期末解答壓軸題（十大題型）

目錄：

題型1:傳統(tǒng)解答證明題

題型2：證明恒等式

題型3：已知等腰三角形求角度

題型4：新定義題

題型5：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型6：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

題型7：翻折問(wèn)題

題型8：（類(lèi)）情景探究題、數(shù)學(xué)活動(dòng)題

題型9：新教材一一線段的垂直平分線

題型10：新教材一一尺規(guī)作圖有關(guān)的解答證明題

題型1：傳統(tǒng)解答證明題

1.（23-24七年級(jí)下?上海寶山?期末）如圖，已知=直線￡>￡交邊8C于點(diǎn)尸，Z￡FC=180°-tz,

（備用圖）

⑴請(qǐng)說(shuō)明的理由；

（2）如果G為直線DE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且/8G尸和ZGBF的角平分線交于點(diǎn)P.當(dāng)*120。，求ZBPG

的度數(shù).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵/5PG=120°或150°.

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

（1）首先由對(duì)頂角相等得到4?7=180。-1,然后根據(jù)N/8C+N。EB=180。即可得到4B〃DE；

（2）根據(jù)題意分點(diǎn)G在點(diǎn)尸右邊和點(diǎn)G在點(diǎn)尸左邊兩種情況討論，首先得到乙①。=120。，然后分別根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的概念求解即可.

【解析】(1)vZEFC=180°-cr

??.ZDFB=ZEFC=180。—1

???/ABC=a

??.ZABC+ZDFB=。+180?！?。=180。

?-AB//DE；

(2)如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)尸左邊時(shí)，

AB

???a=120。

??.ZABC=120°

-AB//DE

???ZDFB=1800-ZABF=60°

:.NFGB+NFBG=120。

???NSGF和ZGBF的角平分線交于點(diǎn)P

ZPGB=-ZFGB,ZPBG=-ZFBG

22

/PGB+APBG=g(/FGB+ZFBG)=60°

ZBPG=180。-(ZPGB+ZPBG)=120°；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)方右邊時(shí),

AB

V6Z=12O°

??.ZABC=120°

-AB//DE

??.ZBFG=ZABF=120。

ZFBG+ZFGB=180°-ZBFG=60°

ZBGF和ZGBF的角平分線交于點(diǎn)尸

ZPGB=-NFGB,NPBG=-AFBG

22

ZPGB+ZPBG=g(NFGB+ZFBG)=30°

...ZBPG=180°-(NPGB+ZPBG)=150°；

綜上所述，N5PG=120?；?50。.

2.(23-24七年級(jí)下?上海?名校期末)已知:△4BC中，4B=/C點(diǎn)。是8C的中點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)如圖1,DE1AB,DF±AC.垂足分別為￡、F.求證：DE=DF；

(2)若3C=/C.點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上.且/皮甲=120。

①如圖2,若點(diǎn)尸(恰好在/C上),求證：DE=DF；

②如圖3,若點(diǎn)尸在C/的延長(zhǎng)線上，BC=5,BE=4,直接寫(xiě)出/月的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)①證明見(jiàn)解析；②1.5

【分析】本題考查的是等面積法的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判

定與性質(zhì)：

(1)如圖1,由點(diǎn)。是3c的中點(diǎn).S^D=S^ACD,可得口慶0￡=；".。￡結(jié)合=從而可得答

案；

(2)①如圖2,先證明△4BC為等邊三角形，過(guò)D作DN//AB交AC于N,證明為等邊三角形，證

明=ZDBE=ZDNF,ZEDB=ZFDN,可得ABDE知NDF,從而可得結(jié)論；②如圖3,由①同理

可得：“BC,△DNC為等邊三角形，AEBDAFND,可得/C=5,NC=2.5,8E=FN=4,再求解

AN=25,從而可得答案.

【解析】(1)證明：如圖1,連接ND,

丁點(diǎn)。是5c的中點(diǎn).

-V=Q

…°AABD一°"CD，

?-DELAB,DF-LAC,

:.-ABDE=-AC^DF,

22

???AB=AC,

DE=DF.

BDC

圖1

(2)解：①如圖2,\?AB=AC,BC=AC,

:"BC為等邊三角形，

/.ZC=ZA=ZABC=60°,

過(guò)D作DN〃AB交AC于N,

ZDNC=ZA=60°,ZNDC=/ABC=60°,

.?.△DNC為等邊三角形,

丁點(diǎn)。是5。的中點(diǎn)，

/.BD=CD,

BD=DN,

,:/ABC=/DNC=60。,

/DBE=120。=/DNF,

???ZEDF=120。=ZEDB+/BDF,

F

\N

???ZNDC=60°,

圖2

/.4BDN=120。=ZBDF+/NDF,

/EDB=4FDN,

:ABDEANDF(ASA),

...DE=DF.

②如圖3,由①同理可得：公4BC,公DNC為等邊三角形,AEBDAFND,

?：BC=5,BE=4,。為的中點(diǎn),

AC=BC=5,DC==2.5=NC,BE=FN=4,

...AN=AC-NC=5-2.5=2.5,

NF-AN=4-2.5=1.5.

