專題13特殊三角形章末易錯壓軸題型（20易錯+10壓軸）

Q題型預覽

愚易錯題型

易錯題型一圖形的軸對稱

i.壯麗祖國，一山一水皆是畫卷;秀美江山，一草一木皆是詩篇，一個符號一座城.下列四個省份的徽標

中，是軸對稱圖形的是（）

A.

【答案】C

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形.熟練掌握軸對稱圖形的概念，是解決問題的關鍵.如果一個平面圖

形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.

根據軸對稱圖形的概念逐一判斷，即得.

【詳解】A、不是軸對稱圖形，不合題意;

B、不是軸對稱圖形，不合題意;

C、是軸對稱圖形，符合題意;

D、不是軸對稱圖形，不合題意.

故選：C.

2.習近平主席提至『'人不負青山，青山定不負人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道.如圖有關環(huán)

保的四個圖形中，不是軸對稱圖形的是，（填序號）

①②③④

【答案】①③④

【分析】根據軸對稱圖形的定義，即可進行解答.

【詳解】解：①不是軸對稱圖形，符合題意；

②是軸對稱圖形，不符合題意；

③不是軸對稱圖形，符合題意；

④不是軸對稱圖形，符合題意；

綜上：不是軸對稱圖形的有①③④；

故答案為：①③④.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.

3.如圖是由16個小正方形組成的正方形網格圖，現已將其中的兩個涂黑.請你用四種不同的方法分別在下

圖中再涂黑三個空白的小正方形，使整個圖形成為軸對稱圖形.

【答案】見解析

【分析】根據軸對稱的性質可知，正方形是軸對稱圖形，是四邊的垂直平分線，所以可以先找到正方形的

對稱軸，在對稱圖形中找到相同的部分是軸對稱圖形.

【詳解】解：如圖所示

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質，請注意，要畫軸對稱圖形要先找對稱軸.

易錯題型二根據軸對稱圖形的特征進行求解

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質，結合與關于直線對稱，結合三角形內角和進行列式計算，即可作

答.

故選：B.

【答案】7

【分析】本題考查了軸對稱圖形的特征.根據“關于某直線對稱的圖形對應邊相等”即可求得結果.

故答案為：7.

(1)圖中點C的對應點是點的對應角是」

【答案】⑴區(qū)ZD

(2)3

(3)39°

【分析】本題主要考查了軸對稱，成軸對稱的兩個圖形的全等性：

（1）觀察圖形可直接得出答案；

???圖中點C的對應點是點的對應角是一。；

故答案為：E,ZD.

故答案為：3.

易錯題型三設計軸對稱圖案

7.下圖是由5張全等的正方形組成的，請你補上一個正方形，使它變成軸對稱圖形.（用3種不同的方法）

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了設計軸對稱圖案，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就叫做對稱軸，據此設計圖案即可.

【詳解】解：如圖所示，即為所求.

8.下圖是由5個全等的正方形組成的，請你移動其中一個正方形，使它變成軸對稱圖形.（在網格圖中畫

出4種形狀不同的圖形，涂上陰影）

【答案】見解析

【分析】本題考查作圖一利用軸對稱設計圖案.“軸對稱就是一個圖形的一部分，沿著一條直線折疊，能夠

與另一部分重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形根據軸對稱圖形的定義畫出圖形即可.

【詳解】解：圖形如圖所示：

9.在如圖所示的正方形網格中，已有兩個正方形涂黑，請再將其中的一個空白正方形涂黑，使涂黑部分圖

形是一個軸對稱圖形（最少三種不同方法）.

【答案】見解析

【分析】根據軸對稱圖形的定義，結合題意，補充圖形即可

【詳解】如圖：有5種方法：

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形.軸

對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵.

易錯題型四軸對稱中的實際問題

io.一轎車的車牌在水中的倒影是猛。?"；QE01，則該車的牌照號碼為一.

【分析】根據軸對稱的定義求解，對稱軸取原圖象下方的水平直線.

觸0-MQE01

鄂Q?W6E01

【點睛】本題考查軸對稱的定義，理解軸對稱的定義是解題的關鍵.

