第01講數(shù)列的基本知識與概念

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：數(shù)列的周期性...........................................................2

題型二：數(shù)列的單調(diào)性...........................................................3

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?....................................................5

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題.......................................................7

題型五：數(shù)列的恒成立問題.......................................................9

題型六：遞推數(shù)列問題..........................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................13

03真題實戰(zhàn)練.................................................................25

題型一：數(shù)列的周期性

1.（2024?四川廣安?二模）已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,（MN*）,貝（）

A.-3B.--D.2

2c1

【答案】A

—1

【解析】因為6-2,%=",

%+11

a,—11%—11

所以的=4=

，3出+2

ax+131

6Z3-1_=&T=2.......

a5.?，

4—I，。4+1

又2024=4x506,所以。2024=g=-3

故選：A

2.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）已知在數(shù)列｛〃“｝中，的=—2,%+%+2=。，貝！J%024=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由。2=-2,?！?%+2=0可得。4=2,4=-2,。8=2,…,

—

因此a2n—(1)2,故%024=2,

故選：D

3.若數(shù)列｛叫滿足q=2,%=3,4=上（△3且〃N*）,則〃2024的值為（）

an-2

1?

A.3B.2C.-D.-

【答案】A

【解析】因為4=2,%=3,風(fēng)=也小23且〃?N*）,

a?-i'

3a.1a.1a.2a,an

所以%=3=54=%=了%=7=14=或=}%=1=2,融=1=3,...,

所以數(shù)列｛%｝具有周期性，且7=6,所以為024=。337*6+2=%=3.

故選：A.

、1

4.（2024.廣西南寧?一模）已知數(shù)列｛r2｝的首項％=〃（其中awl且。。0）,當(dāng)時，%=匚；—,則

,1

%024=()

1

A.aB.——C.1--D.無法確定

1一〃a

【答案】B

1a-11

1a.,a4~a-l~a,故數(shù)列｛4｝的周期為3

【解析】ax=a,cl2=i---，1Lat

\—a

1-Qa

1

故々2024=々3x674+2=〃2=-----

\-a

故選：B

題型二：數(shù)列的單調(diào)性

5.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為%=加2—幾—2,若｛〃〃｝為遞增數(shù)列，則上的取值范圍為（）

1

A.(l,+oo)B.(0,+動C.—,+ooD.3，+°°

2

【答案】D

【解析】—n—2,若｛%｝為遞增數(shù)列，則q+i>Q”（〃￡N*）,

有左(〃+1)2—(〃+1)—2>kn2-n-2,解得k>—-—(neN*),

2n+l

則左〉（-2〃+l"

當(dāng)〃=1時,(2"+Jp所以

則％的取值范圍為（g,+8）.

故選：D.

3

6.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）已知遞增數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若%=1,S?+1+2fl,i+1-3=1s?,則

K

上的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（4,+a））C.（0,3）D.（3,+oo）

【答案】C

【解析】當(dāng)九=1時，S2+2g—3=—E，即1+%+2出一3二—,貝lj%=--------.

kk3k

33

當(dāng)“22時，由5向+2見+「3=75”,得S,+24一二九，

kk

32k+32k+3

得。用+2。用一2%=/%，則3aM=^^，易知”,產(chǎn)°，即比"

kk〃〃JR

左+、

又一a,=2F一3,所以,｛%｝是首項為1,公比為毛2k+23的等比數(shù)列.

63K3K

又｛%｝單調(diào)遞增，所以與^>1,解得?！慈?lt;3.

故選：C

7.（2024?高三.河南?期末）已知數(shù)列｛七｝是單調(diào)遞增數(shù)列，%=祖（2"-1）-],〃eN*,則實數(shù)加的取值范

圍為（）

A.（2,+oo）B.（1,2）

C.||，+口D.（2,3）

【答案】C

【解析】由題意可得?！?皿2"-1）-1,由于數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

aa

即VMeN*，,,+i~n="z（2"M—1）—（〃+1）-1）—=m-2"—2n—l>0,

整理得根〉絲蟲，

令b.=E2〃+32n+l1—2〃

則b~b=<0,

n+ln2n+1

所以數(shù)列也｝單調(diào)遞減，故乙號是數(shù)列圾｝的最大項,

則機的取值范圍為[],+aoj,故C正確.

