專題8.17寨的運算(挑戰(zhàn)綜合(壓軸)題分類專題)

(專項練習)

【類型一】幕的運算

【綜合考點①】幕的運算"AA直接運算與化簡

1.(1)2x4-x2—(.^2)(2)(6x，-8丁)+(-2x)-

(打+卜打

2.(1)2x2-(尤2丫(2)3/2/

3.計算：

(1)5a2.(3/)2(2)(12Q3—6Q2+3Q)+3Q

【綜合考點②】幕的運算"AA零指數#*負指數AAA直接運算

4.計算：(萬_3.14)°+[][卜2|-(-1嚴。.

5.計算：

(1)_l2008x4+L1y(7t-5)＜，

+⑵

6.計算：(；)-2+(-^^)°-(T)1

【綜合考點③】幕的運算“AA逆運算舞*化簡求值

7.按要求解答下列各小題.

(1)已知10"=12,10"=3,求IO%”的值；

(2)如果4+36=3,求3"x27"的值；

(3)已知8x2初+16"=26,求相的值.

8.若a"'=/(a>0且加、〃是正整數)，則加=〃.利用上面結論解決下面的問

題：

(1)如果8*=25,求x的值；

(2)如果2%2旬=24,求x的值；

(3)若x=5"'-3,y=4-25"',用含無的代數式表示y.

9.已知4"=a,8"=b,用含。，6的式子表示下列代數式:

(1)求：22，”+3"的值；

⑵求：①24""的值；

②已知2X8"X16=226,求x的值.

【挑戰(zhàn)考點①】幕的運算"A，幕的混合運算

10.計算：

(1)(2fy-f.J

⑵守+(一2)2+3

⑶(15%3y5_10%4,4_20%3,2).(5%3,2)

11.閱讀材料：3,的末尾數字是3,3?的末尾數字是9,3,的末尾數字是7,3,的末尾數

字是1,3,的末尾數字是3,……，觀察規(guī)律，3管『⑶"，????”的末尾數字是1,二⑶)"的

末尾數字是1,；.(34)"x3的末尾數字是3,同理可知，3.+2的末尾數字是9,3"-3的末尾數

字是7.解答下列問題：

(1)32M的末尾數字是,14?022的末尾數字是;

(2)求22°22的末尾數字；

(3)求證：122024+372018能被5整除.

12.(1)已知3"'=6,3"=2，求32ET的值；

(2)已知/+尸+2"46+5=0，求(a-/?)'的值.

【挑戰(zhàn)考點②】幕的運算“A》幕的混合運算逆運算

13.已知/a=2,y3a=3,求(fa)3+(ya)6-(/〉)3a.的值.

200199

14.計算:-2XAJo.5x3j

15.已知/"=2,求(2/"丫-(3尤的值.

【類型二】幕的運算＞*?規(guī)律問題**大小比較

【綜合考點①】幕的運算規(guī)律問題#/圖表問題

16.閱讀材料：根據乘方的意義可得：24=2x2x2x2;34=3x3x3x3;(2x3)4=

(2x3)x(2x3)x(2x3)x(2x3)=(2x2x2x2)x(3x3x3x3),gp24x34=(2x3)4.通過觀察上面

的計算過程，完成以下問題：

(1)計算：86xO.1256=;

(2)由上面的計算可總結出一個規(guī)律：(用字母表示)a”,b"=;

(3)用(2)的規(guī)律計算：-0.42021X(-|)2022X(|)2022

17.(1)填空：21-2°=2(—)；22-2J=2(—)；23-22=2(—)；...

(2)探索(1)中式子的規(guī)律，試寫出第"個等式，并說明第"個等式成立.

(3)W2°+2I+22+...+22021

18.觀察下列有規(guī)律的三行數:

-2,4,-8,16,-32,64…….

0,6,-6,18,-30,66.

0,12,-12,36,-60,132…；

(1)第一行數的第〃個數是;

(2)觀察第一行和第二行每個對應位置上的數的關系，寫出第二行的第〃個數是；

(3)用含〃的式子表示各行第"個數的和；

(4)在第二行中，是否存在連續(xù)的三個數，且它們的和恰好等于198?若存在，請求出

這三個數；若不存在，請說明理由.

