完成時(shí)間：_月_日天氣:

作業(yè)線段的垂直平分線&角的平分線

作業(yè)導(dǎo)航

K跡一:利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度_)

■（苗忙:利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度__)

H題一：利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明_)

■（題型四：賽殳垂直平分線的判定_)

H題典:尺規(guī)作線段垂直平分線_)

鞏固提升練

《題心線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用_)

（題型七：利用角平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度_)

■（題型八：利用角平分線的性質(zhì)求面積―)

角平分線性質(zhì)的證明_)

■（題型十：顆作角平分線_)

線段的垂直y題型十一：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

平分線&角

［題利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值

的平分線能力培優(yōu)練

題型二利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系

［題型三利用線角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題

創(chuàng)新題型練!一：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用)

二：角平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用)

培優(yōu)訓(xùn)練-------------------------------------------------------

三層必刷：鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練

【題型一：利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度］

（2024秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）

1.如圖，AB=AC,BC=4,△3CE的周長(zhǎng)為9,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E,垂足

為。，貝UA5=（）

B

A.6B.5C.4D.無(wú)法確定

（2025?湖北荊州?三模）

2.如圖，在VABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)E,AB=4cm,

AC=5cm,BC=6cm,則△ABD周長(zhǎng)為（）

（2025?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）

3.如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,E為8C的中點(diǎn)，且AE_LDE,延長(zhǎng)DE交AB的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E若AB=9,CD=4,則AD的長(zhǎng)為（）

A.11B.12C.13D.14

（2025?云南臨滄?三模）

4.如圖，在VABC中，。為3C邊上一點(diǎn)，AC^AD,EF為線段5D的垂直平分線，若VADE

的周長(zhǎng)為19,AC=7,則48的長(zhǎng)為.

【題型二：利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度】

（24-25八年級(jí)下?山西晉中?期中）

5.如圖，VA3C中，邊的垂直平分線分別交AC,AB于點(diǎn)DE,連接8D.若NC=24。,

DBA.BC,則NA的度數(shù)為（）

試卷第2頁(yè)，共21頁(yè)

A

D

C

A.24°B.30°C.33°D.66°

（2025七年級(jí)下?上海?專題練習(xí)）

6.如圖，在VA3C中，/。=38。，邊叱的垂直平分線分別與4。、8（?交于點(diǎn)￡）、￡,46=8,

（24-25七年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）

7.如圖，在VABC中，BC的垂直平分線所交NABC的平分線3。于點(diǎn)E,若N54C=66。,

ZACE=24°,則ZB/如的度數(shù)為.

（24-25七年級(jí)下?山東淄博?階段練習(xí)）

8.如圖，已知N8AC=135。，若PM和QV分別垂直平分AB和AC,貝lJ/PAQ=

【題型三：利用線段垂直平分線的性質(zhì)證明】

（24-25八年級(jí)下?貴州畢節(jié)?期中）

9.如圖，在VABC中，AD±BC,跖垂直平分AC,交AC于點(diǎn)R交BC于點(diǎn)E,且超）=DE,

連接AE.

A

⑴求證：AB=EC；

(2)若VABC的周長(zhǎng)為32cm,AC=12cm,求。C的長(zhǎng).

(2024春?陜西榆林?八年級(jí)?？计谀?

10.如圖，在四邊形ABOC中，AD所在直線垂直平分線段8C,過(guò)點(diǎn)C作CF〃交AB

(1)CB平分/ECF；

Q)ZACF=NE.

(24-25七年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí))

11.如圖，在VA2C中，AD是4c的平分線，AD的垂直平分線GP交AB于點(diǎn)E,交AC

于點(diǎn)G,交C3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/，連接OE,AF.

(1)判斷OE與AC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑵—C與44/相等嗎？為什么？

(2025七年級(jí)下?河南鄭州?專題練習(xí))

12.圖，在等腰VABC中，BA=BC,ZABC=45°,8。平分NABC,折疊ZA5C使得點(diǎn)

8與點(diǎn)C重合，折痕交AB、BC、BD于點(diǎn)E、F、G,連接CE交于點(diǎn)H.

試卷第4頁(yè)，共21頁(yè)

A

⑴試說(shuō)明：BH=AC；

(2)連接GC,求/OGC的度數(shù).

