特訓(xùn)11空間向量與立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題(四大題型)

方法歸納

探索性問(wèn)題：

(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把

“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

最值或取值范圍問(wèn)題：

在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問(wèn)題，常用的思路是：

(1)直觀(guān)判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)

的最值.

題型歸納勇

目錄:

?題型01：立體幾何中的探索性問(wèn)題

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

?題型03：軌跡問(wèn)題

?題型04：最值、取值范圍問(wèn)題

?題型01：立體幾何中的探索性問(wèn)題

例1如圖，在三棱柱ABC-A"G中，四邊形為正方形，四邊形A4.GC為菱形，且N441c=60。,

平面AACCL平面小珥A，點(diǎn)。為棱B片的中點(diǎn).

⑴求證：-LCD；

（2）棱片G（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)M,使得二面角8-AM的余弦值為巫，若存在，請(qǐng)求出「粵

5C再

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

方法歸納：（1）對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方

程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

⑵對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

例2（多選）如圖幾何體是由正方形ABCD沿直線(xiàn)A3旋轉(zhuǎn)90得到的，已知點(diǎn)G是圓弧CE的中點(diǎn)，點(diǎn)a

是圓弧￡?尸上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)H,使得CVL平面8DG

B.不存在點(diǎn)H,使得平面AHE//平面BDG

C.存在點(diǎn)//,使得直線(xiàn)團(tuán)與平面的所成角的余弦值為史

3

D.不存在點(diǎn)//,使得平面8DG與平面CEH的夾角的余弦值為g

方法歸納：解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

（1）應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.

（2）建立“坐標(biāo)系”計(jì)算.

?題型03：軌跡問(wèn)題

例3（1）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4GA中，尸為棱B片的中點(diǎn)，。為正方形BB&C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)

（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是

①若A。//平面4尸。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線(xiàn)段

②存在。點(diǎn)，使得2QJL平面

③當(dāng)且僅當(dāng)。點(diǎn)落在棱CG上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐。-4尸。的體積最大

④若2。=?，那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為孝萬(wàn)

方法歸納：解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線(xiàn)的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線(xiàn)段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

?題型04：最值、范圍問(wèn)題

例4如圖，在直三棱柱ABC-中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，441=3,。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在

棱CQ上，且CE=XCC],O<2<1.

(2)設(shè)。1為底面4瓦￡的中心，求直線(xiàn)與平面3DE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)2的值.

方法歸納：在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問(wèn)題，常用的思路是

(1)直觀(guān)判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

例5三棱錐尸-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，PA=PB=PC=a，點(diǎn)。為平面ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

PQ=6,記直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)AB的所成角為凡貝hind的取值范圍為.

（1）先分別求解出兩條異面直線(xiàn)的一個(gè)方向向量；

（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；

（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于異面直線(xiàn)所成角的余弦值求解出結(jié)果.

模擬精練

一、單選題

1.（2023?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知空間向量°ec兩兩夾角均為60。，且口第=L1|=2.若向量滿(mǎn)足

r/Fixrru,ur.nr,,

x-^x+aj=x-b,y-^y+aj=y-c,則卜的最小值是（）

A.B.BC.0D.W

222

2.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知點(diǎn)A,B,C,D,P,。都在同一個(gè)球面上，ABCD為正方形，若直

線(xiàn)尸。經(jīng)過(guò)球心，且尸。工平面ABCO.則異面直線(xiàn)24,所成的角最小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3.（2020?浙江嘉興?二模）將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)8。翻折，使得二面角A-9-C的平面角

7T

的大小為三，若點(diǎn)E,尸分別是線(xiàn)段AC和8。上的動(dòng)點(diǎn)，則BEC尸的取值范圍為（）

A.[-1,0]B.[-1,，]C.D.[-:，!]

4224

4.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)瓦AB=x,3C=l,將△ABD沿8。翻

折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得則x的取值范圍是（）

A.0<x<yfiB.0<x<V2

C.0<ED.0<x<y/6

5.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形A5CZ）中，E為線(xiàn)段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記NA￡D=a,

現(xiàn)將VAD￡沿直線(xiàn)AE翻折到VAP石的位置，記直線(xiàn)。尸與直線(xiàn)AE所成的角為力，則（）

D

A

A.cosa>cosPB.cosa<cos(3C.coscr>sinD.sincr<cos/?

