2025-2026學(xué)年度高三一輪復(fù)習(xí)--數(shù)列的概念與邏輯易錯(cuò)辨

析專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題

1.（24-25高三上?江蘇無錫?期中）若等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則”2期>。且邑必

是““1012“1013<°”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（24-25高三上?江西新余?階段練習(xí)）已知數(shù)歹！|｛耳卜也,｝均為等比數(shù)列且對(duì)

VrnGN*（m>l）,am_P2、4nM成等差數(shù)列，貝『'｛凡卜也,｝有相同的首項(xiàng)”是“｛4｝、｛>“｝有相同

的公比”的（）條件.

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

3.（24-25高三上?山東日照?開學(xué)考試）已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，則“左=2”

是“4+%=%+%）”成立的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛瑪｝為無窮項(xiàng)等比數(shù)列，S“為其前”項(xiàng)和，%>0,

則“｛5｝存在最小項(xiàng)”是“邑2?！钡模ǎ?/p>

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024?北京海淀?二模）設(shè)｛%｝是公比為4（42-1）的無窮等比數(shù)列，5"為其前”項(xiàng)和，4>0,

則“4>0”是“S”存在最小直，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（23-24高三下?北京石景山模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，其前w項(xiàng)和為S“，貝I]

“凡+2=5“”是“邑”=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（23-24高三下.北京海淀模擬）已知等差數(shù)列%的前〃項(xiàng)和為S*,若為<0、則“S”有最

大直'是“公差d<0"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（23-24高三.北京西城二模）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S“，則”｛q｝是遞增數(shù)列”是“｛SJ

是遞增數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2024.安徽合肥.模擬預(yù)測(cè)）已知“正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足%+「凡=4""，貝廣％=2%”是“數(shù)列

｛q｝為等比數(shù)列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

10.（2024?江蘇鹽城一模）已知S“為數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，貝廣2s用<5“+%2”是“數(shù)列｛5“｝

為單增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）設(shè)S”為數(shù)列｛〃“｝的前”項(xiàng)和，左為常數(shù)且ZeN,左22,

有以下兩個(gè)命題：

①若｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，則％?的……q=。是$2……叢I=0的充分非必要條

件，

②若｛%｝是等比數(shù)列，則%+<=。是先星……5斤=0的充要條件，那么（）

A.①是真命題，②是假命題B.①、②都是真命題

C.①是假命題，②是真命題D.①、②都是假命題

12.（24-25高三上?全國?課前預(yù)習(xí)）設(shè)｛叫是等比數(shù)列，貝是“數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列”

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

13.（2024?北京通州?二模）已知等差數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為工，則“邑-2出<0”是

“科+1〉（〃+1電”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.（23-24高三下?北京模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,弓>0,則“區(qū).>4"是%>1"

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

15.（23-24高二下?北京?期中）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，貝廣生>g>4"是''數(shù)列

｛SJ為遞增數(shù)歹廣的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

16.（2024?北京豐臺(tái)?二模）已知等差數(shù)列｛%｝的公差為d,首項(xiàng)%那么"]=?！?/p>

是“集合S=｛x|x=sin%,〃eN1恰有兩個(gè)元素”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

17.（23-24高三下.江蘇.階段練習(xí)）記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，貝『'｛〃"｝為等差數(shù)列''是

"S"（"+”"），，的條件______.（填寫“充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分也

"2

不必要”之一）

18.（23-24高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為％,公差為d,命題

0：￡是等差數(shù)列，命題q：d=2q,則命題P是命題4成立的條件.（填寫“充分不必

要，，，“必要不充分，，，“充要，，”既不充分也不必要，，）

19.（2023?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=/-附+a,則“°=0”是

“2%=。2+g”的條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”

中的一種）

三、解答題

20.（24-25高三上?北京?期中）已知數(shù)列｛%｝是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)上wN*,

使得%T+%=3對(duì)任意的neN*成立，則稱數(shù)列｛。"｝具有性質(zhì)于（左）.

