上海市七寶中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.二項式(人展開式中的常數(shù)項是.

2.如果西，x2,x3,匕的方差是:，貝2尤2，2X3,2匕的方差為.

3.小明在書店隨機地選一本書，設(shè)事件A：小明選的書是數(shù)學(xué)書，事件8：小明選的書是

中文版的書，事件C：小明選的書是2024年或2024年以后出版的書，請寫出NcBc。表

示的事件：.

4.已知函數(shù)y=/(x)在點尸處切線的斜率為;，傾斜角為則sin—：cosj

5.已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上可導(dǎo)，貝I"函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上是嚴格增函數(shù)”是

“廣(X)川對任意的尤家成立，，的條件.(請?zhí)顚憽俺浞植槐匾?、“必要不充分”、“充?/p>

必要”、“既非充分又非必要”中的一個)

6.若曲線＞=好+仆+6在點(0,6)處的切線方程為》-＞+1=0,則6的值為.

7.將一枚均勻的硬幣投擲5次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率是.

8.已知函數(shù)的定義域為｛T,0,4｝,值域為｛2,3｝,則函數(shù)是偶函數(shù)的概率為

9.在(3x-2y+l)5在展開式中，不含x的所有項的系數(shù)和為(用數(shù)值作答).

10.已知袋中有9+M"22,"€N*)個大小相同的編號球，其中黃球9個，紅球”個，從中任

取兩個球，取出的兩球是一黃一紅的概率為￡，則勺的最大值為(用最簡分數(shù)表示).

11.由所有連續(xù)且在定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在的全體函數(shù)構(gòu)成的集合，記為則以下命題為真

命題的序號是.

①對于任意的若V=/(x)為奇函數(shù)，則＞=/'(x)為偶函數(shù)；

②存在〃尤)eM,使得了=/(x)為非奇非偶函數(shù)，但y=7'(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)：

③對于任意的若＞=/(x)為減函數(shù)，則y=/'(x)為增函數(shù)；

④存在〃尤)eM,使得y=/'(x)在定義域上單調(diào)，但了=/(x)在定義域上不單調(diào).

12.已知集合屈=｛片/，…,夕｝,“23,"cN是由函數(shù)了=5畝尤，xe[-7T,7r]的圖像上兩兩

試卷第1頁，共4頁

不相同的點構(gòu)成的點集，集合5={。|。=。4…，珥〃N3,〃GN},其中鳥(0,1)、

若集合s中的元素按照從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)

時，則符合條件的點集”的個數(shù)為.

二、單選題

13.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲100次，第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率是()

1991

A.----B.-----C.—D.-

100100992

加個〃個

14.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，第1組數(shù)據(jù)為0,0,0,1,1,1,第2組數(shù)據(jù)為hF71，

其中相，〃是正整數(shù).給出如下結(jié)論：①當(dāng)加=〃時，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；②當(dāng)機時,

第1組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于第2組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；③當(dāng)加<”時，第1組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第

2組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；④當(dāng)加=〃時，第2組數(shù)據(jù)的方差大于第1組數(shù)據(jù)的方差.其中說法正確

的是()

A.①②；B.①③；C.①④；D.③④.

15.我校共有1500名學(xué)生在學(xué)校用午餐，每次午餐只能選擇在文夫樓的一樓或二樓的一個

餐廳用餐，經(jīng)統(tǒng)計，當(dāng)天在一樓餐廳用午餐的學(xué)生中，有10%的學(xué)生第二天會到二樓餐廳

用午餐；而當(dāng)天在二樓餐廳用午餐的學(xué)生中，有15%的學(xué)生第二天會到一樓餐廳用樓午餐,

則一學(xué)期后，在一樓餐廳用午餐的學(xué)生數(shù)大約為()

A.700B.800C.900D.1000

16.已知函數(shù)》=/(x)的定義域為(0,2),則下?列是“了=〃幻在尤=1處取不到極大值”的充

分條件的是()