6.（2023?四川遂寧?三模）如圖，正方體ABC。-A4GR的棱長(zhǎng)為2,線(xiàn)段BQ上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,尸（E在尸

A.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角AB-C的最小值為45

B.當(dāng)瓦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐體積不變

C.當(dāng)瓦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)E,F使得A￡//B尸

D.當(dāng)瓦尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角C-為定值

7.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AgCQ中，尸為棱8月的中點(diǎn)，Q為正方

形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法中不無(wú)確的是（）

A.若Q。//平面4尸。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線(xiàn)段

B.存在。點(diǎn)，使得DQ上平面人尸。

c.當(dāng)且僅當(dāng)。點(diǎn)落在棱CG上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐Q-APD的體積最大

D.若手，那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為日萬(wàn)

8.（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-4qGA的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以

下不正確的是（）

A.當(dāng)P在平面BCC再上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐尸-AAR。的體積不變

jrIT

B.當(dāng)p在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，2尸與AG所成角的取值范圍是

C.使直線(xiàn)AP與平面ABCD所成的角為45。的點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀+4后

D.若尸是4片的中點(diǎn)，當(dāng)尸在底面ABCO上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足尸尸//平面片C2時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是石

二、多選題

9.（2024.貴州貴陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱ABC-中，AB=朋=1,點(diǎn)P滿(mǎn)足=,其

中4e[0,1],z/e[0,1],則（）

A.當(dāng)4=1時(shí)，AP+P與最小值為及

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸-ABC的體積為定值

C.當(dāng);1=1,〃=；時(shí)，平面平面AAB

D.若"=1,則P的軌跡長(zhǎng)度為三1T

2

10.（2024?浙江.三模）已知正方體ABCO-ABCR的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)尸滿(mǎn)足APnXAD+zMA，其中XeR,

〃wR,貝ij（）

A.當(dāng)2=〃時(shí)，則C/+PD的最小值為而正

B.過(guò)點(diǎn)尸在平面ADR4內(nèi)一定可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與CP垂直

C.若與AZ）所成的角為3,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn)

4

D.當(dāng)4=1,〃e[CU]時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、P、G的截面面積的取值范圍為母，后

11.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）己知正方體ABC。-AgGR棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)N是底面正方形ABC。內(nèi)及邊界

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱。2上的動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)D，A）,已知肱V=4,P為MN中點(diǎn)、,則下列結(jié)論正確的是

（）

A.無(wú)論M,N在何位置，ARCG為異面直線(xiàn)B.若M是棱。A中點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為走兀

2

c.M,N存在唯一的位置，使A尸〃平面ABCD.4尸與平面ABC。所成角的正弦最大值為g

三、填空題

12.（2024?浙江金華三模）四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，24,平面A3CD,且尸A=夜，

AB=1.四棱錐P-ABC。的各個(gè)頂點(diǎn)均在球。的表面上，B&l,ILOB,則直線(xiàn)/與平面PAC所成夾角

的范圍為.

13.（2024.北京通州?二模）如圖，幾何體是以正方形ABC。的一邊8C所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)

90。形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)G是圓弧￡）歹的中點(diǎn)，點(diǎn)*是圓弧注E上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2,給出下列四個(gè)

結(jié)論：

①不存在點(diǎn)H,使得平面BDH〃平面CEG；

②存在點(diǎn)”，使得平面CEG；

③不存在點(diǎn)H,使得點(diǎn)H到平面CEG的距離大于迪；

3

④存在點(diǎn)H,使得直線(xiàn)?！芭c平而CEG所成角的正弦值為YZ.

3

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

14.（2023?江西宜春?一模）如圖，多面體ABCDEF中，面ABCD為正方形，DE上平面ABCD,CF〃DE,

且AB=DE=2,CF=1,G為棱BC的中點(diǎn)，H為棱DE上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)H為￡>￡■的中點(diǎn)時(shí)，GH7平面ABE；

②存在點(diǎn)H,使得G"，AC；

③直線(xiàn)GH與BE所成角的余弦值的最小值為撞；

5

④三棱錐A-3CF的外接球的表面積為9兀.

其中正確的結(jié)論序號(hào)為.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

四、解答題

15.（2024?江西新余?二模）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD,ZABC=90°,

S.PA=PD=AD,PC=PB.