11.操作題：臺球桌的形狀是一個長方形，當母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了使母球最終擊中

目標球，擊球者需作出不同的設計，確定擊球方向.如圖，目標球從A點出發(fā)經2點到C點，相當于從4點

出發(fā)直接擊打目標球C,其實質上是圖形的軸對稱變換，關鍵是找母球關于桌邊的對稱點的位置.

(2)在下圖中，請你設計一條路徑，使得球P依次撞擊臺球桌邊AB,反射后，撞到球。.(不寫作法，

保留作圖痕跡.)

(2)見解析

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

【答案】40。/40度

故答案為：40°.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理的應用，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵.

易錯題型五等腰三角形的判定

【答案】(1)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的判定定理：等角對等邊，正確證明兩個三

角形全等是關鍵.

【答案】(1)見解析

⑵12

(2)戶是AC的中點，

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形全等的判定，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形的性質和

三角形全等的判定定理.

易錯題型六等腰三角形的性質

(2)見解析

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是掌握等腰三角形等邊對等角，

三線合一.

【答案】(1)見解析

【分析】本題主要考查折疊的性質，等腰三角形的判定和性質，周角的性質，等邊三角形的判定和性質的

綜合，掌握折疊的性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

(1)根據折疊的性質即可求解；

「當點。在AB的中點，

【分析】本題考查的是三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質與判定，利用分

類討論的思想去解決問題.

，此時不符合題意；

易錯題型七格點中畫等腰三角形

19.如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為1,按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點

上.

(1)在圖1中畫一個以AB為直角邊且面積為3的直角三角形.

(2)在圖2中畫一個以AC為腰的等腰三角形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查作圖應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是

學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型；

(1)根據要求利用數形結合的思想解決問題即可；

(2)根據等腰三角形的定義作出圖形(答案不唯一).

【詳解】(1)解：如圖即為所求；

(2)解：如圖即為所求.

(1)在圖1中，畫以A3為腰的三角形；

(2)在圖2中，畫以為底的三角形.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了在網格中畫等腰三角形，

(1)根據題意畫出以為腰的三角形；

(2)根據題意畫出以為底的三角形.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析;

（3）見解析.

【分析】（1）作點C關于直線的對稱點，再與點A、B首尾順次連接即可；

（2）根據全等三角形的判定，結合網格作圖即可；

（3）根據等腰三角形的特點，結合網格作圖即可.

...△4BO是等腰三角形.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查作圖軸對稱變換、全等三角形以及等腰三角形的性質，解題

的關鍵是掌握軸對稱變換的定義和全等三角形的判定.

易錯題型八等邊三角形的判定

【答案】見解析

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）由題意可得，點尸在線段的垂直平分線與的交點，作出線段的垂直平分線即可;

【詳解】（1）解：由題意可得：點尸在線段的垂直平分線與A3的交點，如下圖：

（2）證明：連接CP,

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，尺規(guī)作圖一垂直平分線，等邊三角形的判定，等邊對等角等

性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質.

【答案】見解析

易錯題型九等邊三角形的性質

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點E和尸的位置是解題的關鍵.要使△PEE的周長最小,

通常是把三邊的和轉化為一條線段，運用三角形三邊關系解決.

??,點尸與點C關于對稱，

/.04垂直平分PC,

故選：A.

恒成立的結論有.(把你認為正確的序號都填上)

【答案】①②③⑤

【分析】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，平行線的判定以及性質.

故①正確；

故②正確；

故③正確；

故④錯誤；

故⑤正確.

,正確的有：①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.

【答案】⑴40。，50°；

(2)見解析

(3)120°

【分析】（1）利用等腰三角形的性質和直角三角形的性質求解即可；

【點睛】此題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形和等邊三角形的性質，直角三角形的性質等知

識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

易錯題型十逆命題和逆定理

A.該命題及其逆命題都是真命題

B.該命題是真命題，其逆命題是假命題

C.該命題是假命題，其逆命題是真命題

D.該命題及其逆命題都是假命題

【答案】B

【分析】本題考查了判斷命題的真假，寫命題的逆命題，寫出逆命題并判斷真假即可.

故選：B.