A.存在無窮多個尤小(0,2),滿足〃/)</(1)

B.對任意有理數(shù)/e(0,1)U(1,2),均有/(%)>/(1)

C.函數(shù)>=/(幻在區(qū)間(0,1)上為嚴格增函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴格減函數(shù)

D.函數(shù)了=/(x)在區(qū)間(0,1)上為嚴格減函數(shù)，在區(qū)間(1,2)上為嚴格增函數(shù)

三、解答題

17.如圖，某密碼鎖共有12位撥盤，包含0到9共10個數(shù)字和“*、r兩個特殊符號，某人

試卷第2頁，共4頁

知道開鎖密碼按順序為“6位數(shù)字+1位特殊符號（6位數(shù)字可重復(fù)）”.已知，當(dāng)撥盤依次是

907856#時，鎖才能打開.

123

456

789

*0#

（1）如果該人記不得密碼所包含的6位數(shù)字和1位特殊符號，則一次打開鎖的概率是多少？

（2）如果該人只記得密碼的最后兩位數(shù)字是56,則他一次打開鎖的概率是多少？

18.25年3月9日，在十四屆全國人大三次會議民生主題記者會上，國家衛(wèi)健委主任雷海

潮表示，將持續(xù)推進“體重管理年”行動.國家衛(wèi)健委發(fā)布的《成人肥胖食養(yǎng)指南（2024版）》

顯示，我國18歲及以上居民超重率、肥胖率分別達到34.3%和16.4%,居民肥胖率呈上升

趨勢.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)（BMI）來衡量人體肥胖程度以及是否健康，其計算

公式是

體重俾位kg）

身高2（單位n?）.

中國成人的BMI數(shù)值標(biāo)準為：BMI<18.5為偏瘦；18.54BMI423.9為正常；24WBMIV27.9

為偏胖；BMI228為肥胖.

為了解某公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，根據(jù)年齡采用分層隨

機抽樣方法抽取了50名員工的身高和體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的BMI值如下：

老年組：21.818.225.228.121.519.125.724.417.620.8

中年組：20.520.217.421.618.420.330.823.623.322.8

20.816.819.016.418.726.120.217.615.421.5

19.531.619.120.413.9

青年組:18.616.615.918.318.1

29.718.916.925.819.818.516.017.619.126.5

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，請回答以下問題：

（1）請完成下表，并繪制25名中年組員工的體重指數(shù)（BMD的頻率分布直方圖；

（2）分別求出以上老年組和青年組員工體重指數(shù)（BMD的第30百分位數(shù)（精確到小數(shù)點后

一位數(shù)字），并比較老年組和青年組員工在肥胖狀況上的差異；

試卷第3頁，共4頁

(3)分析公司員工胖瘦程度的整體情況，并提出控制體重的至少兩條建議.

25名員工的BMI值的頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率頻率/組距

[13.9,17.9)

[17.9,21.9)

[21.9,25.9)

[25.9,29.9)

[29.9,33.9)

19.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=-(a>0).

x

⑴求尸(x)=+g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若G(x)="(尤)1，曲線y=G(x)在A,B兩點(不重合)處的切線互相垂直，垂足為

兩切線分別交了軸于C,。兩點，設(shè)ACZW面積為S,若S<2恒成立，求4的最小值.

20.已知集合M中的任一個元素都是整數(shù)，當(dāng)存在整數(shù)。、c&M,且a<6<c時，

稱“為“間斷整數(shù)集”.進一步地，若“間斷整數(shù)集”M中任意兩個元素的差的絕對值最小為"

則稱M為“一間斷整數(shù)集”.已知集合N={x|lV尤V10,尤eZ}.

⑴若集合N的三元子集{a,5,8)是“2一間斷整數(shù)集”,求符合條件的元素。所構(gòu)成的集合；

⑵若集合N的四元子集/={%,%,%，%}是“1一間斷整數(shù)集”，求集合A的個數(shù)；

(3)求集合N的所有子集中，“間斷整數(shù)集”的個數(shù).

