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試卷第=page3636頁,共=sectionpages3737頁專題03方程與不等式(五大考點60題)一、填空題1.(2025·江西·中考真題)不等式的解集為2.(2025·江西·中考真題)小美家有一輛燃油汽車和一輛純電汽車,燃油汽車耗費6000元油費行駛的路程與純電汽車耗費1000元電費行駛的路程相同,且每百公里的耗油費比耗電費約多50元,求純電汽車每百公里的耗電費.設(shè)純電汽車每百公里的耗電費為x元,可列分式方程為3.(2022·江西·中考真題)甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣,甲每小時比乙每小時多采樣10人,甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等,甲、乙兩人每小時分別采樣多少人?設(shè)甲每小時采樣x人,則可列分式方程為.4.(2022·江西·中考真題)已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根,則的值是.5.(2021·江西·中考真題)已知,是一元二次方程的兩根,則.二、解答題6.(2025·江西·中考真題)系文物考古研究院用復(fù)原的青銅蒸餾器進(jìn)行了蒸餾酒實驗.用復(fù)原的青銅蒸餾器蒸餾糧食酒和芋頭酒,需要的原材料與出酒率()如下表:類別原材料出酒率糧食酒糧食糟醅(含大米、糯米、谷殼、大曲和蒸餾水30%芋頭酒芋頭糟醅(含芋頭、小曲和蒸餾水)20%如果第一次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤;第二次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤,且所用的糧食糟醅量是第一次的2倍,芋頭糟醅量是第一次的3倍.(1)求第一次實驗分別用了多少公斤糧食糟醅和芋頭糟醅?(2)受限于當(dāng)時的生產(chǎn)條件,古代青銅裝餾器的出酒量約為現(xiàn)代復(fù)原品的80%.若糧食糟醅中大米占比約為,請問,在古代要想蒸餾出這兩次實驗得到的糧食酒總量,需要準(zhǔn)備多少公斤大米?7.(2024·江西·中考真題)如圖,書架寬,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書,已知每本數(shù)學(xué)書厚,每本語文書厚.(1)數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架,求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本;(2)如果書架上已擺放10本語文書,那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本?8.(2023·江西·中考真題)今年植樹節(jié),某班同學(xué)共同種植一批樹苗,如果每人種3棵,則剩余20棵;如果每人種4棵,則還缺25棵.(1)求該班的學(xué)生人數(shù);(2)這批樹苗只有甲、乙兩種,其中甲樹苗每棵30元,乙樹苗每棵40元.購買這批樹苗的總費用沒有超過5400元,請問至少購買了甲樹苗多少棵?9.(2022·江西·中考真題)(1)計算:;(2)解不等式組:10.(2021·江西·中考真題)甲,乙兩人去市場采購相同價格的同一種商品,甲用2400元購買的商品數(shù)量比乙用3000元購買的商品數(shù)量少10件.(1)求這種商品的單價;(2)甲,乙兩人第二次再去采購該商品時,單價比上次少了20元/件,甲購買商品的總價與上次相同,乙購買商品的數(shù)量與上次相同,則甲兩次購買這種商品的平均單價是______元/件,乙兩次購買這種商品的平均單價是______元/件.(3)生活中,無論油價如何變化,有人總按相同金額加油,有人總按相同油量加油,結(jié)合(2)的計算結(jié)果,建議按相同______加油更合算(填“金額”或“油量”).11.(2021·江西·中考真題)解不等式組:,并將解集在數(shù)軸上表示出來.考點01:一元一次方程12.(2025·江西九江·二模)小亮利用杠桿原理(動力動力臂=阻力阻力臂)制作了如圖所示的天平(杠桿、托盤質(zhì)量忽略不計),然后用它來稱取物品質(zhì)量.如圖1,當(dāng)天平左盤放置質(zhì)量為的物品,右盤中放置砝碼時,天平平衡.如圖2,將某物品放在右盤后,左盤放置砝碼,才可使天平再次平衡,則該物品的質(zhì)量是g.13.(2025·江西撫州·二模)2025年第九屆亞洲冬季運動會在哈爾濱召開.吉祥物“濱濱”和“妮妮”玩偶熱銷.某商場現(xiàn)購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”玩偶共300個,已知一個“濱濱”25元,一個“妮妮”20元,共花去6750元.求購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”各多少個?若設(shè)購進(jìn)“濱濱”x個,則可列方程為.14.(2025·江西吉安·一模)《孫子算經(jīng)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)典籍,其中有一道題的大意為:用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺;將繩子對折再量長木,長木還剩余1尺.問木長多少尺?設(shè)木長為x尺,則繩子長尺,則可以列出方程為.考點02:二元一次方程組15.(2025·江西·二模)小亮媽媽逛超市時看中一套碗,她將碗疊成一列(如圖),測量后發(fā)現(xiàn):用3個碗疊放時,總高度為;用5個碗疊放時,總高度為.若將10個碗疊成一列能放入消毒柜,則這個消毒柜的內(nèi)置高度至少有.16.(2025·江西贛州·二模)某港口碼頭使用A,兩種型號的機器人搬運貨物.在內(nèi),3臺A型機器人和2臺型機器人共搬運貨物,且每臺型機器人比型機器人多搬運貨物,每臺A型機器人和每臺型機器人24h的搬運量分別是多少?17.(2025·江西新余·三模)江西省居民用電采取階梯電價的方式收費,分檔標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.已知小明家在2023年用電總量為2760千瓦時,交納電費1686元;小華家在2023年用電總量為3160千瓦時,交納電費1946元.分檔年電量水平(千瓦時/戶)第一檔第二檔(含4200)第三檔(1)求第一檔與第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn);(2)若小華家在2024年用電總量為4100千瓦時,求小華家2024年應(yīng)交納的電費總額.18.(2025·江西宜春·二模)(1)計算:.(2)解方程組:.19.(2025·江西上饒·一模)清明果是上饒的特色美食之一.某美食商鋪推出了蘿卜餡清明果和肉餡清明果.下表列出了小李、小藝在該美食商鋪的購買數(shù)量(單位:個)和付款金額(單位:元).蘿卜餡清明果/個肉餡清明果/個付款金額/元小李401085小藝202080根據(jù)上表,求蘿卜餡清明果和肉餡清明果的單價.20.(2025·江西新余·一模)(1)計算:;(2)解方程組:.考點03:一元二次方程21.(2025·江西新余·二模)已知α,β是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則(
)A.2023 B.2024 C.2025 D.202622.(2025·江西吉安·一模)若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則滿足條件的最小整數(shù)的值是(
)A.-1 B.0 C.1 D.223.(2025·江西撫州·二模)已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根之積為正數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是.24.(2025·江西吉安·一模)已知一元二次方程的兩個根分別為和,則.25.(2025·江西上饒·一模)若a,b是一元二次方程的兩根,則的值為.26.(2025·江西宜春·一模)已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根,則另外一個根的值是.27.(2025·江西景德鎮(zhèn)·一模)已知,是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則的值為.28.(2025·江西九江·三模)解下列方程:(1);(2)29.(2025·江西上饒·三模)(1)計算:;(2)解方程.30.(2025·江西撫州·一模)2024年巴黎奧運會順利閉幕,吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛,一商場以20元的進(jìn)價進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品,以40元每個的價格售出,每周可以賣出500個,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),價格每漲1元,就少賣10個(1)設(shè)每件商品售價為x元時,則每件商品的利潤為______元,此時每周可以賣出______個;(2)若商場計劃一周的利潤達(dá)到12000元,并且更大優(yōu)惠讓利消費者,售價應(yīng)定為多少錢?考點04:分式方程31.(2025·江西撫州·一模)在物理學(xué)中,物質(zhì)的密度等于物體的質(zhì)量m與它的體積V之比,即.已知兩個物體的密度之比為,當(dāng)物體A的質(zhì)量是,物體B的質(zhì)量是時,物體B的體積比物體A的體積?。绻O(shè)物體A的體積是,那么根據(jù)題意列方程為(
