限時練習：60min完成時間:—月—日天氣：O

?及與夏奇加正耀、王魯給“舊函”妁向步索雄

作業(yè)導航

知識點杭理...........................................................................2

培優(yōu)訓練.............................................................................5

【題型一:奔馳定理的應用（重點）】.....................................................5

【題型二:三角好重心的向量表示（重點）】...............................................7

【題型三:三角好外心的向量表示（高頻）】...............................................8

【題型四:三角形內心的向量表示（重焉）】...............................................9

【題型四:三角形全心的向量表示（高頻）】..............................................10

能力培優(yōu)練..........................................................................12

【題型一:弁馳定理與三角形“四心"的關系（重點）】......................................12

【題型一:三角形四心的標合（高強）】..................................................15

創(chuàng)新題型練..........................................................................19

【題型一:新定義題（難點）】..........................................................19

【題型二:綜合應用題（難點）】........................................................27

知識點梳理

【知識點1奔馳定理】

1.奔馳定理

如圖，已知P為△ABC內一點，則有SAPBOI+SAR4c?M+sm?%=也

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.

2.奔馳定理的證明

如圖:延長CL4與8c邊相交于點D

則BD_SMBDS^BODS叢ABD.SMOB

叢

DCSMSS^CODSACD-SCODS^AOC

OD=-^OB+^OC

SAAOC|/\AOBOC

叢

Sz\aoc+SNOBS^AOC+SAOB

..ODSBODSCODSBOD+SCODS/^BOC

.OASBOASCOASBOA~^~SCOAS^AOC+SMOB

：.°OD=一SABO。OA

SAAOC+S^AOB

S/^BOC04SdAocOB-\S^AOBO(J

叢

SAY1OC+SMOBS/vioc+SAOBS/XAOC+S^AOB

Smoc?OA+S^oc-OB+S^OB-OC=0

3.奔馳定理的推論

推論L。是△ABC內的一點，且叱。N+g?瓦+2?歷=6,則

B㈤；

(1)8^OC,.S^COA:S^AOB=

⑵沁x\SbcOA\y\SbAOB|y|

D^ABC\x+y+z\SRABC\x+y+z\S^ABC\x+y+z\

【知識點2奔馳定理與三角形“四心”的關系】

1.三角形“四心”的概念

(1)重心：中線的交點,重心將中線長度分成2：1；

0

（2）垂心:高線的交點，高線與對應邊垂直；

（3）內心:角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等;

（4）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心）,外心到三角形各頂點的距離相等。

2.三角形“四心”與向■:的關系

奔馳定理是三角形“四心”向量式的完美統(tǒng)一，借助奔馳定理可以推導及證明三角形“四心”與向量的關

系.

（1）0是AABC的重心=SbBoc：SbcoA：SbAOB=1:1:1=OA+OB+OC=0

證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得&^℃凡8月切9=1:1:1^OA+OB^OC=0

（2）0是'ABC的內心oSbBoc：S、COA：SbAOB=a：b：cQa*OA+b*OB+c*OC=0

證明：SbBoc=ga,r,SbcoA=%b?r,=為AABC內切圓的半徑），所以

S耶oc：SkcoA：SbAOB—a：b：c,再由奔馳定理可得aOA+bOB+cOC=0.

（3）0是AABC的外心QS^BOC:S^COA:S^AOB=sin2A:sin2B:sin2C<u>

sin2A*OA+sin2B*OB+sin2c?OC=0；

證明：5岫0。=：|而|?|金卜也/88,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得NCO8=2乙4,所以

22

S鄴℃=y|OB|-\OC\sin2A=^-Bsin2A（B為A4BC外接圓的半徑），同理可得S^COA=yBsin2B,

S"OB=；R2sin2a所以SApoaSAccdSAAOBUsin2Asin2B:sin2a再由奔馳定理可得sin2A-OA+

sin2B-OB+sin2C-OC=0

（4）P是△ABC的垂心：SABPC：SACPA：SAAPB=tanA:tanB:tanC<=>tanA?PA+tanB?PB+tanC*PC=

0

證明：如圖F為△ABC的垂心，則有tarM=^W，tan_B=^^，所以\BD\:\AD\=tanAtanB,所以

S^BPC-S^APC^^W?\BD[.^\CP\?\AD\=|BZ?|:|AD|=tanA:tanB,同理可得當心°亂轉8=tan8:

tan。,所以SA8PC：S"PC：SAAPB=tanAtanBtan。,再由奔馳定理可得

S^BPC：Sbcp/，SbAPB—tanA:tanB:tanG<=>tanA?PA+tanB?PB+tanC*FC=0.

