空間向量及其應(yīng)用綜合檢測(cè)提升卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

I.已知48,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。在平面/8C外，點(diǎn)尸滿足萬=X四+］礪+1OC’則當(dāng)點(diǎn)尸,48,C共面

時(shí)，實(shí)數(shù)1=（)

4112

A.——B.—C.-D.-

5555

【答案】A

【分析】由向量減法運(yùn)算可得萬=痂-次，再根據(jù)題設(shè)及空間向量的共面定理即可求解.

【詳解】由萬=疝+《9+《西，^^OP-OA=xOA+-^OB+-^OC,

所以赤=（尤+1）9+］礪反，

224

當(dāng)點(diǎn)P,48,。共面時(shí)，可得x+l+w+］=l，解得x=-g.

故選：A.

2.已知尸為平行四邊形"BCD外的一點(diǎn),且方=（2,1,3）,15=（3,2,5）,PA=（-2-2,2）,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.方與麗是共線向量B.與所同向的單位向量為一力，°，云-

\7

C.就與而夾角的正弦值為;D.平面尸8。的一個(gè)法向量為（7,-5,1）

【答案】C

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，夾角公式及法向量的特點(diǎn)可以判斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榉?（2,1,3）,通=（3,2,5）,所以麗=石-萬=（1,1,2）,

112—

因?yàn)镕=所以尸4與8D不是共線向量，A不正確；

—2—22

對(duì)于B,而=通-萬=（1,0,7）,所以與所同向的單位向量為窗i=0,7）=］。,0,嚕），B不正

確;

___k_/_、-ACBD244A/3

對(duì)于C,=28+20=（5,3,8）,就?麗=24,所以cos8。）=?明聞=7,x6=亍，

所以就與而夾角的正弦值為:，C正確；

對(duì)于D,PB=PA+AB={Q,-1,5）,因?yàn)椋?,-5,1）.（0,-1,5）=10/0,所以平面總。的一個(gè)法向量一定不是

（7,-5,1）,D不正確.

故選：C

3.在三棱錐S-/2C中，D,E,尸分別為線段的中點(diǎn)，G為△NBC的重心，則而=（）

A.-SD+-SE+-SF

333

B.-SD+-SE+-SF

222

C.-SD+-SE+-SF

323

D.-SD+-SE+-SF

332

【答案】A

【分析】由G為△45。的重心，得4G=：/尸，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則即可求解.

4.如圖，在三棱錐尸-45。中，尸4,平面Z5C,AB1AC,且麗=3反，則而在就方向上的投影向

量為（）

p

3—?2—?3—?2—?

A.—ACB.—ACC.—ACD.-AC

4343

【答案】C

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，從而而在就方向上的投影

向量，即而在了軸正方向上的投影向量.

【詳解】"PAL^^ABC,AB1AC,

：.PAVAB,PAVAC,

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B=a,4C=b,P4=c.

則/（0,0,0）,2（見0,0）,0（0/,0）,。10。6,；.,

則衣=（0,d0）,而=（一。］上}}

???麗在就方向上的投影向量，即而在了軸正方向上的投影向量為（。：仇0）=：（0也0）=1%.

故選：C.

5.正三棱柱4BC-4耳G的所有棱長(zhǎng)都為2,則Bg到平面4SC的距離是（）

A4721?3V21?2V21「標(biāo)

7777

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，利用空間距離的向量求法，即得答案.

【詳解】設(shè)分別是/c,4G的中點(diǎn)，連接。。1,。8,。及，

根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)可知08,OC,。。1兩兩相互垂直,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則網(wǎng)后0,0),C(0,1,0),4(01,2)6(0,1,2),

C5=(V3,-1,O),C4；=(O,-2,2),CC；=(O,O,2).

設(shè)平面4區(qū)的法向量為力=“,z,貝!]_'

n-CAx=-2y+2z=0

令y=G，貝！|x=l,z=g,故可得五=°,也,百).

由于〃BC,與。＜/平面AXBC,BCu平面AXBC,所以//平面AXBC.

2A/32V21

所以用G到平面A.BC的距離即Q到平面4BC的距離，即

7

故選：C.