題型2：證明恒等式

3.(23-24七年級(jí)下?上海浦東新?期末)如圖，△840和人?！晔堑妊切吻?&4。=/。*=90。，〃，@,

垂足為尸.

⑴試說(shuō)明/4SF=/SC的理由

(2)猜想CF和CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)試說(shuō)明：CD=2BF+DE.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)CF±CE,理由見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】(1)先根據(jù)等角的余角相等證得N2MC=N￡M￡,再根據(jù)全等三角形的判定證明即可得出

ZABC^ZADE,根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義，即可得證；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求得乙8C/=NE=45。，再根據(jù)直角三角形的兩銳角

互余求得NC4F=45。即可得出NK4E=135。，進(jìn)而證明/尸〃CE,即可得出結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)2尸到G,使得尸G=EB,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)證明A/EB0A/RG(￡4S),

△CG4%CZM(AAS)得到CG=CD即可證得結(jié)論.

【解析】(1)證明：?.?/&4D=NC4E=90°,

ZBAC+ZCAD=9Q°,ZCAD+ZDAE=90°,

ABAC=NDAE,

在△R4C和△O/E中，

AB=AD

?「ABAC=ZDAE,

AC=AE

.-.ABAC^ADAE(SAS)；

??.ZABC=ZADE,

.^ZABF=ZADC；

(2)解：???NG4￡=90。，AC=AE,

??.ZE=45°,

由(1)知△氏4C且△。4月，

??.ZBCA=ZE=45°,

-AFIBC,

??.ZCFA=90°,

.-.ZC4F=45°,

??.ZFAE=ZFAC+ZCAE=45。+90。=135。；

又ZE=45°,

??./"￡+NE=180。，

??.AF//CE,

-AF1BC,

；,CF工CE；

(3)證明：延長(zhǎng)5尸到G,4更得FG=FB,

???AF工BG,

.-.ZAFG=ZAFB=90°,

在公AFB和△4FG中，

"BF=GF

/AFB=/AFG,

AF=AF

.-.AAFB^AAFG(SAS)F

??.AB=AG,ZABF=ZG,

???ABAC^Z\DAE,

AB=AD,Z.CBA=/EDA,CB=ED,

AG=AD,ZABF=/CDA,

??.NCGA=/CDA,

???ZGCA=ZDCA=45°,

???在△CG4和中，

ZGCA=ZDCA

<ZCGA=ZCDA,

AG=AD

ACGA^ACDA(AAS)f

:.CG=CD,

?:CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

?,.CD=2BF+DE.

c

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、

線段的和差等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求解線段問(wèn)題是解答

的關(guān)鍵.

4.（20-21七年級(jí)下?上海?期末）如圖，已知在△NBC中，/R4C=90。，點(diǎn)。為邊NC上的一點(diǎn),

點(diǎn)E為線段8。上一點(diǎn).

（1）如圖（1）,若AELBD,延長(zhǎng)NE交于點(diǎn)尸，8c邊的高NG交8。于點(diǎn)

圖⑴

①若2。為-N8C的平分線，求證：AE=；BH.

②若AD為△48C的中線，聯(lián)結(jié)。尸，求證：ZADB=ZCDF.

（2）如圖（2）,^AE=AD,過(guò)點(diǎn)8作切飲_L4E\交4E■延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作。。_L于。，求證:

AB=BM+QD.

圖⑵

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出/G=BG=CG=；3C,再根據(jù)角之間的關(guān)系得出

ZGBH=ZGAF,再得出&4GF金B(yǎng)GH,從而得出3〃=工尸，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)得出

AE=EF=；AF,從而證明=②過(guò)C作CNL/C交/尸延長(zhǎng)線于N,根據(jù)角之間的關(guān)系得出

ZABD=ZCAN,再證明△歷1。2/CN,從而得出N4D3=NN,AD=CN,再證明ACDF均GVF,從而

證明/4D5=NCDF；

（2）過(guò)點(diǎn)E作法，于點(diǎn)尸，證明A/PE0A。?！?從而得出/P=DQ,Z4=Z2,再根據(jù)角之間的關(guān)系

得出/BME=NBPE,從而證明△APE絲最后得出.

【解析】（1）解：???/B=ZC,/B4c=90。,4G是5C邊上的高,

,-.AG=BG=CG=-BC,ZBGH=ZAGF=90°,

2

:,/GBH+/BHG=90。,

-AELBD,AZAEB=90°,

???NGAF+NAHE=90。,

???ABHG=/AHE,

???/GBH=NGAF,

ZGAF=ZGBH

在&4G尸和中，1/AGF=NBGH

AG=BG

/\AGF^Z\BGH(AAS),

：.BH=AF,

vBE1AF,BE平分NABC,

:?/BEA=/BEF,ZABE=ZFBE

在小ABE與/BE中

ZBEA=NBEF

<BE=BE

/ABE=/FBE

??.“BE絲AFBE(ASA)

??.AE=EF=-AF

2

：.AE=-BH.

