課程基本信息課例編號2020QJ09SXRJ031學科數(shù)學年級初三學期第一學期課題22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)復習教科書書名：數(shù)學（九年級上冊）出版社：人民教育出版社出版日期：2014年3月教學目標教學目標：復習二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).教學重點：用數(shù)形結(jié)合的思想，畫二次函數(shù)的圖象，并研究性質(zhì).教學難點：在不同條件下，選用合適的方法畫二次函數(shù)圖象，并研究性質(zhì).教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動8min復習前幾節(jié)課所學的關于二次函數(shù)圖象的知識通過前幾節(jié)課的學習，同學們通過列表，描點，連線的方法，畫了許多個二次函數(shù)的圖象，并且從這些圖象中歸納出了二次函數(shù)的性質(zhì)；二是由不在同一直線上的三個點的坐標，其中任意兩點的連線不與軸平行，利用待定系數(shù)法，求經(jīng)過這三個點的二次函數(shù)解析式。總體來說，在研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，我們采用的研究方法是：從簡單到復雜，從特殊到一般.具體來說，有如下三個階段：1.這個階段，我們從形式最簡單的二次函數(shù)開始畫圖象，接著改變二次項系數(shù)繼續(xù)畫了幾個圖象，進而歸納出二次項系數(shù)決定了二次函數(shù)圖象的開口方向和開口大小.并且對圖象的對稱軸，頂點坐標，函數(shù)的增減性有了初步的認識.2.這個階段，我們同樣先畫圖，再歸納出形如的二次函數(shù)圖象可以由的圖象經(jīng)過平移得到，平移的方向和距離根據(jù)的值來確定，同時，還可以得到圖象的開口方向，對稱軸，頂點坐標，函數(shù)的增減性等信息.3.這個階段，我們歸納出，一個具有一般形式的二次函數(shù)，可以通過配方法，轉(zhuǎn)化為第二階段中我們研究過的形式，因此，可以很容易地得到相應的函數(shù)的圖象和性質(zhì).15min結(jié)合例題，體會在不同條件下如何運用所學知識，判定二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1已知二次函數(shù).（1）它的圖象能否由函數(shù)的圖象平移得到？如果可以，應如何平移？（2）它的圖象能否由函數(shù)的圖象平移得到？如果可以，應如何平移？解：我們已經(jīng)知道，二次函數(shù)中，二次項系數(shù)決定函數(shù)圖象的開口方向和開口大小.第（1）問中這兩個函數(shù)的二次項系數(shù)不同，因此二次函數(shù)的圖象不能由函數(shù)QUOTEy=x2的圖象平移得到.第（2）問中這兩個函數(shù)的二次項系數(shù)相同，因此二次函數(shù)的圖象能由函數(shù)的圖象平移得到.那么如何平移呢？我們舉個例子。如圖所示，這兩個二次函數(shù)的圖象可以通過相互平移得到。我們發(fā)現(xiàn)，如果我們知道了兩個圖象的頂點之間如何平移，那么，兩個圖象之間一定也是按照相同的方式進行平移的。因此，我們需要先求出這兩個函數(shù)圖象的頂點坐標。求頂點坐標一般有兩個方法方法一：利用配方法，由此可得函數(shù)圖象的頂點坐標為，而函數(shù)圖象的頂點坐標為，很顯然，點先向右平移1個單位，再向上平移1個單位，就可以得到點。所以，對函數(shù)圖象作出相同的平移操作即可。由此可知，先將的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，就可以得到的圖象.當然，這里也可以先向上，再向右平移。方法二：直接利用頂點坐標公式計算二次函數(shù)圖象的頂點坐標，我們只需要將對應的系數(shù)代入計算即可。