延安中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試卷2024.05一．填空題（第1—6題每題4分，第7—12題每題5分，滿分54分）1.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則______【答案】5【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模的公式求解【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，故答案為：52.已知A工廠庫房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，從庫房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為______【答案】0.92【解析】【分析】根據(jù)題意利用全概率公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)锳工廠庫房中的某種零件60％來自甲公司，正品率為90％；40％來自乙公司，正品率為95％，所以從庫房中任取一個(gè)這種零件，它是正品的概率為，故答案為：0.923.已知集合，，則______【答案】【解析】【分析】把集合中的元素代入不等式檢驗(yàn)可求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.故答案為：.4.已知，，則______（用、表示）【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指對互化可得，再結(jié)合對數(shù)運(yùn)算即可.【詳解】由，得，又.故答案為：.5.二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得的系數(shù)【詳解】在的展開式中，通項(xiàng)公式為，令，故項(xiàng)的系數(shù)是，故答案為：606.已知圓柱的底面半徑為3cm，側(cè)面積為cm3，則此圓柱的體積為______cm3【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出圓柱的高，再利用圓柱的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱的高為，則，得，所以此圓柱的體積為，故答案為：7.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，則函數(shù)的最大值為______【答案】2【解析】【分析】根據(jù)求得，再用輔助角公式化簡，從而得到的最大值.【詳解】由題意，所以，所以，又，所以，故的最大值為2.故答案為：2.8.已知點(diǎn)，將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則______【答案】4【解析】【分析】先求、、，再用向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，，，.故答案為：4.9.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是______【答案】8【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性的定義可知為奇函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可知，然后結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，又，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.10.如圖，B地在A地的正東方向，相距4km；C地在B地的北偏東方向，相距2km，河流沿岸PQ（曲線）上任意一點(diǎn)到A的距離比它到B的距離遠(yuǎn)2km，現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向A、B、C三地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從M到A、B兩地修建公路費(fèi)用都是10萬元/km，從M到C修建公路的費(fèi)用為20萬元/km．選擇合適的點(diǎn)M，可使修建的三條公路總費(fèi)用最低，則總費(fèi)用最低是______萬元（精確到0.01）【答案】85.83【解析】【分析】由題意根據(jù)雙曲線定義確定M軌跡，再由雙曲線定義結(jié)合圖象當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)求出最小值.【詳解】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支.故，，，，故軌跡方程為：.由題意修建的三條公路總費(fèi)用，由圖形可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，即在點(diǎn)處時(shí)，有最小值，由題意，所以，所以.故答案為：11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿足，則______【答案】##【解析】【分析】由已知可得，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，?故答案為：.12.已知數(shù)列共有5項(xiàng)，且滿足：①，；②；③，．則滿足條件的數(shù)列共有______個(gè)【答案】80【解析】【分析】根據(jù)，得到，進(jìn)而得到、、可能的取值，再分類討論的值即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，，，所以，，，又因?yàn)?，，，所以，，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，時(shí)，有種選法，有種選法，一共有種選法，所以滿足條件的數(shù)列共有個(gè).故答案為：80.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)、數(shù)列、計(jì)數(shù)原理綜合，綜合性很強(qiáng)，關(guān)鍵在于找到、、所要滿足的條件，再找到合適的角度進(jìn)行分類討論.二．選擇題（本大題共4題，滿分20分）13.已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】在三角形內(nèi)，先利用“大角對大邊”由得到，進(jìn)而利用正弦定理即可進(jìn)行證明.【詳解】在三角形中，成立等價(jià)于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角對大邊，則成立，由上面正弦定理形式得出，滿足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大邊對大角，則成立，滿足必要性；所以“”是“”的充要條件．故選：C.14.在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到，，…，共個(gè)數(shù)據(jù).我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”應(yīng)該滿足與所有測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這些數(shù)據(jù)得出的“最佳近似值”應(yīng)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】看成關(guān)于的二次函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：由于所以是關(guān)于的二次函數(shù)，因此當(dāng)即時(shí)，取得最小值.故選：A.15.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點(diǎn)，則（）A.DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線B.DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線C.DM≠EN，且直線DM、EN相交直線D.DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線【答案】D【解析】【分析】連接，可得是的中點(diǎn)，可得與相交，進(jìn)而可證，從而可得，從而可得.【詳解】連接，因?yàn)辄c(diǎn)N為正方形ABCD的中心，所以是的中點(diǎn)，所以平面，所以與相交，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因平面，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.故選：D.16.設(shè)，集合，集合，對于集合B有下列兩個(gè)結(jié)論：①存在a和b，使得集合B中恰有5個(gè)元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4個(gè)元素．則下列判斷正確的是（）A.①②都正確 B.①②都錯(cuò)誤 C.①錯(cuò)誤，②正確 D.①正確，②錯(cuò)誤【答案】A【解析】【分析】由題意可知，對于①舉例分析判斷即可，對于②，若，則，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存性定理可確定出，從而可進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，，，所以，有5個(gè)元素，所以①正確，若，則，得，令，則，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，因?yàn)?，所以存在，使，即存在，成立，此時(shí)，所以存在a和b，使得集合B中恰有4個(gè)元素，所以②正確，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷結(jié)論②的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理分析判斷.三．解答題（本大題共有5題，滿分76分）17.