【題型四：線段垂直平分線的判定】

13.如圖，點(diǎn)P是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PB=PC,貝lj()

A.點(diǎn)P在/ABC的平分線上B.點(diǎn)P在NACB的平分線上

C.點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上D.點(diǎn)P在邊BC的垂直平分線上

(2024?豐順縣校級(jí)開(kāi)學(xué))

14.已知，如圖，在VABC中，ZABC=2ZC,BO平分,ABC,交AC于點(diǎn)。，求證：點(diǎn)

。在BC的垂直平分線上.

15.如圖，在VABC中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)尸，求證：點(diǎn)尸在線段AC的垂直

平分線上.

(24-25八年級(jí)上?上海?階段練習(xí))

16.已知，如圖，AE±EB,點(diǎn)E、E分別為垂足，BE=CF,ZABC^ZACB.

A

（2）延長(zhǎng)￡B、%相交于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)AD.證明：AD垂直平分線BC.

【題型五：尺規(guī)作線段垂直平分線】

（2025?云南楚雄?三模）

17.如圖，直線。〃方，直線AD分別與。，6交于點(diǎn)C,B,分別以點(diǎn)B,C為圓心，適當(dāng)

長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于M,N兩點(diǎn)，作直線交直線6于點(diǎn)E,連接CE,若N2=3O。，

則N1的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.40°D.65°

（2025?貴州銅仁?三模）

18.如圖，在已知的VABC中，按以下步驟作圖：

①分別以8、C為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于兩點(diǎn)Af、N；

②作直線MN交A3于點(diǎn)。，連接CD.若CO=AC,ZA=50°,則NACB的度數(shù)為（）

（2025?河北唐山?三模）

試卷第6頁(yè)，共21頁(yè)

19.如圖，在VABC中，AB=AC=5,BC=6,A￡＞平分/54C交3C于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)A,

C為圓心，大于《AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N,作直線"N,交AO于點(diǎn)尸,

2

（24-25八年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）

20.如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=108°.

⑴用尺規(guī)作AB的垂直平分線￡?E,交BC于點(diǎn)。，交于點(diǎn)E,連接AO（保留作圖痕跡,

不寫作法）;

⑵在（1）的條件下，求/ZMC的度數(shù).

【題型六：線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用】

（2024春?福田區(qū)校級(jí)期末）

21.如圖，三座商場(chǎng)分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個(gè)地鐵站，使得該地鐵站

到三座商場(chǎng)的距離相等，該地鐵站應(yīng)建在（）

A.三角形三條中線的交點(diǎn)B.三角形三條高所在直線的交點(diǎn)

C.三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

（2024春?膠州市期中）

22.某公園的A,B,C處分別有海盜船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)

一個(gè)售票中心，使三個(gè)娛樂(lè)項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，則售票中心應(yīng)建立在（）

CB

旋轉(zhuǎn)木馬??摩天輪

A

海海船

A.△ABC三邊高線的交點(diǎn)處B.△ABC三角角平分線的交點(diǎn)處

C.△ABC三邊中線的交點(diǎn)處D.△A2C三邊垂直平分線的交點(diǎn)處

（2024秋?兩江新區(qū)期末）

23.直線/是一條河，P,。是在/同側(cè)的兩個(gè)村莊.欲在/上的M處修建一個(gè)水泵站，向尸,

。兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則〃處到P,。兩地距離

相等的方案是（）

M\

（2024春?廣西北海?八年級(jí)統(tǒng)考期中）

24.如圖，要在公路MN旁修建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站P,分別向A、2兩個(gè)開(kāi)發(fā)區(qū)運(yùn)貨.若要求

貨站到A、8兩個(gè)開(kāi)發(fā)區(qū)的距離相等，那么貨站應(yīng)建在那里？不寫作法，保留作圖痕跡.