21.我們把】=方-。(。<6)稱為區(qū)間的長度.若函數(shù)y=/(x)是定義在區(qū)間/上的函數(shù)，

且存在[見02,使得{y=/(x)|xe[a,b]}=[a,6],則稱在6]為y=/(x)的自映射區(qū)間,函

數(shù)V=/(X)稱為自映射函數(shù).已知函數(shù)f(x)=X-sinx(xe/),g(x)=mlnx(m>0).

(1)判斷加=1時，函數(shù)N=g(x)是否為自映射函數(shù).若是，請給出它的一個自映射區(qū)間；若不

是，請說明理由；

⑵若/=[-10/0],任取了=〃x)的一個自映射區(qū)間，求其區(qū)間的長度">兀的概率；

⑶若g(x)存在自映射區(qū)間,求加的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

《上海市七寶中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號13141516

答案DBCB

1.15

【分析】利用二項式定理求出展開式的通項公式，得到廠=2,求出常數(shù)項即可.

1133r

【詳解】二項式（?+-）6的展開式通項為=《（石尸己丫=c"?，

XX

令3-33/=0,貝。=2,

故常數(shù)項為%=C=15.

故答案為：15.

2.1

【分析】根據(jù)兩變量的線性關(guān)系了=履+6,可知方差是關(guān)系.

【詳解】因為為,工2戶3戶4的方差是:，

所以2%,2超,2工3,2》4的方差是22x|=l,

故答案為：1

3.選到一本2024年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書

【分析】根據(jù)并事件、交事件、對立事件的定義判斷即可；

【詳解】因為/=｛選到一本數(shù)學(xué)書｝,8=｛選到一本中文版的書｝,C=｛選到一本2024年

或2024年以后出版的書｝,

所以｛選到一本2024年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書｝.

故答案為：選到一本2024年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書

,3

4.—/—0.6

5

【分析】分子分母同時除以cosa化弦為切，然后代入tane=：可得.

2

1-2

【詳解】由題知，tana=-,cosa^O,所以一‘cos"=tan"-—=一;.

2sin6Z+2cosatana+2—+25

2

3

故答案為：

5.充分非必要

答案第1頁，共14頁

【分析】利用推出思想來判斷充要性，非必要性時可以舉反例.

【詳解】在函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上可導(dǎo)的條件下，

由“函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間/上是嚴格增函數(shù)”一定可以推出“廣⑴2o對任意的xe/成立"，故

滿足充分性，

反之：例舉/(X)=l,此時/'(x)=o,滿足"r(x)2O對任意的xw/成立”，

但是此時/(x)=l不是嚴格增函數(shù)，故非必要性，

所以“函數(shù)V="X)在區(qū)間/上是嚴格增函數(shù)”是"/'(x)20對任意的xe/成立”的充分不必要

條件，

故答案為：充分不必要.

6.2

【詳解】試題分析：：)=/+0>:+方=T=2x+a，又：j=x：+ox+6在點(。/)處的

切線方程是x-y+1=0,

：.a=\.b=\：.aJrb=l.

考點：三角函數(shù)化簡求值.

7.—/0.5

2

【分析】根據(jù)正面次數(shù)多和反面次數(shù)多各占一半即可得解，或者利用二項分布概率公式求解

即可.

【詳解】因為正面出現(xiàn)次數(shù)和反面出現(xiàn)次數(shù)不可能相等，

將每一種正面出現(xiàn)次數(shù)多的結(jié)果的所有硬幣翻轉(zhuǎn)，即可得到反面次數(shù)多于正面次數(shù)的結(jié)果，

所以正面次數(shù)多和反面次數(shù)多各占一半，故所求概率為

另解：記拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣正面向上為事件A,則尸(/)=：,

則拋擲5次硬幣，正面出現(xiàn)的次數(shù)X服從二項分布

則正面向上的次數(shù)多于反面向上的次數(shù)的概率為：

產(chǎn)(X23)=尸(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C[￡|+C；]￡|=1.