)A. B.C. D.32.(2025·江西撫州·一模)以下是小張同學(xué)解分式方程的過程,請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).解:.第一步.第二步.第三步經(jīng)檢驗,是原方程的根.第四步任務(wù)一:填空:以上解方程的過程中,第___________步開始出現(xiàn)錯誤;任務(wù)二:請你幫他寫出正確的解答過程.33.(2025·江西新余·三模)下面是小軒學(xué)習(xí)“分式方程的應(yīng)用”后所作的學(xué)習(xí)筆記,請認(rèn)真閱讀并解答相應(yīng)的問題.題目,某校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種圖書,甲種圖書的單價比乙種圖書的單價多20元,用2000元購買甲種圖書和用1200元購買乙種圖書的數(shù)量相同.問甲、乙兩種圖書的單價各是多少元?方法分析問題列出方程解法一設(shè)……,等量關(guān)系:甲圖書數(shù)量乙圖書數(shù)量解法二設(shè)……,等量關(guān)系:甲圖書單價乙圖書單價20(1)解法一所列方程中的x表示______,解法二所列方程中的x表示______.(填序號)①甲種圖書的單價;②乙種圖書的單價;③甲種圖書購買的數(shù)量.(2)請選擇一種解法,求出甲、乙兩種圖書的單價.(3)若該校用不超過2500元錢購買甲、乙兩種圖書共60本,求甲種圖書最多能購買的數(shù)量.34.(2025·江西南昌·二模)為迎接端午節(jié)水果銷售旺季,某商家計劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售,若用1000元購買甲種水果的重量比用1800元購買乙種水果多10千克,且乙種水果每千克的進(jìn)價是甲種水果進(jìn)價的2倍.(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價分別是多少;(2)若甲種水果的售價為14元/千克,乙種水果的售價為26元/千克,該商家購進(jìn)甲、乙兩種水果共500千克,要使總銷售利潤不低于2400元,則甲種水果最多購進(jìn)多少千克?35.(2025·江西萍鄉(xiāng)·二模)如圖,書架寬,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書,已知每本語文書的厚度是每本數(shù)學(xué)書厚度的1.5倍,且厚度和為的數(shù)學(xué)書比厚度和為的語文書多30本.(1)求書架上每本數(shù)學(xué)書和每本語文書的厚度;(2)若書架上已擺放20本語文書,則最多還可以擺多少本數(shù)學(xué)書?考點05:不等式與不等式組36.(2025·江西吉安·一模)若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個,則m的取值范圍是(
)A. B. C. D.37.(2025·江西撫州·二模)在平面直角坐標(biāo)系中,若點在第二象限,則的取值范圍是.38.(2025·江西九江·二模)不等式組的解集是.39.(2025·江西撫州·一模)不等式組的解集是.40.(2025·江西景德鎮(zhèn)·一模)古巴比倫有這樣一個有趣的問題:“有二田,其一比其二廣五畝.若以其一之十畝予其二,則其二之廣不逾其一之倍,問初時其一田最小幾何?”其大意為:兩塊土地,第一塊面積比第二塊大5畝,若從第一塊取10畝給第二塊,則第二塊面積不超過第一塊的2倍,問最初第一塊土地的最小面積為.41.(2025·江西宜春·一模)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實數(shù)的取值范圍為.42.(2025·江西上饒·一模)不等式的解集為.43.(2025·江西南昌·一模)不等式組的解集是.44.(2025·江西撫州·二模)“一盔一帶,安全行動”是全國公安部門啟動的一項重要安全措施,旨在打造文明城市,提升市民文明素質(zhì),此行動要求電動自行車駕駛者及其乘客必須佩戴安全頭盔,某商場計劃采購一批頭盔以響應(yīng)此倡議.已知購進(jìn)3個A型頭盔和2個B型頭盔需要225元,購進(jìn)2個A型頭盔和3個B型頭盔需要245元.(1)購進(jìn)1個A型頭盔和1個B型頭盔分別需要多少元?(2)如果該商場準(zhǔn)備購進(jìn)60個這兩種型號的頭盔,總費用不超過2600元,則至少購進(jìn)A型頭盔多少個?45.(2025·江西南昌·三模)南昌著名地標(biāo)建筑——滕王閣,在五一期間成為了熱門的旅游打卡景點.已知滕王閣的門票價格為成人票價50元/人,學(xué)生票價25元/人,若能完整背誦王勃的《滕王閣序》則可免門票.某學(xué)校組織1000名師生前往參觀,其中有200人憑借流利背誦《滕王閣序》享受免票優(yōu)惠,最終此次參觀累計花費20250元門票費用.(1)問在需要購票的師生中,學(xué)生和老師的人數(shù)各有多少?(2)已知能背出《滕王閣序》的老師人數(shù)占所有參觀滕王閣老師人數(shù)的,為控制實際購票費用不超過18000元,在所有老師都要背出《滕王閣序》的前提下,至少還需多少名學(xué)生背出《滕王閣序》?46.(2025·江西撫州·二模)某校舉行了“誦讀紅色家書講述英烈故事”的演講比賽,并計劃購買A,B兩種獎品共30個.已知種獎品的單價是20元,種獎品的單價是15元.(1)若該校購買獎品共花費510元,求購買種獎品的個數(shù);(2)如果學(xué)校購買種獎品的數(shù)量不少于種獎品數(shù)量的.求至少購買種獎品多少個?47.(2025·江西撫州·一模)某花店計劃在國慶節(jié)來臨之前購進(jìn)一批康乃馨和百合花,已知購買2枝康乃馨和3枝百合共需40元;購買3枝康乃馨和1枝百合共需25元.(1)求每枝康乃馨和百合花的價格分別是多少元?(2)若該花店準(zhǔn)備同時購進(jìn)這兩種花共360枝,并且康乃馨的數(shù)量不多于百合花數(shù)量的2倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.48.(2025·江西新余·二模)某市為響應(yīng)國家家電補貼政策,推出了購買節(jié)能家電的補貼方案.補貼方案具體如下:購買1臺節(jié)能冰箱可獲得300元補貼,購買1臺節(jié)能空調(diào)可獲得500元補貼,每戶家庭購買節(jié)能家電的總補貼金額不超過2000元.(1)小明家購買了若干臺節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào),共獲得補貼1900元,且小明家購買的節(jié)能冰箱比節(jié)能空調(diào)多1臺,小明家購買了節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)各多少臺?(2)如果小明家希望購買節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)的總臺數(shù)為6臺,且總補貼金額不超過2000元,求小明家最多可以購買多少臺節(jié)能空調(diào)?49.(2025·江西撫州·一模)(1)計算:(2)解不等式組:50.(2025·江西吉安·一模)小宇同學(xué)在做練習(xí)時,有一道不等式組題是這樣的:解不等式組,小宇仿照用解方程組所使用的加減消元法,做了如下的解答:第一步:由,得;第二步:化簡,得;第三步:原不等式組的解集為.(1)小宇的解法是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的;(2)請寫出正確的解答過程,并將解集在數(shù)軸上表示出來.51.(2025·江西九江·一模)某工廠生產(chǎn)型號和型號兩種扎染圖案掛件,每天只能生產(chǎn)一種型號的掛件.如果生產(chǎn)2天型號掛件和3天型號掛件,一共可以生產(chǎn)2100個;如果生產(chǎn)1天型號掛件和2天型號掛件,一共可以生產(chǎn)1300個.(1)每天能生產(chǎn)型號掛件或型號掛件多少個?(2)工廠接到一個旅游節(jié)的訂單,要求用10天時間至少交付3800個掛件,在完成訂單任務(wù)的前提下,請問至少要安排生產(chǎn)型號掛件多少天?52.(2025·江西九江·一模)(1)計算:.(2)解不等式組:53.(2025·江西新余·二模)學(xué)校組織部分師生到某紅色教育基地進(jìn)行研學(xué)活動,此次研學(xué)活動中,在該基地購買門票的信息如下:信息一門票類別單價/元購票總額/元學(xué)生票2500成人票2000信息二:購買學(xué)生票的數(shù)量是購買成人票數(shù)量的2倍.(1)求學(xué)生票和成人票的單價分別是多少?(2)該學(xué)校決定再次組織50名師生到該基地研學(xué),若購買門票的費用不超過2800元,求此次研學(xué)活動最多能安排多少位老師參加?54.(2025·江西吉安·一模)2024年10月30日,神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功,神舟十九號航天員乘組順利進(jìn)駐中國空間站.某航模商店購進(jìn)A、兩種航空模型進(jìn)行銷售,已知購進(jìn)種航空模型和種航空模型各1個共65元,購進(jìn)A種航空模型2個和種航空模型1個共需90元.(1)求A、兩種航空模型進(jìn)價分別多少元;(2)某商店計劃購買、兩種航空模型共80個,若、兩種航空模型的售價分別是40元和50元,要使獲得的利潤不低于1100元,請問至少購買種航空模型多少個?55.