MN

【題型七：利用角平分線的性質(zhì)求長(zhǎng)度】

25.如圖，在Rt^ABC中，NA=90。，5。是VABC的角平分線.若AC=9,CD=6,則點(diǎn)

。到BC的距離是（）

26.如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD平分NC4B,DEJ.AB,ED=3,BC=8,

試卷第8頁(yè)，共21頁(yè)

則80的長(zhǎng)為（）

3

27.如圖，在VA3C中，ZC=90°,若AC=7,CD=-AC,8。平分/ABC,則點(diǎn)。到AB

A.2B.3C.4D.7

28.如圖，在VABC中，AD平分N3AC,DEJ.AB,垂足為點(diǎn)￡.若AACD的面積為16,

AC=8,則DE的長(zhǎng)為（）

【題型八：利用角平分線的性質(zhì)求面積】

（2025?山西大同?三模）

29.如圖，在Rt^ABC中，NC=90。,3。平分/ABC交AC于點(diǎn)D若CD=0.6,AB=2,

則△ABD的面積是（）

A

B.1.2C.2D.2.6

（2025?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）

30.如圖，在VA5c中，4。為—BAC的平分線，于點(diǎn)E,DE=2,AB+AC=16,

則VABC的面積為（）

C.16D.8

（24-25八年級(jí)下?陜西西安?階段練習(xí)）

31.如圖，在VA3C中，AB=AC=4,ABAC=120°,CO是VABC的角平分線，則4。的

長(zhǎng)為（）

A/3-IC.273-1D.6-2百

（2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）

32.如圖，在VA2C中，以點(diǎn)C為圓心、任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC,BC于點(diǎn)D,E；

分別以點(diǎn)D,E為圓心，以大于玄￡的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)R作射線y于

點(diǎn)G.若AC=10,BC=1,ABCG的面積為9,則AACG的面積為

【題型九:角平分線性質(zhì)的證明

33.如圖，已知AC平分/BADCELAB,CDLAD,點(diǎn)E,。分別為垂足，CF=CB.求

試卷第10頁(yè)，共21頁(yè)

證：BE=FD.

34.如圖，已知2D為NABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)尸在2。上，于Af,PNLCD

35.已知3ELAC于E,中，45于尸，BE、CF相交于點(diǎn)，若BD=CD.求證：AD平

分■NBAC.

36.如圖,四邊形ABCD中，ZB=90°,AB//CD,M為BC邊上的一點(diǎn)，AM平分NBAD,

求證:(1)AM_LDM;

⑵M為BC的中點(diǎn).

【題型十：尺規(guī)作角平分線】

(2025?上海普陀?三模)

37.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC,AB

于點(diǎn)點(diǎn)N,再分別以M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,射線

AP與8C交于點(diǎn)。，DEJ.AB,垂足為E.若8=2,則DE=（）

（2025?吉林延邊?二模）

38.如圖，在Rt^ABC中，？390?,以點(diǎn)A為圓心，按照要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，若AACG的

面積是4,AC=4,則BG=（）

A.2B.3C.4D.5

（24-25八年級(jí)下?山西太原?期中）

39.如圖，在VABC中，AB=AC=5,利用尺規(guī)以點(diǎn)。為圓心，線段CB的長(zhǎng)為半徑作弧，

交邊于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)8,D為圓心，大于g劭的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射

線CE,交A3邊于點(diǎn)尸.若C尸=4,則線段AF的長(zhǎng)為（）

C

（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）

40.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2AC=2.

試卷第12頁(yè)，共21頁(yè)

A

⑴尺規(guī)作圖：

①作ZBAC的角平分線AD,交BC于點(diǎn)P；

②作點(diǎn)尸到的距離尸E.（保留作圖痕跡，不寫作法）.

⑵在（1）的條件下，求班的長(zhǎng).

【題型十一：角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】

（24-25八年級(jí)下?遼寧沈陽(yáng)?期中）

41.如圖，某小區(qū)的三棟單元樓分別位于VA3C的三個(gè)頂點(diǎn)處,要在VA3C內(nèi)建一個(gè)快遞站,

并使快遞站到每一棟單元樓的距離相等，則快遞站應(yīng)建在VABC的（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)

C.三條高所在直線的交點(diǎn)D.三條中線的交點(diǎn)

（24-25八年級(jí)上?廣東中山?期中）

42.如圖，AB,AC,BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)

修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（）

A.VABC三條角平分線的交點(diǎn)位置B.VABC三條高的交點(diǎn)位置

C.VABC三邊的中垂線的交點(diǎn)位置D.VABC三條中線的交點(diǎn)位置

（2024春?湖南株洲?八年級(jí)校考期末）

43.如圖，有三條道路圍成Rt^ABC,其中3C=100（）m,一個(gè)人從8處出發(fā)沿著3C行走

了800m到達(dá)。處，AO恰為的平分線，則此時(shí)這個(gè)人到AB的最短距離為m.