（1）若。為AD的中點(diǎn)，證明：平面尸OCL平面A8C。；

⑵若NCQ4=60。，AB=^CD=1,線(xiàn)段尸。上的點(diǎn)"滿(mǎn)足DM=2￡>P，且平面尸CB與平面ACM夾角的余

弦值為叵，求實(shí)數(shù)2的值.

7

16.（2023?山東濰坊?三模）如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，為底

面圓。的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為百，點(diǎn)E在母線(xiàn)PC上，且4石=6，CE=1.

p

⑴求證：P0/平面BDE；

(2)求證：平面3即，平面ABD

(3)若點(diǎn)M為線(xiàn)段尸。上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)ZW與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M到平面ABE的

距離.

17.(2024.黑龍江哈爾濱.一模)如圖1,在平行四邊形ABCD中，D=60。,DC=2AD=2,將△ADC沿AC

折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置，且尸CL3C,連接PB得三棱錐P-ABC,如圖2.

(1)證明：平面A4B_L平面ABC；

-5\PM\

(2)在線(xiàn)段PC上是否存在點(diǎn)M,使平面與平面MBC的夾角的余弦值為g,若存在，求出廠(chǎng)臺(tái)的值,

oI尸。I

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(2024.浙江紹興.模擬預(yù)測(cè))如圖所示，四棱臺(tái)，底面A5CD為一個(gè)菱形，且4Ao=120°.

底面與頂面的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)分別為。，?！窤B=2AiBl=2,BB「DDi=叵,A4與底面夾角余弦值為亙.

⑴證明：。。11平面至8；

(2)現(xiàn)將頂面繞。。|旋轉(zhuǎn)。角，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)樽陨隙驴吹哪鏁r(shí)針?lè)较?此時(shí)使得底面與DG的夾角正弦值為

小屋，此時(shí)求。的值(6<90°);

43

(3)求旋轉(zhuǎn)后AA與BB］的夾角余弦值.

19.(2024?山東濟(jì)南?一模)在空間直角坐標(biāo)系O-型中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成

Ax+By+Cz+D=O,其中A,氏C,OeR,A2+B2+C2^0,且〃=(A氏C)為該平面的法向量.已知集合

P={(x,y,z)||x|<l,|y|<l,|z|<1},0={(x,y,z胭+N+MV2},T=^x,y,z)^x\+\y\<2,\y\+\z\<2,\z\+\x\<2^.

(1)設(shè)集合”={(x,y,z)|z=0},記pc"中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積為H，QM中所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面

積為邑，求加和邑的值；

(2)記集合。中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為匕，P。中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為匕，求匕和匕的值:

(3)記集合T中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為W.

①求W的體積匕的值；

②求W的相鄰(有公共棱)兩個(gè)面所成二面角的大小，并指出W的面數(shù)和棱數(shù).

特訓(xùn)11空間向量與立體幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題(四大題型)

方法歸納

探索性問(wèn)題：

(1)對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把

“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

(2)對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

最值或取值范圍問(wèn)題：

在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問(wèn)題，常用的思路是：

(1)直觀(guān)判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)

的最值.

題型歸納勇

目錄:

?題型01：立體幾何中的探索性問(wèn)題

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

?題型03：軌跡問(wèn)題

?題型04：最值、取值范圍問(wèn)題

?題型01：立體幾何中的探索性問(wèn)題

例1如圖，在三棱柱ABC-A"G中，四邊形為正方形，四邊形A4.GC為菱形，且N441c=60。,

平面AACCL平面小珥A，點(diǎn)。為棱B片的中點(diǎn).

⑴求證：-LCD；

（2）棱片G（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)M,使得二面角8-AM的余弦值為巫，若存在，請(qǐng)求出曾

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案（1）證明見(jiàn)解析

—CM11

⑵存在，才}丁的值為9或5

C1修28

分析（1）結(jié)合題意添加輔助線(xiàn)，先證明平面OCD,進(jìn)而得到的LCD；

（2）根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標(biāo)系，表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，假

設(shè)點(diǎn)M存在，設(shè)出點(diǎn)加的坐標(biāo)，求出該二面角的兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方程，

解方程即可.

解析（1）證明：取AA的中點(diǎn)。，連接CA、CO、0D,

■：AC=AAi,且/A41c=60。，.?.△A41c為等邊三角形，得

?.?四邊形為正方形，且。、。分別是AA、8片的中點(diǎn)，

/.A4j±OD,

'：OCOD=O,OC、OZ）u平面。CD,A4t，平面OCD,

：CDu平面OCD,A\VCD.

