第05講等腰三角形的性質(zhì)與判定

—a【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。

&【基礎(chǔ)知識(shí)】

一.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元

素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

二.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】

說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線;

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.

三.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重

要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線

是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決

問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思

維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決.

【考點(diǎn)剖析】

等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）

1.（2021秋?旺胎縣期末）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是5c機(jī)和2C?7,那么它的周長(zhǎng)是（）

A.7cmB.9cmC.9cm或12cmD.12cm

2.（2021秋?撫遠(yuǎn)市期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.15B.12C.12或15D.9

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，NA=a,/B=/C,點(diǎn)。是△ABC外一點(diǎn)，E,F分

別在AB,AC上，助與AC交于點(diǎn)G,且若/1=2/2,則NEG尸的度數(shù)為（）

A.180°-2aB.60°+-aC.90°--aD.30°+-a

323

4.（2022春?鎮(zhèn)江期中）三角形的三邊長(zhǎng)為2,a,5,如果這個(gè)三角形中有兩條邊相等，那么它的周長(zhǎng)

是.

5.（2022春?金湖縣校級(jí)月考）在AABC中，ZC=30°,且求/A的度數(shù).

6.（2022春?睢寧縣月考）一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)為4,7,那么它的周長(zhǎng)是多少？

7.（2021秋葉口江區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB^AC,48的垂直平分線?！胺謩e交AC、AB于點(diǎn)￡＞、E.

（1）若/A=50°,求的度數(shù)；

（2）若AB=7,周長(zhǎng)為12,求8c的長(zhǎng).

二.等腰三角形的判定（共7小題）

8.（2021秋?儀征市期末）在△ABC中，NA=100°,當(dāng)NB=°時(shí)，△ABC是等腰三角形.

9.（2021秋?靖江市期末）已知°,萬是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，且/+廿-2"=0,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不確定

10.（2021秋?濱?？h期末）用三根木棒首尾相連圍成一個(gè)等腰三角形，其中兩根木棒的長(zhǎng)度分別為3cm和

6cm,則第三根木棒長(zhǎng)為cm.

11.（2021秋?泗陽縣期中）如圖，/EAC是△ABC的外角，平分/EAC,AD//BC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若點(diǎn)H是的中點(diǎn)，求證：AH±AD.

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,4

13.（2021秋?龍華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B在格點(diǎn)上，要找一個(gè)格點(diǎn)C,使

△A8C是等腰三角形（48是其中一腰），則圖中符合條件的格點(diǎn)有（）

C.4個(gè)D.5個(gè)

14.（2020秋?定西期末）如圖，在△ABC中，NB=90°,AB=16cm,BC=12cm,AC=2Qcm,尸、。是

△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,點(diǎn)。從點(diǎn)2開始

沿B-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為/秒.

c

備用圖

（l）當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，4208是等腰三角形？

（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△BC。是以BC或3。為底邊的等腰三角形?

三.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

15.（2020秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線/分別與直線A3、CZ）相交于點(diǎn)E、F,EG平分N8EF交直線。

于點(diǎn)G,若/1=NBEF,若EF=3,則尸G為（）

16.（2021?建湖縣二模）若一條長(zhǎng)為32c機(jī)的細(xì)線能圍成一邊長(zhǎng)等于8c機(jī)的等腰三角形，則該等腰三角形

的腰長(zhǎng)為cm.

17.（2021秋?句容市期末）如圖，8。平分/ABC,DE〃BC交BA于點(diǎn)E,若。E=5則￡8=

A.

E'D

BC

18.（2021秋?射陽縣校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，ZABC.NAC8的平分線相交于點(diǎn)。，且

//BC,分別交A8、AC于點(diǎn)M、N.

求證：MN=BM+CN.

19.（2021秋?旺胎縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,8。平分/ABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)

E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE.

（1）求證：△A3。是等腰三角形;

（2）求/BOE的度數(shù).

