2024—2025學年度第二學期高一年級第二次練習

數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共有9個小題，每小題5分，每個小題只有一個正確選項，請將答案填涂

到答題卡相應(yīng)位置上）

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為（—2，—1）,則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)1=（）

A.-2-1B.-2+1c.2+iD.2-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)L再求出共輾復(fù)數(shù)作答.

【詳解】依題意，z=—2—i，所以復(fù)數(shù)z的共甄復(fù)數(shù)』=—2+i-

故選：B

2.樣本數(shù)據(jù)16,21,18,28,14,20,22,24的第75百分位數(shù)為（）

A.16B.17C.23D.24

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.

【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為：14,16,18,20,21,22,24,28,

22+24

又8x75%=6,所以第75百分位數(shù)為-------=23.

2

故選：C

3.若根，w為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是（）

A.若mHa,m//夕，則a〃夕B.若m_La,a夕，則mH0

C.若WJUa,m_1_夕，則a_L夕D.若mua,aJ_夕，則m_LP

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐項判斷即可.

【詳解】解：對于A,若m//a,m//P，則a與夕可能相交，故A錯誤；

對于B,若機J_a,a1/],則相〃夕或“zu夕，故B錯誤;

對于C,根據(jù)面面垂直的判定定理可得，若"zua,加上廠，則a_LP，故C正確;

對于D,若相ua,a±J3,則機可能與夕平行或相交，故D錯誤.

故選:C.

4.楊村四中組織“我愛共青團”知識測試，隨機調(diào)查高一年級100名學生，將他們的測試成績(滿分100

分)按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成五組得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確

的是()

頻率

0.030--............］—1

0.025....................

0.020-.............r-\

0.015t..m.......ll

506070809011)0虛績/分

A.圖中x=0.001

B.估計樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為93分

C.測試成績高于80分的人數(shù)為45人

D.若每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點值為代表，則這100名學生成績的平均數(shù)為79.5分

【答案】D

【解析】

【分析】由所有矩形面積和為1,用頻率分布直方圖估計百分位數(shù)，平均數(shù)，樣本估計總體逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由(x+0.015+0.020+0.025+0.030)x10=1,解得％=0.010,故A錯誤；

對于B,設(shè)第80百分位數(shù)為。，

由0.1+0.15+0.2+0.3=0.75<0.8,0.1+0.15+0.2+0.3+0.25>0.8,

所以a?90/00),則0.75+(a—90)x0.025=0.8,解得°=92,故B錯誤；

對于C,測試成績高于80分的頻率為83+0.25=0.55,故測試成績高于80分的人數(shù)為0.55x100=55

人，故c錯誤；

對于D,這100名學生成績的平均數(shù)為

55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5,故D正確，

故選：D.

5.已知向量滿足,卜1,卜+2/?|=2,且(匕一2a)_Lb,則卜卜()

A.|B.—C.2D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由僅一2a）_l_b得/=212力，結(jié)合忖=1,卜+20=2,得1+44.5+4//=1+6二=4，由此即

可得解.

【詳解】因為僅一24，人，所以僅一24力=0,即/=2°/，

又因為卜|=1,卜+2力=2,

所以1+4〃為+4/?=1+6。=4，

從而卜卜日.

故選：B.

6.在VABC中，ZA=60°,f=bc，則VABC一定是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不確定

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理結(jié)合題意化簡即可判斷VA3C的形狀.

【詳解】在VABC中，因為A=60°,a2=bc，

2

所以由余弦定理可得6=i>-+c--2bccosA=b+c~-be，

所以方c=Z?2+c?—Z?c,即0—c）~=0,

所以b=c,結(jié)合A=60°,可得VA3C一定是等邊三角形.

故選：A.