2

②過(guò)點(diǎn)。作CN，/。交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

??.NACN=90°=ABAD,

-AELBD,

：.ZAEB=9U0,

???ZABD+ZBAE=9。。，

：?NCAN+/BAE=9。。，

???/ABD=ZCAN,

ZABD=ZCAN

在△氏4。和△/CN中，JBA=AC

ABAD=ZACN

：?ABAD名AACN(ASA),

ZADB=ZN,AD=CN,

???瓦)是△/5C中線，

???AD=CD,

:?CD=CN,

?MB=AC,ZBAC=90°,

?.ZDCF=45°

???ZACN=90。

???ZNCF=ZACN-ZDCF=45°

???ZDCF=ZNCF,

"CD=CN

在△CD/和△［雙/中，\ZDCF=ZNCF

CF=CF

???△CD產(chǎn)之△CNF(SAS),

???/CDF=ZN

??.ZADB=/CDF

(2)解：過(guò)點(diǎn)E作成，45于點(diǎn)尸，

M

-.ZAPE=ZBPE=90°,

???DQ1AM,

,-,ZDQA=90°

ZDQA=ZAPE=90°,N2+N3=90。，

vZl+Z2=ZBAC=90°,/.Z1=Z3,

ZAPE=ZDQA

在l\APE和^DQH中，＜N1=N3

AE=DA

.,.△APEdDQA(AAS),

：.AP=DQ,N4=N2,

vZ4+ZAED+ABEP=180°,Z2+ZAED+ZADE=180°,

?.ZBEP=ZADE,

?：AE=AD,

???/AED=/ADE,

?-ZBEP=ZAED,

?：/BEM=/AED,

：.ABEP=ABEM,

???BM_LAM,

：.ZBME=90°

；"BME=/BPE,

ZBPE=/BME

在和中，＜/BEP=/BEM

BE=BE

:?ABPE2ABME(AAS),

:.BP=BM,

?；AB=BP+AP,

:.AB=BM+QD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及全等的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)以及全等的判

定是解答此題的關(guān)鍵.

題型3：已知等腰三角形求角度

5.(23-24七年級(jí)下?上海松江?期末)如圖，已知△N8C與△4DE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,

點(diǎn)。在邊5c邊上(不與8、C重合)，1.ZS=AADE,DE交AC于F.

⑴試說(shuō)明^BAD與ZCAE相等的理由；

(2)連接CE,若CD=CE,說(shuō)明。尸與叱相等的理由；

⑶若NA4D=20。，當(dāng)△必尸是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)見(jiàn)解析;

160°140°

⑶丁或丁

【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用

分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角可知/B=NC,NADE=NE,再由三角形的內(nèi)角和定理即可得到=,由

此即可證明結(jié)論；

(2)證明△/龍＞9ANCE(SAS),可得N4CD=N4CE,再根據(jù)等腰三角形三線合一即可證明結(jié)論；

(3)設(shè)NB=x,則/4flF=NC=NS=x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得

ZAFD^ZC+ZCDE=x+20°,ZDAF^180°-ZADF-ZAFD^160°-2x,再分三種情況討論即可解答.

【解析】⑴證明：?.?/?8=/C,AD=AE,

Z5=ZC,ZADE=NE,

???NB=AADE,

；.ZB=NC=ZADE=ZE

又???ZB4c=180°—ZB-/C,ZDAE=18Q°-ZADE-ZE,

ABAC=NDAE；

：.ZBAD+ZDAC=ZDAC+Z.CAE,

.■.ZBAD=ZCAE.

(2)證明：如圖,

AE

/IXI

BDC

在和A4CE中,

'AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

.?.△48。之△ZCE(SAS)；

???AB=/ACE,

???AB=ZACD,

??.ZACD=NACE,

；CD=CE,

???DF=EF.

(3)解：設(shè)N5=x,則Zz4flF=NC=ZS=x,

???ZADC=ZB+ZBAD=ZADE+ZEDC,

??.ZEDC=ZBAD=2Q0,

??.ZAFD=ZC+Z.CDE=x+20。，

ZD^F=180°-Z^Z>^-Z^FZ)=180o-x-(x+20o)=160o-2x,

當(dāng)△加尸是等腰三角形時(shí)，有三種情況討論：

1rno

當(dāng)。尸=4F時(shí)，ZDAF=ZADF,160°-2x=x,解得：X=三一；

140°

當(dāng)尸時(shí)，ZDAF=ZAFD,160°—2x=x+20°,解得：x=^-；

當(dāng)皿)="'時(shí)，ZADF=ZAFD,x=x+20°,此方程無(wú)解；

綜上所述，當(dāng)Z2的度數(shù)為1號(hào)600-或1當(dāng)40°時(shí)，A4DF是等腰三角形.

6.(23-24七年級(jí)下?上海奉賢?期末)已知在△493中，OA=OB,44。8=120。，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，連

接/C、BC、OC,OA^OC.

c

圖I備用圖備用圖

(1)如圖1,點(diǎn)。在△48C的內(nèi)部.

①當(dāng)4co=20。，求/O8。的度數(shù)；

②當(dāng)C。平分N/C2,判斷△NBC的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如果直線2C與直線49相交于點(diǎn)。，如果△COD是以DO為腰的等腰三角形，求NOC8的度數(shù)(直接

寫(xiě)出答案).

【答案】⑴①NO2C=40。；②△4BC為等邊三角形，見(jiàn)解析

⑵NOCB的度數(shù)為20?；?0°.