29.“直角三角形的兩銳角互余.”的逆命題是,它是命題（填“真”或“假”）

【答案】如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形真

【分析】本題主要考查命題與定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個

命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命

題.先根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據直角三角形的判定判斷即可.

【詳解】解：“直角三角形的兩銳角互余.”的逆命題是如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角

三角形，是真命題，

故答案為：如果三角形有兩個銳角互余，那么這個三角形是直角三角形；真.

30.按要求解答下列各小題.

（D請寫出以下命題的逆命題：

①相等的角是內錯角；

（2）判斷（1）中①的原命題和逆命題是否互為逆定理.

⑵不是

【分析】本題考查原命題和逆命題的相關知識，關鍵是明確逆命題的概念.

（1）逆命題就是把原命題的題設和結論換成逆命題的結論和題設，進而求解即可；

（2）根據逆定理的性質求解即可.

【詳解】（1）解：①“相等的角是內錯角”的逆命題；如果兩個角是內錯角，那么這兩個角相等.

（2）解：因為定理首先是真命題，而（1）中①的原命題與逆命題都是假命題，

故（1）中①的原命題和逆命題不是互為逆定理.

易錯題型十一斜邊的中線等于斜邊的一半

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】D

故選：D.

【點睛】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對

等角，三角形外角的性質等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵.

【答案】3.5

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線定理，熟悉掌握斜邊上的中點等于斜邊的一半是解題的關鍵.

根據刻度尺得出AB的距離，再由直角三角形斜邊上的中線定理即可解答.

故答案為：3.5.

【答案】（1）見解析

又為A3的中點，

易錯題型十二含30度角的直角三角形

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質，含有30度角的直角三角形的性質，解題關鍵是理解

含有30度角的直角三角形的性質并能運用.

故選：B.

【答案】2

【分析】本題考查等腰三角形的性質，直角三角形30度的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會

利用面積法解決問題，屬于中考常考題型.

故答案為：2.

【答案】（1）見解析

⑵6

【詳解】（1）「DE垂直平分AB,

【點睛】此題考查了三角形內角和定理，等邊對等角，垂直平分線的性質，含30。角直角三角形的性質，解

題的關鍵是熟練掌握以上知識點.

易錯題型十三勾股定理的證明方法

37.勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證

明勾股定理的是（）.

【答案】A

【分析】本題主要考查勾股定理的證明，先用不同方法表示出圖形中各個部分的面積，利用面積不變得到

等式，變形再判斷即可.

【詳解】解：A.大正方形的面積等于四個矩形的面積的和，

以上公式為完全平方公式，

，A選項不能說明勾股定理，符合題意；

B.由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，

，B選項可以證明勾股定理，不符合題意；

C.大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

??.C選項可以證明勾股定理，不符合題意；

D,大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，

，D選項可以說明勾股定理，不符合題意.

故選：A.

38.在證明勾股定理時，甲乙兩位同學給出了下圖所示的兩種方案，則方案正確的是.（填“甲”

或“乙”）

【答案】乙

【分析】本題考查了列代數式及勾股定理與完全平方公式的驗證，理解題意，結合圖形求解是解題關鍵.根

據圖形列代數式即可得出結果.

故答案為：乙.

【深入思考】

【答案】（1）詳見解析

【分析】本題考查了勾股定理的驗證和運用，全等三角形的性質與判定，理解勾股定理解決問題的關鍵.

（2）證明：由題意得，第一種方法：

第二種方法：

易錯題型十四勾股定理與網格問題

A

【答案】A

故選：A.

【答案】5

【詳解】解：如圖，

，符合要求的C點有5個.

故答案為：5.

42.如圖，每個小正方形的邊長都為1.

(2)7

(3)是，理由見解析

【分析】本題考查了網格與勾股定理，割補法求面積，勾股逆定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

(1)先分別運用勾股定理算出每條邊的長度，再根據周長公式列式計算，即可作答.

(2)運用割補法進行列式計算，即可作答.

故答案為：7；

連接AC,如圖所示：

易錯題型十五用勾股定理解三角形

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，求四邊形的面積，解題關鍵是通過連結對角線，將四邊形問題

轉化為三角形問題求解.

【詳解】解：連接AC,

故選：B.