7.若甲組樣本數(shù)據(jù)x2,%.（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為2,方差為5,乙組樣本數(shù)據(jù)3為+a,

3x2+a,3x“+。的平均數(shù)為5,則下列說法不正確的是（）

A.。的值為一1B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為45

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的關(guān)系，可判定A、B正確，根據(jù)極差的概念，可判定C正確，

根據(jù)中位數(shù)的計算方法，可得判定D正確.

【詳解】由甲組樣本數(shù)據(jù)A，%,…，%（數(shù)據(jù)各不相同）的平均數(shù)為最=2,方差為d=5，

乙組樣本數(shù)據(jù)3芯+。，3x2+tz,3x“+a的平均數(shù)為5,

可得我+a=5，即3x2+a=5,解得a=—1，所以A正確；

設(shè)乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為可得S；=32XS2=45,所以B正確；

不妨設(shè)為＜々＜＜\,則甲組數(shù)據(jù)的極差為乙-西，

乙組數(shù)據(jù)的極差為（3x?+a）-（3工1+a）=3（x“-西），

因為甲組數(shù)據(jù)各不相同，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不相等，所以C正確；

設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為加，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3m-1,

若機=3〃z-1,可得加=工，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相同，所以D不正確.

2

故選：D.

8.已知側(cè)棱長為2的正三棱錐的四個頂點都在一個球的球面上，且三個側(cè)面兩兩垂直，則這個球的表面積

為（）

A.48兀B.24無C.12兀D.6兀

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，把正三棱錐S-A5C放置在一個棱長為2的正方體內(nèi)，得到正三棱錐S-ABC的外

接球即為此正方體的外接球，結(jié)合正方體的性質(zhì)，求得外接球的半徑R=石，結(jié)合球的表面積公式，即

可求解.

【詳解】如圖所示，正三棱錐S-ABC,滿足&1=SB=SC,且三個側(cè)面兩兩垂直，

可以把正三棱錐S-A3C放置在一個棱長為2的正方體內(nèi)，

可得正三棱錐S-A5C的外接球即為此正方體的外接球，

設(shè)正三棱錐S—A5C的外接球的半徑為R,則2R=亞布廠百=2豆，即氏=百，

所以正三棱錐S-A5C的外接球的表面積為5=4兀火2=12兀.

故選：C.

9.下列五個命題：

①若向量?！?,b//c>則?！╟；

②投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，一定有50次“正面朝上”；

③若甲組數(shù)據(jù)的方差是0.03,乙組數(shù)據(jù)的方差是0.1,則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定；

④分別投擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)A="第一枚正面朝上”，3="第二枚正面朝上"，事件C="兩枚硬幣

朝上的面相同"，則A、B、C三個事件兩兩獨立；

⑤設(shè)A與8是一個隨機試驗中的兩個事件，則P（4.B）=P（A）+P（B）.

以上5個命題正確的是（）

A.②④B.③⑤C.①③D.③④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，逐個分析5個命題的真假，綜合即可得正確答案.

【詳解】當b為零向量時，向量a〃6，0〃c得不出:〃K故①錯誤；

投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，可能有50次“正面朝上”，故②錯誤；

由0.03<0.1,可知甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故③正確；

因為P（A）=3,P（3）=。，P（C）=；，P（AB）=P（AC）=P（BC）=1,

由尸（AB）=P（A）.尸（3）,P（BC）=P（B）P（C）,P（AC）=P（A）-P（C）,

則A、3、C三個事件兩兩獨立，因此④正確；

A與3是一個隨機試驗中兩個事件，不一定為互斥事件，所以3）=P（A）+尸（3）不一定成立，

故⑤錯誤.

故選：D

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3

分，全部答對的給5分.

10.復(fù)數(shù)Z滿足(l+i)2z=2—4i,則|z|=

【答案】75

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義及性質(zhì)求解.

【詳解】因為（l+iyz=2—4i,

2—4i

所以z=(M7,

I?2-4i

所以z

1+1

故答案為：yf5

11.楊村四中為了解學生對我校前期校園藝術(shù)節(jié)活動的關(guān)注度，利用分層抽樣的方法從高中三個年級中抽

取了36人進行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了15人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學生720

人，則該高中的學生總數(shù)為人.