A

（2024春?遼寧丹東?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

44.如圖，兩條公路AO,20交于點(diǎn)。，村莊N的位置如圖所示，M在公路0A上，現(xiàn)

要修建一個(gè)快遞站尸，使快遞站到兩條公路的距離相等，且到兩村莊的距離也相等（要求:

尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

2能力培優(yōu)練

【題型一：利用線段垂直平分線的性質(zhì)求最值】

（2024春?甘肅隴南?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

45.如圖，在VABC中，AB=5,AC=1,BC=10,E尸垂直平分BC,點(diǎn)P為直線E尸上

（2024春?江西九江?八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）

46.如圖，在VABC中，AC=4,邊上的垂直平分線分別交BC、AB于點(diǎn)。、E,若△AEC

的周長(zhǎng)是11,則直線OE上任意一點(diǎn)到A、C距離和最小為（）

A.28B.18C.10D.7

試卷第14頁(yè)，共21頁(yè)

（2025?山東濟(jì)寧?一模）

47.如圖，在中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD1BC.若尸、。分別是AO

和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+尸。的最小值是.

48.如圖，在AA8C中，/A=54。，NC=76。，。為A8中點(diǎn)，點(diǎn)尸在AC上從C向A運(yùn)動(dòng);

同時(shí)，點(diǎn)。在BC上從5向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)NPDQ=時(shí)，△P。。的周長(zhǎng)最小.

【題型二：利用線段垂直平分線的性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

（24-25八年級(jí)下?江西撫州?階段練習(xí)）

49.如圖，已知C￡＞是線段的垂直平分線，直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,過(guò)C點(diǎn)作CE，/,垂足是E,

點(diǎn)下是線段AE上一點(diǎn)，連接成、CF,ZBFE=2NBAC,CF平分ZBFE,則線段

BF、EF、AE之間的等量關(guān)系是.

（24-25八年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?期末）

50.如圖，在VABC中，。為BC的中點(diǎn)，DE_L3C交/A4c的平分線AE于E,EF±AB

于尸，EG_LAC交AC延長(zhǎng)線于G.

A

⑴求證：BF=CG.

（2）猜想AB、AC、AF的數(shù)量有什么關(guān)系？并證明你的猜想；

⑶若AB-10cm,AC=6cm,則BF=cm.

（2024春?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

51.如圖，四邊形ABC。是長(zhǎng)方形，E是邊CD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交邊的延長(zhǎng)線

于E過(guò)點(diǎn)E作A尸的垂線交邊于連接AM.

（1）請(qǐng)說(shuō)明AADE也AFCE；

（2）試說(shuō)明AM=BC+MC-

（3）設(shè)S^AEM~SifSAECM~S2,S^ABM~S3試探究S/,S2,S3三者之間的等量關(guān)系，并說(shuō)

明理由.

AD

BMCF

（2024春?山東日照?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

52.如圖1,在直角AABC中，ZC=90°,分別作/CA8的平分線AP和AB的垂直平分線

DP,交點(diǎn)為尸.

CBCPQ6

圖1圖2圖3

（1）如圖2,若點(diǎn)P正好落在3c邊上.

①求的度數(shù)；

②求證：BC=3PC.

試卷第16頁(yè)，共21頁(yè)

（2）如圖3,若點(diǎn)C、P、O恰好在一條直線上，線段A。、PD、8C之間的數(shù)量關(guān)系是否

滿足AO+P￡）=BC?若滿足，請(qǐng)給出證明；若不滿足，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型三：利用線角平分線的性質(zhì)判斷多結(jié)論問(wèn)題】

（2024春?湖北襄陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）

53.如圖，在VA3C中，是高，AE是角平分線，即是中線，AE與8尸相交于0,

（NONABC）以下結(jié)論正確的有（）

①ZBAD+ZABD=ZCAD+ZC；②SAABF=S^CBF；

③ZEAD=1（ZC-ZABC）；④S^ABE:S^ACE=ABAC.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（2024春?山東威海?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

54.如圖，在VABC中，ZABC=40°,ZACB=80°,BD,CE分別是/ABC和NACB的

角平分線，BD,CE交于點(diǎn)O,分別過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)M,作ONLAC于點(diǎn)N.下

列結(jié)論：①/8OC=120。；②OE=OD；?AM=AN；?EM=DN.其中正確的有（）

A

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

（2024春?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）

55.如圖，在VA3C中，ZACB=90°,AD,BE,CP分別是VABC的中線、角平分線和

高線，BE交CF于點(diǎn)、G,交AD于點(diǎn)X,下面說(shuō)法中一定正確的是（）

△ACD的面積等于AABr（的面積；@ZCEG=ZCGE；

③ZAC5=2ZABE；?AH=BH.