【答案】3

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接

故答案為：3.

【答案】(1)見解析

⑵13

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵.

答：AE的長是13.

易錯題型十六勾股定理的逆定理

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形內角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定.根據三角形內角和定理、

勾股定理逆定理、直角三角形的判定解決此題.

故選：D.

【答案】(1)90

(2)66

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面積公式.勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊

的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形.

故答案為：90.

故答案為：66.

⑴求AB的長；

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，

對于(1),根據勾股定理計算即可；

易錯題型十七勾股定理的應用

⑴求AB的長；

(2)9cm

【分析】本題考查了勾股定理的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

50.【綜合與實踐】

如圖，每個小方格的面積均為1,圖(1)(2)(3)中以直線三角形三邊向外作正方形A、B、C,圖中正

方形的面積如下：

ABC

圖(1)448

圖⑵—913

圖(3)934

（1）在表格中的橫線上填空.

【提出問題】

（2）根據圖（1）（2）（3）中三個正方形的面積關系，若直角三角形兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長

為c,寫出a,b,c之間的數量關系：.

【解決問題】

（3）根據（2）中的發(fā)現，解決以下問題：

一個垂直于地面的木桿在離地面6米處被折斷，木桿頂端落在離木桿底端8米處，木桿折斷之前有多高？

【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用，勾股定理的證明：

（1）根據網格的特點，結合正方形面積計算公式求解即可；

（3）根據（2）的結論求出BC的長即可得到答案.

【詳解】解：（1）由題意得，圖（2）中正方形A的邊長為2,則其面積為4；

圖（3）中正方形8的邊長為5,則其面積為25；

故答案為：4；25；

51.有一艘游輪即將靠岸，當游輪到達B點后熄滅發(fā)動機，在離水面高度為5m的岸上，工作人員用繩子牽

引靠岸，開始時繩子2C的長為13m.（假設繩子是直的，結果保留根號）

【分析】本題考查勾股定理解應用題，讀懂題意，構造直角三角形求解是解決問題的關鍵.

【詳解】（1）解：如圖所示：

易錯題型十八最短路徑問題

52.如圖，長方體的長為30,寬為20,高為10,點B與點C的距離為5,一只螞蟻沿著長方體的表面從點A

爬到點8,需要爬行的最短距離是（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了兩點之間線段最短，勾股定理，長方體的展開圖，理解題意、掌握立方體的展開

圖是解題關鍵.

將長方體展開，連接A3,根據兩點之間線段最短，即可求解.

【詳解】解：將長方體展開，連接AB,

根據兩點之間線段最短，共有3種情況:

①如圖,

②如圖,

③如圖,

，螞蟻需要爬行的最短距離是25.

故選：B.

【答案】13

【分析】本題考查了圓柱的側面展開，軸對稱距離最短，勾股定理.將杯子側面展開，作點A關于族的對

稱點A,根據兩點之間線段最短可知的長度即最短，利用勾股定理即可解答.

將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A,

連接A3,則A3即為最短距離,

故答案為：13.

(D若要使得C、。兩活動點到地點E的距離相等，則小明所在的E站應在離A站多少km處?

【分析】本題考查了勾股定理的應用以及等角對等邊的性質，利用勾股定理正確建立方程是解題關鍵.

(2)作點。關于的對稱點￡)夕，連接CD'交于點

易錯題型十九用HL證全等

【答案】B

【分析】本題考查運用“HL”證明三角形全等，根據“HL”證明三角形全等的條件即可解答.

故選：B

【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定方法“HL”是解題的關鍵.

根據“HL”判定方法求解即可.

【答案】⑴證明見解析；

(2)20°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形.全等三角形的判定是結合全等三角形的

性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件.

(1)由全等三角形的判定定理HL證得結論；

易錯題型二十全等的性質與HL綜合

【答案】（1）見解析

⑵3

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判

定與性質是解題的關鍵.

即CD的長是3.

【答案】（1）證明見詳解；

（2）證明見詳解；

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，準確識圖，熟練運用相關知識是解題的關鍵；

（1）根據HL直接證明即可；

【答案】（1）見解析

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定，中垂線的性質以及角平分線的判定，熟練掌握是解答本題的

關鍵.