(2025·江西·二模)某商家銷售兩款盲盒.已知購進(jìn)4個款盲盒的費用與購進(jìn)5個款盲盒的花費相同,每個款盲盒的進(jìn)價比每個款盲盒的進(jìn)價多20元.(1)每個款盲盒和每個款盲盒的進(jìn)價分別是多少元?(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)定的情況,該商家計劃用不超過17000元的資金購進(jìn)A,B兩款盲盒共200個,求最多可以購進(jìn)款盲盒的個數(shù).56.(2025·江西撫州·一模)騎電動車時佩戴安全頭盔至關(guān)重要,可以減少意外傷害,某商店銷售進(jìn)價分別為45元/個、36元/個的甲、乙兩種安全頭盔,下表是近兩天的銷售情況:時間甲頭盔銷量(個)乙頭盔銷量(個)銷售金額(元)周一10101150周二8121120(1)求甲、乙兩種頭盔的銷售單價;(2)甲、乙兩種頭盔共售出60個,為實現(xiàn)利潤達(dá)到950元的目標(biāo),求至少需要賣多少個甲頭盔.57.(2025·江西南昌·一模)解不等式組并將解集在數(shù)軸上表示出來.58.(2025·江西宜春·一模)某工廠為了提高生產(chǎn)效率,計劃對甲、乙兩種型號機器進(jìn)行改造,根據(jù)預(yù)算,改造2個甲種型號機器比3個乙種型號機器多需資金1萬元,改造3個甲種型號機器和1個乙種型號機器共需資金18萬元.(1)改造1個甲種型號機器和1個乙種型號機器所需資金分別是多少萬元?(2)已知改造1個甲種型號機器的時間是3天,改造1個乙種型號機器的時間是2天,該工廠計劃改造甲、乙兩種型號機器共16個,改造資金最多能投入68萬元,要求改造時間不少于40天,請問有幾種改造方案?哪種方案工廠投入資金最少,最少是多少?59.(2025·江西·二模)(1)計算:;(2)解不等式組:.60.(2025·江西新余·模擬預(yù)測)隨著科技的進(jìn)步和農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的發(fā)展,無人機噴灑農(nóng)藥技術(shù)得到了廣泛的推廣和應(yīng)用,相比傳統(tǒng)的人工打藥,無人機的作業(yè)速度更快,覆蓋面積更廣.已知每小時使用一臺無人機對玉米地噴灑農(nóng)藥的面積是一個人打藥面積的6倍,使用一臺無人機對600畝玉米地噴灑農(nóng)藥的時間比一個人對200畝玉米地打藥的時間少25小時.(1)求每小時一臺無人機對玉米地噴灑農(nóng)藥的面積和一個人打藥的面積.(2)王伯伯種植了畝玉米,他想用一小時完成對所有玉米地的打藥作業(yè).現(xiàn)有兩臺無人機可供使用,若每個人打藥的效率相同,王伯伯參與其中,則王伯伯至少還需要多少個人同時打藥?
專題03方程與不等式(五大考點60題)一、填空題1.(2025·江西·中考真題)不等式的解集為【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式.根據(jù)一元一次不等式的解法,先移項,再系數(shù)化為,即可求解.【詳解】解:移項,得,系數(shù)化為,得.故答案為:.2.(2025·江西·中考真題)小美家有一輛燃油汽車和一輛純電汽車,燃油汽車耗費6000元油費行駛的路程與純電汽車耗費1000元電費行駛的路程相同,且每百公里的耗油費比耗電費約多50元,求純電汽車每百公里的耗電費.設(shè)純電汽車每百公里的耗電費為x元,可列分式方程為【答案】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用.設(shè)純電汽車每百公里的耗電費為x元,由每百公里的耗油費為元,根據(jù)“燃油汽車耗費6000元油費行駛的路程與純電汽車耗費1000元電費行駛的路程相同”列出分式方程即可.【詳解】解:設(shè)純電汽車每百公里的耗電費為x元,由每百公里的耗油費為元,根據(jù)題意得,,故答案為:.3.(2022·江西·中考真題)甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣,甲每小時比乙每小時多采樣10人,甲采樣160人所用時間與乙采樣140人所用時間相等,甲、乙兩人每小時分別采樣多少人?設(shè)甲每小時采樣x人,則可列分式方程為.【答案】【分析】先表示乙每小時采樣(x-10)人,進(jìn)而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時間,再根據(jù)時間相等列出方程即可.【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時采樣(x-10)人,根據(jù)題意,得.故答案為:.【點睛】本題主要考查了列分式方程,確定等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵.4.(2022·江西·中考真題)已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根,則的值是.【答案】1【分析】由一元二次方程根的判別式列方程可得答案.【詳解】解:一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,可得判別式,∴,解得:.故答案為:【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式,掌握根的判別式的含義是解題的關(guān)鍵.5.(2021·江西·中考真題)已知,是一元二次方程的兩根,則.【答案】1【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】解:∵,是一元二次方程的兩根,∴,,∴.故答案為:1.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,若是方程()的兩根,則,.二、解答題6.(2025·江西·中考真題)系文物考古研究院用復(fù)原的青銅蒸餾器進(jìn)行了蒸餾酒實驗.用復(fù)原的青銅蒸餾器蒸餾糧食酒和芋頭酒,需要的原材料與出酒率()如下表:類別原材料出酒率糧食酒糧食糟醅(含大米、糯米、谷殼、大曲和蒸餾水30%芋頭酒芋頭糟醅(含芋頭、小曲和蒸餾水)20%如果第一次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤;第二次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤,且所用的糧食糟醅量是第一次的2倍,芋頭糟醅量是第一次的3倍.(1)求第一次實驗分別用了多少公斤糧食糟醅和芋頭糟醅?(2)受限于當(dāng)時的生產(chǎn)條件,古代青銅裝餾器的出酒量約為現(xiàn)代復(fù)原品的80%.若糧食糟醅中大米占比約為,請問,在古代要想蒸餾出這兩次實驗得到的糧食酒總量,需要準(zhǔn)備多少公斤大米?【答案】(1)第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是40、20公斤.(2)需要準(zhǔn)備公斤大米.【分析】本題主要考查了二元一次方程組、一元一次方程的應(yīng)用等知識點,審清題意、正確列出方程組和方程是解題的關(guān)鍵.(1)第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是x、y公斤,則第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是公斤,然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可;(2)先求出兩次得到糧食酒的總質(zhì)量,設(shè)需要準(zhǔn)備z公斤大米,則糧食糟醅的質(zhì)量為,再根據(jù)題意列一元一次方程求解即可.【詳解】(1)解:第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是x、y公斤,則第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是公斤,由題意可得:,解得:.答:第一次實驗用糧食糟醅和芋頭糟醅的質(zhì)量分別是40、20公斤.(2)解:兩次實驗得到的糧食酒總量為公斤,設(shè)需要準(zhǔn)備z公斤大米,則糧食糟醅的質(zhì)量為,由題意可得:,解得:千克.答:需要準(zhǔn)備公斤大米.7.(2024·江西·中考真題)如圖,書架寬,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書,已知每本數(shù)學(xué)書厚,每本語文書厚.(1)數(shù)學(xué)書和語文書共90本恰好擺滿該書架,求書架上數(shù)學(xué)書和語文書各多少本;(2)如果書架上已擺放10本語文書,那么數(shù)學(xué)書最多還可以擺多少本?【答案】(1)書架上有數(shù)學(xué)書60本,語文書30本.(2)數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),列出方程.(1)首先設(shè)這層書架上數(shù)學(xué)書有本,則語文書有本,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:本數(shù)學(xué)書的厚度本語文書的厚度,根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可;(2)設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本,根據(jù)題意列出不等式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)書架上數(shù)學(xué)書有本,由題意得:,解得:,.