C.②④D.①③

（2024春?湖北武漢?八年級(jí)校考期中）

56.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,ZBOD=45°,OF±AD,下列

結(jié)論：①AO平分ZA4C；@AD=OG+OF③若3D=3,AB=12,貝UAG=9；④

：

S&ACDS^ABD=AB:AC；其中正確的是（）

C.①③D.①②③④

3創(chuàng)新題型練

【題型一：線段垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】

（24-25八年級(jí)下?福建三明?期中）

57.如圖，VABC是等邊三角形，點(diǎn)。㈤尸分別在2C,AB,AC±.,S.AD,LBC,DELAB,

DF1AC.

（1）若A3=8,求線段A￡＞的長(zhǎng)；

（2）求證：4。垂直平分EF.

（24-25八年級(jí)下?寧夏銀川?期中）

58.如圖，在VABC中，AB=AC,過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線，兩條垂線

試卷第18頁(yè)，共21頁(yè)

交于點(diǎn)P,作直線AP.

⑴求證：AP垂直平分BC；

⑵若AP=5,AB=4,計(jì)算BC的長(zhǎng).

(2024春?福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)

59.如圖，已知NABC=/ADC=90。，BC=CD,CA=CE.

備用圖

(1)求證：ZACB^ZACD；

(2)過(guò)點(diǎn)E作ME//AB,AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MP1DC,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

①連接PE,交AM于點(diǎn)N,證明AM垂直平分PE；

②點(diǎn)。是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)〃。+尸。的值最小時(shí)，證明點(diǎn)。與點(diǎn)E重合.

【題型二：角平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】

(24-25八年級(jí)下?江西九江?期中)

60.在等腰VABC與等腰VADE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=Z.DAE=a,連接BD和

CE相交于點(diǎn)P,交AC于點(diǎn)交AD于點(diǎn)N.

(1)求證：ABAD%CAE；

⑵求證：PA平分/BPE.

(24-25七年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?期中)

61.已知ON是-403的平分線，P是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)C,。分別在射線OAO3上，連

接PC,PD.

圖①圖②

(1)如圖①，當(dāng)尸PDJ_C?時(shí)，PC與的數(shù)量關(guān)系是；

⑵如圖②,點(diǎn)C,D分別在射線OA,OB上運(yùn)動(dòng),且ZAOB=90。.當(dāng)ZPCO+ZPDO=180°時(shí),

PC與PD在(1)問(wèn)中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))

62.如圖，在AASC中，點(diǎn)。在BC邊上，ZBAD^100°,/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)E作跖，垂足為E且NAEF=50。，連接DE.

⑴求/ZME的值；

⑵求證：DE平分ZAPC；

(3)若A3=6,AD=4,CD=8,且$4。=18,求的面積.

(24-25八年級(jí)下?安徽蕪湖?期中)

63.如圖，在VABC中，AB=AC,AD13C于點(diǎn)。，DE平分工WC,交AC于點(diǎn)E,

過(guò)E作于點(diǎn)凡交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：ADEGEADEC(AAS)；

試卷第20頁(yè)，共21頁(yè)

(2)若AG=2,2C=12,求GE的長(zhǎng).

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE,根據(jù)△3CE的周長(zhǎng)為9,BC=4,得出

AC=9-4=5,最后根據(jù)AS=AC=5,得出答案即可.

【詳解】解：垂直平分A8,

AE=BE,

,/△3CE的周長(zhǎng)為9,

BC+BE+CEBC+AE+CEBC+AC=9,

'：BC=4,

二AC=9-4=5,

：.AB=AC=5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段垂直平分線上的

點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

2.B

【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)OE是AC的垂直平分線得OC=ZM,繼而得到

AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC,可得答案.解題的關(guān)鍵是掌握：垂直平分線上的

點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

【詳解】解：是AC的垂直平分線，

DC=DA,

AB=4cm,AC=5cm,BC=6cm,

/.AB+AD+DB=AB+CD+DB=AB+BC=4+6=10(cm),

：.△ABD周長(zhǎng)為10cm.