20.（2021秋?蘇州期末）如圖，在△ABC中，AO_LBC,NB=62°,A8+2D=CZ）,則/3AC的度數(shù)為（）

C

BD

A.87°B.88°C.89°D.90°

?【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?漂陽市期末）若等腰三角形邊長(zhǎng)別為6aw和3c機(jī)，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cMi或15aw

2.（2021秋?江陰市期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為2151,其中一邊長(zhǎng)為5cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.5cmB.11cmC.8cwi或5。"D.11cmBK5cm

3.（2022?陜西模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,8。=。，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接。E.^AABC

的周長(zhǎng)為20cni,則△CDE的周長(zhǎng)為（）

4.（2022?黔東南州模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,8。為△ABC的高.若/CBD=20°,則/B4C

的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,4

6.（2021秋?靖江市期末）已知°,萬是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，且次+廬-2浦=0,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不確定

二.填空題（共3小題）

7.（2021秋?深水區(qū)期末）如圖，在△A8C中，ZABC./AC8的平分線交于點(diǎn)。，MN經(jīng)過點(diǎn)。，且MN

//BC,分別交A3、AC于點(diǎn)A/、N.若3M=3c〃z,MN=5cm,則CN=cm.

8.（2021秋?寧津縣期末）如圖，△ABC中，ZA=ZACB,C尸平分/ACB,BD,CD分別是△ABC的兩

11

外角的平分線，下列結(jié)論中：?CP±CD；②/尸=4ZA；③BC=CD；④/。=90°—4NA；?PD//AC.其

中正確的結(jié)論是（直接填寫序號(hào)）.

9.（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ED//BC,/ABC和NACB的平分線分別交ED于點(diǎn)

G、F,若BE=3,CD=4,ED=5,則FG的長(zhǎng)為.

三.解答題（共3小題）

10.（2022春?無錫期中）如圖①，△ABC的角平分線80、CE相交于點(diǎn)尸.

（1）如果/A=80°,求尸C的度數(shù)；

（2）如圖②，過2點(diǎn)作直線四，分別交A3和AC于點(diǎn)M和N,且MN平行于2C,試求/MP8+NNPC

的度數(shù)（用含NA的代數(shù)式表示）；

（3）將（2）中的直線繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB于點(diǎn)M（不與A、B重合），交直線AC于N,

試探索/MPB、NNPC、/A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

11.（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=50°,A8的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E,求/D8C的度數(shù).

12.（2021秋?泗洪縣期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,角平分線BD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OB=

OC.

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第05講等腰三角形的性質(zhì)與判定

力【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握性質(zhì)及判定方法。

W【基礎(chǔ)知識(shí)】

等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元

素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

二.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】

說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線;

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.

三.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重

要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線

是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決

問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思

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維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來解決.

【考點(diǎn)剖析】

等腰三角形的性質(zhì)（共7小題）

1.（2021秋?旺胎縣期末）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是5c機(jī)和2C",那么它的周長(zhǎng)是（）

A.1cmB.9cmC.9c7九或12。九D.12c優(yōu)

【分析】因?yàn)轭}中沒有說明已知兩邊哪個(gè)是底，哪個(gè)是腰，所以要分情況進(jìn)行討論.

【解答】解：當(dāng)三邊是2cm,2cm,5a〃時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系；

當(dāng)三角形的三邊是5c%,5cm,2c7"時(shí)，符合三角形的三邊關(guān)系，

此時(shí)周長(zhǎng)是5+5+2=12cm.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，此類題注意分情況討論，還要看是否符合三角形的三邊關(guān)系.

2.（2021秋?撫遠(yuǎn)市期末）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是（）

A.15B.12C.12或15D.9

【分析】求等腰三角形的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)；題目給出等腰三角形有兩條

邊長(zhǎng)為3和6,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否

組成三角形.

【解答】解：（1）若3為腰長(zhǎng)，6為底邊長(zhǎng)，

由于3+3=6,則三角形不存在；

（2）若6為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊.

所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為6+6+3=15.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討

論的思想方法.求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形

的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去.