故選：C.

8.已知等差數(shù)列｛qj的前”項和為S"，公差為d,且｛5｝單調(diào)遞增，若。5=6,則d的取值范圍為（）

A.0,|JB.。,雪C.HD.[0,2）

【答案】D

【解析】由｛%｝為等差數(shù)列，且%=6,所以%=6+（〃-5）d,

因為數(shù)列｛S“｝為遞增數(shù)列，則%=5,-Si>0,即｛%｝從第二項開始，各項均為正數(shù)，

又因為%>0（〃、2）恒成立，所以數(shù)列｛%｝為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以

貝U有為=6+（2-5）d=6-3d>。，解可得d<2,

綜上可得，0<d<2,所以實數(shù)d的取值范圍為［0,2）.

故選：D.

9.已知數(shù)列｛g｝的通項公式為%=r-2切，當(dāng)它為遞增數(shù)列時，上的取值范圍是（）

,3,3

A.k<—B.k4—

22

C.k<\D.k<\

【答案】A

【解析】因為｛q｝是單調(diào)遞增數(shù)列，所以對于任意的weN*，都有

91

即（〃+1）-2^（n+l）>n2-2kn,化簡得左<〃+耳，

1133

所以％<幾+7對于任意的〃￡N*都成立，因為〃+72大，所以上<彳.

2222

故選：A

題型三：數(shù)列的最大（?。╉?/p>

10.已知數(shù)列｛加｝的通項公式為4=9"、：1）,則此數(shù)列的最大項為（)

A1099999

A-TB.C.D-m

10談

【答案】D

9向(〃+2)—9"("1)_9"8-"

【解析】方法一:氏+「q=

10"+110〃10"10

當(dāng)〃<8時，4+1—>0,即。用>4；

當(dāng)〃=8時，an+1-an=O,即an+1=an；

當(dāng)">8時，an+l-an<0,即?！?］〈風(fēng)，

所以％<%<。3<。8=%>。10>>…，

89

所以數(shù)列他「“、｝有最大項，為第8項和第9項，且4=%=譚QX9=京Q

an2an-l

方法二：設(shè)數(shù)列｛4｝的第"項最大，則

%2an+l

9”(w+l).9f

io"_-IO"-1

即Hn《，

9〃e+l)〉9〃+i(“+2)

、10"10^

角牟得8W〃W9,又ZZEN*，則〃=8或般=9,

Q9

故數(shù)列｛為｝有最大項，為第8項和第9項，且為=%=」.

故選：D

11.(2024?廣東廣州?一模)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S,,=1+",當(dāng)鼠三取最小值時，〃=.

an

【答案】3

2

【解析】因為5“="2+〃，則當(dāng)“22時，an=Sn-Sn_l=n+n-(n-lf-(n-l)=2n,

又當(dāng)”=1時，％=S[=2,滿足%=2w,故a“=2〃；

,5?+92+n+91(9、1

則n二廠=n1一=-?+-+--

%2n2vnJ2

乂y=x+g在(1,3)單調(diào)遞減，在(3,+s)單調(diào)遞增；

95+9

故當(dāng)〃=3時，〃+=取得最小值，也即〃=3時，-一取得最小值.

n〃〃

故答案為：3.

12.(2024.高三?廣東潮州?期末)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且兀=0,幾=25,若…￡,則

數(shù)列圾｝中最小項的值為

【答案】-49

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，由品)=0,兀=25,

10%+a,=-3

11in

則15(15-1)，解得，2,所以S“

a=—33

15%+—----Ld=253

2

所以仇=小5“=:"一段"2，

令/(x)=gx3-gx2(x>0),貝i]/'(x)=x2-gx,

on70

所以當(dāng)0<》<當(dāng)時r(x)<0,當(dāng)時用x)>0,

所以/'(X)在上單調(diào)遞減，在(m，+8)上單調(diào)遞增,

又d=一48,Z?7=-49,所以4＞Z?7＜為＜為＜…,

所以當(dāng)〃=7時幻取得最小值-49.

故答案為：-49

13.(2024.上海普陀.一模)若數(shù)列｛叫滿足％=12,an+I=an+2n(n>l,”N),則生的最小值是.