【綜合考點②】幕的運算"A*材料閱讀問題

19.閱讀材料，根據材料回答：

例如1：(一2)3x33=(-2)x(-2)x(-2)x3x3><3

=[(-2)x3卜[(—2)x3岡(—2)x3]

=[(-2)X3]3=(-6)3=-216.

例如2：

86x0.1256=8x8x8x8x8x8x0.125x0.125x0.125x0.125x0.125x0.125

=(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)

=(8x0.125)6=1.

(1)仿照上面材料的計算方法計算：(IVxJl/z

(2)由上面的計算可總結出一個規(guī)律：(用字母表示)a".b"=

(5儼(3產。

(3)用(2)的規(guī)律計算：-0.42018x-jx|.

20.閱讀下列材料：因為(x—l)(x+4)=X2+3X-4,所以(x?+3x—4)+(x—1)=x+4,

這說明x2+3x-4能被x-1整除，同時也說明多項式x2+3x-4有一個因式為x—1；另外，

當x=l時，多項式x?+3x—4的值為0.

(1)根據上面的材料猜想：多項式的值為0,多項式有一個因式為x—1,多項式能被x

—1整除，這之間存在著什么聯系？

(2)探求規(guī)律：一般地，如果有一個關于字母x的多項式M,當x=k時，M的值為0,

那么M與代數式x-k之間有什么關系？

(3)應用：已知x—3能整除x?+kx—15,求k的值.

21.閱讀材料，根據材料回答：

例如1：(-2)3X33=(-2)x(-2)x(-2)x3x3x3=[(-2)x3]x[(-2)x3]x[(-

2)x3]=[(-2)x3,=(-6)3=-216.

例如2：86X0.1256=8X8X8X8X8X8X0.125X0.125X0.125X0.125X0.125X0.125

=(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)x(8x0.125)

=(8x0.125)6=1.

(1)仿照上面材料的計算方法計算：(1)4x(-l1)4.

⑵由上面的計算可總結出一個規(guī)律：a".bn=（用字母表示）;

（3）用（2）的規(guī)律計算:-O.42021

【綜合考點③】幕的運算新定義問題*/大小比較問題

22.規(guī)定兩數之間的一種運算，記作（。力）；如果那么（a,6）=c,例如：因

為23=8,所以（2,8）=3

（1）根據上述規(guī)定，填空：（5,125）=；（5,1）=,）卜.

（2）小明在研究這種運算時發(fā)現一個特例：對任意的正整數小（3",4"）=（3,4）.小明

給了如下的證明：設（3",4"）=x,（3）=4",（3，）"=4",所以3*=4,（3,4）=x,所以

（3",4"）=（3,4）,請根據以上規(guī)律：計算：（16,10000）-（64,1000000）.

（3）證明下面這個等式：（3,20）—（3,4）=（3,5）.

23.閱讀材料：

定義：如果10"=〃，那么稱。為"的勞格數，記為。=d（w）,

例如：10、100,那么稱2是100的勞格數，記為2=4（100）.