∴書架上有數(shù)學(xué)書60本,語文書30本.(2)設(shè)數(shù)學(xué)書還可以擺m本,根據(jù)題意得:,解得:,∴數(shù)學(xué)書最多還可以擺90本.8.(2023·江西·中考真題)今年植樹節(jié),某班同學(xué)共同種植一批樹苗,如果每人種3棵,則剩余20棵;如果每人種4棵,則還缺25棵.(1)求該班的學(xué)生人數(shù);(2)這批樹苗只有甲、乙兩種,其中甲樹苗每棵30元,乙樹苗每棵40元.購買這批樹苗的總費用沒有超過5400元,請問至少購買了甲樹苗多少棵?【答案】(1)該班的學(xué)生人數(shù)為45人(2)至少購買了甲樹苗80棵【分析】(1)設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人,根據(jù)兩種方案下樹苗的總數(shù)不變列出方程求解即可;(2)根據(jù)(1)所求求出樹苗的總數(shù)為155棵,設(shè)購買了甲樹苗m棵,則購買了乙樹苗棵樹苗,再根據(jù)總費用不超過5400元列出不等式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)該班的學(xué)生人數(shù)為x人,由題意得,,解得,∴該班的學(xué)生人數(shù)為45人;(2)解:由(1)得一共購買了棵樹苗,設(shè)購買了甲樹苗m棵,則購買了乙樹苗棵樹苗,由題意得,,解得,∴m得最小值為80,∴至少購買了甲樹苗80棵,答:至少購買了甲樹苗80棵.【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用,一元一次不等式的實際應(yīng)用,正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程,找到不等關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵.9.(2022·江西·中考真題)(1)計算:;(2)解不等式組:【答案】(1)3;(2)1<x<3【分析】(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì),算術(shù)平方根的意義,零指數(shù)冪的意義解答即可;(2)分別求出每一個不等式的解集,根據(jù)口訣:同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.【詳解】(1)原式=2+2-1,=3.(2)解不等式①得:x<3,解不等式②得:x>1,∴不等式組的解集為:1<x<3.【點睛】本題考查的是實數(shù)的運算和解一元一次不等式組,正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ),熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.10.(2021·江西·中考真題)甲,乙兩人去市場采購相同價格的同一種商品,甲用2400元購買的商品數(shù)量比乙用3000元購買的商品數(shù)量少10件.(1)求這種商品的單價;(2)甲,乙兩人第二次再去采購該商品時,單價比上次少了20元/件,甲購買商品的總價與上次相同,乙購買商品的數(shù)量與上次相同,則甲兩次購買這種商品的平均單價是______元/件,乙兩次購買這種商品的平均單價是______元/件.(3)生活中,無論油價如何變化,有人總按相同金額加油,有人總按相同油量加油,結(jié)合(2)的計算結(jié)果,建議按相同______加油更合算(填“金額”或“油量”).【答案】(1)這種商品的單價為60元/件;(2)48,50;(3)金額【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)這種商品的單價為元/件,通過甲乙之間購買的商品數(shù)量間的數(shù)量關(guān)系列分式方程進(jìn)行求解即可;(2)利用兩次購買總價÷兩次購買總數(shù)量=平均單價,列式分別求出甲乙兩次購買的平均單價即可;(3)對比(2)中的計算數(shù)據(jù)總結(jié)即可得解.【詳解】(1)設(shè)這種商品的單價為元/件,,解得,經(jīng)檢驗是原分式方程的解,則這種商品的單價為60元/件;(2)甲,乙兩人第二次再去采購該商品時,單價為元/件,∵甲兩次購買總價為元,購買總數(shù)量為件,∴甲兩次購買這種商品的平均單價是元/件;∵乙兩次購買總價為元,購買總數(shù)量為件,∴乙兩次購買這種商品的平均單價是元/件;故答案為:48,50;(3)∵,∴按照甲兩次購買商品的總價相同的情況下更合算,∴建議按相同金額加油更合算,故答案為:金額.【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用,通過題目找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系,利用總價÷數(shù)量=單價的基本等量關(guān)系式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.11.(2021·江西·中考真題)解不等式組:,并將解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】,數(shù)軸見解析【分析】根據(jù)題意,先對不等式組進(jìn)行求解,然后將其解集在數(shù)軸上表示即可.【詳解】根據(jù)題意,令為①式,為②式解:由①式得,由②式得則原不等式組的解集為:.解集在數(shù)軸上表示如下:【點睛】本題主要考查了不等式組的求解,熟練掌握不等式組的解法并將其解集在數(shù)軸上進(jìn)行表示是解決本題的關(guān)鍵.考點01:一元一次方程12.(2025·江西九江·二模)小亮利用杠桿原理(動力動力臂=阻力阻力臂)制作了如圖所示的天平(杠桿、托盤質(zhì)量忽略不計),然后用它來稱取物品質(zhì)量.如圖1,當(dāng)天平左盤放置質(zhì)量為的物品,右盤中放置砝碼時,天平平衡.如圖2,將某物品放在右盤后,左盤放置砝碼,才可使天平再次平衡,則該物品的質(zhì)量是g.【答案】40【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用,理解題意,找出等量關(guān)系,列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)該藥品質(zhì)量為x克,根據(jù)“動力×動力臂=阻力×阻力臂”得,根據(jù)題意列出方程,即可求解.【詳解】解:設(shè)該藥品質(zhì)量為x克,由題意可得:解得.故答案為:.13.(2025·江西撫州·二模)2025年第九屆亞洲冬季運動會在哈爾濱召開.吉祥物“濱濱”和“妮妮”玩偶熱銷.某商場現(xiàn)購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”玩偶共300個,已知一個“濱濱”25元,一個“妮妮”20元,共花去6750元.求購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”各多少個?若設(shè)購進(jìn)“濱濱”x個,則可列方程為.【答案】【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)購進(jìn)“濱濱”x個,根據(jù)“商場現(xiàn)購進(jìn)“濱濱”和“妮妮”玩偶共300個,已知一個“濱濱”25元,一個“妮妮”20元,共花去6750元”,可列出關(guān)于x的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)購進(jìn)“濱濱”x個,根據(jù)題意得:,故答案為:.14.(2025·江西吉安·一模)《孫子算經(jīng)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)典籍,其中有一道題的大意為:用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺;將繩子對折再量長木,長木還剩余1尺.問木長多少尺?設(shè)木長為x尺,則繩子長尺,則可以列出方程為.【答案】【分析】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程,根據(jù)“長木長繩長的一半尺”列方程即可.【詳解】解:根據(jù)題意得:,故答案為:.考點02:二元一次方程組15.(2025·江西·二模)小亮媽媽逛超市時看中一套碗,她將碗疊成一列(如圖),測量后發(fā)現(xiàn):用3個碗疊放時,總高度為;用5個碗疊放時,總高度為.若將10個碗疊成一列能放入消毒柜,則這個消毒柜的內(nèi)置高度至少有.【答案】【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用.設(shè)一個碗的高度為,增加一個碗高度增加,根據(jù)題意列方程組求出,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:設(shè)一個碗的高度為,增加一個碗高度增加,根據(jù)題意得:,解得:.則10個碗放在一起時,它的高度為.故答案為:.16.(2025·江西贛州·二模)某港口碼頭使用A,兩種型號的機器人搬運貨物.在內(nèi),3臺A型機器人和2臺型機器人共搬運貨物,且每臺型機器人比型機器人多搬運貨物,每臺A型機器人和每臺型機器人24h的搬運量分別是多少?【答案】每臺A型機器人的搬運量是,每臺型機器人的搬運量是【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用,申請題意、正確列出二元一次方程組成為解題的關(guān)鍵.