【答案】6

【解析】由已知%-4=2,。3-。2=4,…，an-an_x=2(n-l),n>2,

所以=%+(2_4)+(〃3_〃2)-----(an~1)=12+2+4+…+2(n—1)=12+n(n—l)=n2—n+12,n>2,

又q=12也滿足上式，所以4=/一〃+12,

設(shè)/（尤）=1+=-1,由對勾函數(shù)性質(zhì)知/（力在（0,2%）上單調(diào)遞減，在（26,+切）遞增,

X

因此｛2｝在“V3時遞減，在〃24時遞增,

n

D%C1214121-

又一=3-1------1=6,—=4-1-------1=6,

3344

所以生的最小值是6,

n

故答案為：6.

14.已知數(shù)列｛4｝的通項公式%=且坐，則數(shù)列｛%｝的最大項的值為_______;數(shù)列｛%｝的最小項的值

n—11.5

為.

【答案】25-23

.ATI工L、〃+0.512

【解析】由2=——=1+

〃一11.5n-11.5

則當(dāng)時，。〃隨〃的增大而減小，且。〃＜。；

當(dāng)〃N12（〃￡Z）時，?！S“的增大而減小，且為＞0,

所以數(shù)列｛4｝的最大項的值為牝=25；最小項的值為4=-23.

故答案為：25；-23.

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題

15.（2024?浙江?模擬預(yù)測）任意大于1的正整數(shù)機的三次幕均可“分裂”成m個連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19，…，按此規(guī)律，若加分裂后,其中有一個奇數(shù)是2019,則m的值是（）

A.46B.45C.44D.43

【答案】B

【解析】題目所給規(guī)律可以表示為等式/=(m2-m+l)+(m2-m+3)+...+(m2-m+2m-l),

故由題目條件知機2—m+1<2019<m2—m+2m—1,即m2—m-2018<0,firn2+m—2020>0.

故<加(加一1)<2018,fm+—>m(m+l)>2020,

這得至I]44<J2020-^<m<J2018+1<46,從而加=45.

2

故選：B.

16.（2024?福建廈門.一模）傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒

或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所示的1,5,12,22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從

小到大依次排列，則其第8個數(shù)為（）

【解析】由題圖及五邊形數(shù)知：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差依次為4,7,10,13,16,19,22,…，

所以五邊形數(shù)依次為L5,12,22,35,51,70,92,…，即第8個數(shù)為92.

故選：C

17.（2024?全國?模擬預(yù)測）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時，常常把數(shù)描繪成沙灘

上的小石子，用它們進行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”.用3顆石子可以擺成一個正三角形，同樣用

6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形.畢達哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形

數(shù)”.同時他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù).如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那

么第20個六邊形數(shù)為（）

【解析】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列{%},

依題意，4=1=lx[/=6=2x3,%=15=3x5,=28=4x7,%=45=5x9,歸納得—,

所以的）=780.

故選：C

18.（2024.海南?模擬預(yù)測）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋

中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項分別為

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,--?,據(jù)此可以推測,該數(shù)列的第15項與第60項的和為（）

A.1012B.1016C.1912D.1916

【答案】C

【解析】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項為2,8,18,32,50,…,可得此時滿足」=2/,

奇數(shù)項為°,4,12,24,40,…，可得,

所以"16=2x8?=128,Wgg=2x302=1800,則=46-2x8=112,

所以。15+=112+1800=1912.

故選：C.

題型五：數(shù)列的恒成立問題

19.（2024?高三?陜西渭南.期中）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，數(shù)列｛￡｝的前〃項和為1，滿足％=2,

3s“=（〃+2應(yīng)，且。也=：.若對任意〃?N*,2＞北恒成立，則實數(shù)2的最小值為.

【答案】:/0.5

【解析】因為3s“=（”+2）為，所以當(dāng)“22時,3sl=（〃+1）%,

相減得3%=（〃+2）%—（幾+1）q_1,即二一77（"22）,

an-ln-L

a,n+1nn—1

所以見=Jj/x-x—x-x=---x----x----x〃（幾+1）

321

an-\an-23a2axn-1n—2n—3

當(dāng)〃=1時，q=2也適合4+,所以4+

又。也=；，7111

所以d=玉=玩

所以W+g11

--1--

33

對任意“eN*，4＞北恒成立，所以彳2：,即實數(shù)2的最小值為;.