【分析】(1)①根據(jù)Q4=OC,44。。=20。得NC4O=44co=20。，則440c=140。，進(jìn)而得

Z.BOC=100°,再根據(jù)。/=。2,OA=OCWOB=OC,進(jìn)而得NO8C=NOC3=40。，然后根據(jù)。4=。3,

ZAOB=120°得AOBA=AOAB=30°,由此可得—4BC的度數(shù)；

②根據(jù)C。平分/NC2,設(shè)NOC4=NOCB=a,則乙4c8=2e,根據(jù)Q4=OC得NQ4C=NOC4=a,根據(jù)

OB=OC得NOBC=/OCB=a,則/。5=30。+0,NC弘=30。+0,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

2&+30。+&+30°+1=180°,則c=30。，進(jìn)而得/4C8=2a=60°,ZG43=30°+a=60°,

ZCa4=30°+a=60°,由此可判定△4BC的形狀；

(2)分兩種情況討論如下：①當(dāng)直線8C與線段/O交于點(diǎn)。時(shí)，設(shè)NOCB=0,則ND0C=/0C2=〃,

"。8=4+120。，再根據(jù)O5=OC得N08C=N0C8=￡,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

〃+4+120。+〃=180。，則#=20。，②當(dāng)直線3c與49的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。時(shí)，設(shè)NOC8=。，貝U

ZDOC=ZOCB=6,再求出460=60。，得NCO5=6+60。，tgigOB=OC^ZOBC=ZOCB=0,再根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理得6+6+6+6()。=180。，則6=40°,綜上所述即可得出/OC5的度數(shù).

【解析】(1)解：①在“Z4C中，OA=OC,ZACO=20°,

ZCAO=ZACO=20°,

ZAOC=180°-(ZG4O+ZACO)=140°,

又?；408=120。,

NBOC=360°-(ZAOC+NAOB)=100°,

OA-OB,OA=OC,

/.OB=OC,

在COC中，OB=OC,ZBOC=100°f

ZOBC=ZOCB=-(180°-ZBOC)=40°；

②a/BC為等邊三角形，理由如下:

如圖1所示:

,.?C。平分/NC8,

圖1

：.^.Z,OCA=Z.OCB=a,則//C8=2a,

在AO/C中，OA=OC,

NOAC=ZOCA=a,

在△OBC中,OB=OC,

NOBC=ZOCB=a,

在△0/2中，OA=OB,ZAOB=120°,

AOBA=ZOAB=1(1800-NAOB)=30°,

ZCAB=ZOAB+ZOAC=30°+a,ZCBA=ZOBA+ZOBC=300+a,

在△NBC中，AACB+Z.CAB+Z.CBA=\^°,

2a+30°+a+30°+a=\80°,

a=30°

.-.ZACB=2a=60°,ZC4S=30°+cr=60°,NC&4=30。+。=60。，

：.“BC為等邊三角形；

(2)解：/OC8的度數(shù)為20?；?0。，理由如下：

???直線2C與直線49相交于點(diǎn)D,且△COD是以。O為腰的等腰三角形,

二有以下兩種情況：

①當(dāng)直線8C與線段49交于點(diǎn)。時(shí)，如圖2①所示：

???△c。。是以。。為腰的等腰三角形，即。0=0。，

/.ADOC=40CB=P,

：ZAOB=120°,

ZCOB=ZDOC+ZAOB=〃+120。，

在△03。中，OB=OC,

ZOBC=ZOCB=P,

???ZOCB+ZCOB+/OBC=180°,

.?.〃+〃+120。+/=180。，

:./3=20°,

即/OC5=/?=20。，

②當(dāng)直線6c與/O的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。時(shí)，如圖2②所示:

設(shè)40cB=。,

'：ZAOB=nO0,

ZBOD=180°-ZAOB=60°,

???△CO。是以。。為腰的等腰三角形，即。0=0。,

:.ZDOC=ZOCB=3,

ZCOB=ZDOC+ZBOD=<9+60°,

在△OBC中，OB=OC,

ZOBC=ZOCB=e,

???ZOBC+AOCB+4cOB=180°,

.-.6?+<9+6?+60°=180°,

6>=40°,

ZOCB=0=40°,

綜上所述：NOC8的度數(shù)為20?；?0。.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定，熟練掌握等腰三角

形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn).

7.（上海市奉賢區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知在△493中，OA=OB,

44。8=120。，點(diǎn)C是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接NC、BC、OC,OA=OC.

（1）如圖1,點(diǎn)。在△4BC的內(nèi)部.

①當(dāng)4。。=20。，求NO5。的度數(shù)；

②當(dāng)C。平分2/C2,判斷△NBC的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如果直線與直線49相交于點(diǎn)。，如果△COD是以。O為腰的等腰三角形，求/OC8的度數(shù)（直接

寫(xiě)出答案）.

【答案】（1）①NO3C=40。②△48C為等邊三角形，理由見(jiàn)解析

⑵NOC5的度數(shù)為20?；?0。，理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

掌握等腰三角形的性質(zhì).