需要注意的是，計算縱坐標時，同學們?nèi)绻X得公式不好記，可以只記住橫坐標是，算出橫坐標后，代入函數(shù)解析式就可以得到縱坐標，這樣一般可以提高計算速度和準確率。這里我們同樣可以算出函數(shù)圖象的頂點坐標為，而函數(shù)圖象的頂點坐標為.同理可知，先將的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，就可以得到的圖象.例2已知二次函數(shù).（1）當時，這個二次函數(shù)有最大值還是最小值？這個值是多少？（2）若這個二次函數(shù)圖象的對稱軸在軸左側(cè)，求的取值范圍.（3）若時，隨的增大而增大，求的取值范圍.解：（1）當時，我們研究的是二次函數(shù).它的圖象開口向下，因此頂點就是圖象的最高點，那么函數(shù)就有最大值，這個最大值就是頂點的縱坐標。求這個縱坐標有兩種方法.方法一：利用配方法，因此頂點坐標是，即函數(shù)的最大值是.方法二：二次函數(shù)圖象的頂點縱坐標是，我們利用公式計算得到，即函數(shù)的最大值是.同樣地，我們也可以先利用頂點坐標公式計算橫坐標是1，再將代入函數(shù)解析式計算縱坐標。（2）我們需要研究對稱軸的位置，利用對稱軸公式計算得到對稱軸是直線，由已知對稱軸在軸左側(cè)，如圖所示，根據(jù)圖象可以直接得到，這就是所求的范圍.（3）由于這個二次函數(shù)圖象的開口向下，因此在對稱軸左側(cè)，才會隨的增大而增大.如圖所示，當對稱軸是直線時，這個函數(shù)滿足條件當時，隨的增大而增大。那對稱軸一定是直線嗎？同學們可以先思考一下。我們來看這個例子，如果對稱軸是直線，如圖所示，在對稱軸左側(cè)，也就是當時，隨的增大而增大.這樣也滿足題目條件當時，隨的增大而增大。同學們可以再選擇幾個對稱軸位置畫函數(shù)圖象，實際感受一下。我們不難發(fā)現(xiàn)，直線及其右側(cè)任意一條垂直于軸的直線，都可以是對稱軸.由第（2）問的結(jié)論，對稱軸是直線，我們可以得到的范圍是.例3已知一個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是，且該圖象還經(jīng)過點.（1）求這個二次函數(shù)的解析式和的值.（2）若直線與這個二次函數(shù)圖象交于兩點，且線段的長度大于4，求的取值范圍.解：（1）求二次函數(shù)解析式，常用待定系數(shù)法，我們這里介紹兩種方法。方法一：如圖所示，由頂點坐標可以確定對稱軸是直線，再根據(jù)對稱性，除了點外，這個圖象一定也經(jīng)過點.這樣就得到了二次函數(shù)圖象上三個點的坐標。設所求二次函數(shù)表達式為.由上述分析得方程組解這個方程組，得.所求二次函數(shù)是.將代入上述解析式可得的值為3.方法二：由于頂點坐標為，因此設所求二次函數(shù)為.由于該圖象經(jīng)過點，得.解得.我們會發(fā)現(xiàn)方法二中，解方程比方法一簡單，也就是說，已知頂點坐標的情況下，方法二的設法比方法一更便于計算。因此所求二次函數(shù)是.這個形式經(jīng)化簡與方法一的結(jié)果是一致的。同理可得的值為3.（2）直線垂直于軸，它與二次函數(shù)圖象的交點確定的線段長度大于4.我們首先研究的情況。根據(jù)圖象的對稱性，我們知道，兩點到對稱軸直線的距離都是2，因此它們的橫坐標分別是5和1.橫坐標是5的點，恰好在第（1）問中計算過，它的坐標是。那么另一個點坐標一定是。這兩點之間的距離恰好是4.那么根據(jù)圖象，滿足題意的直線一定在直線上方，也就是說，的取值范圍是。2min小結(jié)，留作業(yè)講解完這三個例題后，我們對這節(jié)課的內(nèi)容進行一下總結(jié)1.研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。畫圖象能非常直觀、快速地得到二次函數(shù)的性質(zhì)。因此，同學們在解決二次函數(shù)的相關問題時，一定要養(yǎng)成先畫圖象的習慣。2.求二次函數(shù)圖象的頂點坐標時，可以用配方法，