2z

故答案為：g

20.已知數(shù)列｛%｝的通項公式為為=2〃-1.若對于任意〃eN*,不等式2%(4T)>(4-丁恒成立，則實數(shù)

2的取值范圍為.

【答案】卜8，1)

【解析】由2"%(4一4)>(見—1)2,得2"(2〃-1)(4一㈤>(2〃-2)2,

(〃-1)?

所以4一2>

2,,-2(2n-l)

(IT

設(shè)d=

(2n-l)-2"-2

4(1)2-2n3+5rr-2

則2+1—2=

(2M+1)-2"-1(2M-1)-2"-2

2

設(shè)/(n)=-2/+5n2_2(n>1),則尸(〃)=-6M+10〃=-2n(3?-5),

令/⑺>0,解得IWwvg,即/⑺在1,［上單調(diào)遞增，

令廣⑺<0,解得w>|,即八"，在g,+8)上單調(diào)遞減，

又/⑴=1,/(2)=2,/(3)=-11,

所以當(dāng)“23時,/(?)</(3)<0,即%「bn<0,

所以4>b4>b5>L.

當(dāng)”=1,2時,f(n)>0,即bn+i-2>0,所以仇<仇<4.

綜上，b?<b3=-,所以4一%>*,即彳<￡,

555

所以4的取值范圍為卜雙g)

故答案為：[

21.在數(shù)列｛%｝中，％=5,%=44-3,若對任意的”€4,以4-1)22〃-5恒成立，則實數(shù)上的最小

值___________.

【答案】77

64

d—1

【解析】由。〃+1=4?！ā?整理得％-1=4&-1),即管3=4,又4—1=4,

an-[

故數(shù)列｛9-1｝是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，可得4-1=4”,

不等式％(4T)N2九-5,可化為女2女二，

令于8=空安，當(dāng)1W〃W2時，/(n)<0；

4

當(dāng)時，/W>0,〃〃+1)一/(〃)=等一亨=一^2<°，

故當(dāng)“23時，/⑺單調(diào)遞減，故/("廳/⑶二^，

64

綜上，/(〃)工士，

64

所以左2」，故左最小值為

6464

故答案為：--

題型六：遞推數(shù)列問題

22.（2024?陜西咸陽?三模）在數(shù)列｛〃〃｝中，6=1,an+i=an+2n-l,則%=（）

A.43B.46C.37D.36

【答案】C

【解析】法一：由題得%=（4-%）+…+（%-q）+q

=（2〃-3）+（2〃-5）+―+3+1+1=（"吼（；-3）+1]+1=〃2-2〃+2（“22）,

所以%=72-2x7+2=37.

法二：由題6=1,?！?1—?！?2幾—1,

所1以%=（%一線）+（"6-%）+…+（02—q）+q=11+9+7+5+3+1+1=37.

故選：C.

23.（2024?北京昌平?二模）已知數(shù)歹U｛為｝滿足為+1=2%,%=4,則數(shù)列｛%｝的前4項和等于（）

A.16B.24C.30D.62

【答案】C

【解析】由已知可得，

當(dāng)〃=1時，—=%=2%=>%=2；

當(dāng)〃=2時，〃2+1=。3=2%=>〃3=8；

當(dāng)〃=3時，/+1=%=2%=&=16；

所以數(shù)列｛%｝的前4項和等于2+4+8+16=30,

故選：C.

24.我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，從今年起，該地區(qū)進

行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲I,同時原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)從今年

起第〃年綠洲面積為凡萬平方千米.

⑴求第n年綠洲面積an與上一年綠洲面積an_x(n>2)的關(guān)系；

(2)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%?(1g2^0.3010)

［解析［(1)由題意得為=(1一4%)4_］+(1—@T)X16%=0.96^+0.16-0.16^

44

=+0.16=jan_x+—,

44

所以4=二。1+玉("EN/22).

44

(2)由⑴得”〃=二"〃-1+石,

341(4114

又4=白，所以4T=4，所以是以t為首項，1為公比的等比數(shù)列,

J.J乙IJJJ

41MY-1

???—H，

4?