（1）①根據(jù)CM=OC,4。0=20。得乙4。。=140。，進(jìn)而得/BOC=100。，再根據(jù)題意得。5=OC,進(jìn)

而得NOBC=NOCB=40°；

②根據(jù)CO平分—/C8,設(shè)NOC4=NOC8=a,則N/C5=2a,根據(jù)。4=OC得NQ4C=NOC4=a,根據(jù)

OB=OC得/OBC=/OCB=a,則/。45=30。+1，ZCBA=30O+a,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

2&+30。+&+30。+[=180。，則a=30。，進(jìn)而得44c8=/4SC=N&4C=60。，由此可判定△48C的形狀;

（2）分兩種情況討論如下：①當(dāng)直線3c與線段NO交于點(diǎn)。時(shí)，，設(shè)20cB=0,則

NDOC=NOCB=/3,NCQB=￡+120。，再根據(jù)Q5=O。得N08C==4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理得夕+〃+120。+夕=180。，則分=20。，②當(dāng)直線3C與49的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。時(shí)，設(shè)NOCB=。,則

ZDOC=Z.OCB=e,再求出/3。0=60。，得NCOS=6+60。，OB=OC^ZOBC=ZOCB=0,再根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理得6+6+。+60。=180。，貝|］。=40°,綜上所述即可得出/OC8的度數(shù).

【解析】(1)解：①在AO/C中，OA=OC,ZACO=20°,

.-?ZCAO^ZACO=20°,

ZAOC=180°-(ACAO+ZylCO)=140°,

又：ZAOB=120°,

ZBOC=360°-(ZAOC+ZAOB)=100°,

???OA=OB,OA=OC,

OB=OC,

在ABOC中，OB=OC,ZSOC=100°,

ZOBC=ZOCB=1(180°-NBOC)=40°

②a/BC為等邊三角形，理由如下:

如圖1所示:

CO平分//C5,

.■.^ZOCA=ZOCB=a,則NNC8=2e,

在AO/C中，OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=a,

在MOC中，OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB=a,

在△0/2中，OA=OB,乙402=120。，

AOBA=AOAB=1(180°-ZAOB)=30°,

ZCAB=ZOAB+ZOAC=30°+a,ZCBA=ZOBA+ZOBC=300+a,

在△NBC中，ZACB+ZCAB+ZCBA^1SO0,

2a+30°+a+30°+a=180°,

，a=30°,

/.ZACB=2a=6009/C4B=30°+a=60。,ZCBA=30°+a=60°f

為等邊三角形；

(2)NOC5的度數(shù)為20?；?0。，理由如下：

直線BC與直線/O相交于點(diǎn)D,且△COD是以。。為腰的等腰三角形,

二?有以下兩種情況：

①當(dāng)直線3C與線段49交于點(diǎn)。時(shí)，如圖所示：

△COD是以。。為腰的等腰三角形，即。

:.ADOC=AOCB=(39

ZAOB=120°,

NCOB=NDOC+NAOB=0+120。,

在△OSC中，OB=OC,

/OBC=NOCB=。,

vZ.OCB+Z.COB+Z.OBC=180°,

/.￡+￡+120。+￡=180。,

/.0=20。,

即ZOCB=J3=20°.

②當(dāng)直線3C與/O的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。時(shí)，如圖所示:

設(shè)/ocB=e,

???ZAOB=120°,

：.ZBOD=180°-ZAOB=60°,

???△COD是以。O為腰的等腰三角形，即。O=Z)C,

ZDOC=AOCB=e,

/COB=ZDOC+ZBOD=e+60。,

在△O5C中，OB=OC,

：.NOBC=ZOCB=e,

???ZOBC+ZOCB+ZCOB=180°,

6+6+6+60。=180。，

6=40。，

ZOCB=0=4O°；

綜上所述，NOC8的度數(shù)為20。或40。.

題型4：新定義題

8.(23-24七年級(jí)下?上海嘉定?期末)閱讀理解概念：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與方滿足2々+力=90。，那

么我們稱(chēng)這樣的三角形為“奇妙互余三角形”.

完成以下問(wèn)題：

⑴填空：

①若△/BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,ZA=60°,貝ijN3=

②若△48C是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,ZA=40°,則NC=

(2)如圖，在△4BC中，ZC=90°,3D是△4BC的角平分線，請(qǐng)說(shuō)明是“奇妙互余三角形”的理由.

(3)在MBC中，ZC=90°,N/8C=42。，點(diǎn)尸是射線C3上的一點(diǎn)，且A/AP是“奇妙互余三角形”，請(qǐng)直

接寫(xiě)出/APC的度數(shù).

【答案】⑴①15。；②115。或130。

⑵理由見(jiàn)解析

(3)66?；?8。

【分析】(1)①根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是180。，ZC>90°,乙4=60。，只能是

4+24=90°；

②由“奇妙互余三角形”的定義得44+24=90?；?4+4=90。，即可求解；

(2)根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得N/BC+N4=90。，而ZABC=2ZABD,所以2N/8。+//=90。,

所以公4BD是“奇妙互余三角形”；

(3)分為2種情況，當(dāng)P在線段3c上時(shí)和當(dāng)尸在C2延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)ANB尸是“奇妙互余三角形”分別可

解得答案.