【知識點3三角形“四心”的向?表示】

1.三角形重心的向量表示

G

B

Q)s.Ge：SXCGA'.SXAGB=1:1:1；

(2)GA+GB+GC=0；

(3)動點G滿足OG=OA+A(AB+AC),AE(0,+^，則G的軌跡一定通過4ABC的重心

(4)動點G滿足。苕=51+4AG(0,+8),則動點G的軌跡一定通過

|ylB|sinB|AC|sinC,

△ABC的重心

⑸重心坐標為：(小萼+%*+期+外).

\JO'

2.三角形外心的向量表示

⑴示=齒=昆；

西十元

(2)動點尸滿足標=+4/Ie(o,+8),則動點尸的軌跡一定通

2M司cosB|?1C|cosC,

過△ABC的夕卜心;

⑶若(51+而)?刀=(無+而)?阮=(51+9)?就=0,貝！I。是△ABC的外心;

(^S^goc'.S^coA-S/^AOB=sin2Asin28:sin2c；

(5)sin27l-dl+sin2B-dB+sin2C-OC=0.

3.三角形內心的向量表示

E

Q）s岫dSACIA；SMJB=CL：b：C

（2）a-M+fe-7B+c-/C=0

4.三角形垂心的向量表示

（y）HA-HB=HB-HC=HC-HA

（2）|HA|2+|BC|2=\HB[+\CA^=\HC[+\AB[

(3)動點P滿足況=(5N+/l"e(o,+8),則動點p的軌跡一定通過

|ylB|cosB用cos。

△ABC的垂心

（4）S^BOC：SACOA：S4AOB=tanAtanRtanC

（5）tan?l?HA+tanB-HB+tan。HC=0.

培優(yōu)訓練

三層必刷:鞏固提升+能力培優(yōu)+創(chuàng)新題型

1鞏固提升練

【題型一:界馳定理的應用(重點)】

1.設。為三角形ABC內一點，且滿足：51+2配+3歷=3毋+2就+況,則登理=(

【答案】。

【解析】：O為三角形ABC內一點，且滿足OA+2OB+3OC=3AB+2BC+CA,

：.OA+2OB+3OC^3（OB-OA）+2（OC-OB）+（OA-OC）=^3OA+OB+2OC,

SA-OA+SB-OB+SC-OC^O.

?S^AOB_S^AOB_^C_1

S〉ABCSAAOB+S>BOC+S^AOCSA+SB+S。3

故選：。.

2.已知O為正AABC內的一點,且滿足OA+AOB+（1+均歷=6,若△OAB的面積與△OBC的面積的

比值為3,則4的值為（）

A.yB.C.2D.3

【答案】C

【解析】

由奔馳定理得S&0AB=（1+冷：1=3,解之得4=2,故選C.

3.已知點P是所在平面內一點，滿足2次+5萬+3刃=6,SAMC=S，貝1JSAPBC=

【答案】等

5

【解析】（法1）:由結論推廣可得，姿%=—=],所以SNBC=v

（法2）:由2國+5萬+3歷=6可得2（國+屈）+3（屈+用）=6,設AB,中點分別是RE,得2阮

+3PE=0,所以點P在中位線上,且噂圣=日，所以54附7=1~540比7=￡?]s”Bc=gs

PE25525

4.設P為△4BC所在平面上一點，且滿足3PA+4PC=mAB（m>0）.若△ABP的面積為8，則AABC

的面積為.

【答案】14

【解析】（法1）共線系數(shù)和+分點恒等式+等積變形

告方+4歷=與品（小>0），設〃為線段上一點，且屈=/公

則-PA+^-PC^^AB^AH,

7

,:PD/IAB,—SAABDO^AABC=8x丁=14

（法2）利用奔馳定理推論求解.