（2）?平面44|GC,平面且平面A41cle-平面4880=44）,OC±AAt,OCu平面441clC,

OC_L平面ABgA,0。（=平面4244，;.0。，0。，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4、OD、0c所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)鉗=2,則3(1,2,0),A(T，。，。)，C,(-2,0,A/3),(-1,2,0),

則44=(0,2,0),AG=C，O,道)，G4=(1，2,-右)，OC,=(-2,0,73),43=(2,2,0),

設(shè)％=（占,y,zj為平面4耳￡的一個(gè)法向量,

々?4耳=2%=0

由《取4=1得4=("0,1卜

nx?4G=-玉+6z]=0

假設(shè)棱4G上（除端點(diǎn)外）存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意，

令弓”=彳￡4（0<彳<1），得/（彳-2,24班-扇）,

設(shè)%=（無(wú)2,%，Z?）為平面84M的一個(gè)法向量,

%?A^B=2X2+2y2=0

則由

?.4M=(2-l)x+2Ay+(^-V32)

222z2=0

綜上,器的值/吟

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用向量共線(xiàn)定理設(shè)G“=;LG4（O<X<I），再用幾表示出兩個(gè)平

面的法向量，得到方程，解出即可.

方法歸納：（1）對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方

程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.

（2）對(duì)于位置探究型問(wèn)題，通常借助向量，引進(jìn)參數(shù)，綜合已知和結(jié)論列出等式，解出參數(shù).

?題型02：空間位置關(guān)系的判定

例2（多選）如圖幾何體是由正方形ABCD沿直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)90得到的，已知點(diǎn)G是圓弧CE的中點(diǎn)，點(diǎn)H

是圓弧O尸上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)//,使得C”,平面8DG

B.不存在點(diǎn)H,使得平面AHE〃平面8DG

C.存在點(diǎn)//,使得直線(xiàn)團(tuán)與平面的的所成角的余弦值為近

3

D.不存在點(diǎn)使得平面8DG與平面CE"的夾角的余弦值為:

答案ACD

分析將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體ADMF-BCNE,設(shè)AD=2,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.AF、A3所在的直

線(xiàn)分別為X、，、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤.

解析由題意可將圖形補(bǔ)全為一個(gè)正方體ADMF-3CNE,如圖所示：

不妨設(shè)4)=2,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD.AF.A3所在的直線(xiàn)分別為尤、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、8(0,0,2)、C(2,0,2)、。(2,0,0)、磯0,2,2)、/(0,2,0),G(0,&,2),

設(shè)點(diǎn)“(2cos(z,2sin(z,0),其中

對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)H,使得CH_L平面CH=(2coscr-2,2sin6Z,-2),

。8=(-2,0,2),BG=(V2,V2,0),

CH-DB=4—4cosex—4=0(sinex=1

則廠(chǎng)/、廠(chǎng),可得_-

CH-BG=242(cosa-1)+2,2sina=0[cosa=0n

TTTT

因?yàn)閯ta=4，即當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)尸重合時(shí)，Ca_L平面BOG,A對(duì)；

22

對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，平面8DG的一個(gè)法向量為尸C=（2,-2,2）,

假設(shè)存在點(diǎn)使得平面〃平面8DG,則CFLAH,CF1AE,

FC,AH=4coscr-4sincr=0TTjr

則可得tana=l,又因?yàn)镺WaK—,解得

FCAE=-4+4=02

即當(dāng)點(diǎn)”為的中點(diǎn)時(shí)，面〃平面8DG,B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若存在點(diǎn)H,使得直線(xiàn)即與平面的的所成角的余弦值為近,

3

則直線(xiàn)與平面8DG的所成角的正弦值為1一?=#，

且EH=(2cos6Z,2sina—2,—2),

III￡H-FCl14cosa-4sina|

所以，bosEH,bC=^—/?「——

11\EH\]FC\V4cos2a+4(sincr-l)2+4-2^/3

|cosa-sina|Jl士一e-2

=~7=—.=——，整理可得3sin2a-4sina+3=0,

V3-j3-2siim3

兀

因?yàn)楹瘮?shù)/(a)=3sin2a-4sina+3在cw0,-時(shí)的圖象是連續(xù)的，

且〃0)=3>0,，鼻=-4+3=-1<0,

所以，存在使得/(%)=0,

所以，存在點(diǎn)“，使得直線(xiàn)切與平面的的所成角的余弦值為也，C對(duì);