故選：B.

3.C

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直平分線的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確推導(dǎo)出全

等三角形并理解線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由“AAS”可證△8EF/△<?笈>,可得

EF=DE,BF=CD=4,由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=AF=13.

【詳解】解：：E為的中點(diǎn)，

BE=EC,

答案第1頁(yè)，共46頁(yè)

ABHDC,

/F=/CDE,/FBE=ZDCE,

在ABEF與LCED中，

ZF=ZCDE

<NFBE=/DCE,

BE=CE

△BEF^AC￡?(AAS),

?.EF=DE,BF=CD=4,

AF=AB+族=9+4=13,

vAELDE,EF=DE,

AF=AD=13,

故選：C.

4.12

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，先由線段垂直平分線的性質(zhì)得

ED=BE,結(jié)合VAZ)E的周長(zhǎng)為19,AC=7,即可得出AB=19-AC=12

【詳解】解：尸為線段8。的垂直平分線，

ED=BE,

VAC=AD,AC=7,VADE的周長(zhǎng)為19,

AD+DE+AE=AC+BE+AE=AC+AB=19

：.AB=19-AC=12,

故答案為：12.

5.C

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等，由

線段垂直平分線的性質(zhì)得加=班>,即得NA=NDB4,由直角三角形兩銳角互余得

ZBDC=90°-ZC=66°,進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)可得2NA=66。，據(jù)此即可求解，掌握以上

知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：DE垂直平分AB,

:.AD=BD

，ZA=ZDBA,

,：DBLBC,

答案第2頁(yè)，共46頁(yè)

???ZDBC=90。,

?/ZC=24°,

ZBDC=90°-ZC=90°-24°=66°,

?BDC?A2DBA2?A,

???2ZA=66。,

AZA=33°,

故選：C.

6.76

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

熟記線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

連接05,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到。3=。。，得到的C=NC=38。，根據(jù)三角形

的外角性質(zhì)求出NBDA,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

.\ZDBC=ZC=38°,

=NC+ZDBC=38。+38。=76。，

-：AB=CD,DB=DC,

AB=DB,

.\ZA=ZBDA=76°f

故答案為：76.

7.60°

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義以及等邊對(duì)等角可得出ZEBC=Z￡CB=ZABD,

然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ZABD=ZEBC=NECB=30°,/BEC=120°,最后根據(jù)三線

合一的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：垂直平分BC,

答案第3頁(yè)，共46頁(yè)

???BE=CE,

：.ZEBC=ZECB,

「BD平分/ABC,

???ZABD=ZEBCf

VABAC=66°,ZAC石=24。，

ZABC+ZECB=180°-ZBAC-ZACE=90°,

即ZABD+ZEBC+ZECB=90°,

ZABD=ZEBC=ZECB=30°,

ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=120°,

■:BE=CE,EFIBC,

ZBEF=-ZBEC=60°,

2

故答案為：60°.

8.90

【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是理

解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.先由和QN分別垂直平分AB和AC得到轉(zhuǎn)=依，

AQ=QC,則可得出N2=NB,Zl=ZC,根據(jù)三角形內(nèi)角和得到

NB+NC=180?！狽B4C=45。，則Nl+N2=45。，再由角的和差關(guān)系可得答案.

【詳解】解：如圖:

PM和QN分別垂直平分AB和AC,

.?.N2=ZB,Z1=ZC,

ZBAC=135°,

：.ZB+ZC=180°-ZBAC=45°,

???Zl+Z2=45°,

Z3=ZBAC-(Zl+Z2)=90°,即NPA。=90。,

故答案為：90.

9⑴見(jiàn)解析

答案第4頁(yè)，共46頁(yè)

(2)10cm

【分析】本題考查中垂線的判定和性質(zhì)，熟練掌握中垂線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：

(1)中垂線的性質(zhì)，得到AE=EC,易得垂直平分BE,得到AB=AE,即可得證;

⑵根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式推出鉆+3。=20?11,根據(jù)OC=DE+EC,等量代換推出

DC=^AB+BC),即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：???跖垂直平分AC,

AE=EC,

:ADLBC,BD=DE,

,AB=AE,

：.AB=EC.