填空：根據勞格數的定義，在算式a=1（1000）中，相當于定義中的小所以

1（1000）=；

直接寫出d（10）=；

探究：某數學研究小組探究勞格數有哪些運算性質，以下是他們的探究過程

若a、b、m、”均為正數，且10"=p,10"=q,

根據勞格數的定義：d⑺=a,d（q）=,

?.-100-10*=pq

/.10a+6=pq,這個算式中，相當于定義中的a,相當于定義中的小

/.d（pq）-,即d（pq）=d（p）+d（4）,

請你把數學研究小組探究過程補全

拓展：根據上面的推理，你認為：d

24.閱讀：已知正整數a、b、c,顯然，當同底數時，指數大的幕也大，若對于同指數,

不同底數的兩個幕〃和cJ當”>c時，則有4>c",根據上述材料，回答下列問題

（1）比較大?。?2042。（填寫〉、（或=）

（2）比較2叫與3?2的大?。▽懗鼍唧w過程）

（3）已知》=3,8"=6求（2內丫的值

【類型三】黑的運算?閱讀問題/點新定義問題**證明（四

個題）

【挑戰(zhàn)考點①】幕的運算“AA材料閱讀問題

25.閱讀下列材料,并解決下面的問題：

我們知道,加減運算是互逆運算，乘除運算也是互逆運算，其實乘方運算也有逆運算，如我

32

們規(guī)定式子2=8可以變形為log28=3,logs25=2也可以變形為5=25在式子23=8中,3叫

做以2為底8的對數，記為log28.一般地，若a"=6（aX）且。豐1,人>0），則”叫做以。為底》的

對數，記為logab（即1嗚b=n）,且具有性質:

①log“夕=〃log“"②log"a'=n；③log“M+log?N=loga.N）,

其中a>0且aHl,MX）,NX）.

根據上面的規(guī)定，請解決下面問題：

（1）計算：1%1=?log1025+log104=（請直接寫出結果）；

（2）已知x=log,2,請你用含x的代數式來表示y,其中y=logs72（請寫出必要的過程）.

26.閱讀材料:

求1+2+22+23+24+...+22019的值.

解：設S=l+2+22+23+24+...+22018+22019..

則2S=2+22+23+24+25+...+22019+22020.

②-①，得2S-S=22020-l

即S=22020-l

l+2+22+23+24+...+22019=22020-l

仿照此法計算：

(1)計算:1+3+32+33+34+...+3100.

⑵計算：l+g+*+J+…+擊+(=--------(直接寫答案)

【挑戰(zhàn)考點②】幕的運算新定義問題

27.如果那么〃為〃的"勞格數"，記為b=d(n).由定義可知：10人R與b=d

(幾)表示Z?、〃兩個量之間的同一關系.

(1)根據“勞格數”的定義，填空：d(10)=,d(IO-2)=；

(2)“勞格數”有如下運算性質:

若m、〃為正數，則d(mn)-d(m)+d(n),d(一)=d(m)-d(九)；根據運算性質，

n

填空：器?=________.(。為正數)

a(a)

(3)若d(2)=0.3010,分別計算d(4)；d(5).

28.規(guī)定兩數。，人之間的一種運算，記作(〃，Z?)：如果〃c=Z?,那么(〃，b)=c.例

如：因為23=8,所以(2,8)=3

(1)根據上述規(guī)定，填空：(5,25)=,(2,1)=,(3,1)=.

⑵小明在研究這種運算時發(fā)現一個特征：(3〃，4〃)=(3,4),并作出了如下的證明:

設（3九，4〃）=%,貝!]（3〃）]=4〃，即（3%）〃=4".

所以3x=4,即（3,4）=x,

所以（3小4〃）=（3,4）.

試解決下列問題：

①計算（8,1000）-（32,100000）；

②請你嘗試運用這種方法證明下面這個等式：（3,2）+（3,5）=（3,10）.

【挑戰(zhàn)考點③】幕的運算規(guī)律問題

29.找規(guī)律：觀察算式

13=1

13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

（1）按規(guī)律填空）

13+23+33+43+...+103=；

l3+23+33+43+...W=.

（2）由上面的規(guī)律計算：“3+123+133+14部…+503（要求：寫出計算過程）

（3）思維拓展：計算：23+43+63+...+983+1003（要求：寫出計算過程）

30.觀察下面三行單項式：

x,lx1,4x3,8x4,16x5,32x6,…；①

-2x,4x2,-8x3,16/,-32?,64x6,…；②

2x2,-3d,5x4,-9x5,17x6,-33x7,…；③

根據你發(fā)現的規(guī)律，解答下列問題：

（1）第①行的第8個單項式為；

(2)第②行的第9個單項式為;第③行的第10個單項式為;

(3)取每行的第9個單項式，令這三個單項式的和為A當苫=；時，求512(A+；］的

值.

參考答案

3

1.(1)x6,(2)—x9—2.x

2

【分析】(1)先計算基的乘方、再計算乘，最后計算減法；

(2)先計算積的乘方，然后將除法轉化為乘法，然后按照乘法分配律計算.