3

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面CE”的法向量為〃=(x,y,z),

CE=(-2,2,0),CH=(2coscr-2,2sincr,-2),

nCE=—2x+2y=0

則/、?,

ri-CH=2x(cosa-l)+2ysina-2z=0

取尤=1,可得幾=(1,1,sina+cosa—1),

假設(shè)存在點(diǎn)H,使得平面BDG與平面CEH的夾角的余弦值為g,

II〃?尸C2|sincr+coscr-ll1

則cosn,FC\=J一j一L=/??--------=-,

問(wèn)1代|^2+(sina+cosa-1)?x2A/33

可得(sinc+cosa-I)?=1,即sina+cosa-l=±l,

可得sina+cosa=0或sina+cose=2,

因?yàn)閍jo,g],^-<tz+-<—,則變vsin[a+0=l,

L2j4442I

所以，sina+cosa=0sin（a+；）e[l,0],

故當(dāng)aw0,—時(shí)，方程sina+cosa=0和sina+coscr=2均無(wú)解，

綜上所述，不存在點(diǎn)H,平面的與平面CEH的夾角的余弦值為（，D對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線(xiàn)面角，一般有如下幾種方法：

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可

確定線(xiàn)面角；

（2）在構(gòu)成線(xiàn)面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度力，從而不必作出線(xiàn)面角，則線(xiàn)面

角。滿(mǎn)足sin。=?。?為斜線(xiàn)段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線(xiàn)面角；

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)a為直線(xiàn)/的方向向量，〃為平面的法向量，則線(xiàn)面角。的

正弦值為sin6=卜<?（4,砌.

方法歸納：解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

（1）應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.

⑵建立“坐標(biāo)系”計(jì)算.

?題型03：軌跡問(wèn)題

例3（1）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A/CiR中，尸為棱B片的中點(diǎn)，。為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)

（含邊界），則下列說(shuō)法中正確的是.

①若RQ//平面A/。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線(xiàn)段

②存在。點(diǎn)，使得2QJL平面4尸。

③當(dāng)且僅當(dāng)。點(diǎn)落在棱CG上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐。-4尸。的體積最大

④若口。=手，那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為孝萬(wàn)

答案①③④

分析作出過(guò)點(diǎn)2與平面A/。平行的正方體的截面判斷①；建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面APO的法向

量判斷②；設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，求出點(diǎn)。到平面APD最大距離判斷③；確定點(diǎn)。的軌跡計(jì)算判斷④作答.

解析在正方體A8C。一4耳GR中，取B]G，CC]的中點(diǎn)E,F,連DiE,EF,DiF,B、C,如圖，

則所//與C//A。，AOu平面A/。，E/z平面其尸。，則有所〃平面4尸。，

因點(diǎn)尸為棱B片的中點(diǎn)，有PFUBGI/g,PF=B￡=g,即有為平行四邊形,

則2F//AP,而APu平面A/。，2/0平面4丁。，有￡（尸//平面APO,

D[FcEF=F,2￡石尸匚平面DEF,因此，平面QE尸〃平面人丁。，因。?！ㄆ矫嫫涫?，

則RQu平面REF,又點(diǎn)。在平面BCG瓦，平面尸平面8?！甓?跖，即點(diǎn)。的軌跡為線(xiàn)段EF①

正確;

以2為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4（1，。，0），。（。，0，1），尸（1，1，；），設(shè)。（。,1,6）36e[0,1]）,

A。=(一1,0,1),4尸=(0,1,1),2Q=31,6),設(shè)平面A.PD的一個(gè)法向量■=(3),

n-AiD=-x+z=0

則令得~2，T2）,若。"平面4孫則加〃叫即自丁展

a=b=-2i[0,l],所以不存在。點(diǎn)，使得2Q，平面4尸。，②不正確;

因△4尸。的面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。到平面4尸。的距離最大時(shí)，三棱錐Q-AP。的體積最大，

=點(diǎn)Q到平面4/0的距離〃+匕一3],而0<。+6<2,貝IJ當(dāng)a+b=O時(shí)，

\n\32

"max=1，

而a,bw[O,l],即。=6=0,因此點(diǎn)Q(0,L0)與點(diǎn)C1重合時(shí)，三棱錐4尸。的體積最大，③正確；

因RG，平面BBC。，GQu平面B4CC，則RG^GQ,因此弓0=西述二藺=J(半y一1=日，

顯然點(diǎn)。的軌跡是以G為圓心，半徑為正，所含圓心角為g的扇形弧，弧長(zhǎng)為也乃，④正確.