（1）分別判斷下列數(shù)列｛《,｝是否具有性質(zhì)+（2）；（直接寫出結(jié)論）

①氏=1;

②。,=2”.

⑵若數(shù)列｛%｝滿足??+1>??（?=L2,3,…）,求證：“數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)中⑵”是“數(shù)列｛叫為

常數(shù)列”的充分必要條件；

（3）已知數(shù)列｛。"｝中q=1,且％->%（"=1,2,3「..）.若數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)中（4）,求數(shù)列｛%｝

的通項(xiàng)公式.

21.（2024?江西九江?二模）已知無窮數(shù)列｛%｝中，??>0,記月…必｝,

5=min｛%+iM.+2,…｝,dn=An-Bn.

⑴若｛叫為2,0,2,4,2,0,2,4,是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即V〃eN*,??+4=??）,

直接寫出4，d2,d3,4的值；

（2）若｛%｝為周期數(shù)列，證明：m/eN*,使得當(dāng)〃>%時(shí)，”,是常數(shù)；

（3）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：4=-〃5=1,2,33）的充分必要條件為｛4“｝為公差為4的等差數(shù)

列.

22.（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）正整數(shù)集合A=｛q,/，/,…,4｝,且叫〈々〈生<…<4,n>3,B

中所有元素和為7（B）,集合C=｛T（B）|B=A｝.

⑴若A=｛1,2,5｝,請(qǐng)直接寫出集合C；

（2）若集合B中有且只有兩個(gè)元素，求證“%,%,4,…,4為等差數(shù)列”的充分必要條件是“集合

C中有2”3個(gè)元素”;

⑶若C={1，2,3,…,2023},求〃的最小值，以及當(dāng)〃取最小值時(shí)，應(yīng)最小值

參考答案:

1.A

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷即）］2＞。，4。］3＜。，說明充分

性，由4(112<°，弓013>。時(shí)，即可說明不必要性.

【詳解】因?yàn)橐?24〉。且S2025<0,所以等差數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，且公差小于0,

x

優(yōu)Q、nc_(〃i+“2023)x2023nc_(%+4025)2025,八

改“023〉U,52023=--------------------->°，5025=-------------------------<0，

貝1+%023=2%012>0，q+々2025=2^1013<0，

BR〃1012>°，"1013<°，所以“1012。1013<°，

由〃1012〃1013<0，當(dāng)^1012<0,〃1013>。時(shí)，等差數(shù)列｛%,｝單調(diào)遞增，

則不可能滿足52024>0且邑必<0,

因此“S2024>0且邑必<0”是“4012。1013<。'的充分不必要條件.

故選：A.

2.B

【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝、色,｝均為等比數(shù)列，所以設(shè)b"=M『,

又金一、鼠、金M成等差數(shù)列，可得2粼=a,"T+a,"M，即2伉球7=%碟-2+4引，

令〃2=2,有2b2=41+%,即=4+qq：,

令m=3,有24=2+%，即2如;=，

若｛。"｝、｛2｝有相同的首項(xiàng)，即卬=4，可得廣"％3，

2%=0+41

解得5%=靖，即%=%,故充分性成立；

若｛%｝、｛〃｝有相同的公比,即%=%，可得2b靖=%獷2+%琥,

化簡(jiǎn)得2b4=4+axql,假設(shè)d=-1,則q=一々，

所以《和用不一定相等，故必要性不成立.

所以“｛%｝、也｝有相同的首項(xiàng)”是“｛%J、也｝有相同的公比”的充分不必要條件.

故選：B.

3.A

【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得其充分性，借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式及其基本量計(jì)算可得其必要

性，即可得解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為

當(dāng)左=2時(shí)，貝+41=4+%,,故充分性滿足；

當(dāng)%+6]=%+%o時(shí)，有q+%=q+(q+10d)=2q+10J,

+%。=[q+(k—++9d)=2q+(左+8)d,

即2al+10d=2q+(左+8)d,且dxO,貝!J8+左=10,

即左=2,故必要性滿足；

所以"左=2"是"％+an=ak+%o”成立的充分必要條件.