(2)解：由題意可得：AB+BC+AC=32cm,

,/AC=12cm,

AB+BC=20cm,

?:AB=EC,BD=DE,

：.DC=DE+EC

^~BE+AB

2

=1（BC-CE）+AB

=^（BC-AB）+AB

=^AB+BC）

=10cm.

10.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)由AD所在直線垂直平分線段2C得到9=CD,從而得到/BCD=NCBD,

再利用平行線的性質(zhì)可知/CBD=/FCB,再用等量代換即可證明；

答案第5頁(yè)，共46頁(yè)

(2)由AO所在直線垂直平分線段8C得到AC=AB,1ACB?ABC,從而得到

ZE+ZBCE=ZACB=ZACF+ZFCB,再根據(jù)/FCB=/BCE即可得證.

【詳解】(1)證明：：AD所在直線垂直平分線段8C,

BD=CD,

：.NBCD=NCBD.

?/BD//CF,

：.NCBD=NFCB,

：.NFCB=ZBCD,

即CB平分/ECF；

(2)???AD所在直線垂直平分線段3C,

AC^AB,

:ACB?ABC.

,/NABC是ABCE的一個(gè)外角，

ZABC=ZE+ZBCE,

：.ZABC=ZE+ZBCE=ZACB=ZACF+ZFCB.

又,?ZFCB=/BCD,即ZFCB=ZBCE,

：.ZACF=NE.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

11.WDE//AC,見(jiàn)解析

(2)ZC=ZEAF,見(jiàn)解析

【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，

平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義得到=根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AE=DE,再利

用等邊對(duì)等角得到=等量代換得到NC4￡>=N￡m,從而利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩

直線平行得解；

(2)證明AAEFdDEFlSSS)得到ZEAF=ZEDF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZC=ZEDF,

從而等量代換得解.

【詳解】(1)解：DE//AC,理由如下：

因?yàn)锳D是的平分線，

答案第6頁(yè)，共46頁(yè)

所以NC4D=Za4￡>,

因?yàn)楦未怪逼椒諥D,

所以&￡=1)￡；,

所以NE4D=N￡ZM,

所以NC4r>=N￡ZM,

所以龐〃次7.

(2)NC=NEAF,理由如下：

因?yàn)镋F垂直平分AD,

所以E4=￡D,E4=FD,

在△AEF和JJEF中，

EA=ED,EF=EF,FA=FD,

所以AAEF四ADEF(SSS),

所以NE4F=NED產(chǎn)，

因?yàn)辇嫛?C,

所以NC=NEZW,

所以NC=/E4F.

12.(1)見(jiàn)解析

⑵45度

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰

三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

(1)由折疊可知CE=3E,NECB=NCBA=45°,成垂直平分8C,然后導(dǎo)角證明

NEBH=ZACE,進(jìn)而可證明ABEH絲ACE4（ASA）,則B〃=AC；

(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)得到GC=G3,則NGCB=/G3C=22.5。，再求出N3GC的

度數(shù)即可得到答案.

【詳解】(1)證明：由折疊可知CE=BE,NECB=NCBA=45°,所垂直平分BC,

ZCEB=ZCE4=90°.

VCB=AB,ZABC=45°,

?.Z=/A.幽厘=67.5。，

ZACE=ZACB-NBCE=22.5°.

答案第7頁(yè)，共46頁(yè)

平分/ABC,

NEBH=NCBH=-ZABC=22.5°,

2

ZEBH=ZACE.

在ABEH和ACEA中，

'NBEC=NCEA

<EB=EC,

ZEBH=ZECA

：.ABEH、CEA(ASA),

：.BH=AC；

(2)解：：斯垂直平分8C,

GC=GB,

：./GCB=NGBC=125°,

ZBGC=180°-NGCB-ZGBC=135°,

ZDGC=180°-ZBGC=45°.

【詳解】根據(jù)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上由PC=PB即可得出

P在線段BC的垂直平分線上.

解答:解：VPB=PC,

；.P在線段BC的垂直平分線上，

故選D.

