第02講實數(shù)的運算（核心考點講與練）

一、用數(shù)軸上的點表示實數(shù)

1.實數(shù)的絕對值、相反數(shù)

（1）一個實數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.實數(shù)。的絕對值記作同.

（2）絕對值相等、符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是零.非零實數(shù)a的相反數(shù)

是—ci.

2、兩個實數(shù)的大小比較

兩個實數(shù)也可以比較大小，其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣.

負數(shù)小于零；零小于正數(shù).

兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)較小.

從數(shù)軸上看，右邊的點所表示的數(shù)總比左邊的點所表示的數(shù)大.

比較兩數(shù)大小是中學數(shù)學中的基本類型和基本技能，以下介紹幾種常用的方法：

1.近似值法：借用兩個數(shù)的不足和過剩近似值來判別兩個數(shù)大小的方法；

2.平方法：將兩個數(shù)平方，再來判定兩個數(shù)大小的方法；

3.求差法：先求兩個數(shù)的差，用差與0作比較來判定兩個數(shù)大小的方法.

4.求商法：先求兩個數(shù)的商，用商與1作比較判定兩個數(shù)大小的方法.

5.求倒數(shù)法：先求兩個數(shù)的倒數(shù)，用倒數(shù)的大小來判定兩個數(shù)大小的方法.即對于符號相

同的a,b兩數(shù)，若則a>6；^―>—,則

abab

3,數(shù)軸上兩點之間的距離

在數(shù)軸上，如果點力、點￡所對應的數(shù)分別為a、b,那么4曬點之間的距離為=

實數(shù)的運算

在實數(shù)范圍內(nèi)，可以進行加減乘除乘方等運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍

內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序與有理數(shù)運算順序基本相同，先乘方、開方、再乘

除，最后算加減，同級按從左到右順序進行，有括號先算括號里的.實數(shù)運算的結(jié)果是唯一

的.

實數(shù)運算常用到的公式有：_

第一組：（?￥=a（a20）；4^=\a\;

[a_y/a

第二組：\[ab=y/a?4b(a>0,Z?>0)；(tz>0,&>0).

d廠的

名師點睛

考點一：實數(shù)與數(shù)軸

【例題1］（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實數(shù)小y滿足（x-273）2+Vy+2=0.

-6-5-4-3-2-1012345

（1）x=，y=；

（2）在數(shù)軸上，若點A、點B分別表示實數(shù)尤，y,

①在數(shù)軸上標出點4、點B的大致位置；

②數(shù)軸上，若點C到點B的距離為1.5,則點C所對應的實數(shù)為：.

【變式訓練1】（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、。依次表示四個實數(shù)：-亞、

_J、0.

2

（1）在數(shù)軸上描出點A、B、C、。的大致位置;

-5-4-3-2-1012345

(2)求A。兩點之間的距離.

【變式訓練2】.（2021春?閔行區(qū)期末）點A和點8是數(shù)軸上的兩點，點A表示的數(shù)為加，點8

表示的數(shù)為1,那么A、B兩點間的距離為.

【變式訓練3】.（2019?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A,B,C,。四個

點，它們對應的實數(shù)分別為a,b,c,d,如果存在實數(shù)入，滿足：對線段和CD上的任意一

點，其對應的數(shù)為X,實數(shù)三對應的點N仍然在線段A3或C。上，則稱（a,b,c,d,A）為

x

“完美數(shù)組”.例如：（b2,3,6,6）就是一組“完美數(shù)組”，已知|AB|=L|BC|=5,

|CD|=4,求此時所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過程.

-A_BCD>

【變式訓練4】.（2018春?青浦區(qū)期中）已知點A是62的算術(shù)平方根，點8的立方是一生,在

427

數(shù)軸上描出點A和點3,并求出A與3兩點的距離.

------1------1------1------1------1------->

-3-2-10123

【變式訓練5】.（2017春?浦東新區(qū)校級月考）數(shù)軸上與1,、歷對應的點分別為A,B,點8,點

A的距離與點A,點C（點C在點8的左側(cè)）之間的距離相等，設(shè)點C表示的數(shù)為尤，求代數(shù)式|尤

-2|的值.

oCAB

°X1應2

考點二：實數(shù)大小比較

【例題2】（2021?陜西模擬）比較大?。喊?A.