兩邊取常用對數(shù)得(〃-

,2

所以"一1々J27g5Jg2一(7g2)

1421g2-lg521g2-(l-lg2)

5

_21g2-l^2x0,3010-1_0,398

31g2-l3x0.3010-10,097''

.'.AZ>5.1,

???至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%.

25.(2024?天津河西?模擬預(yù)測)已知桶4中盛有3升水，桶為中盛有1升水.現(xiàn)將桶&中的水的(和桶當(dāng)中

的水的1倒入桶中,再將桶與桶中剩余的水倒入桶耳中；然后將桶中的水的2;和桶中的水的!1

jA4B0ABX

倒入桶4中，再將桶A與桶B,中剩余的水倒入桶B2中；如此繼續(xù)操作下去.

（1）求操作1次后桶耳中的水量;

（2）求操作〃次后桶紇中的水量;

（3）至少操作多少次，桶4（〃eN*）中的水量與桶立（〃eN*）中的水量之差小于金升？（參考數(shù)據(jù):

lg2ao.3010,lg3~0.4771）

【解析】（1）記桶4中的水量為4,桶紇中的水量為紇，〃cN,

125

所以4=]4+耳'°=§.

1?

（2）根據(jù)題意可得：4+紇=4,紇=§4_]+§紇T，

所以紇=g（"紇一1）+^紇一1=g紇.1+；所以紇—2=g（Bn_x-2）,

即數(shù)列｛用-2｝是以反-2=-；為首項，（為公比的等比數(shù)列，

■■-^-2=(-1)-^,所以紇=2-.

(3)4=4-用=[1+2,二凡一用=21￡|,

令2.仕[‘<，，得冉<—,兩邊取對數(shù),

64（3）128

1Igl28_71g27x0.3010

得〃>logi?4.4,

3商二"^二營0.4771

所以至少經(jīng)過5次操作，才能使桶4eN*）中的水量與桶4eN*）中的水量之差小于妥.

3冊+1,4為奇數(shù)

1.（2024.甘肅蘭州.一模）數(shù)列｛%｝滿足％=2]叫%=11則“2024=

[尹%為偶數(shù)

A.5B.4C.2D.1

【答案】B

3%+1,%為奇數(shù)

【解析】因為q=2叫。用=1

~an,凡為偶數(shù)

所以的二34：）"。，a3=La2=^tL,q°u=2,

%012=1，"1013=4,"1014=2,“1015—1,L

又2024=1012+3x337+1,

所以〃2024=^1013=4.

故選：B

2.（2024?高三?山西大同?期末）等比數(shù)列｛%｝中，S”為其前〃項和，4=1,且4%,2出,生成等差數(shù)列，則

〃eN*）的最小值為（

n

4

A。—2B.D.1

9c/

【答案】D

【解析】設(shè)公比為4,

由4%,2%,生成等差數(shù)列,得4a2=4。]+a3,

又?jǐn)?shù)列｛4｝為等比數(shù)列，所以得4a”=44+°口2,解得“=2,

所以&=七口=",

nn[l-q)n

A,2n—1

令么=----

n

2n+1-12n-l_(n-l)2n+l

則2+i-=>0,

n+1n+

所以數(shù)列］:［遞增數(shù)列,

所以當(dāng)〃=1時，工取得最小值1.

n

故選：D.

3.（2024?山東濟南.二模）已知｛為｝是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，｛〃“｝前〃項和為S"，若S.=2024,當(dāng)〃

取最大值時，an的最大值為（）

A.63B.64C.71D.72

【答案】C

【解析】因為5“=2024是定值，要使當(dāng)n取最大值時an也取得最大值，｛an｝需滿足各項盡可能取到最小值,

又因為｛4｝是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以4=1，/=2,%=%,?，am=m,即｛%,｝是首相為1,公差

為1的等差數(shù)列，其中根=〃-1；｛/｝的前加項和為也磬;

當(dāng)機=63時，7T,=63(63+1)=2016<2024；

2

當(dāng)m=64時，TM=—^--=2080>2024；

又因為2024-2016=8<63,

所以"的最大值為63,此時q=l,a2=2,%=3,…，a62=62,?！叭〉米畲笾禐椤?3=63+8=71.

故選：C.