設(shè)每臺A型機器人的搬運量是,每臺型機器人的搬運量是,然后根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可.【詳解】解:設(shè)每臺A型機器人的搬運量是,每臺型機器人的搬運量是,根據(jù)題意得,解得:,答:每臺A型機器人的搬運量是,每臺型機器人的搬運量是.17.(2025·江西新余·三模)江西省居民用電采取階梯電價的方式收費,分檔標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.已知小明家在2023年用電總量為2760千瓦時,交納電費1686元;小華家在2023年用電總量為3160千瓦時,交納電費1946元.分檔年電量水平(千瓦時/戶)第一檔第二檔(含4200)第三檔(1)求第一檔與第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn);(2)若小華家在2024年用電總量為4100千瓦時,求小華家2024年應(yīng)交納的電費總額.【答案】(1)第一檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時,第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時(2)小華家2024年應(yīng)交納的電費總額為2557元【分析】本題主要考查二元一次方程組的運用,理解數(shù)量關(guān)系,正確列式求解是關(guān)鍵.(1)設(shè)第一檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時,第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元千瓦時,由此列二元一次方程組求解即可;(2)根據(jù)階段收費的計算方法即可求解.【詳解】(1)解:設(shè)第一檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元/千瓦時,第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為元千瓦時,則,解得,答:第一檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為0.6元/千瓦時,第二檔用電收費標(biāo)準(zhǔn)為0.65元/千瓦時;(2)解:(元),答:小華家2024年應(yīng)交納的電費總額為2557元.18.(2025·江西宜春·二模)(1)計算:.(2)解方程組:.【答案】(1);(2)【分析】本題考查零次冪,解二元一次方程組,正確計算是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)有理數(shù)的乘方,零次冪,絕對值的性質(zhì)計算即可;(2)利用代入消元法求解即可.【詳解】(1)解:;(2),由②得③,將③代入①,得出:,解得,將代入③,得:,∴方程組的解為:.19.(2025·江西上饒·一模)清明果是上饒的特色美食之一.某美食商鋪推出了蘿卜餡清明果和肉餡清明果.下表列出了小李、小藝在該美食商鋪的購買數(shù)量(單位:個)和付款金額(單位:元).蘿卜餡清明果/個肉餡清明果/個付款金額/元小李401085小藝202080根據(jù)上表,求蘿卜餡清明果和肉餡清明果的單價.【答案】蘿卜餡清明果的單價是1.5元,肉餡清明果的單價是2.5元.【分析】本題考查二元一次方程組,解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量正確列出方程組.設(shè)蘿卜餡清明果的單價是元,肉餡清明果的單價是元,根據(jù)表格信息可列出關(guān)于,的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;【詳解】(1)解:設(shè)蘿卜餡清明果的單價是元,肉餡清明果的單價是元,根據(jù)題意,得,解得,答:蘿卜餡清明果的單價是1.5元,肉餡清明果的單價是2.5元.20.(2025·江西新余·一模)(1)計算:;(2)解方程組:.【答案】(1)2;(2)【分析】此題考查了解二元一次方程組,以及絕對值和零指數(shù)冪.(1)原式先計算絕對值和零指數(shù)冪,再算減法即可;(2)方程組利用加減消元法求出解即可.【詳解】解:(1);(2),①+②得:,解得:,把2代入②得:,則方程組的解為.考點03:一元二次方程21.(2025·江西新余·二模)已知α,β是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則(
)A.2023 B.2024 C.2025 D.2026【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:如果是方程的兩根,那么,.直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出,再整體代入計算求解即可.【詳解】解:是一元二次方程的兩個實數(shù)根,,∴.故選:C.22.(2025·江西吉安·一模)若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則滿足條件的最小整數(shù)的值是(
)A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】D【分析】本題主要考查根的判別式,掌握根的判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.首先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍,然后從中找到最小整數(shù)即可.【詳解】解:∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,∴,解得,∴滿足條件的最小整數(shù)的值是,故選:D.23.(2025·江西撫州·二模)已知關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根之積為正數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】本題考查了解不等式,一元二次方程的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合題意,得出,再代入數(shù)值進(jìn)行計算,即可作答.【詳解】解:記關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為,∵關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根之積為正數(shù),∴,即,,∴,故答案為:.24.(2025·江西吉安·一模)已知一元二次方程的兩個根分別為和,則.【答案】5【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解題關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于x的一元二次方程有兩根為和,則,.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】解:∵一元二次方程的兩個根分別為和,∴故答案為:5.25.(2025·江西上饒·一模)若a,b是一元二次方程的兩根,則的值為.【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得出,然后對進(jìn)行變形后整體代入即可解答.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:∵是一元二次方程的兩個根,∴,∴.故答案為:.26.(2025·江西宜春·一模)已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根,則另外一個根的值是.【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,對于一元二次方程,若是該方程的兩個實數(shù)根,則,據(jù)此求解即可.【詳解】解:∵是關(guān)于x的一元二次方程的一個根,∴由根與系數(shù)的關(guān)系可得方程的另一個根的值為,故答案為:.27.(2025·江西景德鎮(zhèn)·一模)已知,是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則的值為.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,代數(shù)式求值.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.由,是一元二次方程的兩個實數(shù)根,可得,,然后代入求值即可.【詳解】解:∵,是一元二次方程的兩個實數(shù)根,∴,,∴,故答案為:.28.(2025·江西九江·三模)解下列方程:(1);(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程,熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.(1)利用因式分解法解方程即可;(2)先移項,然后利用因式分解法解方程即可.【詳解】(1)解:∵,∴,∴或,解得;(2)解:∵,∴,∴,∴,∴,∴或,解得.29.(2025·江西上饒·三模)(1)計算:;(2)解方程.【答案】(1);(2),【分析】(1)根據(jù)計算即可;(2)利用因式分解法解答即可.【詳解】(1)解:;(2)解:,解得,.【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方,二次根式的化簡,絕對值的化簡,解方程,熟練掌握二次根式的化簡,解方程是解題的關(guān)鍵.30.