6.在長(zhǎng)方體NBCD-48cA中，AB=a,AD=b,AAt=c,線段4G與3a交于點(diǎn)?,點(diǎn)尸為空間中任

意一點(diǎn)，則西?（莎+麗+無+而）的最小值為（）

22

A.--B.-b2C.-c2D.--

24

【答案】C

【分析】連接NC與5〃交于點(diǎn)。，連接。。1記。Q的中點(diǎn)為G,AD,5c的中點(diǎn)分別為E,F,連接E尸,

利用空間向量的運(yùn)算可得莎+而+正+麗=4萬，貝!J西.（莎+屈+定+而）可化為所進(jìn)

而可得答案.

【詳解】如圖，連接NC與50交于點(diǎn)。，連接0a記。的中點(diǎn)為G,AD,3C的中點(diǎn)分別為E,F,連

接EE則O為的中點(diǎn)，

PA+PB+PC+Pl5=（PA+PD'\+（7B+PC]=2.PE+2PF=2.[PE+PF]=4Pd.

因?yàn)?4=C所以。O|=c,GO[=-,

所以兩.國(guó)+屈+定+珂=兩.4所=4回+的).(而+闞

2

=4(PG+GOl)-(FG-GOl)=4(PG-GO^=4PG

所以當(dāng)尸與G重合時(shí)，而5取得最小值，為0,此時(shí)西?（莎+麗+定+而）取得最小值，為-

故選：C.

7.記空間中的一些點(diǎn)構(gòu)成的集合為4。為原點(diǎn)，且對(duì)任意印巴出€/,都存在不全為零的實(shí)數(shù)x/，z,使

得x函+.V研+z西=6,若則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.（l,0,l）e/,且（1,0,-1）€/B.（0,0,1）€/,且（2,2,3）€/

C.（l,2,l）e4,且（2,2,3）e4D.（3,2,l）e/,且（l,0,l）e4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用x函++z砥=6,逐項(xiàng)得到關(guān)于x/，z的方程組，檢驗(yàn)是否滿足題意即可得

解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)4（W）,6（1,0/），6（1,0,-1）,

設(shè)存在實(shí)數(shù)x,7,z使得x西+y漉+z西=6,

即x(l,l,l)+y(l,0,l)+z(l,0,—1)=(0,0,0),

x+y+z=0x=0

解得b=0,不滿足條件，故A錯(cuò)誤;

貝?。?lt;x=0

x+y-z=0z=0

對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)4(1,1,1),為(0,0,1),6(2,2,3),

設(shè)存在實(shí)數(shù)x,了，z使得x西+y配+z砒=6,

即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),

x+2z=0

貝！|<x+2z=0,令z=—l,貝!|x=2,y=l,

x+y+3z=0

滿足存在不全為零的實(shí)數(shù)X,V,Z的條件，故B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)4(1,1,1),1(1,2,1),4(2,2,3),

設(shè)存在實(shí)數(shù)x，九z使得x西+y配+z砒=6,

即x(l,l,l)+y(l,2,l)+z(2,2,3)=(O,O,O),

x+y+2z=0x=0

則.無+2y+2z=0,解得㈠=0,不滿足條件，故C錯(cuò)誤;

x+y+3z=0z=0

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)出1,U),￡(3,2,1),月(1,0,1),

設(shè)存在實(shí)數(shù)x,九z使得x西+夕漉+z砒=6,

即x(,l,l)+y(3,2,l)+z(l,O,l)=(O,O,O),

x+3y+z=0x=0

解得b=o,不滿足條件，故D錯(cuò)誤;

貝?。?lt;x+2y=0

x+y+z=0z=0

故選:B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解題設(shè)給出的定義，從而逐項(xiàng)列式檢驗(yàn)即可得解.

8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體NBCO-44GA中，。是棱。，上的動(dòng)點(diǎn).則下列說法正確的是（）

①存在點(diǎn)。，使得G0〃4C；②存在點(diǎn)。，使得③對(duì)于任意點(diǎn)。，。到4c的距離的取值范

圍為惇，半

；④對(duì)于任意點(diǎn)。，△4。。都是鈍角三角形

A.①②③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即

可得到結(jié)果.