【解析】(1)①??,△48C是“準(zhǔn)互余三角形"，ZC>90°,44=60。，

.?.4+24=90°,

.?.4=15°,

故答案為：15。；

②a/BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,NN=40。，

當(dāng)44+2/8=90°時(shí)，

.?.40°+2ZB=90°

ZB=25°,

ZC=180°-40°-25°=115°

當(dāng)24+/8=90。時(shí)，

.?.80°+ZB=90°

.?.ZS=10°,

.-.ZC=180o-40O-10o=130°.

故答案為：115?；?30。；

(2)ZACB=90°,

ZABC+ZA=90°,

???BD是MBC的角平分線，

.■.ZABC=2ZABD,

.-.2ZABD+ZA=90°,

:14BD是“奇妙互余三角形”.

(3)解：當(dāng)尸在線段3C上時(shí)，如圖：

A

NC=90。,/42c=42。，A/8尸是“奇妙互余三角形”,

CPB

當(dāng)2/R43+42°=90°時(shí),

NPAB=24°,

.-.ZXPC=42°+24°=66°；

當(dāng)Zft48+2x42°=90°時(shí)，

：.ZPAB=6°,

.?.Z4PC=42°+6°=48°；

當(dāng)尸在C2延長(zhǎng)線上，尸是“奇妙互余三角形"，如圖:

A

CBP

■:ZABC=42°,

：.ZABP=U8°.

當(dāng)2/4P5+N84P=90。時(shí)，

ZAPB+ZBAP=42°,

ZAPB=48°（舍去）；

當(dāng)/4PB+2/S4P=90°時(shí)，

■■■ZAPB+ZBAP=42°,

.■.ZAPB=-6°（舍去）.

綜上所述，,4PC的度數(shù)為66?；?8。.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合與分類(lèi)討論數(shù)學(xué)思

想的運(yùn)用、新定義問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，準(zhǔn)確地把握新定義的內(nèi)涵并且正確地畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.

9.（23-24七年級(jí)下?上海長(zhǎng)寧?期末）在銳角三角形N3C中，點(diǎn)。、E分別在邊電、AC±,連接。E,將

△4DE沿。E翻折后，點(diǎn)/落在2C邊上的點(diǎn)P,當(dāng)和△CEP都為等腰三角形時(shí)，我們把線段。E稱(chēng)

為△N3C的完美翻折線，P為完美點(diǎn).

PPP

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在等邊三角形中，邊3c的中點(diǎn)尸是它的完美點(diǎn)，己知其完美翻折線。E的長(zhǎng)為4,那么等

邊三角形48c的周長(zhǎng)=_.

(2)如圖2,己知?！隇椤?BC的完美翻折線，P為完美點(diǎn)，當(dāng)N8、NC恰為等腰三角形的頂角時(shí)，求此時(shí)//

的度數(shù).

(3)如圖3,已知ZJE為△N8C的完美翻折線，尸為完美點(diǎn)，當(dāng)NB、NEPC恰為等腰三角形的頂角時(shí)，請(qǐng)判斷

點(diǎn)尸到邊在、NC的距離是否相等？并說(shuō)明你的判斷理由.

【答案】⑴24

(2)60°

⑶點(diǎn)尸到邊少、4S的距離相等，理由見(jiàn)解析

【分析】本題主要考查了三角形的折疊問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定

理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角定理構(gòu)造等量關(guān)系求解.

⑴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得〃=/。=60。，則△8D尸，APEC

是等邊三角形，得是等邊三角形，進(jìn)一步得出8。=8,從而可得答案；

(2)連接NP,設(shè)=乙以尸=尸根據(jù)三角形的外角定理和等腰三角形的性質(zhì)可得

NBPD=NBDP=2a,NCPE=ZPEC=20,最后根據(jù)/8尸。+/。尸￡+/。9￡=180°即可求解；

(3)連接ZP,過(guò)尸作于點(diǎn)77,PNLAC于點(diǎn)、N,設(shè)ND4P=a,NEAP=0,根據(jù)

NBPD+NDPE+NCPE=180?？傻胏=0,則4尸為N8/C的平分線，PH=PN.

【解析】(1)解：???△4BC是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

???P為△ABC的完美點(diǎn)，

AADE%APDE,ABDP和APEC是等腰三角形,

■:/B=NC=60°,

ZXBDP和APEC是等邊三角形,

BD=DP,PE=CE,

又“AD=DP,AE=PE,

AD=BD=-AB,AE=CE=-AC,

22

.-.DE^-BC,

2

???DE=4,

BC=2DE=8,,

???等邊三角形UBC的周長(zhǎng)為8x3=24,

故答案為：24.

(2)連接4尸，^ZDAP=a,/EAP=/3,

???DE為/\ABC的完美翻折線，

???/\ADEQZ\PDE,

??,AD=DP,AE=PE,

；.NDPA=NDAP=a,ZEPA=ZEAP=p,

ZBDP=2a,APEC=2(3,

???△瓦乃和aPEC是等腰三角形，且4,/C都為頂角

;.BD=BP,CP=CE,

.,./BPD=/BDP=2a,/CPE=/PEC=20,

???/BPD+/DPE+/CPE=180。，

.-.3^4-3^=180°,

a+4=60°,

即NA4C=60。.