解：(1)原式=2/-尤6

=—x2-lx

2

【點撥】本題考查了同底數基的乘除法、幕的乘方、積的乘方，熟練掌握相關運算法則

是解題關鍵.

2.(1)%6；(2)x6/

【分析】(1)根據同底數塞乘法法則及幕的乘方計算法則計算，再合并同類項即可；

(2)根據積的乘方計算法則去括號，再合并同類項即可.

解：⑴2x4-%2-(.^2)3

=2x6-%6

=9xsy6-8x6y6

=x6y6.

【點撥】此題考查了整式的計算，正確掌握同底數幕乘法法則及塞的乘方計算法則、積

的乘方計算法則、合并同類項法則是解題的關鍵.

3.(1)45a8(2)4/-2a+l

【分析】(1)根據積的乘方以及同底數幕的乘法求解即可；.

(2)根據整式的除法運算法則即可求出答案.

解：(1)5a2-(3/)2

=5/.9/

=45aB

(2)(12q3—6a~+3a)+3a

—12。'+3ci—+3。+3a+3a

=—2a+1

【點撥】本題考查整式的除法以及積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解答本題的關鍵.

4.0

【分析】根據實數的運算法則計算.

解：原式=1+2-2-1

=0.

【點撥】本題考查實數的混合運算，熟練掌握負整數指數累和零指數幕運算、絕對值運

算和負數的偶次基運算是解題關鍵.

5.(1)6(2)-8

【分析】(1)先根據乘方運算、負整數指數幕、。指數幕知識進行化簡，再計算即可求

解；

(2)先根據負整數指數幕、零指數幕知識進行化簡，再計算即可求解.

2008(，

(1)解：-lx4+^-1y+(7r-5)

=-lx4+9+l

=—4+9+1

二6；

⑵解：n+(-3)°-(-i)-2

=-8+1-1

=-8.

【點撥】本題考查了負整數指數幕、零指數塞、有理數乘方的意義等知識，熟知相關知

識并正確進行計算是解題關鍵.

6.11

【分析】根據負整指數幕和零指數神化簡各式，然后再進行計算即可得到答案.

解：原式［11I，

=9+1+1

=11.

【點撥】本題考查了零指數暴，負整數指數幕，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵.

7.(1)4(2)27(3)m=-l

【分析】(1)根據同底數幕相除的運算法則即可得到答案；

(2)將27,變成底數為3的幕，根據同底數幕相乘的法則即可得到答案；

(3)將8,16叫變?yōu)榈讛禐?的幕，再根據同底數幕相乘及相除的法則即可得到答案.

⑴解:10m=12,10"=3,

10"'+10"=10%"=12+3=4；

(2)解：由題意可得,

3°x276=3ax33b=3a+3b,

'：a+3b=3,

：.3"x27b=33=27;

(3)解：由題意可得，

8x2?6'”=23X2m-24m=23+,"-4m=26,

3+m-4m=6,

解得m=-\.

【點撥】本題考查同底數暴乘除的法則：同底數幕相乘底數不變指數相加，同底數幕相

除底數不變指數相減.

8.(1)x——(2)x=2(3)y=-x2—6x-5

【分析】(1)根據幕的乘方運算法則把&,化為底數為2的幕，解答即可；

(2)根據同底數幕的乘法法則把2"2+2田=24變形為2*⑵+2)=24即可解答；

(3)由x=5"-3可得5"，=x+3,再根據嘉的乘方運算法則解答即可.

⑴解:8X=(23)X=23J=25,

:.3x=5,

解得x=g；

(2)解：?.?2=+2"1=24,

.\2XX22+2XX2=24

/.6x2%=24,

.?2=4，

x=2；

(3)解：?.?x=5"—3,

.?.5根=%+3,

m2m

...y=4-25=4-(5)

=4-(5")

=4-(x+3>,

y=~x~—6JC—5.

【點撥】本題考查了同底數賽的乘法以及幕的乘方，掌握利用同底數察的乘法、幕的乘

方及其逆運算對式子進行變形是關鍵.