【詳解】解：由題知，在正方體-4及CQ|中，。是棱。?上的動(dòng)點(diǎn)，

建立以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系盯z,如圖所示：

則4(。,0,1),C(l,l,0),Q(1,1,1),設(shè)0(0,1,a),其中OVaVl,

所以電=(-l,O,a-l),4C=(1,1,-1),

當(dāng)迎=4布，BP{-l,O,a-l)=A(l,l,-l),

-1=2

所以＜0=2,顯然方程組無解，

a—l=—A

所以不存在彳使得弓0=彳羽,

即不存在點(diǎn)。，使得GO//4C,故①錯(cuò)誤：

當(dāng)麗?/=-1+0+1-。=0時(shí)，解得a=0,

即存在點(diǎn)。，使得G。故②正確：

因?yàn)?Q=(O/,a-l),其中OWaWl,

’而?蘋］2_

所以點(diǎn)。到4c的距離為人而1-

國(guó)JF()3

因?yàn)榉?(1Q-a),方=(0,-1,1一a),其中OWaWl,

2

所以因|叫71773+(i一47iwji+(i-a)'

所以三角形4c。為直角三角形或鈍角三角形，故④錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：

(1)定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件,

解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；

(2)向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角(兩直線的方向向量、直線的方向向量與

平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.如圖，正方體/BCD-下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)尸在直線8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線4P與直線4D所成角的大小不變

B.點(diǎn)尸在直線2G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線/P與平面所成角的大小不變

c.點(diǎn)P在直線8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角尸-/2-c的大小不變

D.點(diǎn)尸在直線8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐/一口尸。的體積不變

【答案】CD

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法對(duì)各項(xiàng)內(nèi)容逐一驗(yàn)證即可.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)/8=2.

則2）（0,0,0）,4（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,Q（0,2,2）,^（0,0,2）,旦（2,2,2）.

所以通=（一2,0,0）,=（-2,2,0）,25；=（-2,0,2）,西=（2,2,2）,

因點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，那么麗=彳西，則尸（2-22,2,22）.

貝屈=(_242,2孫

7HTn4D,AP4/1A

對(duì)于A：因?yàn)閏°s"，/P="=兀和場(chǎng)=-不是定值'故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：因?yàn)閗-M=0,9?萬瓦=0,即就_L西，函瓦，

又/。，4，匚平面/。，，所以平面/C。，

所以西=（2,2,2）為平面/C。的法向量,

C~A~nDB[,AP41

所以8s郎'/P="=/荻a=耳不是定值,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：設(shè)平面4口的法向量為力=（x,y,z）.

n_LADXh?ADX=0\-x+z=0

—?—?Ai。八令x=l,貝!JG=(1,O,1).

iiLAPn-AP=Q[-Ax+y+Az=O

又平面NCR的法向量為函=（2,2,2）,

\DB}?司4[Z

設(shè)二面角尸-“2-C為o,則|cosq=￡書信.行=.，為定值，

.同42x2433

所以二面角P-g-c的大小不隨P點(diǎn)在3G上的運(yùn)動(dòng)而改變，故C正確;

對(duì)于D：因?yàn)橐乙豢蒫=%-皿c，因?yàn)锳/。。的面積為定值，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知8C1//4&,3?0平面/。。，/2u平面/Cn，所以8G〃平面

所以當(dāng)點(diǎn)尸在直線5Q上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸到平面N的距離，

即三棱錐尸-的高不變，所以三棱錐工-。尸。的體積不變，故D正確.

故選：CD

10.已知：空間直角坐標(biāo)系。-平中，過點(diǎn)尸（%,九,%）且一個(gè)法向量為方=（。,6,c）的平面a的方程為

a（x-Xo）+6（y-%）+c（z-Zo）=O；過點(diǎn)「伉,為/。）且一個(gè)方向向量為2=（1/,匕刈,（叱卬f0）的直線I的方

程為二^=上』==、利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面a的方程為2x-2y+z-7=0,直

UVW

線/是平面x-3y+7=0與2y+z-4=0的交線，則下列說法正確的是（）

A.平面a的一個(gè)法向量為為=（2,-2,1）

B.直線/經(jīng)過點(diǎn)M（-1,2,0）

C.直線/的一個(gè)方向向量為0=（3,1,2）

D.直線/與平面a所成角的正弦值為恒

21

【答案】ABD

【分析】利用空間向量的運(yùn)算即可求解各選項(xiàng).