—?—?—?—?—?—?—>

???3PA+4PC=mAB^（m+3）B4-mFB+4PC=0,

?S故pc____4_______AQ-1A

??SAABC~rn+3-m+4—7='-一

5.已知點P是AABC所在平面內一點，滿足PA+PB+2PC=3AB，則AABP與A4BC面積之比是

【答案】寧

【解析】（法1）:由用+而+2PC=3AB得，用+屈+2PC=3（PB一聞），即4B4-2PB+2PC=6,由

（法2）:由用+4+2PC=3AB得，用+屈+2PC=3（FB—用），即4B4-2PB+2PC=6,化簡得

2PA一無+戶方=6,由百一國+方+配=6,得毋=刀+戶設AB中點為。，則金=2歷5,所以

點P在AABC的中位線上，所以堂空=

SAAB。2

【題型二:三角移直心的向量表示（重點）】

6.已知G為/XABC的重心，則（）

A.BG=^-AB-^-ACB.BG=-^-AB+^-AC

oooo

C.BG=~AB+^-ACD.BG=^-AB-^-AC

oooo

【答案】E

【解析】

如圖所示，設。為AC中點，又G為△ABC的重心，

則須=|■阮=:（屈+配）==說+:/=/直+/回+!1^=曰團+!/=―曰旗+

OOOOOOOOOO

次,

故選：B.

7.已知G為△ABC重心，線段AB上一點滿N足施=3麗LCN與4G相交于點河，則笑=（）

AG

A4B4c-fD-f

【答案】。

【解析】如圖，因為G為△48。的重心，所以G在中線AD上，且么苕=?屈，

又屈=J（荏+丞?），所以溫=曰存+1■萬方，

設加=/）前,（0</）<1）,所以血=4"晶+落正，

OO

又幺國=3俞，所以萬而=/L而+[■丞?，又C,M,N三點共線，

O

所以4+q=1,得到4=,，所以器=等，

c

D

N

'B

故選：a

8.已知G是△ABC的重心，若42sinAxGA+35sinBxGB+30sinCxGC=0,則cosB=(

XC3

AC-J

5B-7-1

【答案】。

【解析】因為42sinAxGA+35sinBxGB+30sinCxGC=0,

所以由正弦定理得42axdN+35bx話+30cx濟=6,

由三角形重心性質知彳N+屈+文=6,得42a=356=30c,

7,6

即Pnc==a,b=>a,

55

Q2+翳稼-患稼

乙tJZiU__LJ

故由余弦定理得cosB="工?！D2=

2acfa35

故選：D

【題型三:三角爵外心的向量表示（高演）】

9.已知點。為△ABC所在平面內一點，若前2一無彥=2前?反亍，則點O的軌跡必通過△ABC的

（）

A.內心B.外心C.垂心D.重心

【答案】B

【解析】點O為AABC所在平面內一點,若AC2-AB2=2AO-BC,

設A/為BC的中點，詼?2_岳2=（/+4§）.（/一4§）=2就?分百=2市5?反?，

則有（牙5—萬而）?反?=麗5?反?=0,所以該_L后已

所以動點。在線段BC的中垂線上，則點O的軌跡必通過△ABC的外心.

10.已知在△48。中，H為△ABC的垂心，O是△ABC所在平面內一點，且方+質=用,則以下正確的

是（）

A.點。為△ABC的內心B.點。為△ABC的外心

C.乙4cB=90°D.ZVIBC為等邊三角形

【答案】B

【解析】在△ABC中，由H為△ABC的垂心，得CH±AB,

由51+）=而，得（51+））—））=而?（51—場）=）?前=0,;

則而2=蘇［即?刀|=|朝又通=9+元+詞=^5+而+（況+而）=云+歷，

顯然存，反?，同理得|。面=I歷|,因此點O為△ABC的外心，B正確，無判斷力CD成立的條件.