2

9.(1)22m+3n=ab(2)①2*"囁；②彳=7

【分析】(1)分別將4"'，8'化為底數為2的形式，然后代入求解即可；

(2)①分別將8"化為底數為2的形式，然后代入求解即可；

②將8,化為23，將16化為2%列出方程求出x的值.

(1)解：4m=a,8"=b,

22m=a,23n=b,

22m+3n=2.2m-2?"=ab;

(2)解：22m=a,23"=b,

2

?24加一6〃_24mJ(23〃『—a.

②；2x8Axl6=226,

2x(23)"x24=226,

2x23vx24=226，

?21+3尤+4_226

??1+3x+4=261

解得:x=7.

【點撥】本題主要考查同底數幕的除法，幕的乘方和積的乘方，掌握運算法則是解題的

關鍵.

10.(1)7x6(2)9(3)3y3-2孫2_4

【分析】(1)先算乘方，再算乘法，后算減法，即可解答；

(2)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

(3)按照多項式除以單項式的法則，進行計算即可解答.

(1)解：(源)3

=8x6-x6

=7/；

(2)(--)A(-2)2x50+(-)'2

43

=-4+4x1+9

=-4+4+9

=9；

(3)(15X3/-10%y-20^/)+(5xV)

=15/產5氏-10歲+5力-20/盧5力

=3/-2^-4.

【點撥】本題考查了整式的除法，同底數嘉的乘法，塞的乘方與積的乘方，零指數幕,

負整數指數鼎，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

11.(1)3,6；(2)4；(3)證明見分析.

【分析XI)根據閱讀材料中的結論可知32⑼的末尾數字;根據閱讀材料中提供的方法，

可得142M的末尾數字是4,142”的末尾數字是6,于是得解；

(2)先將22022化成(24)505x4,再利用=建‘％的末尾數字是6,從而得出結論；

(3)分別證明122024的末尾數字為6和3721n8的末尾數字9,則命題即可得證.

解：(1)解：；32。。=34*505+1,

.?.32021的末尾數字為3；

?.?14］的末尾數字是4,142的末尾數字是6,143的末尾數字是4,…

二.142"+1的末尾數字是4,14?”的末尾數字是6,

142022的末尾數字是6；

故答案為：3,6；

(2)解：22022=(24)505x22=(24)505x4,

,/(24)505的末尾數字是6,

二22022的末尾數字是4；

(3)證明：，.T2i的末尾數字是2,122的末尾數字是4,123的末尾數字是8,12’的末

尾數字是6,12$的末尾數字是2,...

12"+i的末尾數字是2,124g2的末尾數字是4,12.+3的末尾數字是8,12瓶的末尾數

字是6,

...122024=124x506的末尾數字為6；

同理可得：

374n+1的末尾數字7,374M+2的末尾數字9,374K+3的末尾數字3,3儼的末尾數字1；

372018=374X504+2的末尾數字9,

...122024+37288的末尾數字是5,

...1223+37288能被5整除.

【點撥】此題是一道閱讀理解題，主要考查了幕的運算、數的整除，熟練掌握同底數嘉

的乘法、幕的乘方與積的乘方法則是解答此題的關鍵.

12.(1)24；(2)--

27

【分析】(1)由同底數幕的乘法法則的逆運算和負整數指數募的定義來計算求解；

(2)配方得出(a+D+(6-2>=。，求出。=-1,6=2,再代入計算即可.

解：(1)：3'"=6，3"=2，

32m+n~1=(3m)2-3"-3-1

=62X2X-

3

=24；

(2)將/+02+210+5=0變形為(a+l)2+0-2)2=。,

a=—ljb=2,

【點撥】本題考查了配方法的應用、偶次方的非負性質、負整數指數塞的定義，同底數

幕的乘法法則的逆運算，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵.

13.-55.

【分析】先用同底數幕相乘和幕的乘方將原式化成含有X2。，的形式，然后代入求值

即可.

解：當f〃=2,/〃=3時，

原式=(x2a)3+y6a-Cx6ay3a)*y3a

=(x2^)3+(得)2-(x2。)3?2

=23+32-23X32

=8+9-8x9

=-55.