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，NA=a,/B=NC,點(diǎn)。是△ABC外一點(diǎn)，E,F分

別在48,AC上，ED與AC交于點(diǎn)G,且若Nl=2/2,則NEGF的度數(shù)為（）

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A

137

A.180°-2aB.60°4--aC.90°--aD.30°4--a

323

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理得到NB=/C=90°求得/。=乙8=90°

-ja，得到/2=90°-全，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：NA=a,ZB=ZC,

：.ZB=ZC=^x(180°-a)=90°-Ja，

：.ZD=ZB=90°一1a，

2

ZAGE=/DGF,

：.NA+N1=NO+N2,

VZ1=2Z2,

???a+2N2=90°-1a+Z2,

.\Z2=90°-|a,

o

???NEGF=NZ)+N2=90°-Aa-|-90-|a=180°-2a,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.(2022春?鎮(zhèn)江期中)三角形的三邊長(zhǎng)為2,a,5,如果這個(gè)三角形中有兩條邊相等,那么它的周長(zhǎng)是12.

【分析】根據(jù)已知的兩邊，則第三邊可能是2或5；再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系”任意兩邊之和大于第三

邊”，進(jìn)行分析.

【解答】解：根據(jù)題意，得第三邊可能是2或5.

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

當(dāng)三邊是2,2,5時(shí)，則2+2<5,不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去.

當(dāng)三邊是2,5,5時(shí)，則2+5>5,能構(gòu)成三角形.

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那么它的周長(zhǎng)是：2+5+5=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：等腰三角形的周長(zhǎng)由2腰和一底邊長(zhǎng)構(gòu)成,

兩腰相等；3條線段組成三角形的條件為：較短的兩條邊線段之和大于最長(zhǎng)的一條線段.

5.（2022春?金湖縣校級(jí)月考）在△ABC中，NC=30°,且求NA的度數(shù).

【分析】由三角形內(nèi)角和定理可知NA+/B+/C=180°,再根據(jù)NC=30°,即可得出結(jié)論;

【解答】解：VZA+ZB+ZC=180°,ZC=30°,ZA=ZB,

/.2ZA+300=180°,

AZA=75°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2022春?睢寧縣月考）一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)為4,7,那么它的周長(zhǎng)是多少？

【分析】由于題中沒有指明哪邊是底哪邊是腰，則應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析.

【解答】解：①4是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、4、7,

能組成三角形，周長(zhǎng)=4+4+7=15；

②4是底邊長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為4、7、7,

能組成三角形，周長(zhǎng)=4+7+7=18.

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是15或18.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能組成

三角形.

7.（2021秋?邢江區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB^AC,AB的垂直平分線。E分別交AC、AB于點(diǎn)。、E.

（1）若乙4=50°,求的度數(shù)；

（2）若AB=7,△C8A周長(zhǎng)為12,求的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NABC=NC=65°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=

DB,求出NAB。的度數(shù)，計(jì)算即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：（1）-：AB=AC,ZA=50°,

：.ZABC=ZC=65°,

又：DE垂直平分AB,

：.DA=DB,

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AZABD=ZA=50°,

：.ZCBD^15°；

（2）垂直平分AB,

：.DA=DB,

：.DB+DC^DA+DC^AC,

又?.?AB=AC=7,△C8。周長(zhǎng)為12,

：.BC=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離

相等是解題的關(guān)鍵.

二.等腰三角形的判定（共7小題）

8.（2021秋?儀征市期末）在△ABC中，ZA=100°,當(dāng)/（=40°時(shí)，△ABC是等腰三角形.

【分析】直接根據(jù)等腰三角形的兩底角相等進(jìn)行解答即可.

【解答】解：：△ABC是等腰三角形，ZA=100°,

180°-100°加。

ZB=----z----=4U

故答案為：40.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的判定，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?靖江市期末）已知a,b是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，且次+d-2浦=0,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不確定

【分析】由次+廬-2浦=0,可得出。=從結(jié)合a,b是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，即可得出△ABC為等腰三角

形.

【解答】解：：/+62-2仍=0,即（a-6）2=0,

??ci.~z?=o,

??〃=/7.

又,：a,6是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，

.?.△ABC為等腰三角形.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非負(fù)性，利用偶次方的非負(fù)性，找出三角形的兩邊

相等是解題的關(guān)鍵.

10.（2021秋?濱?？h期末）用三根木棒首尾相連圍成一個(gè)等腰三角形，其中兩根木棒的長(zhǎng)度分別為3cm

和6cm,則第三根木棒長(zhǎng)為6cm.