……____—_4

故選：B

11.已知點。為△48。所在平面內一點，在△ABC中，滿足2毋-=|毋『，2及就則點o

為該三角形的（）

A.內心B.外心C.垂心D.重心

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，2存?AO=『，即24?AO=2|AB||AO|cos（AB,AO）=|AB|2,

所以|N@-cos（毋，和?司，則向量布5在向量毋上的投影為|毋|的一半，

所以點。在邊的中垂線上，同理，點。在邊的中垂線上，

所以點O為該三角形的外心.

故選：B.

【題型四:三角形內心的向量表示（重點）】

12.已知點P在△4BC所在平面內，若次?=0,則點P是△4BC

的（）

A.夕卜心B.垂心C.重心D.內心

【答案】。

【解析】在△ABC中，由兩?(一1§——絲-)=0,得兩=用?W-,

\\AC\\AB\)\AC\\AB\

AP-^^=AP-^^——=0,同理得說=扉.^^,

\AC\\AB\\\BC\\BA\)\BC\\BA\

顯然即P與A不重合，否則cos/ABC=l,同理麗片6,

則|最|cos/B4C=|最Icos/MB,即cosAPACcosAPAB,APAC^APAB,

于是AP平分/H4C,同理BP平分AABC,

所以點P是4ABC的內心.

故選:D

13.點尸為△ABC所在平面內的動點，滿足M=,tE（0,+8）,則點P的軌跡

I^BjcosB|AC|cosC

通過△48。的（）

A.外心B.重心C.垂心D.內心

【答案】。

【解析】由題意，

Xp.CB="+R?濟\=t（J±BC__??詬）

,\AB\cosB\AC\cosC）\|AB|cosB\AC\cosC/

=*|的一即）=0

；故行所在的直線與三角形的高重合，故通過垂心.

；故選：C.

Q..............

14.已知△ABC所在的平面上的動點P滿足刀=|京區(qū)方+同京，則直線4P一定經過△48。的

()

A.重心B.外心C.內心D.垂心

【答案】。

【解析】因為N=|加|不？+\AC\AB

A.P—\AB\|AC7(?'「AC1+?1,[PB),

根據(jù)平行四邊形法則知-^AC+-^AB表示的向量在三角形角A的平分線上，

\AB\

而向量M與建二彳方+^共線，

|AC|\AB\

：.P點的軌跡過△ABC的內心.

故選：C.

【題型四:三角形妻心的向量表示(商強)】

15.。是平面上一定點，A,B,。平面上不共線的三個點，動點P滿足方=方+

44eR,則P的軌跡一定通過/\ABC的()

\AB\COSAABC\AC\COSABCA)

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【答案】。

【詳解】如圖所示,過點工作AD，BC,垂足為。點.

\BC\0|AB|COS(7T-B)

則BC-AB-------==-匹，

\AB\cosZABC\AB\COSZABC

-?A(^

同理BC-,-------國，

\AC\cosAACD

ABAC

?動點P滿足OP=OA+；l\AB\AcosABC+\AC\cosZBCA,,AER.

ABAC

：.AP=A.\AB\cosAABC+\AC\cosAACD,,AeR.

BC-ABBC-AC

AP-BC=A\AB\cosAABC+\AC\cosAACD=A[-\BC\+\BC\)=O,

：.AP±BC,

因此P的軌跡一定通過△ABC的垂心.

故選：D.

__________—加

A

16.設O是△ABC所在平面內一定點，Al是平面內一動點，若（施—荻）?（OM-AM）=■

（而一而）=0,則點。是△48。的（）

A.垂心B.內心C.重心D.外心

【答案】4

【詳解】由題意可得無=?。3=0,則OA_LCB,OC_LAB,故點O是△AB。的垂心.

故選：A.

17.若H^/XABC的垂心,且2威+2HB+3HC=6,則tanC的值為

【詳解】由2萬N+2近+3覺=6,得2（方方+R）+2（后若+質）+3反5=3,

所以7就=2（次+0初=4①,故垂心〃在中線上，即高線與中線重合，故a=b,

又2月N+2伍4+4方）+3（方N+N3）=6,所以7通=24點+34方，

又因為毋.正=0,反^=彩一金，得（2存+3彩卜（AC-AB）=0,

-->-->-->9-->o-->-->-->9-->9-->-->

所以2AB?4。-2AB+3AC-34。?AB=0,即一2AB+34。-AC-AB=0,

得到2。2—3b2+bccosA=0,由余弦定理得cosA=+：———=馳’°,

2bcbe

又。二心所以5c2=6〃，

得到tanC="1L.