故答案為：①③④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線(xiàn)法，截面與幾

何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線(xiàn)與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線(xiàn)得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)

中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.

方法歸納：解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問(wèn)題，用圓錐曲線(xiàn)的定義判定，或用代替法進(jìn)行計(jì)算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線(xiàn)段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

?題型04：最值、范圍問(wèn)題

例4如圖，在直三棱柱ABC-中，△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，441=3,。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在

棱CQ上，且CE=XCC[,O<X<1.

(2)設(shè)。1為底面4瓦￡的中心，求直線(xiàn)CO】與平面3DE所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值時(shí)4的值.

答案(1)證明見(jiàn)解析

(2)最大值為色,此時(shí)X=:

319

分析(1)根據(jù)已知條件建立空間直角坐坐標(biāo)系，利用向量證明線(xiàn)面垂直即可.

(2)求出直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的方向向量和平面對(duì)應(yīng)的法向量，將線(xiàn)面角用向量坐標(biāo)表示進(jìn)而求最值.

解析(1)取AG的中點(diǎn)2,連接,

因?yàn)槿庵鵄BC-A由G為直棱柱，且4ABC為正三角形，

所以以所在直線(xiàn)分別為X軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)已知條件得

0(0,0,0),3(6,0,0),A(0,-1,3),C(0,1,0),G(0,1,3),

22

當(dāng)2=-時(shí)，CE=~CC.,.-.￡(0,1,2),

33

二AE=(0,2,-1)3=(6,0,0),DE=(0,1,2),

AE-DB=0，AE-DE=0+2-2=0,

AE_LDE，即AELDB,"_LDE,

又DBcDE=D,而B(niǎo)ODEu平面BDE,AE_L平面BDE.

(2)由(1)知4(6,0,3),E(0,l,32)(0<%<1),DE=(0,l,3A)

01為4426的中心，，。|(弓,0,3),CQ|=(*,-1,3)

設(shè)平面皮>E的法向量〃=(%,y,z),貝I

n?DB=\/3x=0

,令z=L貝lJ〃=(0,—3/1)

n?DE=y+3Az=0

設(shè)直線(xiàn)C。］與平面3DE所成角為凡則

sgcos<CO,n>|=j031—巨萼X

歷.由V31kl

2(92+4)

,(O<A<1)

9A2+1

即直線(xiàn)co,與平面3DE所成角正弦的最大值為回,此時(shí)2的值為:

319

方法歸納：在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問(wèn)題，常用的思路是

(1)直觀(guān)判斷：在變化過(guò)程中判斷點(diǎn)、線(xiàn)、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.

(2)函數(shù)思想：通過(guò)建系或引入變量，把這類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

例5三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，抬=28=/^=#,點(diǎn)。為平面42。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足

PQ=6,記直線(xiàn)P。與直線(xiàn)A8的所成角為0,貝hind的取值范圍為.

答案

分析根據(jù)已知條件先確定出。在平面ABC內(nèi)的軌跡，然后通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩直線(xiàn)方向向量

夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計(jì)算出兩直線(xiàn)所成角的正弦值的取值范圍.

解析因?yàn)槭珹P5,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC,所以由全等三角形可知AB=AC=BC,

所以三棱錐為正三棱錐，記尸在底面A3c內(nèi)的投影為0,

所以至=47=3。=，旅+企=2卡),

因?yàn)锳Ocos3(T=《-,所以AO=2,所以POZAP2-A0。=6，

因?yàn)镻Q=6，所以O(shè)Q={pQ2_op2=1,所以。的軌跡是以。為圓心半徑為1的圓，

取AB中點(diǎn)D,連接。，可知8經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

C

A

卜'

x

y

B

設(shè)Q（cosa,sin/0）,24（1,-8,0）,5（1,百,0）,尸（0,0,后）,

所以PQ=（cosa,sina,-后｝AB=（0,23,0）,

所以cos<PQ,AB>=lsinc,

2A/3-733

所以cos0=|cos<PQ,AB>|=^-|sina\,

所以sin8=Jl一cos?8二Jl一gsin?a,且sin?a且0,1],

1

所以1—§sn9ra￡，所以sin?！?/p>

故答案為:

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：異面直線(xiàn)所成角的余弦值的向量求法：

（1）先分別求解出兩條異面直線(xiàn)的一個(gè)方向向量；

（2）計(jì)算出兩個(gè)方向向量夾角的余弦值；

（3）根據(jù)方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值等于異面直線(xiàn)所成角的余弦值求解出結(jié)果.