(3)解：連接4尸，過(guò)P作PH上4B于點(diǎn)H,PN上AC于點(diǎn)、N,

,:DE為2ABC的完美翻折線，

???/XADE”色PDE,叢BDP和APEC是等腰三角形,

設(shè)NZX4尸=a,ZEAP=[3,

ZDPA=ZDAP=a,ZEPA=ZEAP=(3,

ZBDP=2a,APEC=2(3,

?.2B,NEPC為頂角,

BD=BP,PE=PC,

：.NBPD=NBDP=2a,乙PEC=4PCE=2/3,

.?.NEPC=180°-4￡,

???ZBPD+ZDPE+NEPC=180°,

2a+a+夕+180。-4/=180°,

:?=/3,4P為/比IC的平分線，

：.PH=PN,

所以，點(diǎn)P到邊AB、AC的距離相等.

10.(23-24七年級(jí)下?上海普陀?期末)小普同學(xué)在課外閱讀時(shí)，讀到了三角形內(nèi)有一個(gè)特殊點(diǎn)“布洛卡點(diǎn)”,

關(guān)于“布洛卡點(diǎn)”有很多重要的結(jié)論.小普同學(xué)對(duì)“布洛卡點(diǎn)”也很感興趣，決定利用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法研究“布

洛卡點(diǎn)”在一些特殊三角形中的性質(zhì).讓我們嘗試與小普同學(xué)一起來(lái)研究，完成以下問(wèn)題的解答或有關(guān)的填

空.

【閱讀定義】如圖1,ZUBC內(nèi)有一點(diǎn)尸，滿足/PAB=NPBC=/PCA,那么點(diǎn)P稱(chēng)為△4BC的“布洛卡

點(diǎn)”,其中/尸48、NPBC、ZPCA被稱(chēng)為“布洛卡角”.如圖2,當(dāng)@C=NQCB=ZQBA時(shí)，點(diǎn)0也是&ABC

的“布洛卡點(diǎn)”.一般情況下，任意三角形會(huì)有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”.

圖1圖2圖3圖4

【解決問(wèn)題】(說(shuō)明：說(shuō)理過(guò)程可以不寫(xiě)理由)

問(wèn)題1：等邊三角形的“布洛卡點(diǎn)”有一個(gè)，“布洛卡角”的度數(shù)為一度；

問(wèn)題2：在等腰三角形48c中，已知=點(diǎn)M是△4BC的一個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，4c是“布洛卡角”.

(1)4MB與A/BC的底角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D3中，畫(huà)出必要的點(diǎn)和線段，完成示意圖后進(jìn)行說(shuō)

理.

(2)當(dāng)N3/C=90°(如圖4所示),攻=5時(shí)，求點(diǎn)C到直線的距離.

【答案】問(wèn)題1：1,30；問(wèn)題2：(1)ZAMB=2ZABC,(2)

2

【分析】問(wèn)題1：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“布洛卡點(diǎn)”的定義即可知其“布洛卡點(diǎn)”個(gè)數(shù)和角度；

問(wèn)題2：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得=結(jié)合題意可知=則有

ZBAC=ZABM+ZBAM,利用三角形內(nèi)角和定理可得/4SC+/4cB=/4A/B,即可得到

ZAMB=2ZABC；

(2)過(guò)C點(diǎn)作CD，4M■與。，根據(jù)可得乙切。=90。，且//45C=4C8=45。，由題意得

ZMAC=ZMCB=ZABM,求得^4^=180°_^45河_^5^1/=90°,ZBMC=180°-ZMBC-ZMCB

=135°,則有N4DC=/5A"和NCW=//WCD=45°,MD=CD,繼而證明A4DC咨ABMZ,則有

和CD=/M,即可得至IJ8M=2C〃，可得點(diǎn)C到直線的距離.

【解析】解：?jiǎn)栴}1：

由題意知三角形中有兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”，

??,等邊三角形每個(gè)角為60。，

兩個(gè)“布洛卡點(diǎn)”重合為一個(gè)，且每個(gè)角為30。，

故答案為：1,30.

問(wèn)題2：(1)ZAMB=2ZABC,理由如下：

■■.ZABC=ZACB,

?；M是UBC的“布洛卡點(diǎn)”，ZM4C是“布洛卡角”，

：.ZMAC=ZABM,

ZMAC+ZBAM=ZABM+ZBAM,

即ZBAC=ZABM+ZBAM,

???Zl80°-/ABC-ZACB=ABAC,ZABM+ZBAM=180。一ZAMB,

ZABC+ZACB=ZAMB,

■：AABC=ZACB,

：.ZAMB=2ZABC,

(2)過(guò)。點(diǎn)作。0_14眩與。，如圖，

D

貝1J/4T>C=9O。，

-ABAC=90°,AB=AC,

??.ZABC=ZACB=45°,

???ZMAC=ZMCB=ZABM,

??.ZAMB=180。—ZABM—ZBAM

=180°-ZMAC-ZBAM=180?！狝BAC=90。，

ZBMC=1800-ZMBC-ZMCB

=180?！狽MBC—ABM

=180°-ZABC

=135°,

ZADC=ZBMA=45°fZCMD=ZMCD=45°,

:.MD=CD,

在△4DC和ABMA中，

ZADC=ZBMA

</CAD=ZABM,

AC=BA

.??△/℃組△BM(AAS),

：.AD=BM,CD=AM,

AD=2CD,

??.BM=2CD,

,：BM=5,

.-.CZ)=-.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義下的三角形角度理解，涉及等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三

角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角的應(yīng)用，解得的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，以及角度之間的轉(zhuǎn)化.