故答案為：y

答案第2頁，共14頁

【分析】列舉出/（X）的所有解析式，再找出其中的偶函數(shù)，即可得答案.

【詳解】解：因為的定義域為{T,0,4},關(guān)于原點對稱，值域為{2,3},

2,x=±42,x=02,1=4或0

所以有/（無）=或〃x)=或/(x)=

3,%=03,x=±43,x=—4

3,工=4或02,x——3,x=-4或0

或/(x)=或/（無）=，或或（%）=

2,x=-43,x=42,x=4

共6種情況;

而當(dāng)?。?[2,?x=?！?和'=[12,=x=±04時,滿足小加?。┦桥己瘮?shù)，有2種情況,

所以〃x）是偶函數(shù)的概率尸=；.

故答案為：!

9.-1

【分析】先將問題轉(zhuǎn)化為（1-2乃5各項的系數(shù)之和，再通過賦值法即可得到答案.

【詳解】二項式（3廠2〉+1）5=[3》+（1-2州5,

其展開式的通項為7川=C；（3x廣'（1-29，

令r=5,則圖=C；⑶廣（1-2yY=（1-2yY,

則不含x的項的系數(shù)和等于（l-2y丫的各項系數(shù)之和，

令＞=1,貝IJ（1-2）5=T.

故答案為：-1.

99

10.—/—

1717

【分析】利用超幾何分布求概率，利用對鉤函數(shù)單調(diào)性來求最大值即可.

C；C：_9〃=18〃=18

【詳解】根據(jù)題意可得：c|7一（〃+9）（"+8）-/+11+72-“+17+?2,

2〃

由于函數(shù)了=》+?在區(qū)間（0,6行）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（68,+8）上單調(diào)遞增，

答案第3頁，共14頁

而6^26x1.414=8.484，所以比較4=77』=77,

18,189

72P-------S———

可知〃+—217,所以〃72~3417,

n"+17H---

n

9

故答案為：—.

II.①②④

【分析】/(T)=-/(X)兩邊求導(dǎo)可判斷①；設(shè)〃尤)=如+1可判斷②;舉反例/(無)=-爐可

判斷③；設(shè)〃X)=/可判斷④.

【詳解】對①，若了=〃尤)為奇函數(shù)，則〃-x)=-/(x),

兩邊求導(dǎo)得-7'(-x)=-/'(x),即/'(川=/'(無)，所以v=7'(x)為偶函數(shù)，①正確；

對②，不妨設(shè)/(》)=/+1,因為八一力=一/+1,所以/(X)為非奇非偶函數(shù)，

但f'(x)=x2為偶函數(shù)，②正確；

對③，不妨設(shè)〃無易知“X)為減函數(shù)，但/卜)=-3/不是增函數(shù)，③錯誤;

對④，設(shè)〃x)=/,則r(x)=2x單調(diào)遞增，但/(X)在定義域上不單調(diào)，④正確.

故答案為：①②④

12.70

【分析】確定數(shù)列中最大值為1,最小值為-1,然后根據(jù)d分類得出等差數(shù)列，再由等差數(shù)

列的項確定點q的橫坐標(biāo)的值，然后由M中對應(yīng)點的情形確定集合個數(shù).

【詳解】由已知條件得％=砥?西=(0,1)(-^,-i)=-i,

設(shè)月(4%)，則％=函匣=(0,1)(砧%)=%,

因為函數(shù)〉=sinx,xe[-兀,兀],貝!

所以一14%?1,

若d=1,貝”={-1,0,1},

由sinxt=0,xte[-7t,n],得西=一?；?或兀，

對應(yīng)點S(-兀,0)0(0，0)。(兀，°),

答案第4頁，共14頁

7T7T

由sinx,=l,x,可一兀,兀］,得%=］,對應(yīng)點OK］」），

因此產(chǎn)生集合$={-1,0,1}的集合河中，點呼4一定存在，0,02，Q至少有一個，

所以集合W的個數(shù)為7.