模擬精練

一、單選題

1.（2023?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知空間向量a,瓦2兩兩夾角均為60。，且忖第=1,卜|=2.若向量滿(mǎn)足

r,rrru,ur.nr,,

x-^x+aj=x-b,y-^y+aj=y-c,貝中的最小值是（）

A.1-?B.且C.0D.；

222

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，取一個(gè)三棱錐，用其棱表示對(duì)應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長(zhǎng)求出,

之后應(yīng)用空間向量運(yùn)算法則，表示出對(duì)應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，求值即可.

取一三棱錐O—ABC,OA=a,OB=b,OC=c,

MZAOB=ZAOC=ZBOC=60°,OA=OB=1,OC=2,所以M=l,

AC=BC=VOB2+OC2-2OB-OC-cos60=71+4-2=6-

設(shè)AX=x,AY=y,

i"r1rr

因?yàn)閤?（尤=,所以AX.（AX+OA-O8）=0,即AX.BX=0，

所以X在以45為直徑的球上，球半徑為設(shè)球心為。，

n/Crxnr向

又由=同理可知y在以ac為直徑的球上，球半徑為彳，設(shè)球心為E,

球心距OE=正，所以?xún)汕蛳嘟?，即x點(diǎn)與y點(diǎn)可以重合，

2

又k-.=做一必=同，

所以卜一，.=1岡,=0.

IIminIImin

故選：c.

2.（2024?安徽馬鞍山?三模）已知點(diǎn)A,B,C,D,P,。都在同一個(gè)球面上，A8Q）為正方形，若直

線(xiàn)尸。經(jīng)過(guò)球心，且尸。工平面A5CD.則異面直線(xiàn)上4,所成的角最小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】設(shè)球的半徑為R（R>0）,記ABC。中心為。，依題意可得PQ過(guò)點(diǎn)。且P。的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心

為G,建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)Q4=r（廠(chǎng)>0）,G（0,0,t）（-R<t<R）,利用空間向量法表示出cosPA,QB,求

出cosPA,QB的最大值，即可得到.

【解析】設(shè)球的半徑為尺（尺>0）,記A3CO中心為。,

因?yàn)镸CD為正方形，直線(xiàn)尸。經(jīng)過(guò)球心，且尸。工平面ABCD,

所以PQ過(guò)點(diǎn)。且PQ的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為G,

以。為原點(diǎn)，OB、OC、0P分別為x,y,z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

^：OA=OB=OC=OD=r（r>0）,G（0,0j）（-R<f<R）,

則A（0,—r,0）,B（r,0,0）,P（0,0,R+t）,Q（0,0,RT）,

所以B4=(O,_r,_R_。，QB=(r,0,t-R),

所以叢.QBu—'+R)。一/?)=&_/,

所以網(wǎng)=而+（我+廳,剛二次+伊_（2,

222

5(.OG+OB=R,即產(chǎn)+，=R2,

所以=百源R^-t2

J,+(R+I)2XJ,+(/?一『

R2-t2_yjR2-t2R

<當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

2R尿-2-2R,亦Fr=0

設(shè)直線(xiàn)E4,QB所成的角為a,貝l]cosa=gsPAQB|4g,

又0°4aW90°,所以％加=60°.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答是建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量法求出cosPA,QB的最大值.

3.（2020?浙江嘉興?二模）將邊長(zhǎng)為1的正方形A3CD沿對(duì)角線(xiàn)8。翻折，使得二面角A-9-C的平面角

的大小為三7T，若點(diǎn)E,尸分別是線(xiàn)段AC和8。上的動(dòng)點(diǎn)，則BECF的取值范圍為（）

A.[-1,0]B.[-1,丁]C.[--,0]D.[-不：]

4224

【答案】B

【分析】設(shè)。點(diǎn)為中點(diǎn)，連接AO,CO,由題意可證得NAOC=60。，作APLOC,EQAP,利用向

量的基本運(yùn)算可得BECF=,再通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。（祖,加），F(xiàn)（n,l-n）,

（0<H<1）,求出BQ,CF，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求出BE-C/u-mTz+l，借助相+〃的范圍，即

可得解.