【變式訓練1】（2019秋?松江區(qū)期末）從甲地到乙地有A,B兩條路線，這兩條路線經(jīng)過的路程

相比較（)

C.同樣遠D.無法確定

【變式訓練2】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）比較大?。簓-旗―V5-V7.（填“>”

<”)

【變式訓練3】（2021?雁塔區(qū)校級模擬）比較大?。?2立―-3（填或“=”或

“〉”)

考點三：估算無理數(shù)的大小

【例題3】（2021春?黃浦區(qū)期末）已知面積為10的正方形的邊長為x,那么x的取值范圍是

()

A.l<x<3B.2<x<3C.3<x<4D.4cx<5

【變式訓練1】（2021春?涪城區(qū)校級期中）已知a,6分別是6-J石的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那

么2a-匕的值是（）

A-3-A/13B.4-V13C.V13D.2+V13

【變式訓練2】（2020?安徽模擬）設(shè)a為正整數(shù)，且市<a+l,則a的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式訓練3】（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點尸表示的數(shù)可能是（）

_g_?_?_?_?_?_?_

-4-3-2-1012345

A.-A/5B.-^5C.-3.7D.-5/2

【變式訓練4】（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)2%的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

【變式訓練5】（2021春?浦東新區(qū)校級期末）數(shù)軸上表示數(shù)和返的兩點之間的距離

2

為.

【變式訓練6】（2021春?上海期中）對于實數(shù)a,我們規(guī)定用｛、石｝表示不小于立的最小整數(shù),

稱｛'△｝為a的根整數(shù)，如｛萬｝=4.

（1）計算：{?}=____.

（2）現(xiàn)對a進行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果是2為止，例如對12進行連續(xù)求根整數(shù)，第一次

{5}=4,再進行第二次求根整數(shù){也}=2,表示對12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2,請問

對100進行連續(xù)求根整數(shù)，—次后結(jié)果為2.

（3）若{4}=2,寫出滿足題意的機的整數(shù)值：.

【變式訓練7】（2020秋?浦東新區(qū)期中）已知：〃=也旦，6=叵1.

22

（1）求〃+/?和ab的值；

（2）求/+廿和〃4+》4的值；

（3）求薩的整數(shù)部分.

【變式訓練8】（2019秋?寶山區(qū)校級月考）已知行的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,求旦-2a

b

的值.

【變式訓練9】（2019秋?徐匯區(qū)校級月考）已知a、6為有理數(shù)，x、y分別表示5-夜的整數(shù)部分

和小數(shù)部分，且滿足叼＞+力2=1,求a+匕的值.

考點四：實數(shù)的運算

【例題4】（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）計算：#豆-|-3|=____.

【變式訓練1】（2021春?閔行區(qū)校級月考）計算：V16+（/）「J強-（V3-2）0

【變式訓練2】(2021春?靜安區(qū)校級期末)計算:（2-73）0+沈+2Jy^-1V12,

【變式訓練3】(2021春?普陀區(qū)期中)計算：7(3-V10)2+^-V5)0-

【變式訓練4】(2019春?溫江區(qū)期中)閱讀理解題：

定義：如果一個數(shù)的平方等于-1,記為”=-1,這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位.那么和我們所學的

實數(shù)對應起來就叫做復數(shù)，表示為a+bi(a,6為實數(shù))，a叫這個復數(shù)的實部，6叫做這個復

數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似.

例如計算：(2+z)+(3-4z)=5-3z.

(1)填空：戶=___,/4=____.

(2)計算：①(2+i)(2-i)；②(2+z)2；

(3)若兩個復數(shù)相等，則它們的實部和虛部必須分別相等，完成下面問題：

己知：(x+y)+3i=(1-x)-yi,Cx,y為實數(shù))，求x,y的值.

能力提升

【例1】如圖，一輛小車從點/沿數(shù)軸向右直爬2個單位到達點8點力表示,設(shè)點5所

表示的數(shù)為m

(1)求加的值；

(2)求忸一1|+(祖+6)°的值.

\r^lBe*

-2-101

【例2】已知a、6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，機的絕對值是2,求上二2+4機-34的值.

2m2+1

【例3】計算：_____

(1)「居⑵(-2)2-2。+(；尸+--技

【例4】計算：

20172017

(1)12衣一口-12行+：］；(2)(l-V2).(l+72);

(3)(0-1)°-函-拘2/(后+舟.

【例5】已知/一5尤+1=0,求f+3-2的算術(shù)平方根.