【分析】三角形的三邊不等關(guān)系為：任意兩邊之差〈第三邊（任意兩邊之和，即可求解.

【解答】解：組成等腰三角形的兩根木棒的長(zhǎng)度分別為3cm和6cm,

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得，組成等腰三角形的第三根木棒長(zhǎng)為6cm,

16/36

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定及三角形三邊關(guān)系，熟記三角形三邊關(guān)系式解題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?泗陽縣期中）如圖，/EAC是△ABC的外角，平分/EAC,AD//BC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若點(diǎn)#是的中點(diǎn)，求證：AHLAD.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可得出從而得證；

（2）由（1）中得證AABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一，可知AHL8C,由于AQ〃8C,

即可得證.

【解答】證明：（1）'：AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,ZEAD=ZB,

平分/E4C,

ZEAD=ADAC,

：./B=NACB,

：.AB=AC.

（2）'：AB=AC,

又：點(diǎn)H是8c的中點(diǎn)，

J.AHLBC,

\'AD//BC,

：.AH±AD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形，角平分線和平行線，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解決本題的

關(guān)鍵.

12.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,4

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義解答.

【解答】解:A,V1+2=3,

不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、：3+4>5,

...能組成三角形，但不是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、V2+2>3,

17/36

...能組成三角形，且是等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、V2+2=4,

，不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

13.（2021秋?龍華區(qū)校級(jí)期末）如圖，在3X3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、8在格點(diǎn)上，要找一個(gè)格點(diǎn)C,使

△ABC是等腰三角形G4B是其中一腰），則圖中符合條件的格點(diǎn)有（）

A

B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】首先由勾股定理可求得的長(zhǎng)，然后分別從AB=BC,AB=AC,AC=BC去分析求解即可求

得答案.

【解答】解：如圖所示：

由勾股定理得：AB=V12+22=展,

①若AB=BC,則符合要求的有：Ci,C2,C3共4個(gè)點(diǎn)；

②若AB=AC,則符合要求的有：C4,C5共2個(gè)點(diǎn);

若AC=BC,則不存在這樣格點(diǎn).

這樣的C點(diǎn)有5個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，解題關(guān)鍵是分類的數(shù)學(xué)思想.

14.（2020秋?定西期末）如圖，在△ABC中，NB=90°,AB16cm,BC=12cm,AC=20c〃z,P、。是

△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A-B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒ICHI,點(diǎn)。從點(diǎn)2開始

沿8-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2c機(jī)，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

18/36

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQ8是等腰三角形？

(2)當(dāng)點(diǎn)。在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，是以或8。為底邊的等腰三角形？

【分析】(1)用f可分別表示出和BQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到8P=BQ,可得到關(guān)于f的方

程，可求得f;

(2)用f分別表示出即和CQ,利用等腰三角形的性質(zhì)可分CQ=BC和BQ=C。三種情況，分別得到

關(guān)于f的方程，可求得f的值.

【解答】解：(1)由題意可知AP=f,BQ=2t,

：AB=16,

：.BP=AB-AP=16-t,

當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有

即16-t=2t,解得t=等,

o

出發(fā)g秒后△尸。2能形成等腰三角形;

(2)①當(dāng)△BC。是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=BQ,如圖1所示,

圖1

則NC=NCB。，

VZABC=90°,

：.ZCBQ+ZABQ=90°.

ZA+ZC=90°,

ZA^ZABQ,

：.BQ=AQ,

.'.CQ—AQ—10(cm),

,'.BC+CQ=22(cm),

.*.Z=224-2=11(秒).

19/36

②當(dāng)，△BC。是以2。為底邊的等腰三角形時(shí)：CQ=BC,如圖2所示,

圖2

則2C+CQ=24（cm）,

；.t=24+2=12（秒）.

綜上所述：當(dāng)f為11秒或12秒時(shí)，△BC。是以2C或8。為底邊的等腰三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí).用時(shí)間f表示出相應(yīng)線段的

長(zhǎng)，化‘‘動(dòng)"為"靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用.