18.平面直角坐標系中，假設旦華樓坐標為（7,24）,篤志樓的坐標為（—20,—15）,問思樓的坐標為（15,-20）,

噴水池的坐標為（2,-11）,則噴水池是以旦華樓，篤志樓，問思樓構成的三角形的（）

A.重心B.外心C.垂心D.內心

【答案】。

【詳解】分別設旦華樓、篤志樓、問思樓、噴水池對應坐標點為AB,C,G,

貝，］可=(5,35),屈=(—22,-4),GC=(13,-9),AB=(-27,-39),AC-(8,-44),BC=(35,-5),

所以就?示=5x35+35X(-5)=0,GB-AC^(-22)X8+(-4)x(-44)=0,GC-AB=13x(-27)+(

-9)x(-39)=0,

故噴水池是以旦華樓，篤志樓，問思樓構成的三角形的垂心，

故選：C

能力培優(yōu)練

【題型一:弄馳定理與三角后“四心”的關系(支點)】

19.(多選題)以下命題中，正確的有()

A.若P是△ABC的重心，則有次+房+4=6

B.若a?屈+6?屋+c?歷=6,則P是△ABC的內心

C.若+卷公則S依iC:S"AC：S"AB2:2:1

D.若P是△ABC的外心，且A=與，則由+sinZAPC-PB+sinf^-ZAPC}-PC=0

4v2)

【答案】ABD

【解析】對于4P是△48。的重心，則S*BC=S5AC=S?

代入S5BC-PA+S寸AC-PB+?歷=6就得到聞+屋+用=6,正確；

對于B,設點P到邊BC,AC,AB的距離分別為加，殳，拉3,

由SAPBC'-R4+SI^PAC'PB+S"AB'PC=0得，-^-ah\,PA+3bli2'PB+-^-ch3?PC=0,即ah1,PA+bh??

樂+c'?歷=6,與已知條件a?就+6?屈+c?戶苕=6比較知，5=殳=%3,則P是△48。的內心，正確;

對于=g總+看屈5=:(4-網+日囪_網，即2⑸+4+2歷=6,

與S"BC-J%+S"AC,PB+SAPAB'PC=0比較得到，S5BC：S"AC：S^c=2:1:2,錯誤；

對于D,P是AABC的外心，且/A=￡,則ZBFC=y,設三角形外接圓半徑為R,

所以5語=方￥，S"=y^sinZAFC,S5AB=-ZAPC),

代人奔馳定理即可得到PA+sinZAPC-PB+sin(等-ZAPC)-PC=6,正確，

故選：ABD.

20.若O是銳角A4BC內的一點，。是AABC的三個內角，且點。滿足刀?如=。君?。方=瓦?

51,則必有()

A.sinA-OA+sinB-OB+sin。。OC=0B.cosA,OA+cosB-OB+cosC,OC=0

C.tanA-OA+tanB-OB+tanC?OC=0D.sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=0

【答案】。

【解析】如圖，因為ON=而?。方=。方?ON,

所以4—而)=0n質.(53=0,同理.郎=0,OC-AB=Q,

所以O為AABC的垂心。

因為四邊形DOEC的對角互補，所以ZAOB=71-(7,

：.OA-OB=|dl||QB|cos（7t-C）=-\OA\\OB\cosC.

同理，：.OB-OC=-\OB\\OC\cosA,

：.OC-OA^-\OC\\OA\cosB,

：.\OA\\OB\cosC=\dB\\OC\cosA=\OC\\OA\cosB.

.而|cosC_|砌司cosA_屈||51|COSB

"\OA\\OB\\OC\\OA\\OB\\OC\\OA^OB\\OC\

|OA|：|OB|：|OC|=cosA：cosB：cosC.

又斗=］|（5B||dc|sin（7r-A）=y|dB||dc|sinA

SB-y|dA||dc|sin（7t-B）=y|dl||Oc|sinB

S0=］回］明sin（7t—C）制畫|同sinC

.q.q.q_sin>.sinB,SlYlCsin4sinGsinC

=tanA:tanJB:tanC.