故選：A.

4.C

【分析】按照公比的取值范圍討論，分別從條件到結(jié)論、結(jié)論到條件兩個(gè)方面考慮是否可推

出.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為4,

當(dāng)q>0時(shí)，a?>0,⑸｝存在最小項(xiàng)，S2>0.

當(dāng)一l<4<0時(shí)，a2?<0,a2n_1>0,a2ll+a2n_1>0,neN*,

所以｛S“｝存在最小項(xiàng)S2，邑>0；

當(dāng)q=-l時(shí)，S2"=0，S2.T=%>0，"eN*,所以｛S,J存在最小項(xiàng)，S2=o.

當(dāng)4<-1時(shí)，所以⑸｝不存在最小項(xiàng)，邑<0；

1-q

所以當(dāng)｛E,｝存在最小項(xiàng)時(shí)，s2>0;當(dāng)s?2。時(shí)，｛s“｝存在最小項(xiàng).

所以“電｝存在最小項(xiàng)”是“邑20”的充分必要條件.

故選：C.

5.A

【分析】假設(shè)q>0,借助等比數(shù)列的性質(zhì)可得其充分性，舉出反例可得其必要性不成立,

即可得解.

【詳解】若q>°,由4>。，則Sn+l-Sn=an+l=atq">0,

故凡必有最小值耳=q,故“q>0”是“S,存在最小值，，的充分條件;

則S“有最小值S?=|-，（一曰=g,

故‘4>0”不是“S”存在最小值，，的必要條件;

即“4>0”是“S"存在最小值”的充分而不必要條件

故選：A.

6.C

【分析】在已知條件下，S〃+2=S〃，S2〃=0都與4=-1等價(jià)，由此即可得解.

【詳解】S〃+2=S〃OS〃+2—5〃=?！?2+%+1=q+1（1+9）=°，

而見+1工。，所以S+2=S04=-1=>$2「［1）。］=0,充分性成立；

n+zn-LZM1/1\

1-E

反過來若2"一｝_q一Unq=T,若q=］,則一定有與“=29？0,

q

所以,4=-1,故S,+2=S,+。"+%+2=s“，必要性成立；

也就是說，已知數(shù)列｛〃"｝是等比數(shù)列，貝『'S/2='”是"$2“=0”的充分必要條件.

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)特點(diǎn)和前鼠項(xiàng)和最值的關(guān)系進(jìn)行分析.

【詳解】充分性：等差數(shù)列?！钡那啊?xiàng)和為S“=7%+/?"=："2+回-：）〃,

前“項(xiàng)和可看做關(guān)于〃的函數(shù)，若S“有最大值，則dWO不滿足充分性;

必要性：等差數(shù)列〃〃的前〃項(xiàng)和為S,，若/<0、公差d<0,則等差數(shù)列每一項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，

顯然加取到最大值，必要性成立.

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列遞增數(shù)列分類得出q〈0,1）q>0或q>0,4>1,｛凡｝遞增得出%>0,最

后根據(jù)既不充分也不必要條件判斷即可.

【詳解】｛%｝是等比數(shù)列是遞增數(shù)列，則4（0』）q>0或4>0應(yīng)>1,

｛S,,｝是遞增數(shù)列，S“一Si=an=%q"T>0,即得%>。,q>。；

“｛%｝是等比數(shù)列是遞增數(shù)列”是“｛S,,｝是遞增數(shù)列”既不充分也不必要條件.

故選：D.

9.C

【分析】由。向?=4"可得正項(xiàng)數(shù)列｛外｝隔項(xiàng)成等比數(shù)列，再由。2=2%結(jié)合充分條件和必

要條件的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)?q=4",所以。q-=4用,

a.a4n+1

兩式相除可得：-2川=4,

an+l-an4"

所以聯(lián)=4,

a?