14.見(jiàn)解析

【分析】此題考查了線段垂直平分線的判定以及等腰三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,

注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

根據(jù)/ASC=2/C,8。平分/ABC,可得NC=/D3C,從而得到D5=DC,繼而證得結(jié)

論.

答案第8頁(yè)，共46頁(yè)

【詳解】證明：：8。平分NABC,

：.ZABC=2ZDBC,

:ZABC=2/C,

NC=NDBC,

：.DB=DC,

...點(diǎn)。在BC的垂直平分線上.

15.見(jiàn)解析

【分析】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等；線段垂直平分線的判定：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段垂直平分線上.

先由線段垂直平分線的性質(zhì)得到以=尸氏M=PC,則以=PC,再由線段垂直平分線的判

定即可證明.

【詳解】證明：???邊?,BC的垂直平分線交于點(diǎn)尸，

：.PA=PB,PB=PC.

：.PA=PC.

.?.點(diǎn)P必在AC的垂直平分線上.

16.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，等角對(duì)等邊,

熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

(I)根據(jù)等角對(duì)等邊得到AB=AC,再證明RtA4BE絲Rt9CF(HL),即可證明AE=AF；

(2)證明R3ADE絲RtAu3(HL),得到=則可證明DB=DC,再根據(jù)線段垂

直平分線的判定定理即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：NABC=/ACB,

AB=AC,

AE^EB,AF±CF,

：.NE=NF=90°,

又,：BE=CF,

/.RtA4BE絲RtzMCF(HL),

AE=AF；

答案第9頁(yè)，共46頁(yè)

(2)證明：VAE^AF,AD^AD,

：.RtAADfi^RtAADF(HL),

/.DE=DF,

；BE=CF,

：.DE—BE=DF—CF,即D-DC,

又：AB=AC,

，AD垂直平分線BC.

17.B

【分析】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.也考查了

平行線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì).利用基本作圖得到項(xiàng)f垂直平分BC,則根據(jù)線段

垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到N2=NEBC=30。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

Z￡BC=Z1=3O°.

【詳解】解：由作法得㈤0垂直平分BC,

EB=EC,

.?./2=/EBC,

N2=30。，

ZEBC=30°,

■:a"b,

:.ZEBC=Z1=3O°.

故選：B.

18.C

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/ADC=NA=50。，再根據(jù)線段垂直平分線的判定與

性質(zhì)可得3L>=CD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得N3=/3CD=25。，最后根據(jù)三角形的

內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】解：,??CE?=AC，NA=50°,

..ZADC=ZA=50。，

:.ZB+ZBCD=ZADC=50°,

由作圖可知，"N垂直平分BC,

BD=CD,

答案第10頁(yè)，共46頁(yè)

ZB=/BCD=-x50°=25°,

ZACB=180°—ZA—ZB=180°-50°-25°=105°,

故選：C.

19.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性

質(zhì)，勾股定理等；由線段垂直平分線的性質(zhì)得CE=:AC=：,AP=CP,由等腰三角形的

22

性質(zhì)得CO=；BC=3,AD±BC,由勾股定理，即可求解；掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段

垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，能熟練利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：連接CM,

由作圖得：垂直平分AC,

:.CE=-AC=-,

22

AP=CP,

AB=AC=5,AD平分NBA。,

:.CD=-BC=3,

2

AD±BC,

:.AD=』AC2-CD。

=4,

^AP=CP=x,

PD=4-x,

:PD2+CD2=CP~,

.-.（4-%）2+32=X2,

答案第11頁(yè)，共46頁(yè)

解得：尤=當(dāng)，

O

故AP的長(zhǎng)為稱25,

O

故選：C.

20.⑴見(jiàn)詳解

(2)ZZMC=72°

【分析】本題考查了作已知線段的垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等

邊對(duì)等角，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)理解題意，則作的垂直平分線DE,連接AD,即可作答.

(2)先運(yùn)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及等邊對(duì)等角得N3=NC=36。，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，

故=則/D4C=NA—/ZMB=72。，即可作答.

【詳解】(1)解：作的垂直平分線￡>E,連接AD,如圖所示：

(2)解：VAB=AC,ZA=108°.

ZB=ZC=1x(180°-108°)=36°,

由(1)得OE是AB的垂直平分線，

AD=BD,

：./ZMB=ZB=36°,

ZDAC