??-?\OA>?,\?I\OB>i~\?I\OC>j-\cosAcosBcos。

由奔馳定理得tanA?OA+tanB?OB+tanC-OC=0.

故選：C.

21.如圖，已知O是△ABC的垂心，且02+2OB+3OC=6,貝!JtanZBAC：tanZABC：tanZACB

（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【解析】O是△ABC的垂心，延長CO,BO,40分別交邊AB,47,石。于點P,A/,N,如圖，

則CP±AB,BM±AC,AN±BC9/BOP=/BAC,/AOP=/ABC,

KSiBPOPtan/BOPtanZBAC閂訶SitanZBAC

因M此.，——=----=---------------=-----------,M理——=-----------,

J

S2APOP^nAAOPtanZABCS3tanZACB

于是得tanZBACitanZABCrtanZACB=$16263,

又。1+2質+3而=6,即而=——I■朝，由“奔馳定理”有s?+S2?而+S3?云=6,

OO

則論=一生.而一等.(M而應與朝不共線，有獸=5，率=言,即S1：S2：S3=1：2：3,

*->3*^393J燈J

所以tan/_BAC:tan/yLBO:tan/ylCB=1:2:3.

故選：A

22.如圖，已知。是△ABC的垂心，且dl+2而+4至=弓,則cos8=()

【答案】A

【解析】：O是△ABC的垂心，延長8交AB與點P,

：.-OC-BPy.^-OC-AP)BP-.AP(OPtanZPOB):(OPtanZAOP)

=tanZBOC:tanZAOC=tan(7r—A):tan(7U—B)=tanA:tanB,

同理可得Si：S3=tanAtanC,，Si：S2：S3=tanA:tanB:tanC,

又s「dl+&?加+$3?旅=6,

tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0,

又為+2?朝+4?沃?=6,

0

/.tanA:tanB:tanC=1:2:4,

不妨設tanA=k,tanB=2k,tan(7=4k,其中fc#0,

*.*tanA=tan[7u—(B+C)]=—tan(B+C)=-,

k―—2fc+4fc,解得k=專或k=-

1—2fc,4fc3

當k時，此時tanA<0,tanB<0,tanCVO,則A>B、。都是鈍角，則A+B+C>兀，矛盾.

故k,則tanB=2,工1>0,B是銳角,sinB>0,cosB>0,

sin8_V14

于是(cosB2,解得cosB=

(sin2B+cos2B=1o

故選：4

【題型一:三角形四心的綠合（商《（）】

23.已知G,O,H在△ABC所在平面內，滿足晶+屈+/=6,|51|=|西|=|）兀斯?胡=麗?

質=曲?毋，則點G,O,H依次為△48。的（）

A.重心，外心，內心B.重心、內心，外心C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

【答案】。

【解析】

--->?>—>--->>>

因為GA+GB+GC=0,所以GA+GB=—GC,

設AB的中點則G1+語=2①，所以一■=2①，

所以。，G,。三點共線，即G為4ABC的中線CD上的點，且GC=2GD,

所以G為AABC的重心.

因為=|朝|=|而|,所以\OA\=\OB\=所以O為A4BC的外心；

國為福.笳=曲.而=麗.福，所以曲一（京_麗）=Q,即而.前=0,

所以屈_L43,同理可得：血_L反?，近，.4瓦所以H為ZVIBC的垂心.

故選：C.

24.（多選）已知三角形ABC滿足AB=3,47=4,則下列結論正確的是（）

A.若點O為△ABC的重心，則萬方=［毋+}

OO

B.若點。為△ABC的外心，則而?玩=日

C.若點。為△ABC的垂心，則反方=3藉+§方方，

55

D.若點。為△ABC的內心，則灰5=存+（彳3）.