所以當(dāng)”=23則包y=4,所以是以電為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

a2k

2-2

所以為=“2?4—=%?（2?）"'=a2-2*,

所以當(dāng)〃=2左-1,貝U詠=4,所以｛%1｝是以q為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，

a2k—1

所以為j=?i,4"T=a｝-2"-2,

22

當(dāng)?shù)?2q,則a2k=2a,-2^=a,-2N,-=%?淤㈠一,

所以數(shù)列｛《,｝為公比為2的等比數(shù)列，

所以“%=2%”能推出“數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列”，

若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，則公比為2,故%=2%,

所以“數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列”能推出“%=2%

故“%=2%”是“數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列”的充要條件.

故選：C.

10.D

【分析】由數(shù)列的前〃項(xiàng)和與項(xiàng)得關(guān)系可判斷氏+1<%+2，進(jìn)而得數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

設(shè)公差為d(d>0),此時(shí)5“=3〃2+(4一日1，推出當(dāng)％<-1時(shí)5“先減后增，可判斷充分

性，舉例可判斷必要性，即可得結(jié)果.

【詳解】解:若2s用<S'+限，

S“+2—5<%+2

故s用-Sn<〃+］，即，

故｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為d(d>0),

H—--d=2+［a］

此時(shí)Sn=na｝5〃一萬］〃，n>l,”eN,

令y對(duì)稱軸為4一5，當(dāng)4<一:時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸X>1,

2'2)x=----2

a

2

此時(shí)s?=|w+^-1^先減后增，

故不能推出“數(shù)列｛S“｝為單增數(shù)列”，

若數(shù)列｛S“｝為單增數(shù)列，

例如如=幾,則S"+i=幾+1,Sn+2=n+2,

|

貝)5“+54+2=〃+〃+2=2(〃+1)=5/!+］,

故不能推出2s向<S“+42，

所以“2心1<S“+42”是“數(shù)列｛S“｝為單增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

11.B

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前,項(xiàng)和性質(zhì)分析①的真假，由等比數(shù)列和等

比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)分析②的真假，綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于命題①，｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，

若4?外…。%=。，則在%中,至少有一項(xiàng)為0,

假設(shè)%,=0,（1wmw左），則S2m_t=（2加一1）（；+的.）=（2rn-l）?m=0,

必有必邑…$21=°,

反之，在等差數(shù)列｛《,｝中，若?！?2”-3,

貝=有邑=0,貝iJSjSz…1=0成立，

但4…4=。不成立，

則％?的……4=0是s/S?……S”T=0的充分非必要條件，故①正確;

對(duì)于命題②，若｛%｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4,若左eN,Z22時(shí)，

有S].$2…品=。，則S[,%&中，至少有一項(xiàng)為0,則#1,

假設(shè)鼠=0,則有S=""=0,必有d"=l,

i-q

又由qwi,必有機(jī)為偶數(shù)且4=T,故4+4+I=。，

反之，若以+%1=0,則g=T,必有$2=。，則有ZeN,k>2,

則火邑…1=0,所以｛%｝是等比數(shù)列，

則ak+aM=0是S/S2……&=0的充要條件，

故②正確.

故選：B.

12.B

【分析】依據(jù)遞增數(shù)列性質(zhì)結(jié)合必要而不充分條件定義即可得到題給兩條件間的邏輯關(guān)系.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

由4</，可得％（"-1）>0,

fa.>0,<0,

解得口i或［\ayx("。).

則a“-a“T①一1)中，的正負(fù)未定，

此時(shí)數(shù)列｛〃,｝不一定是遞增數(shù)列；

由數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，可得%<的，

所以“q<%”是“數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.

故選：B

13.C

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可推導(dǎo)得到充分性成立;將〃=1代入科+i>(〃+1電,

可得%>4,進(jìn)而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為4,

由—22<0得：q+4一2出=〃i一。2=-4<0,/.d>0,

/\「/、n(n+l)]/、(n(n-l)

L

??〃S〃+i++——-----d+naxH——---d

nSn+l>(M+1)S?,即S?-2w<0=>nSn+1>(?+l)S?,充分性成立；

由砌什1>(〃+l)S.得：邑>251,S2-S]>S],即02>卬，

/.S2-2a2=ax+a2-2a2=a1-a2<0,

即nSn+l>(?+l)S?=S2-2的<0,必要性成立；

「邑-2出<0”是“碼+i>(〃+l)S“"的充分必要條件.