4.（2024?河南?模擬預(yù)測）“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人

又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3

再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)旬，按照上述規(guī)則實施第〃次

運算的結(jié)果為e（〃eN）,若。5=1，且4G=1,2,3,4）均不為1,則/=（）

A.5或16B.5或32

C.5或16或4D.5或32或4

【答案】B

3a,+1,%為奇數(shù)

【解析】由題知a-因為%=1,則有:

為偶數(shù)

、2

若為為奇數(shù)，貝U%=3g+l=l,得g=0,不合題意，所以知為偶數(shù)，貝iR=24=2；

若。3為奇數(shù),則。4=3/+1=2,得q=g，不合題意，所以為偶數(shù)，a3=2a4=4；

若出為奇數(shù)，則。3=32+1=4,得。2=1，不合題意，所以《為偶數(shù)，且“2=2%=8；

若生為奇數(shù)，則的=3%+1=8,得4=（,不合題意，所以的為偶數(shù)，且4=2%=16；

若。0為奇數(shù)，則％=3g+l=16,可得％=5；若即為偶數(shù),則%=2%=32.

綜上所述：。（）=5或32.

故選：B

5.傳說古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)

分成許多類，如圖中第一行的1,3,6,10稱為三角形數(shù)，第二行的1,4,9,16稱為正方形數(shù)，第三行

的1,5,12,22稱為五邊形數(shù).則三角形數(shù)、正方形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第5項分別為（）

【答案】B

【解析】三角形數(shù)：

第一個數(shù)1,第二個數(shù)1+2=3,第三個數(shù)：1+2+3=6,

第四個數(shù)1+2+3+4=10,第五個數(shù)1+2+3+4+5=15,

正方形數(shù)：

第一個數(shù)儼=1，第二個數(shù)2?=4,第三個數(shù)：3?=9,

第四個數(shù)4?=16,第五個數(shù)52=25.

故選:B

6.（多選題）（2024?浙江紹興?二模汨知等比數(shù)列｛4｝的公比為,前〃項和為S”，前〃項積為I,且V/eN*,

用<0,則（）

"q

A.數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列｛?！埃沁f減數(shù)列

C.若數(shù)列｛s.｝是遞增數(shù)列，則4>1D.若數(shù)列｛1｝是遞增數(shù)列，則4>1

【答案】ACD

【解析】由題意可知5“=—^—^=q（qq）…（q/i）=2，且V〃eN*,<0,

故有六<°旦">°（否則若"。，則普的符號會正負(fù)交替，這與V〃N.,普<。,矛盾）,

4>0、Jo1Vo

也就是有q>]或[o<q<1

無論如何，數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，故A正確，B錯誤；

,、隆>0

對于C,若數(shù)列｛s〃｝是遞增數(shù)列，即S用-S.=a用>0,由以上分析可知只能,故C正確;

對于D,若數(shù)列｛1｝是遞增數(shù)列，顯然不可能是<1,（否則北=“陽〒的符號會正負(fù)交替，這與數(shù)

列｛1｝是遞增數(shù)列，矛盾），

從而只能是且這時有冬=4">1,故D正確.

故選：ACD.

7.（多選題）（2024?遼寧?一模）已知數(shù)列｛%｝的首項為由,且為+#“-?！?7,貝l］（）

A.存在%使數(shù)列｛q｝為常數(shù)列

B.存在％使數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列

C.存在為使數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列

D.存在%使得42。"恒成立

【答案】ABD

【解析】因為4+e%"%=7,所以a,=7-e%…<7,

又e""i=7-%，則―=a?+ln(7-an),設(shè)/(x)=x+ln(7—x),(x<7),

所以「（尤）=1-/-="，

/-X1-x

所以當(dāng)x<6時當(dāng)6<x<7時/'（x）<0,

所以/（x）在（-哂6）上單調(diào)遞增，在（6,7）上單調(diào)遞減，

所以〃尤）W〃6）=6,

當(dāng)q=6時的uq+lna—oJuG,L,an=6,

故當(dāng)q=6使數(shù)列｛a0｝為常數(shù)列，故A正確；

當(dāng)％<6時,由/⑺在（F,6）上單調(diào)遞增,又〃x）W〃6）=6,

所以為+1=ln（7-見）>。，故B正確；

當(dāng)6<%<7時,由“X）在（6,7）上單調(diào)遞減，又〃x）V〃6）=6,

所以/uq+lnO—aJvG,又/（x）在（ro,6）上單調(diào)遞增且⑹=6,

所以藥</<&<…<風(fēng)<6,所以存在可使得卬24,恒成立，即D正確；

由上述分析可知，不存在的使數(shù)列｛為｝為遞減數(shù)列，故C錯誤.