(2025·江西撫州·一模)2024年巴黎奧運會順利閉幕,吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛,一商場以20元的進(jìn)價進(jìn)一批“弗里熱”紀(jì)念品,以40元每個的價格售出,每周可以賣出500個,經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),價格每漲1元,就少賣10個(1)設(shè)每件商品售價為x元時,則每件商品的利潤為______元,此時每周可以賣出______個;(2)若商場計劃一周的利潤達(dá)到12000元,并且更大優(yōu)惠讓利消費者,售價應(yīng)定為多少錢?【答案】(1)(2)售價應(yīng)定為每個50元【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用;(1)每個利潤為售價減進(jìn)價元,根據(jù)“價格每漲元,就少賣個”求銷量即可;(2)利用總利潤為每件商品的利潤乘以銷售量,列出一元二次方程,解之取符合題意的值即可.【詳解】(1)解:設(shè)每件商品售價為元時,則每件商品的利潤為元,∵價格每漲元,就少賣個,∴每周可以賣出個數(shù)為,故答案為:;(2)解:由題意得:整理得:解得:,∵更大優(yōu)惠讓利消費者,,答:售價應(yīng)定為每個元.考點04:分式方程31.(2025·江西撫州·一模)在物理學(xué)中,物質(zhì)的密度等于物體的質(zhì)量m與它的體積V之比,即.已知兩個物體的密度之比為,當(dāng)物體A的質(zhì)量是,物體B的質(zhì)量是時,物體B的體積比物體A的體積?。绻O(shè)物體A的體積是,那么根據(jù)題意列方程為(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本題主要考查分式方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是理解題意;因此此題可根據(jù)題意直接進(jìn)行求解【詳解】解:設(shè)物體A的體積是,則物體B的體積是,根據(jù)題意,得.故選D.32.(2025·江西撫州·一模)以下是小張同學(xué)解分式方程的過程,請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).解:.第一步.第二步.第三步經(jīng)檢驗,是原方程的根.第四步任務(wù)一:填空:以上解方程的過程中,第___________步開始出現(xiàn)錯誤;任務(wù)二:請你幫他寫出正確的解答過程.【答案】任務(wù)一:一;任務(wù)二:無解【分析】本題主要考查了求解分式方程,掌握解分式方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵.任務(wù)一:根據(jù)解分式方程的方法進(jìn)行判斷即可;任務(wù)二:先去分母,變分式方程為整式方程,然后解整式方程,最后對方程的解進(jìn)行檢驗即可.【詳解】解:任務(wù)一:第一步去分母時,常數(shù)項沒有乘以,因此第一步開始出現(xiàn)錯誤;任務(wù)二:解:,方程兩邊同乘以,得解得,檢驗,當(dāng)時,,∴不是原方程的根,∴原方程無解.33.(2025·江西新余·三模)下面是小軒學(xué)習(xí)“分式方程的應(yīng)用”后所作的學(xué)習(xí)筆記,請認(rèn)真閱讀并解答相應(yīng)的問題.題目,某校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種圖書,甲種圖書的單價比乙種圖書的單價多20元,用2000元購買甲種圖書和用1200元購買乙種圖書的數(shù)量相同.問甲、乙兩種圖書的單價各是多少元?方法分析問題列出方程解法一設(shè)……,等量關(guān)系:甲圖書數(shù)量乙圖書數(shù)量解法二設(shè)……,等量關(guān)系:甲圖書單價乙圖書單價20(1)解法一所列方程中的x表示______,解法二所列方程中的x表示______.(填序號)①甲種圖書的單價;②乙種圖書的單價;③甲種圖書購買的數(shù)量.(2)請選擇一種解法,求出甲、乙兩種圖書的單價.(3)若該校用不超過2500元錢購買甲、乙兩種圖書共60本,求甲種圖書最多能購買的數(shù)量.【答案】(1)①;③(2)50元,30元(3)甲種圖書最多能購買35本.【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用,分式方程的解法,一元一次不等式的應(yīng)用.(1)根據(jù)等量關(guān)系中代數(shù)式的含義可得答案;(2)分別選擇兩個方程求解即可得到答案;(3)設(shè)甲種圖書購買的數(shù)量為本,則乙種圖書購買的數(shù)量為本,該校用不超過2500元錢的資金購進(jìn)甲、乙兩種圖書,求解的范圍,可得答案.【詳解】(1)解:由甲商品數(shù)量乙商品數(shù)量,可得:中的x表示甲種商品每件進(jìn)價x元,由甲商品進(jìn)價乙商品進(jìn)價可得:中的x表示甲種商品購進(jìn)x件;故答案為:①,③;(2)解:解法一:,方程兩邊同乘,得,解得,經(jīng)檢驗:是原方程的解,且符合題意,∴,答:甲、乙兩種圖書的單價分別為50元、30元;解法二:,方程兩邊同乘,得,解得,經(jīng)檢驗:是原方程的解,且符合題意,∴,答:甲、乙兩種圖書的單價分別為50元、30元;(3)解:設(shè)甲種圖書購買的數(shù)量為本,則乙種圖書購買的數(shù)量為本,根據(jù)題意得,解得答:甲種圖書最多能購買35本.34.(2025·江西南昌·二模)為迎接端午節(jié)水果銷售旺季,某商家計劃購進(jìn)甲、乙兩種水果進(jìn)行銷售,若用1000元購買甲種水果的重量比用1800元購買乙種水果多10千克,且乙種水果每千克的進(jìn)價是甲種水果進(jìn)價的2倍.(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價分別是多少;(2)若甲種水果的售價為14元/千克,乙種水果的售價為26元/千克,該商家購進(jìn)甲、乙兩種水果共500千克,要使總銷售利潤不低于2400元,則甲種水果最多購進(jìn)多少千克?【答案】(1)甲種水果的進(jìn)價為10元/千克,乙種水果的進(jìn)價為20元/千克(2)300千克【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是總價與單價和數(shù)量的關(guān)系列出相應(yīng)的分式方程,利用總利潤與每千克利潤和千克數(shù)的關(guān)系列不等式,是解題的關(guān)鍵.(1)設(shè)甲種水果的進(jìn)價為x元/千克,根據(jù)1000元購買甲種水果的重量比用1800元購買乙種水果多10千克,列出分式方程,即可求出甲、乙兩種水果的單價分別是多少元;(2)設(shè)甲種水果購進(jìn)a千克,根據(jù)甲種水果的售價為14元/千克,乙種水果的售價為26元/千克,該商家購進(jìn)甲、乙兩種水果共500千克,要使總銷售利潤不低于2400元,列不等式即可解答.【詳解】(1)解:設(shè)甲種水果的進(jìn)價為x元/千克.解得.檢驗:當(dāng)時,.所以,原分式方程的解為.則.答:甲種水果的進(jìn)價為10元/千克,乙種水果的進(jìn)價為20元/千克.(2)設(shè)甲種水果購進(jìn)a千克.解得:.答:甲種水果最多購進(jìn)300千克.35.(2025·江西萍鄉(xiāng)·二模)如圖,書架寬,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學(xué)書和語文書,已知每本語文書的厚度是每本數(shù)學(xué)書厚度的1.5倍,且厚度和為的數(shù)學(xué)書比厚度和為的語文書多30本.(1)求書架上每本數(shù)學(xué)書和每本語文書的厚度;(2)若書架上已擺放20本語文書,則最多還可以擺多少本數(shù)學(xué)書?【答案】(1)每本數(shù)學(xué)書的厚度為,每本語文書的厚度為(2)75本數(shù)學(xué)書【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,理解題意,正確列出分式方程和一元一次不等式是解此題的關(guān)鍵.(1)設(shè)每本數(shù)學(xué)書的厚度為,則每本語文書的厚度為,根據(jù)題意列出分式方程,解分式方程即可得解;(2)設(shè)還可以擺本數(shù)學(xué)書,根據(jù)題意列出一元一次不等式,解不等式即可得解.【詳解】(1)解:設(shè)每本數(shù)學(xué)書的厚度為,則每本語文書的厚度為,由題意得:.解得:,經(jīng)檢驗,是方程的解且符合題意,則,答:每本數(shù)學(xué)書的厚度為,每本語文書的厚度為.(2)解:設(shè)還可以擺本數(shù)學(xué)書,由題意得,,解得:答:最多還可以擺75本數(shù)學(xué)書.考點05:不等式與不等式組36.(2025·江西吉安·一模)若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有3個,則m的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查不等式組整數(shù)解問題,解題的關(guān)鍵是正確求出不等式的解.分別解不等式①和不等式②,結(jié)合三個整數(shù)解直接求解即可得到答案.【詳解】解:,解不等式①得:,解不等式②得:,∵不等式組有解,∴不等式組的解集為:,∵整數(shù)解共有個,∴故選:B.37.