故選：C.

14.C

【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式的性質(zhì)，對(duì)兩個(gè)條件進(jìn)行正反推理論

證，可得所求結(jié)論.

【詳解】根據(jù)題意，?+2>%成立時(shí)，有向>結(jié)合％>0,

得產(chǎn)>尸,即q"T（/-l）>0,

①當(dāng)4>0時(shí),可得小、。,所以4>1,即此1；

②當(dāng)q<0時(shí)，〃為偶數(shù)時(shí)，q"-1<0,可得/-1<0,所以-1<4<0,

〃為奇數(shù)時(shí)，q"T>o,可得所以q<—l,因此不存在q<0滿足%+2>%成立,

綜上所述，若見+2>?！俺闪?，則必定有4>1,

若4>1,結(jié)合q>0,可知等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，必定有?！?2成立

因此，若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％>。，貝『'。"+2>%''是"4>1''的充要條件.

故選：C

15.D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】?；｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,

當(dāng)見>g>4,數(shù)列｛S“｝不一定是遞增數(shù)歹U，

如當(dāng)％=-1,4時(shí)，｛4“｝中的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),

,阻｝是遞減數(shù)列，充分性不成立;

當(dāng)數(shù)列｛S,｝為遞增數(shù)列時(shí)，見>的>4不一定成立,

如當(dāng)％=1,q=g時(shí)，出=；，4=；，%/，，必要性不成立.

是“數(shù)列｛E,｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

16.A

【分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.

【詳解】對(duì)于充分性，已知等差數(shù)列｛q｝的公差為d,首項(xiàng)

當(dāng)“d=?！睍r(shí),集合S=卜,=sin%,〃￡N］恰有兩個(gè)元素S=｛sin/，-sin4｝,

故充分性成立，對(duì)于必要性，當(dāng)d=3兀時(shí),

“集合S=[x\x=sin%,〃eN*｝也恰有兩個(gè)元素”，故必要性不成立，

故“d=?！笔恰凹蟂=[x\x=sina,,,/?eN:恰有兩個(gè)元素”的充分而不必要條件.

故選：A

17.充要條件

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義，從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行推理證明，即可

得出結(jié)論.

【詳解】令命題P：｛4｝為等差數(shù)列，命題4：=皆)

充分性：若｛〃“｝是等差數(shù)列，則一定有S"=所以p是q的充分條件；

必要性：〃=1時(shí)，Q=q,

此2時(shí)，a-T=

2an=naA+nan-(n-1)ax-(n-1)??_；

(n-2)a?-(n-1)an_x+(\=0①,

(；2-l)a?+1-nan+q=0(2),

②一①得：(〃T)a“+i-加“-(w-2)fl?+(?-1)??_1=0,

(n-l)a?+1-(2n-2)an+(〃-1)%=0,

a2aaa

n+i-?+%-l=0，即n+l+n-\=2%，

所以｛%｝為等差數(shù)列，所以p是q的必要條件，

綜上所述，P是q的充要條件，

故答案為：充要條件.

18.充分不必要

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于〃的一次式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛外,｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為d,

LL-C〃（〃一1）,d\

所以S“=nax+2d=a\，

若向?yàn)榈炔顢?shù)列，則戶是關(guān)于〃的一次式,

則必有q-弓=。，即d=2%,此時(shí)底=即=也〃320）,

所以。=>4,即P是4的充分條件，

若d=2q,當(dāng)d<0時(shí)，此時(shí)瘋=腎=曰沒有意義，

所以4推不出P,

綜上：P是4的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

19.充分不必要

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)列的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系分析判斷即可.