若［=^,則S={—1,—

由sin毛=一7,可.￡［—兀,兀］,Wxi=~~~^4~~f

266

對應(yīng)點2（一整，一（），。6（-［一二，

62o2

由sinx,.=!，匕e［-兀，兀;|,得再或告，

266

對應(yīng)點ae,。8（”,;），

6262

因此產(chǎn)生集合S={-1,-;的集合M中，

點用04一定存在，。，。2，0至少有一個，以,06至少有一個，07,。8至少有一個，

所以集合m的個數(shù)為7x3x3=63.

綜上，集合"的個數(shù)為7+63=70.

故答案為：70.

【點睛】方法點睛：確定集合的個數(shù)即為確定集合中元素的可能性，本題中首先確定出最終

等差數(shù)列的最大值和最小值，從而根據(jù)公差得出等差數(shù)列，由等差數(shù)列確定可能含有的點，

從而得出集合個數(shù).

13.D

【分析】根據(jù)隨機事件每次發(fā)生的概率是相等的，即可得出第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率.

【詳解】將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋擲一次，出現(xiàn)正面，還是反面，是隨機事件，且是等可能

的，

...無論拋多少次，每一次拋擲出現(xiàn)反面的概率都為g.

...第99次拋擲出現(xiàn)反面的概率是g.

故選：D.

14.B

【分析】分別根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，方差的公式計算即可判斷.

【詳解】第一組數(shù)據(jù)0,0,0,W,

答案第5頁，共14頁

0+0+0+1+1+1]_

平均數(shù)為豆=

62

中位數(shù)為一4,

古.外(0-i)2+(0--)2+(0--)2+(1)2+(1-1)2+(1—1)21

萬差為2_、2,22222J-

V6W

第二組數(shù)據(jù)

中小斯「一0+0HI-0+1+1H1-1n

平均數(shù)為迎=---------------------

m+nm+n

當(dāng)加=〃時，月=;=可，故①正確;

(0-j)2+,"+(0-+(1-+,,,+(1-1)2

方差為其44=1，

m+nm+n4

所以s；=s；,故④錯誤；

1?rj1

當(dāng)機〉"時，G=」^</一=：=吊,故②錯誤;

m+nn+n2

當(dāng)加<〃時，第二組中位數(shù)為1,大于第一組的中位數(shù)，故③正確.

故選：B.

15.C

【分析】記第〃天在一樓餐廳用午餐的學(xué)生人數(shù)為見，根據(jù)題意列出遞推公式，求出通項,

觀察變化趨勢可得.

【詳解】記第〃天在一樓餐廳用午餐的學(xué)生人數(shù)為4，則在二樓餐廳用午餐的學(xué)生人數(shù)為

1500—cin,

3

由題意可得^=0.9^+0.15(1500-^),整理得900=承,-900),

當(dāng)％=900時，可得。〃二900；

3

當(dāng)0產(chǎn)900時，數(shù)列｛an-900)是以'為公比的等比數(shù)歹人

所以%-900=(%-900)

此時(q-900)1f|趨近于0,此時凡趨近于900.

一學(xué)期后"足夠大,

故選：C

答案第6頁，共14頁

16.B

【分析】結(jié)合極大值的定義，舉例說明判斷ABCD.

l,xe(0,1]

【詳解】對于A,函數(shù)/■(尤)=的如圖①所示,

-|x-l|,xe(—,2)

顯然函數(shù)/(X)滿足條件，而X=1是“X)的極大值點，故A錯誤;

對于B,在x=l附近的任意區(qū)間內(nèi)，總存在有理數(shù)，這些有理數(shù)的函數(shù)值大于/⑴，如圖

②所示，

因此函數(shù)/(X)在x=l處取不到極大值，B正確;

對于C,函數(shù)=尤e(0,2),函數(shù)f(x)在(0,1)上為嚴格增函數(shù),在(1,2)上為嚴格

減函數(shù)，x=l是的極大值點，C錯誤；

=1

對于D,函數(shù)/(x)=如圖③所示,

|x-l|-l,xe(0,l)o(l,2)

函數(shù)在(0,1)上為嚴格減函數(shù)，在(1,2)上為嚴格增函數(shù)，x=l是/(x)的極大值點，D

錯誤.