三.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

15.（2020秋?綠園區(qū)期末）如圖，直線/分別與直線A8、C￡>相交于點(diǎn)E、F,EG平分NBEF交直線CD

于點(diǎn)G,若/1=/BEF,若EF=3,則FG為（）

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得NGEB=NGER由同位角相等，兩直線平行可得C￡>〃A2,即可求解.

【解答】解：:EG平分NBER

：.ZGEB=ZGEF,

；N1=/BEF,

：.CD//AB,

：.ZEGF=ZGEB,

：.ZGEF=ZEGF,

.?.△EFG是等腰三角形，

:.FG=EF=3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

16.（2021?建湖縣二模）若一條長(zhǎng)為32c機(jī)的細(xì)線能圍成一邊長(zhǎng)等于8c機(jī)的等腰三角形，則該等腰三角形

的腰長(zhǎng)為12cm.

【分析】根據(jù)題意，分腰長(zhǎng)為8cm和底邊為8cm兩種情況并結(jié)合三角形的構(gòu)成條件分類討論即可.

【解答】解：若腰長(zhǎng)為8cm,則此三角形的另一邊長(zhǎng)為32-8-8=16（cm）,

20/36

而8+8=16,無法構(gòu)成三角形，

，此情形舍去；

若底邊為8cm,則腰長(zhǎng)為（32-8）4-2=12（cm）,

此時(shí)12+12>8,12+8>8,可以構(gòu)成三角形.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的構(gòu)成條件、等腰三角形的性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)題意結(jié)合三角

形構(gòu)成條件進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

55

17.（2021秋?句容市期末）如圖，8。平分/ABC,DE〃BC交BA于■點(diǎn)、E,若DE=之貝！J破=-.

22

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到/C8O=/A8C。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到根據(jù)等

腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：平分NA2C,

：.ZCBD=ZABC,

'JDE//BC,

：.ZBDE=ZCBD,

：.ZBDE=ZDBE,

：.BE=DE,

故答案為：—,

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，求解是解

題的關(guān)鍵.

18.（2021秋?射陽縣校級(jí)期末）已知：如圖，在AABC中，ZABC,的平分線相交于點(diǎn)。，且

//BC,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.

求證：MN=BM+CN.

21/36

oN

-----------------------------0c

【分析】由/ABC、NAC8的平分線相交于點(diǎn)O,ZMBO=ZOBC,ZOCN=ZOCB,利用兩直線平行,

內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可ZNOC^ZOCN,然后根據(jù)等角對(duì)等邊得到

ON=CN,再根據(jù)角的和差即可證明.

【解答】證明：：/ABC、/ACB的平分線相交于點(diǎn)。，

AZMBO=ZOBC,ZOCN=ZOCB,

,:MN〃BC,

：.ZOBC=ZMOB,ZNOC=ZOCB,

：.ZMBO=ZMOB,ZNOC=ZOCN,

ON=CN,

：.MN=MO+ON=BM+CN.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握.此題關(guān)鍵是證明△BM。

和△CNO是等腰三角形.

19.(2021秋?吁胎縣期末)如圖，在△ABC中，AB^AC,NA=36°,3D平分NA8C交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)

E是的中點(diǎn)，連結(jié)。E.

(1)求證：是等腰三角形；

(2)求NBOE的度數(shù).

A

BC

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出/DBC=36°,進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的判定解

答即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和解答即可.

【解答】(1)證明：；48=AC,ZA=36°,

；./ABC=NC=72°,

：8。平分/ABC,

AZABD=ZDBC=36°,ZA=36°,

：.BD=AD,

即△AB。是等腰三角形；

22/36

（2）解：,?,點(diǎn)片是A3的中點(diǎn)，

：.AE=EB,

：.ZDEB=90°,

AZBDE=90°-36°=54°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出ND3C=

36°解答.

20.（2021秋?蘇州期末）如圖，在△A3C中，AZ）_L3C,ZB=62°,AB+BD=CD,則NA4c的度數(shù)為（）

A.87°B.88°C.89°D.90°

【分析】延長(zhǎng)03至E,使連接AE,貝ljDE=CD從而可求得NC=NE,再根據(jù)外角的性質(zhì)

即可求得N3的度數(shù).