【點撥】本題考查事的乘方和同底數幕相乘，熟練運用幕的乘方運算法則是解答本題的

關鍵.

14.9

11

【分析】先將兩個乘數的次數依據同底數累乘法寫成相同的次數，再將同次數的乘數依

據積的乘方逆運算相乘，最后化簡結果即可.

_6_

【點撥】此題是高次數的因數相乘，將次數寫成相等的形式是解題的關鍵，再根據積的

乘方逆運算算出乘積，最后再化簡結果.

15.14

【分析】先將(2守)2與(3爐)2寫成含有針的形式即4(/)3、9(口),再將尤2"=2代入

求值即可.

解：(2—”)2—(32)2

=4^6,,-9x2re

=4(一)3—9(一)

,/鐘=2,

，原式=4x23-9x2=14.

【點撥】此題考查代入求值，根據已知的條件將所給式子進行變形是解題的關鍵.

16.(1)1(2)(ab)"(3)-1

【分析】(1)根據積的乘方的逆運算直接求解即可得到答案；

(2)根據乘方的積等于積的乘方即可得到答案；

(3)根據乘方的積等于積的乘方即可得到答案.

(1)解：原式=(8x0.125)6

=心

=1,

故答案為：1;

(2)解：由題意可得，

原式=30",

故答案為：(")"

(3)解：由題意可得，

【點撥】本題考查積的乘方等于乘方的積的逆應用，解題的關鍵是找出規(guī)律，進行簡便

計算.

17.⑴。，I2；(2)第〃個等式為2"—2"T=2”T，說明見分析；(3)2*1

【分析】(1)根據乘方的運算法則以及零指數累進行運算可得結果；

(2)由(1)中式子可得規(guī)律2"-2"T=2"T，從而解答；

(3)由(2)中規(guī)律可得原式=21一2°+2?—21+23—2?+...+2202Z—Z20",進而得出答案.

解：(1)21-2°=2-1=2°-2?-2=4—2=2=2、23-22=8-4=22;

故答案為：。，I,2;

(2)由(1)可得，第〃個等式為2"-2"T=2"_，

...2"_2"-i=2，ix(2-1)=2"T,

等式成立；

(3)由(2)中規(guī)律可得：

原式=2]一2°+2?—2]+23—2?+…+22022-22021

【點撥】本題考查了數字的變化規(guī)律，乘方等運算法則，讀懂題意得出題目中式子的變

化規(guī)律是解本題的關鍵.

18.(1)(-2)-(2)(-2)"+2(3)(一2)2+6(4)存在.這三個數分別為：

66,-126,258

【分析】(1)觀察數據可發(fā)現，每個數的絕對值為連續(xù)的偶數，序號為奇數時是負的，

序號為偶數時，這個數為正數，據此即可求解；

(2)第二行數據，在第一行的每一個數都加上2,即可求解；

(3)第三行數據為第二行數據乘以2,進而求得各行第w個數的和；

(4)根據題意列出方程，解方程即可求解.

(1)解：觀察數據可發(fā)現，每個數的絕對值為連續(xù)的偶數，序號為奇數時是負的，序

號為偶數時，這個數為正數，

.?.第〃個數為(-2丫,

故答案為-2)"；

(2)解：第二行數據，規(guī)律是在第一行的每一個數都加上2,

即第〃個數為(-2)"+2,

故答案為：(-2)"+2；

(3)解：第三行數據為第二行數據乘以2,即[(-2)"+2卜2,

各行第n個數的和為(-2)'+(-2)，+2+2x[(-2)，+2]

=2x(—2)'+2+2x(—2)"+4

=4x(-2)"+6

=(-2)"+2+6；

(4)解：存在.理由如下：

由題意得：(一2,+2+(-2)3+2+(-2)"+2+2=198,

：.(-2)"+(-2)"x(-2)+(-2)"x(-2)2=192

(-2)"(1—2+4)=192

（一2）"=64

解得：n—6,

故這三個數分別為：66,-126,258.

