(1)一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)第象限，y隨x的增大而.

(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

(3)當(dāng)-24yW10時(shí)，直接寫出自變量尤的取值范圍.

【答案】(1)一、二、三，增大

(2)y=2尤+6

(3)-4<x<2

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，正確地求出函數(shù)的解析式是解題

的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：???一次函數(shù)>=履+6,它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0)和(1,8),

.??一次函數(shù)y=履+。的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，y隨x的增大而增大，

故答案為：一、二、三，增大.

(2)解：把點(diǎn)(一3,0)和(1,8)代入、=區(qū)+6得

j-3k+b=0

U+Z?=8'

k=2

解得

6=6

與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+6；

⑶解：當(dāng)y=-2時(shí)，x=4當(dāng)y=10時(shí)，x=2,

.?.當(dāng)—24y410時(shí)，自變量X的取值范圍為-44x42.

8串知雙識(shí)框架

知識(shí)導(dǎo)圖記憶

過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升

1.將直線y=2x向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,6）,則b的值是（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律

是解題關(guān)鍵.

由題意求得直線平移后的解析式為y=2x-4,把點(diǎn)A（l,6）的坐標(biāo)代入，即可求解.

【詳解】解：將直線y=2尤向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=2x-4,

直線y=2x-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,力，

，得：2x1—4=》，解得：b=—2.

故選：D.

2.關(guān)于一次函數(shù)y=4無(wú)+1的性質(zhì)及其圖象，下列說(shuō)法正確的是（）

A.，的值隨x值的增大而減小

B.該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限

C.點(diǎn)（T-3）一定在函數(shù)圖象上

D.（-2,%）和（3,%）是圖象上兩點(diǎn)，則%>必

【答案】C

【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳角星】解：：y=4尤+1,4>0,1>0,

???圖象過(guò)一，二，三象限，y的值隨x值的增大而增大，故A,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)x=T時(shí)，y=4x（-l）+l=-3,

???點(diǎn)（--3）一定在函數(shù)圖象上；故C選項(xiàng)正確；

???（-2,乂）和（3,必）是圖象上兩點(diǎn)，且-2<3,

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

3.已知點(diǎn)A（T,%）,3（5,%）均在函數(shù)>=-3x的圖象上，則（）

A.%>必B.%<丫2C.%=必D.%4必

【答案】A

【分析】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題中一次函數(shù)y隨著x

的增大而減小即可得出答案.

【詳解】解：?.?一次函數(shù)y=-3x,左=一3<0,

隨著X的增大而減小.

?I<5,

■■■%>%,

故選：A.

4.下列關(guān)于函數(shù)y=2x-3的性質(zhì)說(shuō)法正確的是（）

A.圖象不經(jīng)過(guò)第二象限B.圖象與y軸交于點(diǎn)（0,3）

C.圖象與x軸交于點(diǎn)（LO）D.y隨x的增大而減小

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.根

據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：：后=2>O,b=-3<0,

該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限，故選項(xiàng)A正確；

該函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)（^，°），（0,-3）,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤；

該函數(shù)y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

5.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線、=區(qū)-左與>=質(zhì)的圖象可能是（）

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象綜合，根據(jù)函數(shù)圖象分別求出正比例函數(shù)比例系

數(shù)的符號(hào)以及一次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的符號(hào)，看是否一致即可得到答案.

【詳解】解：A、由正比例函數(shù)y=h圖象可知左<0,則-左>0,一次函數(shù)y=依-左經(jīng)過(guò)第一、二、四象

限，但圖中一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三、四象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、由正比例函數(shù)y=依圖象可知％＜0,則-左＞0,一次函數(shù)、=區(qū)-左經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，圖中一次

函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故此選項(xiàng)符合題意；

C、由正比例函數(shù)y=丘圖象可知左＜0,則-k＞0,一次函數(shù)丫=履-上經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，但圖中一

次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、由正比例函數(shù)y="圖象可知左＞0,貝1J-左＜0,一次函數(shù)＞=履-左經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，但圖中一次

函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、三象限，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

6.將直線y=3x向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后直線的解析式為.

【答案】—

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，根據(jù)一次函數(shù)圖象平移的規(guī)律“上加下減”（對(duì)于y=^+6,

向上平移〃個(gè)單位時(shí)，解析式變?yōu)椤?履+。+”;向下平移，個(gè)單位時(shí)，解析式變?yōu)椤?辰+6-”），對(duì)直線

y=3x進(jìn)行平移.

【詳解】解：直線y=3x向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)“上加下減”原則，平移后直線的解析式為y=3x+4,

故答案為：y=3x+4.

7.若點(diǎn)（TyJ,。,必）在直線y=4x上，則%,上的大小關(guān)系是.

【答案】必＜丫2

【分析】本題主要考查了比較正比例函數(shù)的函數(shù)值大小,根據(jù)解析式可得y隨X增大而增大,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：：在y=4x中，4＞0,

隨尤增大而增大，

?.?點(diǎn)（1,必）在直線，=以上,且—i＜i,

,

故答案為：

8.若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則函數(shù)的解析式可以為.

【答案】y=xT（答案不唯一，滿足人＞0,少40即可）

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，

根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限可知4＞0,6W。，選擇符合題意的即可.

【詳解】解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)、=履+。的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，

所以左＞0,640,

函數(shù)解析式為＞=x-i（答案不唯一）.