2

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，Sn=n-n,

當(dāng)"=]時(shí)，a1=S]=F-i=0,

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_,=n-n-[(n-1)-(?-1)]=2M-2,

因?yàn)?=。滿足上式,

所以4=2〃-2,

所以2%=2x(2x3—2)=8,a2+=2x2—2+2x4—2=8,

所以2〃3=g+%成立，

由S〃—幾之_〃+QW]*Cl?~凡—S]=22—2+(2—1+1—Q=2,

%=S3—S?=3?—3+Q—2?+2—Q=4,

。4=-S3=42—4+Q-32+3-Q=6,

所以此時(shí)滿足2%=0+%，但不一定〃=0，

所以"a=0"是"2生=g+%”的充分不必要條件，

故答案為：充分不必要

20.(1)①具有，②不具有

⑵證明見解析

(3)an=2n-l

【分析】（1）根據(jù)定義代入計(jì)算可得;

(2)先證明充分性，依題意可得%-i+%,=2%,即可得到0〈%,一4=。.-%.-14°，從而

得到%=???=%,，再證必要性，即數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，根據(jù)定義證明即可；

(3)首先證明：an+l-an>2,然后利用反證法證明：an+1-an<2,即可得至lj。q=2,

結(jié)合％=1即可得解.

【詳解】⑴①?！?1,對(duì)于"WN*,為T+%,=2=2品，所以數(shù)列｛%｝具有“性質(zhì)川2)”；

②4=2",對(duì)于"eN*,02，!-1+^==2"-1+2">21-1+21=3,

an,

故%,所以數(shù)列｛%｝不具有“性質(zhì)刃(2)”.

(2)證明：先證“充分性”：

當(dāng)數(shù)列(??｝具有“性質(zhì)“⑵”時(shí)，有+a2n=2a?,

又因?yàn)?+1叫，

所以04出”一。"=。"一。2,140，

進(jìn)而有%=%“

結(jié)合4)+1?a”有a”=a,i+l=--=a2n>

即“數(shù)列｛a,｝為常數(shù)列

再證“必要性”：

若"數(shù)列｛”“｝為常數(shù)列”，

貝U有“2,1+a2n=2卬=2%,

即“數(shù)列a｝具有“性質(zhì)材⑵”.

(3)首先證明：an+l-an>2.

因?yàn)椋?｝具有“性質(zhì)“⑷”,

所以=4%?

當(dāng)〃=1時(shí)，有。2=3%=3.

aa

又因?yàn)椤?n-\，2n?nwN,且a2n>a211T,

所以有的“？2an+1，?2n-l42anT，

進(jìn)而有2%+l<a2n<a2n+l-l<2an+l-2,

所以2(%-a,)23,

結(jié)合a“+i，4eN*可得：an+l-an>2.

然后利用反證法證明：an+l-an<2.

假設(shè)數(shù)列｛對(duì)｝中存在相鄰的兩項(xiàng)之差大于3,

即存在ZeN滿足：23或。2什2—2上+123,

a—aa

進(jìn)而有4(?*+1-?()=(?2k+2+2k+l)(2k+2k-l)

=(%+2—a2k)+(a2"+1—%-1)=[(02"+2—%女+1)+(%計(jì)1—a2k)]+[(%"+1-％)+-)]12.

又因?yàn)?1-應(yīng)eN*,

所以4+1-怎23

依此類推可得：出-4N3,矛盾，

所以有4+1-4,42.

綜上有：a?+i-a?=2,

結(jié)合％=1可得%=2〃-1,

經(jīng)驗(yàn)證，該通項(xiàng)公式滿足?2?-i+a2?=4a.,

所以%=2〃-1.

21.(1)4=2,12=2,4=2,d4—4

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)根據(jù)定義可求出4，4，4，〃的值；

(2)令"°=T(周期)，結(jié)合新定義，即可求證；

(3)根據(jù)定義分別證明充分性和必要性，d為非負(fù)整數(shù)，｛%｝是公差為”的等差數(shù)列,

a

A,=n=q+(〃T)d,紇=an+l=<7,+nd,易證出充分性，證明必要性先結(jié)合反證法證明數(shù)列

不是遞減，再證明是等差數(shù)列.

【詳解】(1)4=2,4=2,4=2,</4=4.

(2)