(2025·江西撫州·二模)在平面直角坐標(biāo)系中,若點在第二象限,則的取值范圍是.【答案】【分析】本題考查各象限內(nèi)的點的坐標(biāo)特點,解一元一次不等式組.根據(jù)第二象限內(nèi)的點的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù),縱坐標(biāo)為正數(shù)即可列出不等式組,求解即可.【詳解】解:點在第二象限,,解得.故答案為:.38.(2025·江西九江·二模)不等式組的解集是.【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組,先求出每個不等式的解集,再根據(jù)“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小找不到(無解)”求出不等式組的解集即可.【詳解】解:解不等式,得,解不等式,得,∴不等式組的解集為,故答案為:.39.(2025·江西撫州·一模)不等式組的解集是.【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組,先解出不等式組中的每一個不等式,再由“同大取大、同小取小,大小小大中間找,大大小小無解”求不等式組的解集即可得到答案.熟記一元一次不等式組的解法是解決問題的關(guān)鍵.【詳解】解:,由①得;由②得;原不等式組的解集為,故答案為:.40.(2025·江西景德鎮(zhèn)·一模)古巴比倫有這樣一個有趣的問題:“有二田,其一比其二廣五畝.若以其一之十畝予其二,則其二之廣不逾其一之倍,問初時其一田最小幾何?”其大意為:兩塊土地,第一塊面積比第二塊大5畝,若從第一塊取10畝給第二塊,則第二塊面積不超過第一塊的2倍,問最初第一塊土地的最小面積為.【答案】畝【分析】本題考查了一元一次不等式的實際應(yīng)用,設(shè)第一塊土地面積為x畝,則第二塊面積為畝,根據(jù)從第一塊取10畝給第二塊,則第二塊面積不超過第一塊的2倍,列出不等式,求解即可.【詳解】解:設(shè)第一塊土地面積為x畝,則第二塊面積為畝,根據(jù)題意:,解得:,則最初第一塊土地的最小面積為畝,故答案為:畝.41.(2025·江西宜春·一模)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的分母不能為零.利用分式的分母不能為零即可解答此題.【詳解】解:根據(jù)代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義得,解得,,故答案為:.42.(2025·江西上饒·一模)不等式的解集為.【答案】【分析】本題考查了解一元一次不等式,先移項再合并同類項,系數(shù)化1,即可作答.【詳解】解:∵,∴,∴,∴,故答案為:.43.(2025·江西南昌·一模)不等式組的解集是.【答案】【分析】本題主要考查解一元一次不等式組,分別求出每個不等式的解集,再取它們的公共部分即可得到不等式組的解集.【詳解】解:,解不等式①得,;解不等式②得,;所以,不等式組的解集為:,故答案為:.44.(2025·江西撫州·二模)“一盔一帶,安全行動”是全國公安部門啟動的一項重要安全措施,旨在打造文明城市,提升市民文明素質(zhì),此行動要求電動自行車駕駛者及其乘客必須佩戴安全頭盔,某商場計劃采購一批頭盔以響應(yīng)此倡議.已知購進(jìn)3個A型頭盔和2個B型頭盔需要225元,購進(jìn)2個A型頭盔和3個B型頭盔需要245元.(1)購進(jìn)1個A型頭盔和1個B型頭盔分別需要多少元?(2)如果該商場準(zhǔn)備購進(jìn)60個這兩種型號的頭盔,總費用不超過2600元,則至少購進(jìn)A型頭盔多少個?【答案】(1)購進(jìn)1個A型頭盔需要37元,購進(jìn)1個B型頭盔需要57元(2)至少購進(jìn)A型頭盔41個【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式.(1)設(shè)購進(jìn)1個A型頭盔需要x元,購進(jìn)1個B型頭盔需要y元,根據(jù)題意即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;(2)設(shè)購進(jìn)A型頭盔a個,則購進(jìn)B型頭盔個,由題意可得出關(guān)于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范圍,再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:設(shè)購進(jìn)1個A型頭盔需要x元,購進(jìn)1個B型頭盔需要y元,由題意得解得答:購進(jìn)1個A型頭盔需要37元,購進(jìn)1個B型頭盔需要57元.(2)解:設(shè)購進(jìn)A型頭盔a個,則購進(jìn)B型頭盔個,由題意得,解得,∴a的最小值為41.答:至少購進(jìn)A型頭盔41個.45.(2025·江西南昌·三模)南昌著名地標(biāo)建筑——滕王閣,在五一期間成為了熱門的旅游打卡景點.已知滕王閣的門票價格為成人票價50元/人,學(xué)生票價25元/人,若能完整背誦王勃的《滕王閣序》則可免門票.某學(xué)校組織1000名師生前往參觀,其中有200人憑借流利背誦《滕王閣序》享受免票優(yōu)惠,最終此次參觀累計花費20250元門票費用.(1)問在需要購票的師生中,學(xué)生和老師的人數(shù)各有多少?(2)已知能背出《滕王閣序》的老師人數(shù)占所有參觀滕王閣老師人數(shù)的,為控制實際購票費用不超過18000元,在所有老師都要背出《滕王閣序》的前提下,至少還需多少名學(xué)生背出《滕王閣序》?【答案】(1)學(xué)生790人,老師10人(2)70名【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,理解題意是解答的關(guān)鍵.(1)設(shè)在需要購票的師生中,學(xué)生人數(shù)有x,則老師有人,根據(jù)“此次參觀累計花費20250元門票費用”列方程求解即可;(2)設(shè)還需要y名學(xué)生,“控制實際購票費用不超過18000元”列不等式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)在需要購票的師生中,學(xué)生人數(shù)有x人,則老師有人,根據(jù)題意,得,解得:,則,∴在需要購票的師生中,學(xué)生790人,老師10人;(2)解:設(shè)還需要y名學(xué)生,根據(jù)題意,得,解得答:至少還需70名學(xué)生背出《滕王閣序》.46.(2025·江西撫州·二模)某校舉行了“誦讀紅色家書講述英烈故事”的演講比賽,并計劃購買A,B兩種獎品共30個.已知種獎品的單價是20元,種獎品的單價是15元.(1)若該校購買獎品共花費510元,求購買種獎品的個數(shù);(2)如果學(xué)校購買種獎品的數(shù)量不少于種獎品數(shù)量的.求至少購買種獎品多少個?【答案】(1)購買種獎品12個(2)至少購買種獎品9個【分析】本題考查了一元一次方程,一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是列出相應(yīng)的方程或不等式;(1)設(shè)購買種獎品個,則購買種獎品個,然后列出方程進(jìn)行求解即可;(2)設(shè)購買種獎品個,則購買種獎品個.根據(jù)題意得列出,進(jìn)行求解,再根據(jù)整數(shù)的概念進(jìn)行取值.【詳解】(1)解:設(shè)購買種獎品個,則購買種獎品個.根據(jù)題意得,,解得.答:購買種獎品12個;(2)解:設(shè)購買種獎品個,則購買種獎品個.根據(jù)題意得,,解得.又為正整數(shù),的最小值為9,答:至少購買種獎品9個.47.(2025·江西撫州·一模)某花店計劃在國慶節(jié)來臨之前購進(jìn)一批康乃馨和百合花,已知購買2枝康乃馨和3枝百合共需40元;購買3枝康乃馨和1枝百合共需25元.(1)求每枝康乃馨和百合花的價格分別是多少元?(2)若該花店準(zhǔn)備同時購進(jìn)這兩種花共360枝,并且康乃馨的數(shù)量不多于百合花數(shù)量的2倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.【答案】(1)每枝康乃馨5元,每枝百合10元(2)購買康乃馨240枝,百合120枝,理由見解析【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用.(1)根據(jù)購買2支康乃馨和3支百合共需40元;購買3支康乃馨和1支百合共需25元,可以列出相應(yīng)的二元一次方程組,然后求解即可;(2)根據(jù)題意,先設(shè)出購買康乃馨m支,費用為w元,即可得到w關(guān)于m的函數(shù)式,再根據(jù)康乃馨的數(shù)量不多于百合花數(shù)量的2倍,可以求得m的取值范圍,然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),即可得到最省錢的方案.【詳解】(1)解:設(shè)每枝康乃馨x元,每枝百合y元,根據(jù)題意得:,解得,答:每枝康乃馨5元,每枝百合10元;(2)解:最省錢的購買方案是購買康乃馨240枝,百合120枝,理由如下:設(shè)購買康乃馨m枝,則購買百合枝,費用為W元,,,,∵,∴當(dāng)時,W取得最小值,此時,即最省錢的購買方案是購買購買康乃馨240枝,百合120枝.48.(2025·江西新余·二模)某市為響應(yīng)國家家電補貼政策,推出了購買節(jié)能家電的補貼方案.補貼方案具體如下:購買1臺節(jié)能冰箱可獲得300元補貼,購買1臺節(jié)能空調(diào)可獲得500元補貼,每戶家庭購買節(jié)能家電的總補貼金額不超過2000元.