故選：B.

17-(1W

Q)2x1(/

【分析】(1)計算“6位數(shù)字+1位特殊符號”的樣本空間中的基本事件總個數(shù)，再計算“試開

一次就把鎖打開”所包含的基本事件即可；

(2)計算“4位數(shù)字+1位特殊符號”的樣本空間中的基本事件總個數(shù)，再計算“試開一次就把

鎖打開”所包含的基本事件即可.

【詳解】(1)密碼鎖的每個撥盤上有從0到9共10個數(shù)字，即有10種可能取法，

答案第7頁，共14頁

開鎖密碼順序為“6位數(shù)字+1位特殊符號”，

則樣本空間中的基本事件的總個數(shù)是10x10x10x10x10x10x2=2x106,

顯然基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，

設(shè)事件A表示為“試開一次就把鎖打開”，事件中的基本事件的只有一個，

故尸

''2xl06

即試開一次就能把鎖打開的概率是公如.

(2)因為該人只記得密碼的最后兩位數(shù)字是56,

則樣本空間中的基本事件的總個數(shù)是10x10x10x10x2=2x10。

顯然基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的，

設(shè)事件3表示為“試開一次就把鎖打開“，事件中的基本事件的只有一個，

故尸(小擊，

即試開一次就能把鎖打開的概率是二二.

2xl04

18.(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)先統(tǒng)計數(shù)據(jù)，再計算頻率，最后畫頻率分布直方圖即可；

(2)按照百分位數(shù)概念來求解即可；

(3)通過偏胖率和偏瘦率來分析各層次員工，然后給出健身鍛煉和健康飲食的建議

【詳解】(1)

分組頻數(shù)頻率頻率/組距

[13.9,17.9)60.240.06

[17.9,21.9)130.520.13

[21.9,25.9)30.120.03

[25.9,29.9)10.040.01

[29.9,33.9)20.080.02

頻率直方圖如下:

答案第8頁，共14頁

21.519.125.724.417.620.8,

從小到大排序為:17.818.219.120.821.521.824.425.225.728.1,

根據(jù)小3。％=3,所以老年組員工體重指數(shù)（BMI）的第3。百分位數(shù)是"出=19.95,

青年組員工體重指數(shù)（BMD

18.616.615.918.318.129.718.916.925.819.818.516.017.619.126.5,

從小到大排序為：

15.91616.616.917.618.118.318.518.618.919.119.825.826.529.7,

根據(jù)15x30%=4.5,所以青年組員工體重指數(shù)（BMI）的第30百分位數(shù)是17.6,

根據(jù)第30百分位數(shù)比較可知：老年組員工屬于正常，青年組員工偏瘦.

（3）統(tǒng)計匯總表如下：

偏瘦正常偏胖肥胖

老年組2431

中年組71512

青年組7521

合計162464

由上表格可知公司總體偏胖（包含肥胖）率為京=20%,

4

其中老年組占了歷=40%,說明老年組偏胖率最高，中年組和青年組偏胖率相當(dāng),

由上表格可知公司總體偏瘦率為￡=32%,

答案第9頁，共14頁

7

其中青年組和中年組偏瘦率相當(dāng)，各占了7=43.75%,老年組偏瘦率很低，

由上分析：老年組要注意超重和肥胖問題，要加強體育鍛煉，每天至少60分鐘中等強度有

氧運動（如快走、游泳、跑步、打球等）。

青年和中年組要注意營養(yǎng)健康問題，公司可開展健康飲食講座，提升員工健康意識，同時提

倡結(jié)合力量訓(xùn)練（如舉重）增肌，避免單純增脂。

19.⑴當(dāng)aVO時，函數(shù)戶（x）在（0,+oo）單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時，函數(shù)尸（X）在+8）單調(diào)遞增，在（0,a）單調(diào)遞減.