【答案】2880

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得每個學生被抽到的概率，結(jié)合分層抽樣列出方程，即可求解.

【詳解】利用分層抽樣的方法從三個年級中抽取了36人進行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了15

人,12人，可得高三年級抽取了9人，

91

又由高三年級共有720名學生，則每個學生被抽到的概率為p=許=而，

H1

設(shè)該校共有〃名學生，可得一=一，解得”=2880（人），

n80

即該校共有2880名學生.

故答案為：2880.

12.已知向量b滿足忖=3,忖=5,且4=（0,3）,設(shè)。與6的夾角為60。，則6在。上的投影向量的

坐標為.

【答案】m

【解析】

【分析】由投影向量的公式求解即可.

【詳解】匕在〃上的投影向量的坐標為:

ba_3x5-cos60°a5[(。,3)=[。,%

——Cl

同同一336

故答案為:

13.如圖，用斜二測畫法畫水平放置的VAQ3的直觀圖得二AO'5'(/x'Oy=45°),其中VA03的面積為

40O'B'=2，則其直觀圖中O'B'邊上的高A'C'的長度為

【答案】2

【解析】

【分析】在平面圖形中求出08邊上的高，在直觀圖中過點A作407/0，'交。于點加則A'。'=2后，

再由銳角三角函數(shù)計算可得.

【詳解】如圖在平面圖形中過點A,作交。8于點。，

又OB=O'B,=2，所以SABO=gx03xAD=gx2xAD=40，所以AD=4夜，

直觀圖中過點A'作407/0，'交O'%'于點》，則A'D'=-AD=2y/2,

2

又Nl'D'C'=45°,所以A'C'=AD'sinNA'D'C=2?又顯=2，

2

所以其直觀圖中。8'邊上的高AC的長度為2.

故答案為：2

14.如圖，在正四棱柱ABC?！狝6G。中，AB=BC=3,9=4,則異面直線與片C所成角

的余弦值為；二面角D.-AB-C的正弦值為

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系。-孫z,求得AR=(—3,0,4),用C=(—3,0,T),結(jié)合向量的夾角公式，

即可求出直線與四C所成角的余弦值；分別求得平面。A3和平面ABC的一個法向量為勺結(jié)

合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】如圖，以點。為原點0,。4,。。,。4分別為％，丁*軸的正方向，建立空間直角坐標系

O-xyz,則。(0,0,0),3(3,3,0),A(3,0,0),C(0,3,0),4(3,0,4),4(3,3,4),0(0,3,4),0(0,0,4).

=(-3,0,4),^6=(-3,0,-4),

19-1617

所以cosAD,B]C=i---i-i----r=~/—/=—

}網(wǎng)際IJ(-3)2+42?3)2+(—4)225

7

異面直線AD,與B。所成角的余弦值為《.

AD1=(-3,0,4),AB=(0,3,0),

設(shè)面DXAB一個法向量為4=(x,y,z),

々?AD-0-3x+4z=0

1令x=4,z=3,y=0,

3y=0

nx?AB=0

則5=(4,0,3),設(shè)面ABC一個法向量為%=(0,0,1),

所以二面角D.-AB-C的正弦值為「酊=1.

74

故答案為：—；—.

255

TT3

15.在VABC中，ZBAC=-,AD=3DB,P為CD上一點，且滿足AP=xAC+—AB(XGR),則

35

x的值為；若AC=3,AB=4，則APCD的值為.

i?7

【答案】①.-##0.2②.一

510

【解析】

【分析】利用向量的線性運算及三點共線的條件，再利用平面向量的基本定理及向量的數(shù)量積的運算律即

可求解.