【解析】設(shè)。點(diǎn)為3。中點(diǎn)，連接AO,CO,

由題意可知49，應(yīng)>,COLBD,所以NAOC=60。，

作APLOC,則尸為OC中點(diǎn)作石。AP,

則EQJ■平面BCD,

所以BE-CF=(BQ+QE)CF=BQCF,

如圖建立平面直角坐標(biāo)系:

則3(1,0),C(l,l),

設(shè)<m<,F(n,l-n),(0<n<1),

所以，BQ=(m_l,m),CF,

貝！JBE.CPMBQ.CFUTW-M+I,

,3

因?yàn)橐?,

4

所以BECFe,

_4_

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的翻折，考查二面角，向量的基本運(yùn)算以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查學(xué)生

的推理能力和計(jì)算能力，難度較大.

4.（2022?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)瓦Afi=x,3C=l,將沿8。翻

折，若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得WCE,則x的取值范圍是（）

AD

A.0<X<A/3B.0<x<s/2

C.0<x<lD.0<x<y[6

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出翻折后的位置4（。,仇。），利用向量垂直，數(shù)量積為零，找出關(guān)系式

bx=l-a,進(jìn)而求得2（1-a）,再利用極限位置求得。的最小值，即可求得答案。

【解析】如圖示，設(shè)4處為AABD沿BD翻折后的位置，

以Z）為坐標(biāo)原點(diǎn)，ZMQC分別為軸，過(guò)點(diǎn)。作平面ABC。的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

1X

則A(1,0,0),8(1,X,0),C(,0,X,0),E(5,5,0),設(shè)A(a，瓦c),

由于|AQ|=1,故]+尸+°2=1,

]X

而5A—(a—1,Z?—x,c),DAi—(a,b,c),CE—(—,——,0),

由于A(yíng)B_LAD，故％,則BA,=a(a-I)+b(b-x)^-c2=0,

即Zzx=l-a；

又由在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，便得AB八C￡,不妨假設(shè)%，C&

1Y

貝4%?匿=5（。一1）一5（6—%）=0，BPx2-fe+a-l=O,

即x?=bx+l—a=2（1—a）,

當(dāng)將△ABD翻折到如圖二A3D位置時(shí)，AA'BD位于平面ABCD內(nèi)，

不妨假設(shè)此時(shí)54'，CE,設(shè)垂足為G

作A2LA。的延長(zhǎng)線(xiàn)，垂足為￡此時(shí)在x軸負(fù)半軸上方向上，。廠(chǎng)的長(zhǎng)最大，。取最小值,

由于/BA'O=90,故EG〃A￡）,

所以==而NBEG=ZAED,

i^ZAED=ZBDA=ZEDA,5iAE=AD,

故△AED為正三角形，則NEDA=60ABDA!=ZFDA'=60,

而AD=1,故廁心一：,

故Y=2（l-a）W3,%>0,則xvg,

故x的取值范圍是（0,在］,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了空間的垂直關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，解答時(shí)要充分發(fā)揮空間想象力，明確空間的點(diǎn)線(xiàn)面的

位置關(guān)系，解答時(shí)涉及到空間坐標(biāo)系的建立以及空間向量的應(yīng)用，還要注意極限位置的利用，有較大難度.

5.（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知矩形ABC。中，E為線(xiàn)段C。上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）,記NA￡D=cr,

現(xiàn)將VADE沿直線(xiàn)AE翻折到VAPE的位置，記直線(xiàn)CP與直線(xiàn)AE所成的角為夕，則（）

D.sincsr<cos/3

【答案】B

【分析】

CE\+EPicosa

利用空間向量夾角余弦公式和向量數(shù)量積公式得到cos/=T——，由三角形三邊關(guān)系得到

CP\

cos￡>cosa,求出答案.

【解析】

|CP-￡A||(C￡+EP).EA|\CE-EA+EP-E^

AB選項(xiàng),co，'-冏同一|CP|-|EA|-|CP|-|EA|

6￡|-|￡>1|0086/+|￡^|-|E4|cosa|0C￡|+?)JEAkosa(口目+歸尸。850

|CP|-|E4||CP|.|EA||CP|

因?yàn)橥?同〉|CP|,所以除，