題型5：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

11.(23-24七年級(jí)下?上海黃浦?期末)如圖，在ZX/BC中，BC=5,高56相交于點(diǎn)0,BD=2,且

AE=BE.

AAA

(備用圖1)(備用圖2)

(1)請(qǐng)說(shuō)明AAOE父ABCE的理由；

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿線段Q4以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿射線3c

以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，尸、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，尸、。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，求當(dāng)f為何值時(shí)，△N。。的面積為3.

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)廠是直線/C上的一點(diǎn)且CF=30.當(dāng)/為何值時(shí)，以點(diǎn)8、0、尸為頂點(diǎn)的三角形與

以點(diǎn)尸、C、。為頂點(diǎn)的三角形全等？(請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的/值).

【答案】(1)見(jiàn)解析

14

(2)當(dāng)/為1或w時(shí)，A/。。的面積為3

(3"=1或gs時(shí)，ABOP與JCQ全等

【分析】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，

(1)首先推導(dǎo)出/=通過(guò)ASA即可證明

⑵分兩種情形討論求解即可①當(dāng)點(diǎn)。在線段BD上時(shí)，QD=2-4/,②當(dāng)點(diǎn)。在射線DC上時(shí)，=今-2

時(shí)；依據(jù)三角形面積計(jì)算公式解答即可；

(3)分兩種情形求解即可①如圖2中，當(dāng)。尸=C。時(shí)，BOP^FCQ.②如圖3中，當(dāng)。尸=C。時(shí)，

ABOP^FCQ.

【解析】(1)如圖1中，

圖1

:.ZADC=9Q°,

BE是高，

:.ZAEB=ZBEC=90°,

:.ZEAO+ZACD=90°fZEBC+ZECB=90。,

:.ZEAO=ZEBC,

在△/OE和ABCE中,

NEAO=/EBC

<AE=BE,

/AEO=/BEC

AAOE^ABCE(ASA),

(2)解：由(1)知AAOEABCE,

.?.OA=BC=5,

???BD=2,

:.CD=3,

由題意。尸二%,50=4,,

①當(dāng)點(diǎn)。在線段上時(shí)，8=2-今，

???%w=g0/.QD=gx5x(2-4。=3,

解得：，=不

②當(dāng)點(diǎn)0在5。延長(zhǎng)線上時(shí)，DQ=4t-2,

二卬00=；3.OQ=gx5x(4/2)=3,

4

解得：，=5，

14

綜上，當(dāng)/為/或1時(shí)，A/。。的面積為3；

(3)存在.

①如圖2中，當(dāng)。P=C。時(shí)，

■：OB=CF,NPOB=NFCQ,

:.ABOPWFCQ.

A

圖2

.,.5—4t=t,

解得t=\,

②如圖3中，當(dāng)。=。。時(shí)，

?；OB=CF,/POB=/FCQ,

:ABOPaFCQ.

圖3

41—5=t,

解得"，

綜上所述，t=l或（S時(shí)，ABOP與AFCQ全等.

12.（20-21七年級(jí)下?上海嘉定?期末）在等邊三角形4BC的兩邊WB、NC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,

P為△4BC外一點(diǎn)，且NMW=60。，NBPC=120°,BP=CP.探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線4B、AC

移動(dòng)時(shí)，BM、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

N

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊48、AC±,且9=7W時(shí)，試說(shuō)明MV=8M+CN.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊4B、AC±,且尸MwPN時(shí)，MN=BA/+CN還成立嗎？

答：—.(請(qǐng)?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立").

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊42、C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出5初、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)一定成立

⑶MN=NC-BM

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到NP8C=/PC2=30。，進(jìn)而得到

ZPBM=4PCN=90。，證明RMPBAZ名RtAPCN(HL),得到NBPM=NC7W=30°,根據(jù)含30°的直角三角形的

性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)/C至"，使CH=BM,連接PH,證明咨de“，得至?。菔琈=尸〃，ZBPM=ZCPH,再證

明AMW會(huì)△田W(SAS),得到MN=HN,即可得到答案；

(3)在NC上截取CX=W,連接PK,證明APBM%PCW(SAS),得至=ZBPM=Z.CPK,再證

明AMW知KPN(SAS),得到AW=KN,即可得到答案.

【解析】(1)證明：???△/8C為等邊三角形，

NABC=ZACB=60°,

■.■ZBPC=120°,BP=CP,

.?.ZPSC=ZPCS=|x(1800-120o)=30°,

NPBM=ZPCN=90°,

在RtAPBM和RtZkPOV中，

PB=PC

PM=PN

RSPAW絲RtAPCN(HL),

/BPM=NCPN=30°,

?.-AMPN=60°,PM=PN,

:.LPMN為等邊三角形,

:.PM=PN=MN,

在中，ZBPM=3Q0,

:.BM=-PM,

2

同理可得，CN=-PN,

2

:.