如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面ABC；（2）點(diǎn)M在棱BC上，且，求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰和等邊三角形的性質(zhì)證明以及，然后利用線面垂直的判斷證明平面ABC（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求角公式求解即可【小問1詳解】連結(jié)OB，，，所以，所以是等腰直角三角形，又點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以，由已知可得，是等邊三角形，所以，又，所以，所以，中，，O是AC的中點(diǎn)，所以，，，，且平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．【小問2詳解】OB，OC，OP兩兩垂直，以、、為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，由，即所以點(diǎn)則，，設(shè)平面APM的—個(gè)法向量為，則，令，平面PAC的一個(gè)法向量，，所求二面角的平面角是銳角，所以二面角為的大小為．18.已知等比數(shù)列的公比，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，且是嚴(yán)格增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）是嚴(yán)格增數(shù)列，利用恒成立即可求解.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以或2，若，，則與矛盾，舍去，若，，則，，滿足題意，所以．【小問2詳解】因?yàn)椋菄?yán)格增數(shù)列，所以對于任意正整數(shù)n都成立，，即對于任意正整數(shù)n都成立，所以，因?yàn)樵谏蠂?yán)格遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，所以的取值范圍是.19.火車晚點(diǎn)是人們在旅行過程中最常見的問題之一，針對這個(gè)問題，許多人都會(huì)打電話進(jìn)行投訴.某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率對每年顧客投訴次數(shù)（單位：次）的影響，對近8年（2015年~2022年）每年火車正點(diǎn)率和每年顧客投訴次數(shù)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.60059243837.293.8（1）求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若預(yù)計(jì)2024年火車的正點(diǎn)率為，試估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)顧客對火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評價(jià)“良好”的年數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，【答案】（1），20次；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）應(yīng)用最小二乘法求回歸直線，再代入估算2024年顧客對火車站投訴的次數(shù)；（2）根據(jù)題意寫出的可能取值，應(yīng)用超幾何概率公式求對應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而求期望.【小問1詳解】由題設(shè)，，則，所以，所以；當(dāng)時(shí)，代入，得到，所以2024年顧客對該市火車站投訴的次數(shù)約為20次.【小問2詳解】由題意，服從超幾何分布，可取0，1，2，，，，012所以.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)在點(diǎn)A、B處的切線分別為，，與x軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，設(shè)與的交點(diǎn)為P．（1）設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，求切線的斜率，并證明；（2）證明：點(diǎn)P必在直線上；（3）若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1），證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線的方程，從而可求出的坐標(biāo)，則可得，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出，的方程，兩方程聯(lián)立求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三點(diǎn)共線得，化簡變形后可得結(jié)論；（3）解法一：表示出三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)的外接圓方程為，將坐標(biāo)代入方程可求出，從而可得圓的方程，再將代入圓方程，化簡后與聯(lián)立可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；解法二：由（1）可得，，則F，M，N，P四點(diǎn)共圓，PF是的外接圓的直徑，而在的外接圓上，從而可求出直線TP方程，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【小問1詳解】點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，則，因?yàn)?，，所以點(diǎn)A處的切線斜率為a所以切線的方程為，切線與x軸的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，亦有；結(jié)論得證.【小問2詳解】證明：設(shè)，，由，得，所以，所以直線，直線，由，得，即兩直線的交點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以，，得，所以，所以所以點(diǎn)P在直線上【小問3詳解】因?yàn)橹本€，直線，所以，，由（2）可知，設(shè)的外接圓方程為，則，解得，，所以外接圓方程為將代入方程，得又，解得，，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為解法二:拋物線的焦點(diǎn)，由（1）可知，同理可證得，所以F，M，N，P四點(diǎn)共圓，所以PF是的外接圓的直徑，因?yàn)镻、M、N、T四點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)在的外接圓上，所以，所以，即，得，所以直線TP方程為，即又點(diǎn)P在直線上，則由，得，所以點(diǎn)P坐標(biāo)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線問題，考查直線過定點(diǎn)問題，四點(diǎn)共圓問題，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對于區(qū)間，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)滿足以下①②兩個(gè)性質(zhì)中的任意一個(gè)時(shí)，則稱區(qū)間是的一個(gè)“美好區(qū)間”．性質(zhì)①：對于任意，都有；性質(zhì)②：對于任意，都有．（1）已知，．分別判斷區(qū)間和區(qū)間是否為函數(shù)的“美好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知且，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“美好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D像是一條連續(xù)不斷的曲線，且對于任意，都有．求證：函數(shù)存在“美好區(qū)間”，且存在，使得不屬于函數(shù)的任意一個(gè)“美好區(qū)間”．【答案】（1）區(qū)間和區(qū)間都是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由見解析；（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）分別求出函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域，結(jié)合“美好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）記，，根據(jù)“美好區(qū)間”的定義可得：或，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，分，，以及四種情況討論在區(qū)間上的值域，利用集合間的關(guān)系，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對于任意區(qū)間，記，根據(jù)單調(diào)性得到，若為的“美好區(qū)間”必滿足性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為或，得出函數(shù)一定存在“美好區(qū)間”，記，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，得到存在，使得，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】區(qū)間和區(qū)間都是函數(shù)的“美好區(qū)間”，理由如下：由，當(dāng)時(shí)，，所以區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”當(dāng)時(shí)，，所以區(qū)間是函數(shù)的“美好區(qū)間”小問2詳解】記，若區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“美好區(qū)間”，則或由，可得，所以當(dāng)或時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為：，；當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間為：，且，，，得到在的大致圖像如下：(i)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，則，即對于任意，都有，滿足性質(zhì)②,故當(dāng)時(shí)，區(qū)間是函數(shù)