故選：ABD

8.（多選題）意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,

13,.…即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀(jì)念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下

面關(guān)于斐波那契數(shù)列｛%｝說法正確的是（）

A.〃口=144

B.42022是奇數(shù)

C.々2022—"1+02+03+，，，+々2020

D.a2020+a2024=3。2022

【答案】AD

【解析】由已知得數(shù)列｛4｝滿足遞推關(guān)系乙+2=??+,+

選項A：

Q[2=41+。10=2。]0+a。~3a9+2cL3—5a8+3ci~j—=8x13+5x8=144,A正:石角?

選項B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項都是奇、奇、偶重復(fù)循環(huán)，2022=674x3,恰好能被3整除，且的為偶

數(shù)，所以。2靖也為偶數(shù)，故B錯誤；

選項C：右選項C正確，又。2022="2021+。2020，貝U的021=+“2+…+”2019，

同理的020=%+。+…+”2018，%）19=%+。+—+出017,依次類推，可得知=%+生，顯然錯誤,故C錯誤；

選項D:%024="2023+“2022=2a2022+^2021，

所以物）20+%）24=%）20+2%）22+^2021=2%）22+（%）20+%）21）=^^2022，故D正確.

故選：AD.

9.（2024?四川雅安?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%+2=3。用-2%,q="%=2,｛4｝單調(diào)遞增，則九的

取值范圍為.

【答案】（-02）

【解析】因為。,+2=3%+1-2丹，所以%+2-%+I=2（a“+J-%）,

又因為｛見｝單調(diào)遞增，所以

所以數(shù)列｛。向-?！埃且?。2-％=2-2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以。用一4=（2—九）？修，

所以（2—X）D'T＞即2—九＞0=九＜2,

則2的取值范圍為（-e,2）,

故答案為：（一42）.

10.數(shù)列｛%｝的通項公式是-妨，若數(shù)列｛%｝是遞增的，則實數(shù)上的取值范圍是.

【答案】k＜3

【解析】由數(shù)列｛4｝是遞增的，則—＞為，即（〃+l）2-M〃+l）＞〃2-加，

整理可得2〃+1—左＞0,由一次函數(shù)的單調(diào)性且〃eN*,貝U2+1—左＞0,

解得后＜3.

故答案為：k<3.

11.（2024.重慶.二模）記正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若.=+LeN*,則+的最小值

23〃

為.

【答案】誓

【解析】當(dāng)及=1時，q=d=當(dāng)⑴，則4=1或q=。（舍去），

當(dāng)“22時，由S"%+1）,得S%（%+1）,

n2"T2

兩式相減得2%=一-a,—,得+a“_J（?！耙籥,--1）=。，

因為。">。，所以?！耙籥"i=l,

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則％=〃,S,=#D,

4>/（x）=x2+—,x>0,則/（x）=2x—厚=2卜「4）,

當(dāng)X￡（O,4）時，/r（x）<0,當(dāng)X￡（4,+8）時，>0,

所以/（X）在（0,4）上單調(diào)遞減，在（4,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

,?nfn+1）?.02x3一03x4,

由5=-------隨"的增大而增大，S=——=3,S=——=6,

“22232

02128八12815502128“64172

貝”1+k=9+T=T，s；+k=36+w=T，

_128155

所以s；2+k的最小值為號.

故答案為：-^―-

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列&｝和等比數(shù)列出｝滿足q+a2=bl+b2=30,a3+a4=b3+2=10,

則數(shù)列｛?A｝在n=時取到最小值.

【答案】2或6

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛￡｝的公比為q,

f1ax+d=4（1+q）=30

，

則卜4+54=如2（i+<?）=io

解得q=彳，q2=；,

d=-53

,,35,/1、_45

故見=--5（?-l）=-