(1)小明家購買了若干臺節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào),共獲得補貼1900元,且小明家購買的節(jié)能冰箱比節(jié)能空調(diào)多1臺,小明家購買了節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)各多少臺?(2)如果小明家希望購買節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào)的總臺數(shù)為6臺,且總補貼金額不超過2000元,求小明家最多可以購買多少臺節(jié)能空調(diào)?【答案】(1)小明家購買了3臺節(jié)能冰箱,2臺節(jié)能空調(diào)(2)小明家最多可以購買1臺節(jié)能空調(diào)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,根據(jù)題意正確列出方程組以及不等式為解題關(guān)鍵.(1)設(shè)小明家購買了x臺節(jié)能冰箱,y臺節(jié)能空調(diào),根據(jù)小明家購買了若干臺節(jié)能冰箱和節(jié)能空調(diào),共獲得補貼1900元,且小明家購買的節(jié)能冰箱比節(jié)能空調(diào)多1臺,列出方程組求解即可;(2)設(shè)小明家購買了m臺節(jié)能空調(diào),則購買了臺節(jié)能冰箱,根據(jù)總補貼金額不超過2000元,列出不等式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)小明家購買了x臺節(jié)能冰箱,y臺節(jié)能空調(diào),根據(jù)題意,得解得,答:小明家購買了3臺節(jié)能冰箱,2臺節(jié)能空調(diào).(2)設(shè)小明家購買了m臺節(jié)能空調(diào),則購買了臺節(jié)能冰箱,根據(jù)題意,得,解得.答:小明家最多可以購買1臺節(jié)能空調(diào).49.(2025·江西撫州·一模)(1)計算:(2)解不等式組:【答案】(1);(2)【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算,解一元一次不等式組,掌握相應(yīng)的運算法則是解本題的關(guān)鍵.(1)先計算零指數(shù)冪,化簡絕對值,特殊角的三角函數(shù)值,再計算加減即可;(2)先分別解不等式組中的兩個不等式,再確定解集的公共部分即可.【詳解】解:(1);(2)解不等式①,得,解不等式②,得,原不等式組的解集是.50.(2025·江西吉安·一模)小宇同學(xué)在做練習(xí)時,有一道不等式組題是這樣的:解不等式組,小宇仿照用解方程組所使用的加減消元法,做了如下的解答:第一步:由,得;第二步:化簡,得;第三步:原不等式組的解集為.(1)小宇的解法是從第______步開始出現(xiàn)錯誤的;(2)請寫出正確的解答過程,并將解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】(1)一(2)見詳解【分析】本題考查了解一元一次不等式組,熟練掌握一元一次不等式的解法和步驟是解題的關(guān)鍵;(1)按照解一元一次不等式組的步驟,即可判斷;(2)先求出兩個不等式的解集,再求出公共解,進(jìn)而可表示在數(shù)軸上;【詳解】(1)解:小宇的解法是從第一步開始出現(xiàn)錯誤的,故答案為:一;(2)解:,解①得,解②得,故該不等式組的解集為.51.(2025·江西九江·一模)某工廠生產(chǎn)型號和型號兩種扎染圖案掛件,每天只能生產(chǎn)一種型號的掛件.如果生產(chǎn)2天型號掛件和3天型號掛件,一共可以生產(chǎn)2100個;如果生產(chǎn)1天型號掛件和2天型號掛件,一共可以生產(chǎn)1300個.(1)每天能生產(chǎn)型號掛件或型號掛件多少個?(2)工廠接到一個旅游節(jié)的訂單,要求用10天時間至少交付3800個掛件,在完成訂單任務(wù)的前提下,請問至少要安排生產(chǎn)型號掛件多少天?【答案】(1)每天能生產(chǎn)型號掛件300個,或型號掛件500個(2)4天【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用;(1)設(shè)該工廠每天能生產(chǎn)型號掛件個,或型號掛件個.根據(jù)如果生產(chǎn)2天型號掛件和3天型號掛件,一共可以生產(chǎn)2100個;如果生產(chǎn)1天型號掛件和2天型號掛件,一共可以生產(chǎn)1300個,再建立方程組解題即可;(2)設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)型號掛件天,則生產(chǎn)型號掛件天.根據(jù)用10天時間至少交付3800個掛件,再建立不等式解題即可.【詳解】(1)解:設(shè)該工廠每天能生產(chǎn)型號掛件個,或型號掛件個.根據(jù)題意,得,解得,答:該工廠每天能生產(chǎn)型號掛件300個,或型號掛件500個.(2)解:設(shè)應(yīng)安排生產(chǎn)型號掛件天,則生產(chǎn)型號掛件天.根據(jù)題意,得,解得.答:至少要安排生產(chǎn)型號掛件4天.52.(2025·江西九江·一模)(1)計算:.(2)解不等式組:【答案】(1);(2)【分析】本題考查了二次根式的加減,特殊角的三角函數(shù)值,求不等式組的解集.(1)先代入特殊角的三角函數(shù)值,二次根式的性質(zhì)化簡,再合并同類二次根式即可;(2)先分別求出兩個不等式的解集,再根據(jù)同大取大,同小取小,大小小大取中間,大大小小無解求出不等式組的解集即可.【詳解】解:(1)原式.(2)解不等式①,得,解不等式②,得,不等式組的解集為.53.(2025·江西新余·二模)學(xué)校組織部分師生到某紅色教育基地進(jìn)行研學(xué)活動,此次研學(xué)活動中,在該基地購買門票的信息如下:信息一門票類別單價/元購票總額/元學(xué)生票2500成人票2000信息二:購買學(xué)生票的數(shù)量是購買成人票數(shù)量的2倍.(1)求學(xué)生票和成人票的單價分別是多少?(2)該學(xué)校決定再次組織50名師生到該基地研學(xué),若購買門票的費用不超過2800元,求此次研學(xué)活動最多能安排多少位老師參加?【答案】(1)學(xué)生票單價為50元,則成人票單價為80元;(2)此次研學(xué)活動最多能安排位老師.【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識.(1)由題意得學(xué)生票、成人票單價分別為元、元,根據(jù)題意找到等量關(guān)系構(gòu)造出分式方程即可解決問題.(2)設(shè)此次研學(xué)活動安排了位老師,根據(jù)題意找到不等量關(guān)系構(gòu)造出不等式即可解決最值問題.【詳解】(1)解:由題意得學(xué)生票、成人票單價分別為元、元,依題意得:,解得:,經(jīng)檢驗是分式方程的根且符合題意,∴答:學(xué)生票單價為50元,則成人票單價為80元;(2)解:此次研學(xué)活動安排了位老師,則安排了個學(xué)生,依題意得:,解得:,答:此次研學(xué)活動最多能安排位老師.54.(2025·江西吉安·一模)2024年10月30日,神舟十九號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功,神舟十九號航天員乘組順利進(jìn)駐中國空間站.某航模商店購進(jìn)A、兩種航空模型進(jìn)行銷售,已知購進(jìn)種航空模型和種航空模型各1個共65元,購進(jìn)A種航空模型2個和種航空模型1個共需90元.(1)求A、兩種航空模型進(jìn)價分別多少元;(2)某商店計劃購買、兩種航空模型共80個,若、兩種航空模型的售價分別是40元和50元,要使獲得的利潤不低于1100元,請問至少購買種航空模型多少個?【答案】(1)種航空模型進(jìn)價為25元,種航空模型進(jìn)價為40元(2)至少購買種航空模型60個【分析】本題考查二元一次方程組與一元一次不等式的應(yīng)用,理解題意,正確列出方程組與不等式是解題的關(guān)鍵.(1)設(shè)A種航天飛船模型每件的進(jìn)價為x元,B種航天飛船模型每件的進(jìn)價為y元,根據(jù)購進(jìn)種航空模型和種航空模型各1個共65元,購進(jìn)A種航空模型2個和種航空模型1個共需90元,列出二元一次方程組,解方程組即可;(2)設(shè)購買種航模個,根據(jù)利潤不低于1100元,列出不等式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)A種航空模型進(jìn)價為元/個,種航空模型進(jìn)價為元/個.依題意可得,解得,答:A種航空模型進(jìn)價為25元,種航空模型進(jìn)價為40元.(2)解:設(shè)購買A種航模個,由題意可得:解得,答:至少購買A種航空模型60個.55.(2025·江西·二模)某商家銷售兩款盲盒.已知購進(jìn)4個款盲盒的費用與購進(jìn)5個款盲盒的花費相同,每個款盲盒的進(jìn)價比每個款盲盒的進(jìn)價多20元.(1)每個款盲盒和每個款盲盒的進(jìn)價分別是多少元?(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)定的情況,該商家計劃用不超過17000元的資金購進(jìn)A,B兩款盲盒共200個,求最多可以購進(jìn)款盲盒的個數(shù).【答案】
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