【例6】已知尤=/7+2汨,求/一2夜_?-3/一/+2后2一4X+舊的值.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

選擇題（共6小題）

1.（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點尸表示的數(shù)可能是（）

-4-3^-2-1~0~1_2_3_4_5>

A.-V5B.V5C.-3.7D.-V2

2.（2021?奉賢區(qū)三模）點A是數(shù)軸上的任意一點，則下列說法正確的是（）

A.點A表示的數(shù)一定是整數(shù)

B.點A表示的數(shù)一定是分數(shù)

C.點A表示的數(shù)一定是有理數(shù)

D.點A表示的數(shù)可能是無理數(shù)

3.（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)2代的值在（）

A.2和3之間B.3和4之間C.4和5之間D.5和6之間

4.（2021春?涪城區(qū)校級期中）已知a,）分別是6-J后的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a-b的值

是（）

A.3-V13B.4-V13C.V13D.2+713

5.（2020秋?泰興市期末）下列整數(shù)中，與有最接近的是（）

A.2B.3C.6D.8

6.（2021春?定州市期末）已知面積為8的正方形的邊長為尤，那么下列對x的大小的估計正確的

是（）

A.1<%<3B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<5

二.填空題（共7小題）

7.（2021秋?大埔縣期末）丘的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是6,計算。-2m勺值

是.

8.（2021春?普陀區(qū)校級月考）若a表示任意實數(shù)，則—?

9.（2021春?浦東新區(qū)期末）比較大?。?4—-V17（填“>”、"=”或）?

10.（2021春?靜安區(qū)期末）已知實數(shù)aWOWb,化簡：4Q-b產(chǎn)=-

11.（2021春?楊浦區(qū)期末）在數(shù)軸上，如果點A、點B所對應的實數(shù)分別是-1、立,那么線段

A2的長度是.

12.（2021春?浦東新區(qū)月考）計算：（-3）「i+?X^=.

13.（2021春?青浦區(qū)期中）點A到原點的距離為近，則點A所表示的數(shù)為.

三.解答題（共6小題）

14.（2021?曲阜市模擬）計算:（1）--IV3-2|-（it-2021）°.

3

15.（2021春?浦東新區(qū)期末）計算：（2+^）°+（-1）2021-（1）-2

16.（2021春?浦東新區(qū)月考）計算：-y21-瓶+（『3.14）°-（-1）-2.

17.（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、￡）依次表示四個實數(shù)：飛巧、居、_岐、0.

（1）在數(shù)軸上描出點A、B、C、。的大致位置；

-5-4-3-2-1012345

（2）求4。兩點之間的距離.

18.（2021春?上海期中）計算:

19.（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實數(shù)x、y滿足G-2近）2+Vy+2=0.

1111______III_____I_____I______III.

-6-5-4-3-2-1012345

（1）x=，y=；

（2）在數(shù)軸上，若點A、點8分別表示實數(shù)x,y,

①在數(shù)軸上標出點A、點8的大致位置；

②數(shù)軸上，若點C到點B的距離為1.5,則點C所對應的實數(shù)為：

題組B能力提升練

選擇題（共6小題）

1.（2021春?浦東新區(qū)期末）估計屈的值在（）

A.3和4之間B.5和6之間C.7和8之間D.14和15之間

2.（2019秋?虹口區(qū)期末）如圖1和2,兩個圓的半徑相等，。、。2分別是兩圓的圓心，圖1中的

陰影部分面積為Si,圖2中的陰影部分面積為S2,那么S1與S2之間的大小關(guān)系是（）

C.Si>S2D.不能確定

3.（2019春?普陀區(qū)期中）學校里有一個正方形的花壇，它的面積是30平方米，請你估計這個正

方形的邊長約為（）

A.3米和4米之間B.4米和5米之間

C.5米和6米之間D.6米和7米之間

4.（2018春?嘉定區(qū)期中）已知實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a-1|+1的結(jié)果為

（）

a

I1.1.

-101X

A.1.5B.aC.2+aD.2-a

5.（2016秋?堇B州區(qū)期末）我們規(guī)定：a*b=空電，則下列等式中對于任意實數(shù)a、b、c都成立的

2

是（）

①a+（6*c）=（a+匕）*（a+c）②a*（Z?+c）=（a+Z?）*c

③〃*（Z?+c）=（a*Z?）+（a*c）④（a*Z?）+c=—+（Z?*2c）

2

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

6.（2019?佛山模擬）如圖，已知數(shù)軸上的點A、5表示的實數(shù)分別為a,b,那么下列等式成立

的是（）

---1i1>

3---0-----2

A.\a+b\=a-bB.\a+b\=-a-bC.\a+b\=b-aD.\a+b\=a+b

二.填空題（共5小題）

7.（2021?榆陽區(qū)模擬）比較大?。海ㄌ?>"或"=”）.

8.（202