故答案為：y=x-i（答案不唯一，滿足4＞o,bvo即可）.

9.一次函數(shù)y=（左-1）無(wú)+左+2的圖象與y軸正半軸相交，且y隨x增大而減小，則上的取值范圍是.

【答案】-2＜女＜1/1＞人＞-2

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系.利用函數(shù)的增減性可以判定其比例系數(shù)的符號(hào)，利用

與y軸正半軸相交可以判斷常數(shù)項(xiàng)，列出一元一次不等式組，求解從而確定上的取值范圍.

優(yōu)+2>0

【詳解】解：根據(jù)題意有：71八，

［左一1<0

解得：—2<k<1,

故答案為：-2<k<l.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x和y=的圖象分別為直線4、4,過(guò)點(diǎn)作X軸的

垂線交4于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)4作y軸的垂線交4于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)4作X軸的垂線交4于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A,作y軸的垂

線交4于點(diǎn)A,……依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)4儂的橫坐標(biāo)為.

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、兩直線平行或相交問(wèn)題以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類.由

題意分別求出4、4、AQ&、A、4、4的坐標(biāo)，找出4”一或4“的橫坐標(biāo)的規(guī)律，即可求解.

【詳解】解：,??過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線交交4于點(diǎn)人,過(guò)點(diǎn)4作y軸的垂線交6于點(diǎn)43,過(guò)點(diǎn)4作x軸

的垂線交4于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)4作丁軸的垂線交4于點(diǎn)45，……依次進(jìn)行下去，

，A與劣橫坐標(biāo)相同，4與4縱坐標(biāo)相同，

???當(dāng)犬=1時(shí)，y=1,

???4(U),

???當(dāng)y=1時(shí)，%=-2,

4(-2,1),

同理得：4(―2,—2),A(4,—2),4(4,4),4(-8,4),4(-8,-8)...

Ai的橫坐標(biāo)為：(-2尸，的橫坐標(biāo)為(-2廣，

In=2024,

n=1012,

1011

■■AO24的橫坐標(biāo)為：(-2)必2—=-2,

故答案為：-21011.

11.用你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的方法畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)7=5x；

(2)y=--x.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了正比例函數(shù)的圖象.

(1)根據(jù)函數(shù)y=5x的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)和(1,5),畫出圖象即可；

(2)根據(jù)函數(shù)y=-|x的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)和畫出圖象即可.

【詳解】(1)解：y=5元的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)和(1,5),其圖象為：

(2)解：正比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)(0,0)和11,-?，其圖象為:

12.用“描點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=3x-2的圖象.

【答案】見解析

【分析】確定出函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，然后利用兩點(diǎn)確定一條直線作出函數(shù)圖象即可.

【詳解】解：尤=0時(shí)，＞=一2；x=l時(shí)，y=l,

所以函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,-2),(1,1),

函數(shù)圖象如圖所示.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象，熟悉“兩點(diǎn)法”作一次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

13.如圖1,光滑桌面AB的長(zhǎng)為120cm,兩端垂直放置擋板AC和3D,小球尸（看作一點(diǎn)）從擋板AC出

發(fā)，勻速向擋板3。運(yùn)動(dòng)，撞擊擋板后反彈，以原速返回?fù)醢錋C,過(guò)程中小球和擋板AC的距離y（cm）

與時(shí)間Ms）的關(guān)系圖象如圖2所示.（注：小球和擋板的厚度忽略不計(jì)，撞擊和反彈時(shí)間忽略不計(jì)）

D

JUu5

圖1圖2

（1）圖中加=,n=,小球的速度為cm/s.

（2）求圖2中直線所的函數(shù)解析式.

【答案】（1）24,120,10

（2）y=-10%+240

【分析】本題考查了從函數(shù)圖象獲取信息，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是正確從圖中

獲取相關(guān)信息.

（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知”=120,小球到達(dá)8。時(shí)x=12,進(jìn)而可求出加和小球的速度；

（2）用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】（1）解：由函數(shù)圖象可知”=120,小球到達(dá)時(shí)x=12,

小球的速度為120+2=10（cm/s）.

???撞擊擋板8。后反彈，以原速返回?fù)醢錋C,

〃z=12x2=24（s）.

故答案為：24,120,10；

（2）解：設(shè)直線跖的函數(shù)解析式為丫=丘+匕，

把E(12,120),歹(24,0)代入,

12女+6=120

得:

24k+b=0

k=-W

解得:

。=240'

/.y=-10x+240.

14.如圖，直線/分別交X軸和y軸于點(diǎn)A,B,A(3,o),AB=713.

(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，VA3c的面積為4,求直線8C的解析式.

【答案】(1)3(0,2)

⑵y=2尤+2

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，掌握這些知識(shí)

是關(guān)鍵.

(1)由點(diǎn)A的坐標(biāo)得。4=3,在R3OAB中由勾股定理可求得的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)8的坐標(biāo);

(2)由面積求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求解.

【詳解】(1)解：I4(3,0),

04=3；

V(9A2+OB2=AB2,AB=岳,

OB=NAB2-O#=V13-9=2，

3(0,2).

(2)解：如圖，設(shè)。(九0),m<0,貝ijAC=3-%,

2

**?—(3—rri)x2=4,

2

即加=—1,

???C(-1,O)；

b=2

設(shè)直線2C解析式為丁=丘+6,把2、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得：