【詳解】（1）證明：如圖，連接03,DC,

100壓軸題型

壓軸題型一軸對稱中的折疊問題

【答案】A

【分析】本題考查平行線的性質，折疊的性質，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

故選：A.

【答案】三90或10

當在C的左側時，

當A在C'的右側時，

90

故答案為：亍或10

【分析】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、平角的定義等知識，熟練掌握折疊的性質和平行線的性

質是解題的關鍵.

故答案為：80；

壓軸題型二軸對稱中的最值問題

【答案】A

【詳解】如圖，作點A關于BC和C。的對稱點4,A",連接44",交BC于M,交CD于N,則4A”即為

△AMV的周長最小值，

*/ZBAD=120°,

：.ZAA'M+ZA"=60°,

VZMA'A=ZMAA',ZNAD=ZA",

：./AMN=2ZAA'M,NANM=2ZA",

：./AMN+/ANM=2(NAA'M+/A")=2x60°=120°,

故選A.

【點睛】本題考查最短路線問題，三角形內角和定理及其推論，利用軸對稱的性質確定M、N的位置是解

題的關鍵.

A.1.2B.2C.2.4D.5

【答案】C

【分析】取點N關于AD的對稱點E,由軸對稱圖形或成軸對稱的性質可推出MN=ME,從而得到CM+

MN=CM+ME,當點C、M、E在一條直線上且CELAB時，CM+MN有最小值，最后利用等面積法求得

CE的值即得.

【詳解】解：取點N關于AD的對稱點E,如下圖：

：AD平分/BAC

.?.點E在AB上

???點N與點E關于AD對稱

AD是N點與E點所連線段的垂直平分線

；.MN=ME

，CM+MN=CM+ME

當CELAB時，CE有最小值，即CM+MN有最小值

.?.CM+MN最小值為：2.4.

故選：C.

【點睛】本題考查最短路徑問題、軸對稱圖形或成軸對稱的性質、角平分線的性質及等面積法，對稱轉化

是解決最短路徑問題的常用方法，本題解題關鍵是將最短路徑問題轉化為垂線段最短的問題.

【答案】4

???點N關于BD的對稱點在54上，

故答案為：4.

壓軸題型三等腰三角形的判定與性質

【答案】35?；?0?；?0°

故答案為：35?；?0。或30。.

【點睛】本題是對等邊三角形的考查，熟練掌握等邊三角形的性質定理及分類討論是解決本題的關鍵.

(1)直接寫出6的值，?=,(3=；

(2)詳見解析

(2)證明：如圖2中，連接。尸.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，因式分解，平行線的判定和性質等知

識，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考

壓軸題.

①根據以上作圖，請寫出一條正確結論：.

【分析】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、三角形面積、折疊的性質、線段垂直

平分線的性質、等腰三角形的性質、尺規(guī)作圖以及平行線的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握折疊的

性質和等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型.

(1)①根據尺規(guī)作圖即可得出結論；

(2)解：①如圖2,連接B。，交HE于點、0,

②分兩種情況：

壓軸題型四等邊三角形的判定與性質

70.央視科教頻道播放的《被數學選中的人》節(jié)目中說到，“數學區(qū)別于其它學科最主要的特征是抽象與推

理”.幾何學習尤其需要我們從復雜的問題中進行抽象，形成一些基本幾何模型，用類比等方法，進行再探

究、推理，以解決新的問題.

（2）見解析

【分析】（1）由全等三角形的判定可得出結論；

設AC和8D交于點0,

71.【概念呈現】

【性質探究】

【拓展應用】

②連接并延長EG,交AC于點用

EG垂直平分CO,

【點睛】本題考查了新定義——“和合’’三角形.熟練掌握新定義，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的

判定和性質，含30度的直角三角形性質，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線性質，是解題有關鍵.

【答案】（1）證明見詳解

⑵①6

【詳解】（1）證明：當點。在線段上時，

當點。在CB延長線上時，如圖，

當點。在BC延長線上時，如圖，

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，兩直線平行同位角相等，等邊對等角，等邊三角形的

判定與性質，三角形的內角和定理等知識點，運用分類討論思想是解題的關鍵.