【點撥】本題考查了數字類規(guī)律題，同底數幕的乘方，有理數的乘方運算，找到規(guī)律是

解題的關鍵.

19.（1）1；（2）（附；⑶

【分析】（1）根據同底數幕的乘法法則計算即可求解；

（2）根據題意找到規(guī)律即可；

（3）逆用積的乘方法則計算即可求解.

54

解:(1)x-11

616666

=(一1)4

（2）根據題意可得：a"-b"=（ab）n

【點撥】此題考查整式的混合運算，解題關鍵是熟練掌握同底數嘉的乘法，慕的乘方和

積的乘方的知識點.

20.（1）見分析；（2）多項式M能被x-k整除；（3）k=2.

【分析】（1）根據題意和多項式有因式（X-1）,說明多項式能被（X-1）整除，當X=1時,

多項式的值為0；

(2)根據(1)得出的關系，能直接寫出當x=k時，M的值為0,M與代數式x-k之間的

關系；

(3)根據上面得出的結論，當x=2時，x2+kx-15=0,再求出k的值即可.

解：(1)若多項式有一個因式為x—l,則x—l=0,即x=l時，多項式的值為0；若多

項式有一個因式為X—1,則多項式必能被X—1整除；

(2)根據(1)得出的關系，可知多項式M能被x-k整除；

(3)由x—3=0得x=3,且x—3能整除x?+kx—15,

.?.當x=3時，多項式x2+kx—15的值為0,

即3?+31<—15=0,.\k=2.

【點撥】本題考查了整式的除法,是一道推理題，掌握好整式的除法法則是解題的關鍵.

21.(1)1(2)(時(3)

【分析】(1)模仿材料，把原式整理成即可得出答案.

(2)根據第一問的計算可知指數相同的幕相乘時，可先將底數相乘，指數不變.

(3)根據第二問的結論計算即可.

⑴解：ITT

二級，級級恪

666615八5八5八5)

555

—x—x—x

666

=(-1)4

=1;

(2)解：原式=(ab)",

故答案為：(")"；

(3)解：-O.42021

=_12O21X5X9

34

15

【點撥】本題考查了積的乘方的逆運算，運算過程中符號是易錯點，可先定符號再計算.

22.(1)3,0,-2；(2)0；(3)見分析

【分析】(1)根據題目中的規(guī)定，進行運算即可得出結果；

(2)(16,10000)可轉化為⑵，104),(64,1000000)可轉化為⑵，106),從而可求解；

(3)設(3,20)=x,(3,4)=y,則3*=20,3y=4,從而可得313y=5,得3、=5,即有

(3,5)=x-y,從而得證.

⑴解:53=125,

.1(5,125)=3；

?.-5°=1,

?■.(5,1)=0；

故答案為：3,0,-2

(2)解：。6,10000)-(64,1000000)

(24,104)-(26,106)

=(2,10)-(2,10)

(3)證明：設(3,20)=x,(3,4)=y,

貝lj3，=20,3y=4,

=20+4,

=5,

.?.3>'=5,

:.(3,5)=x-y,

又：(3,20)-(3,4)=x-y,

(3,20)-(3,4)

=(3,5)

【點撥】本題考查了哥的乘方，熟練掌握嘉的乘方是解題的關鍵.

23.1000,3；-8；b,a+b,10fl+i,a+b；d(m)—d[ri].

【分析】根據新定義法則進行運算即可.

解：,如果10"=7Z,那么稱a為"的勞格數，記為。=d(〃)，

.?.103=1000,那么稱3是1000的勞格數，記為3=d。。。。).

在算式a=d(1000)中，1000相當于定義中的〃，所以1(1000)=3；c/(108)=-8；

Wb=q,

b=d(q),

,/10a=p,10』，

/.ioa-10b=10a+b=pq,

.??這個算式中，pq相當于定義中的mKT"相當于定義中的小

d{pq)=d(10a+fc^=a+b=d(p)+d(q),

即d(pq)=d(p)+d(q),

設10"=〃7,10〃=〃，

/.d(rn)-a,d[n)-b,

?.TO"-'=10"+10〃=生，

n

"[絲)="IO*=a-b=d(m)—,

即d(生J=d(m)一d(n).