【解答】解：延長(zhǎng)。3至E,使連接AE,

:?/E=/BAE,

：.ZABC=ZE+ZBAE=2ZE=62°,

.".ZE=31°,

9：AB^BD=CD,

：?BE+BD=CD,

即DE=CD,

VADXBC,

???AO垂直平分Cb

：.AC=AEf

：.ZC=ZE=31°,

：.ZBAC=180°-ZABC-ZC=87°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.作出輔助線是

正確解答本題的關(guān)鍵.

23/36

【過關(guān)檢測(cè)】

選擇題（共6小題）

1.（2021秋?漂陽市期末）若等腰三角形邊長(zhǎng)別為6c機(jī)和3cm則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12c〃z或

【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長(zhǎng)不可能為3cm,只能為6cm,然后即

可求得等腰三角形的周長(zhǎng).

【解答】解：①6cMi為腰，為底，此時(shí)周長(zhǎng)為6+6+3=15cm；

②6aw為底，3c機(jī)為腰，則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去.

故其周長(zhǎng)是15cm.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況.已知沒有明確腰和底

邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非

常重要，也是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?江陰市期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為21cm,其中一邊長(zhǎng)為5cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.5cmB.11cmC.或D.11cm5cm

【分析】由于長(zhǎng)為5c根的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論.

【解答】解：當(dāng)5aw是等腰三角形的底邊時(shí)，則其腰長(zhǎng)是（21-5）+2=8（cm）,能夠組成三角形；

當(dāng)5c加是等腰三角形的腰時(shí)，貝IJ其底邊是21-5X2=11（cs）,

V5+5=1O<11,

不能夠組成三角形.

故該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為：5cm.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)系.

3.（2022?陜西模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，連接DE.^AABC

的周長(zhǎng)為20”w,則的周長(zhǎng)為（）

24/36

【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義得到。C=%C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。E=%C,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公

22

式計(jì)算，得到答案.

【解答】I？：，：AB=AC,BD=CD,

：.ZADC=90°,

在RtZXAOC中，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

：.DC=-BC,DE=-AC,

22

△ABC的周長(zhǎng)為20CM,

???△。。￡的周長(zhǎng)=?！?石。+。。=；乂20=10（cm）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)與判定，掌握在直角三角形中，斜邊上的

中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?黔東南州模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,50為△ABC的高.若NC30=2O°,則N8AC

的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解：???3。為△A3C的高，

：.ZBDC=90°.

VZCBD=20°,

：.ZC=90°-NCBD=90°-20°=70°,

\9AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.ZABC=10°,

XVZABC+ZACB+ZBAC=180°.

：.ZBAC=180°-ZABC-ZACB

=180°-70°-70°=40°.

故選：B.

25/36

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的

內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般.

5.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成等腰三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,2,3D.2,2,4

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和等腰三角形的定義解答.

【解答】解:A,V1+2=3,

不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、V3+4>5,

能組成三角形，但不是等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、：2+2>3,

...能組成三角形，且是等腰三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、V2+2=4,

不能組成三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

6.（2021秋?靖江市期末）已知°,6是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，且次+/-2"=0,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.不確定

【分析】由次+廿一2M=0,可得出結(jié)合a,6是AABC的兩條邊長(zhǎng)，即可得出△ABC為等腰三角

形.

【解答】解：：/+必_2.6=0,即"-6）2=0,

??CL~0,

??〃=/7.

又6是△ABC的兩條邊長(zhǎng)，

...△ABC為等腰三角形.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定以及偶次方的非負(fù)性，利用偶次方的非負(fù)性，找出三角形的兩邊

相等是解題的關(guān)鍵.

填空題（共3小題）

7.（2021秋?涕水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZABC.NACB的平分線交于點(diǎn)。，A/N經(jīng)過點(diǎn)。，且

//BC,分別交A3、AC于點(diǎn)M、N.若BM=3cm,MN=5cm,則CN=2cm.

26/36

A

【分析】根據(jù)3。平分NABC,CO平分NAC3,且MN〃BC,結(jié)合等腰三角形的判定可證得MO=MC,

NO=NB,于是得到MN=BM+CN,進(jìn)而求出CN.