（2）1

【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，分和。>0討論函數(shù)尸（x）的單調(diào)性即可；

（2）設(shè)0<玉<1<無2，/（網(wǎng)，-也再）,8（工2，1!1%），求過43兩點的切線方程，根據(jù)兩條切線相

.2

互垂直得再馬=1,進而得至小81=2,再求出馬=x,+'，根據(jù)％的范圍得出S的范圍，

x2

最后根據(jù)5<2恒成立求出2的最小值.

【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為｛x|x>0｝,

尸（無）=/（x）+g（x）=lnx+-,

X

則導(dǎo)數(shù)尸（尤）=工-二=三一

XXX

當(dāng)aW0時，P（x）=-20恒成立，

則函數(shù)尸（X）在（0,+8）單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時,令/（無）>0,則x>a,即函數(shù)尸（x）在（a,+◎單調(diào)遞增;

令P（x）<0,貝!]0<x<a,即函數(shù)尸（x）在（0,。）單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aVO時，函數(shù)尸（x）在（0,內(nèi)）單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時,函數(shù)尸（x）在3+8）單調(diào)遞增，在（0,a）單調(diào)遞減.

,,f-lnx,O<x<l

（2）由函數(shù)G（x）=|lnx|=1,

[Inx,x>l

設(shè)0<$<l<x2,A（xi9-\nx｛）,B（X2,Inx2）,

對>=_111武0<》<1）求導(dǎo)得了=_工，

答案第10頁，共14頁

所以函數(shù)G(X)在點A處的切線方程為歹=--+1-加修.

X1

令x=0,則y=l—In再，即C(O,l-lnxJ.

對＞=Inx(x＞1)求導(dǎo)得y=—,

X

x

所以函數(shù)G(x)在點B處的切線方程為V=--1+lnx2.

x2

令x=0,則y=—l+ln%,即。(0,—l+ln/).

又因為兩條切線垂直，

111

所以-----二-1,即國工2二1，

國X2

所以|CD|=|(-1+lnx2)-(1-InXj)|=|-2+lnx2+lnx1|=2,

y=-----+1—13

聯(lián)立，,

X1[

y=-----1+lnx2

I

因為玉工2=1，即西=一，

y=-x2x+1+lnx2

,解得“

所以＜x…

y=------1+lnx

〔x?2

12

「,S=-\CD\X=------

因為211/7H.1,

%2'-------

x2

又%>1,根據(jù)基本不等式迎+,>

2,

一馬

所以S<1,

由S<2恒成立，則221,

所以彳的最小值為1.

答案第11頁，共14頁

20.⑴{3,10}；

(2)168；

(3)968.

【分析】(1)根據(jù)“2一間斷整數(shù)集”的定義列方程求解即可；

(2)先求所有四元子集的個數(shù)，然后減去四個元素都不連續(xù)和四個元素連續(xù)的個數(shù)可得;

(3)用總的子集個數(shù)減去空集和單元集合，以及所有元素都連續(xù)的子集可得.

【詳解】(1)因為集合｛。,5,8｝是“2一間斷整數(shù)集”，且8-5=3>2,

、

Q—5=W22或，"”85=>2

所以解得a=3,10,

。一8

所以符合條件的元素a所構(gòu)成的集合為｛3,10｝.

(2)因為集合A是1一間斷整數(shù)集“，所以集合A至少有兩個連續(xù)整數(shù)，且不能四個元素連

續(xù).

集合N的四元子集有誓斗=210個，

其中無連續(xù)整數(shù)的四元子集個數(shù)等價