--3

【詳解】因為AD=3D3,所以AD=—A3,

4

因為C、P、。三點共線，

所以CP=kCD,即AP—AC=MA￡>—AC),

一3

又因為APuxAC+^AB,

所以(》一1)40+|43=左［：45-40),且40,43為不共線的非零向量，

x—1——kk=-

5

所以《33,，解得<

—=—k1

154x~—

5

13

所以AP=—AC+巳AB,

55

AD-AC]=\-AC+-AB\-|A5-AC

55

129291,9,97127

——AC+——AB——ACAB=——x32+—x42——x3x4cos-=—

5202052020310

127

故答案為:

510

三、解答題：共75分.解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.

16.復(fù)數(shù)2=〃層（1+。一（5+3?！?+6,當實數(shù)機取什么值時.

（1）z為純虛數(shù);

（2）復(fù)數(shù)z復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第四象限.

【答案】（1）m=2

(2)0<772<2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡，再由純虛數(shù)的概念求解;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限，列出不等式組求解即可.

【小問1詳解】

因為z=zn2(i+i)—(5+3i)?n+6=m2-5m+6+fm2一3加)i為純虛數(shù),

m2-5m+6=0,,

所以2，解得m=2.

m-3m0

【小問2詳解】

因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第四象限，

m2-5m+6>01根（2或相）3

所以12，即《'/，

m-3m<0|^0<m<3

解得0<m<2.

3

17.楊村四中高一年級甲、乙兩位同學參加某項體能測試，甲同學通過的概率為《，乙同學通過的概率為

3

并且在測試過程中甲、乙兩同學互不影響，求下列事件的概率：

4

(1)甲、乙兩同學都能通過；

(2)甲、乙兩同學恰有一人通過；

(3)甲、乙兩同學中至少有一人通過.

9

【答案】(1)—

⑶得

【解析】

分析】(1)用獨立事件概率乘法公式計算即可；

(2)先應(yīng)用對立事件求概率再通過獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式計算即得;

(3)根據(jù)獨立事件概率乘法公式及互斥事件概率和公式計算即得.

【小問1詳解】

339

甲、乙兩同學都能通過的概率為一x—=——；

5420

【小問2詳解】

3(3、331239

甲、乙兩同學恰有一人通過的概率為二x|1--+1--x—=-x—+—x—=—；

514八5J4545420

【小問3詳解】

「3、,3、219

甲、乙兩同學中至少有一人通過概率為1一|1一1M1-：|=1一=乂：二R.

I5八4)5410

18.己知向量b,滿足W=2,忖=3,口與6的夾角為g.

(1)求pa+.的值；

(2)若(2a+b)”版”)，求實數(shù)，的值;

(3)若(2a+b)//,a—b)，求實數(shù)左的值.

【答案】(1)V13

3

⑵k=-

5

(3)k=-2

【解析】

【分析】（1）由已知求出“小，進而根據(jù)已知結(jié)合數(shù)量積的運算律得出（2。+6『，開方即可得出答案；

（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合已知列出方程，求解即可得出答案；

（3）根據(jù)已知可知三丸eR,使得總—b=2（2a+b）,化簡得出方程組，求解即可得出答案.

【小問1詳解】

由已知可得，a-b=|a||z?|costz,Z?=2x3x]-g]=-3,

所以（2a+6）=4t?2+4tz-Z?+Z?2=4x22+4x（—3）+3?=13,

所以,|2a+Z?|=J（2a+b）=^/13-

【小問2詳解】

易知，{la+b^-{ka-b^=2ka2+（^-2）a-Z?-b~=8左一3（左一2）—9=5左一3.

因為（2a+Z?）±（ka-b）,

所以，（2a+b）?（雨一Z?）=0,

3

即5左一3=0,解得k=g.

【小問3詳解】

因為（2a+Z?）//（以-/?）,

所以，32GR,使得總—》=2（2a+）），

整理可得（左一2/l）a—（X+l）b=0.

>-22=0

由Q,Z?的任意性可知，<（丸+1）—0，

X=—1

解得77

[k=-2

19.在VABC中，—A,NB,/C所對的邊分別為〃，b,。，已知sinA:sin_B:sinC=2:l:J5,

b=A/2.