【解答】解：??,NA5C、NAC5的平分線相交于點(diǎn)O,

:.ZMBO=ZOBC9ZOCN=ZOCB,

?:MN〃BC,

：.ZOBC=NMOB,ZN0C=Z0CBf

:?/MBO=/MOB,/NOC=/OCN,

：.BM=M0,ON=CN,

:,MN=M0+0N,即MN=BM+CN,

VBM=3cm,MN=5cm,

：.CN=MN-BM=5-3=2(cm),

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義即平行線的性質(zhì)

證得MO=MC,N0=N8是解決問題的關(guān)鍵.

8.(2021秋?寧津縣期末)如圖，△ABC中，ZA=ZACB,C尸平分/AC8,BD,分別是△ABC的兩

外角的平分線，下列結(jié)論中：①CP_LC￡＞；②/尸=^ZA；③BC=CD；④/0=90°-1zA；?PD//AC.其

11

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到/28=扛83,根據(jù)垂直的定義得到“,處

故①正確；延長(zhǎng)C2,根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到故②正確；根據(jù)平行線

的判定定理得到A2〃。，推出△ABC是等邊三角形，而△ABC中，ZA^ZACB,于是得到假設(shè)不成

立，故③錯(cuò)誤；根據(jù)角平分線的定義得到ZBCD=ZDCF,推出/ABC=180°-2Z

27/36

DBC,ZACS=180°-2ZDCB,求得/。=90°故④正確；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到/

EBC=ZA+ZACB,ZA=ZACB,求得于是得到PO〃AC.故⑤正確.

【解答】解：平分NAC2,C。平分/2CR

11

：.ZPCB=^zACB,ZBCD=^ZLBCF,

VZACB+ZBCF=180°,

111

：?NPCD=NPCB+NBCD=^ACB+"BCF=甘/ACB+NBCF[=90°,

：.CP±CD；故①正確；

延長(zhǎng)CB,

??,5O平分NC8E,NCBE=NABH,

???3尸平分乙45”，

???/PBH=NBCP+NP,

NA+2/PCB=2/PBH,

：.NA+2NPCB=2NBCP+2NP,

：.ZA=2ZPf

即：ZP=^ZA,故②正確；

假設(shè)BC=CD,

：.ZCBD=ZD,

■:NEBD=NCBD,

：.ZEBD=ZDf

J.AB//CD,

：.ZDCF=NA,

VZACB=ZA,CO平分N3CR

:.ZACB=ZBCD=/DCF,

：.ZA=ZACB=60°,

.'△A5c是等邊三角形，

而△ABC中，ZA=ZACB,

「?△ABC是等腰三角形，

???假設(shè)不成立，故③錯(cuò)誤；

?：BD、CD分別是△A3C的兩個(gè)外角NE3C、N尸C5的平分線，

:?/EBD=/DBC,/BCD=/DCF,

28/36

???NO3C+NOC3+ND=180°,

AZA+ZABC+ZACB=180°,

而NA8C=180°-2/DBC,

ZACB=180°-2ZDCB,

：.ZA+1800-2ZDBC+1800-2Z￡>CB=180°,

AZA-2(NDBC+NDCB)=-180°,

：.ZA-2(180°-Z￡?=-180°,

ZA-2ZZ)=180°,

AZD=90°—；NA,故④正確；

*：ZEBC=ZA+ZACB,ZA=ZACB,

：.ZA=g/EBC,

1

ZEBD=i乙EBC,

NEBD=ZA,

：.PD//AC.故⑤正確；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判

定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ED//BC,NABC和NACB的平分線分別交現(xiàn)）于點(diǎn)

G、F,若BE=3,CD=4,ED=5,則FG的長(zhǎng)為2.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEGB=NG2C,NDFC=NFCB,由角平分線的定義得到NGBC=N

GBE,ZFCB=ZFCD,于是得到2E=EG,CD=DF,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?..EO〃BC,

29/36

：.ZEGB=ZGBC,ZDFC=ZFCB,

?/ZABC和ZACB的平