故答案為：1000,3；-8；b,a+b,lOa+b,a+b；d(ni)-d(n).

【點撥】此題考查了新定義問題，用到了幕的相關運算，解題的關鍵是理解新定義及其

運算法則.

24.(1)>(2)233<322,見分析⑶972

【分析】(1)根據同指數，不同底數的兩個幕/和cJ當時，則有即可

進行解答；

(2)將根據神的乘方的逆運算，將233與322轉化為同指數的累，再比較大小即可；

(3)根據同底數幕乘法的逆運算，將(2.")3轉化為(2〃X22"),再根據積的乘方的逆

運算，整理為含有2?和8〃的性質，進行計算即可.

(1)解：V5>4,

/.520>420,

故答案為：>.

(2)V233=(23)*'=8n,322=(32)"=9n,8<9,

/.233廿.

(3)原式=(2"X22"Y

=33X62

=972.

【點撥】本題主要考查了幕的乘方與積的乘方的運算法則和逆運算，解題的關鍵是熟練

掌握嘉的乘方和積的乘方的運算法則及其逆運算法則.

25.(1)0;2(2)y=3x+2.

【分析】(1)根據材料給出的運算法則計算即可(2)先變形y=log372,再帶入x即可?

解：(1)log3l=0；log1025+log104=log10(25x4)=logI0100=2

(2)已知x=log32,

所以y=log372=log38+log39=310g32+2=3%+2.

【點撥】此題考查募的乘方和積的乘方的應用以及學生分析理解的能力，正確理解題意

是解題的關鍵.

【分析】⑴設S=l+3+32+33+34+...+3i°°,兩邊乘以3得到關系式，與已知等式相減，

變形即可求得所求式子的值；

(2)設S=l+；+：+/+...+擊+：,兩邊乘以然后按照閱讀材料的方法進行求

解即可.

解:⑴設S=l+3+3?+設+34+…+31°°,①

兩邊同時乘以3,得3s=3+32+33+34+...+3i°i,②

②-①,M3S-S=3101-l,

.,.1+3+32+33+34+...+3100=

⑵設s=i+]+^+了+…+聲+夢，①

兩邊同時乘以3，得gs=；+，+[+…+，+擊，②

①-②，得S-gSnl-A，

乙L

?J-S=]]

??2、12n+1J

S=2--,

2n

【點撥】本題是閱讀材料題，主要考查了同底數哥的乘法，弄懂材料中的解題方法是解

題的關鍵.

27.(1)1,-2(2)3(3)0.6020,0.699.

【分析】(1)由“勞格數”的定義運算轉化為同底數幕解答即可；

(2)根據基的乘方公式轉化求解即可；

(3)根據積的乘方公式、幕的乘方轉化求解即可.

(1)解：V106=10,

：.d(10)=1；

10Z?=10-2,:?b=-2,

：.d(10-=-2；

故答案為1,-2；

m

(2)解：\*d=d(m)+d(九)，d(一)=d(m)-d(n)

n

.d(a3)_3d(a)_

..J

d(a)d(a)

故答案為3；

(3)解：,:d(2)=0.3010,

：.d(4)=2d(2)=0.6020,

d(5)=d(—)=d(10)-d(2)=1-0.3010=0.699.

2

【點撥】本題考查新定義，有理數的運算；理解題意，將新定義轉化為同底數嘉的乘除

法、幕的乘方與積的乘方運算是解題的關鍵.

28.(1)2,0,-2

(2)①0；②見分析

【分析】(1)根據題中規(guī)定及幕的乘方運算進行計算即可；

(2)根據題中規(guī)定及幕的乘方運算進行計算即可.

⑴解:*/52=25,

(5,25)=2；

：20=1,

(2,1)=0；

??1=，??(4)=-2

故答案為：2,0,-2；

(2)①(8,1000)-(32,100000)=(23,103)-(25,105)=(2,10)-(2,10)

=0；②設3x=2,3y=5,貝！J3?3y=3