（1）求。的值；

（2）求sinC的值，并求三角形VA5C的面積；

(3)求sin[2C+W)的值.

【答案】（1）272

⑵sinC咚9

⑶3萬+1

16

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及）的值求解即可;

（2）根據(jù)余弦定理及三角形面積公式求解即可;

（3）根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角和的正弦公式求解即可.

【小問1詳解】

abC

根據(jù)正弦定理,

sinAsinBsinC

MsinA:sinB:sinC=2:1:\/2，

因此邊長比例為a：。：c=2:1:J5?

己知人=應(yīng)，設(shè)比例系數(shù)為左，則人=H1=0,解得左=拒.

因止匕a=2k-2-\/2-

【小問2詳解】

由邊長比例得a=2點，b=曰c=42-k=y/2-y[2=2-

利用余弦定理：cosC=巴*―-

2ab

-22_8+2-4_6_3

2x272x72884

=且

因此，sinC=A/1-COS2C=

一4

S=—tz￡?sinC=-x2>/2x^2x—二亙

224242

【小問3詳解】

sin2C=2sinCcosC=2x—=

cos2C=cos2C-sin2C

16-16-8

利用和角公式

sin[2C+￡=sin2Ccos—+cos2Csin—

66

3A/7V311372113721+1

=-----X-----1--X—=--------1----=----------

8282161616

20.學校組織全校學生進行了一次“交通安全知識知多少”的問卷測試.已知所有學生的測試成績均位于

區(qū)間［50,100］,從中隨機抽取了40名學生的測試成績，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

,頻率/組距

a

0.025

0.020

0.015

0.010

05060708090100分數(shù)

（1）求圖中。的值，并估算這40名學生測試成績的眾數(shù)和平均分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

代替）

（2）我校2025年全力推進校園信息化建設(shè).為了更好的幫助同學們了解楊村四中信息化建設(shè)情況，學校

德育處利用比例分配的分層隨機抽樣方法，從［80,90）和［90,100］的學生中抽取7人組成“信息化建設(shè)”

宣講團.

①求應(yīng)從［80,90）和［90,100］學生中分別抽取的學生人數(shù);

②從選定的7人中隨機抽取2人對高一同學進行宣講，寫出這個試驗的樣本空間。；（用恰當?shù)姆柋?/p>

示）

③設(shè)事件人="至少有1人測試成績位于區(qū)間［90,100］”，求在②的條件下事件A的概率.

【答案】（1）0.030,75,74.5

人②答案見解析③口

(2)①5人,2

21

【解析】

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各組頻率之和為1,即可求得。的值，根據(jù)平均數(shù)的計算方法即可求

得答案，由頻率分布直方圖直接得出眾數(shù)；

（2）①根據(jù)兩組的頻率之比，即可求得每組抽取人數(shù)；②依題意即可寫出樣本空間；③根據(jù)古典概型的

概率公式，即可求得答案.

【小問1詳解】

由頻率分布直方圖可得（0.015+0.020+a+0.025+0.010）x10=1,

解得a=0.030；

由頻率分布圖可知眾數(shù)約為75；

估算這40名學生測試成績的平均數(shù)為55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=745

【小問2詳解】

①由圖可得［80,90）和［90,100］這兩組的頻率之比為蒜=g，

故應(yīng)從［80,90）學生中抽取的學生人數(shù)為7x；=5（人），

應(yīng)從［90,100）學生中抽取的學生人數(shù)為7彳=2（人）；

②設(shè)從［80,90）中抽取的5人為。力,。/0從［90,100）學生中抽取的2人為1,2,

則這個試驗的樣本空間為。={ab,ac,ad,ae,al,a2,bc,bd,be,bl,b2,cd,ce,cl,c2,de,dl,d2,el,e2,12）,

共有21個基本事件；

③事件A