【答案】ABD

【解析】選項A：如圖，點O為△ABC的重心時，市5=1~屈=Kx宗泰+說5）=白毋衣5,故人正

DD/Oo

確；

選項B：若點O為△ABC的外心，如圖，OD為線段AC的垂直平分線，

則N3?屈5=（屈5+覺）?國?=屈.怒=方苑?2=8,同理汨5.金=4岳2="1，

前.示=初?（芯_晶）=正.彩_布.晶，故5正確；

選項。：當B=］時，則B為A4BC的垂心，B,O重合，此時市5=毋，故。錯誤;

選項D:若點。為△43。的內心，O在ABAC的平分線上，

則市5=/+己冬］=陽+方），故。正確.

1|AB||AC|J'34，

故選：ABD

25.已知O,N,P,/在△ABC所在的平面內，則下列說法不正確的是（）

A.若|51|=|方|=|否|,則0是4人及7的外心

B.若無?位=怒?澇=國?記=0,則/是△48。的內心

C.若同?屈=屈?用="?歷，則P是△48。的垂心

D.若海+泥+詬=6,則N是△ABC的重心

【答案】B

【解析】

……_____……0

對于選項A：若|己司=\OB\=\OC\,即O到ABC的距離相等，

根據(jù)外心的定義可知：O是4ABC的外心，故A正確；

對于選項若蘇?國=市??記=巨？?/=0,則CB_LIA,ACIB,BA±IC,

即/是三邊高線的交點，所以/是△ABC的垂心，故B錯誤；

對于選項C:若前.屆二屆.1,

則刀.屆-的.配=停-歷）.屈=況.聞=0,即CM_LPB,

同理可得：R4_LCB,PC_LAB,由選項B可知：P是△48。的垂心，故。正確；

對于選項。:若加+屜+N方=6,則NN+泥+而5=2而5+N方=6（。為AB的中點）,

即人才=—2汨，根據(jù)重心的性質可知：N是重心，故。正確；

故選：B.

26.（多選）點。在△ABC所在的平面內，則以下說法正確的有（）

A.若\BC\OA+\AC\OB+\AB\OC=6,則點O是AABC的重心

=0,則點。是△ABC的內心

C.若（5N+油）?毋=（如+（53）?芯=0,則點。是△ABC的外心

D.若O為三角形ABC外心,且2反5=國+就，則口為AABC的垂心

【答案】BCD

【解析】對于4在AB,AC上分別取點，E,使得屈=二反，癥=￥，

cb

5!']\AD\==1,以AD,AE為鄰邊作平行四邊形ADFE,如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且4F=4D+AE=—+半■,所以AF平分ABAC,

cb

因為|反朝+|晟］楨5=4即++c五=6,

所以展次+方（（H+4）+c?（■+彩）=6,即+++

所以前^=—+軍

a+b+ca+b+ca+b+c\cb/a+b+c

所以AO,F三點共線，即。在ABAC的平分線上，

同理可得。在其它兩角的平分線上，所以。為△ABC的內心，錯誤；

對于B,在AB,47上分別取點。，也使得毋=助=笆-,如圖，

|AC|\AB\

則I力1=1毋1=1,且^---雪二笳,

以。|\AB\

因為）=0,即（51_L屈，又|43|=I存I=1知，AO平分ABAC,

同理,可得BO平分/ABC,故O為△ABC的內心，正確；

對于。，取AB,BC的中點分別為M,N,如圖，

因為（（51+））?存=（而+而）?正=0,所以2而?品=2蘇?正=0,

即OM_L4B,ON_L,所以。是4ABC的外心，正確；

對于。，因為2反5=國+反?，所以5田=一丸，即。為AC中點，又。為三角形ABC外心,

所以/B=90°，則B為△ABC的垂心，正確.

故選：BCD

27.（多選）點。為△ABC所在平面內一點，則（）

A.若方+也+己方=6,則點。為△ABC的重心

B.若=0,則點。為△ABC的內心

C.若（51+函?存=（3+歷）?反5=0,則點。為△ABC的垂心

D.在△ABC中，設反浮—存2=2AO?反5,那么動點O的軌跡必通過4ABC的外心

【答案】ABD

【解析】對于A中，由點。為ZVIB。所在平面內一點，且+無+而=6,可得OA+OB=-OC,

則以04,05為鄰邊作平行四邊形AOBD,可得OC=一。立且|。份=|歷|,

設ODHAB=E,根據(jù)平行四邊形法則，可得E為4B