壓軸題型五等腰（邊）三角形的存在性問題

VD,C是對稱點

???當AD最長時，A,H,。三點在同一條直線上，如圖，

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，三角形的三邊關系的應用，

軸對稱的性質，等腰三角形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

74.如圖所示，AABC中，AB=AC=BC=10厘米，M、N分別從點A、點8同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，

已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當點N第一次到達B點時，M、N同時停止

運動.

c

(1)M、N同時運動多少秒后，M、N兩點重合？

(2)M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形A4MN?

(3)M、N在BC邊上運動時，能否得到以血W為底邊的等腰△4WN,如果存在，請求出此時M、N運動的

時間，如果不存在請說明理由.

【答案】(1)10秒后M、N兩點重合；(2)點M、N運動1秒后，可得到等邊三角形AMN；(3)M、N

40

運動的時間為萬秒，理由見詳解.

【分析】(1)首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M,N的運動路程，N的運動路程比M

的運動路程多10cm,列出方程求解即可；

(2)根據題意設點M、N運動f秒后，可得到等邊三角形AMN,然后表示出AM,AN的長，由于NA等于

60°,所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

(3)首先假設AAMN是等腰三角形，可證出△ACM空△4BN,可得CM=BN,設出運動時間，表示出CM,

的長，列出方程，可解出未知數的值.

【詳解】解：(1)設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，

xx1+10=2%,

解得：x=10；

???10秒后加、N兩點重合；

(2)設點M、N運動f秒后，可得到等邊三角形AMN,如圖①，

c

AB

圖①

AM=txl=t,AN=ABBN=lQ2t,

?..△AMN是等邊三角形，

.".t=10-2t,

，點M、N運動1秒后，可得到等邊三角形AMN.

(3)當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形,

由(1)知10秒時M、N兩點重合，恰好在C處，

如圖②，假設AAMN是等腰三角形，

：.AN=AM,

：.NAMN=NANM,

：.ZAMC=ZANB,

"：AB=BC=AC,

ZVICB是等邊三角形，

：.ZC=ZB,

在和"BN中，

AACM^AABTV(A4S),

CM=BN,

設當點M、N在3C邊上運動時，M,N運動的時間y秒時，是等腰三角形，

/.CM=ylOfNB=302y,CM=NB,

yl0=302y,

40

解得：J=y.故假設成立.

40

二當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰△AMN,此時M、N運動的時間為石秒.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質及判定，關鍵是根據題意設出未知數，理清線段之間的數量關

系.

【答案】（1）見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形的外角的性質；

壓軸題型六直角三角形的壓軸問題

【答案】D

:點E為BC的中點，

故選：D.

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【詳解】解：ED的延長線交BC于點M,連接A￡）并延長交BC于點F,

.?.點A在的垂直平分線上，

???點。在2c的垂直平分線上，

垂直平分2C,

故選：B.

（2）證明見解析

:點8是FG的中點，

:點H是即的中點，

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊

三角形的判定和性質，三角形外角性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

壓軸題型七勾股定理中的折疊問題

79.如圖，三角形紙片ABC,點。是BC邊上一點，連接A。，把AAB。沿著AO翻折，得至lUAE。，DE與

AC交于點G,連接BE交于點E若DG=GE,AF=4,BF=2,AADG的面積為g,則點F到BC的

距離為（）

【答案】B

【分析】首先求出AB。的面積.根據三角形的面積公式求出。尸，設點尸到8。的距離為人，根據:咕。咕

=1-BF-DF,求出8。即可解決問題.

【詳解】解：：OG=GE,

：.SADG=SAEG=-,

AA2

：.SAADE=5,

由翻折可知，^ADB^t.ADE,BELAD,

：.SAABD=SAADE^5,ZBFD=90°,

：.^-（AF+DF）-BF=5,

g（4+DF）?2=5,

：.DF=1,

設點尸到8。的距離為6,

則;皿^叫二:切衣/）/,

故選：B.

【點睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運算等知識，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題.

【分析】分類討論：①當點C落在對角線上時和②當點C'落在對角線AC上時，分別正確作出輔助線，