【詳解】由平面a的方程為2x-2y+z-7=0,所以可得平面法向量為?=（2,-2,1）,故A正確；

因?yàn)橹本€/是平面x-3y+7=0與2y+z-4=0的交線，

所以直線/經(jīng)過的點(diǎn)必在這兩個(gè)平面上，經(jīng)檢驗(yàn)：

”1,2,0）滿足方程-l-3x2+7=0,也滿足2x2+0-4=0,

故直線/經(jīng)過點(diǎn)M（-l,2,0）,故B正確;

設(shè)直線I的一個(gè)方向向量為。=（x/,z）,

而平面彳-3了+7=0與2）+2_4=0的法向量分別為（1,-3,0）,（0,2,1）,

(x,y,z)-(l,-3,0)=0x—3y=0

則有

[(x/,z>(O,2,l)=O'」得2y+z=Q9

令x=3,貝!Jy=l,z=-2,所以巨=（3,1,-2）,故C錯(cuò)誤;

cos倍出（3，1，-2）。-2,1）.一恒

故直線/與平面a所成角的正弦值為恒，故D正確；

21

故選：ABD.

11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如

圖1,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體，若圖3中每

個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則下列結(jié)論正確的是（）

C.平面ECG與平面8G。的夾角正弦值為:D.異面直線C。與所成角的正切值為如

【答案】BD

【分析】通過空間向量的線性運(yùn)算可得選項(xiàng)B正確，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得選項(xiàng)A、C、D的正誤.

［詳解】依題意麗+而=-同+2鬲=_而+2岡一河=-2存力+2麴，所以選項(xiàng)B正確；

如圖，以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4尸，4瓦，4/所在直線分別為羽％2軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則用(o,i,o),Q(-1,1,0),A(-i,o,o),e(o,-1,1),

EQ-L-l),5(0,1,-1),0(-1,0,-1),

_—QC\CQ7

對(duì)于A：QG=(T,2,-1),eg=(1,-2,2),設(shè)==|函|=一§，

則點(diǎn)G到直線CQ的距離d='函『一年=,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于C：配=(-2,2,0),旃=(-2,0,2),麗=(-1,-1,0),西

—/、{n?EC=-2x+2y=0

設(shè)平面ECG的法向量的一個(gè)法向量為々=x/,z,貝！J,}一'，

ncEG=-2x+2z=0

令x=l得々=(1,1,1),

*,,

—/、%?BD=-a-b=0

設(shè)平面8CQ的一個(gè)法向量為叼=(4,瓦c)，貝！I———，

n2.BC{=-a+c=0

令Cl=—\得〃2=(-1,1,-1)，

所以卜osG，0卜乜旦=1,即平面ECG與平面BCQ的夾角余弦值為1,

1固33

所以平面ECG與平面8CQ的夾角正弦值為=孚，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)楹?(1,-2,2),麗=(-1,7,0),

所以cos(函現(xiàn)=1、(:)+(-2)x(-1)=號(hào),sin(CQ,BD)=

'/Vl+4+4xV26\/

所以tan(麗，詼)=g,即異面直線C。與8。所成角的正切值為而'，所以D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決角度和距離

問題.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在四棱錐P-/BCD中，加_1底面/8。,/。//8。,2。=48=/。=5,8。=6,/2=4,￡為尸5的中點(diǎn)，F(xiàn)

PF

為尸。上一點(diǎn)，當(dāng)C尸，/￡時(shí)，—=_____.

FD

9

【答案】亞

【分析】據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)

AE±CF,即可求解.

【詳解】以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則3（4,—3,0）,尸（0,0,4）,C（4,3,0）,0（0,5,0）,

故.2,-|,2）荏=。,—，21,PO=（0,5,-4）,PC=（4,3,-4）,

設(shè)定=彳而貝!］而=（0,54-42）,rc=PC-FF=（4,3-5A,4A-4）,

因?yàn)镹EJ.CF,所以亞.定=0,

BP2x4-1x（3-52）+2x（42-4）=0,解得X=

所以￡P(guān)F=-9^==9,

FD31-922

9

故答案為：—.

13.如圖，正方體/BCD-/4G2的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M為側(cè)面BCG片內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AM=20點(diǎn)N在對(duì)角

線四。上且5囚=與與D,則"N的最小值為.

【答案】42

【分析】易得點(diǎn)放在側(cè)面3CGA內(nèi)的軌跡是以名為圓心，2為半徑的圓弧苑.然后以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立

空間直角坐標(biāo)系，^^MBxB=0^<0<^\,得到M（2-2sine,2,2-2cos。），由4N=得到

N（2-四,2-收,2-痣），利用向量的模求解.

【詳解】點(diǎn)M在側(cè)面8CG4內(nèi)的軌跡是以用為圓心，2為半徑的圓弧萌.

以點(diǎn)〃為原點(diǎn)，為x軸，0C為j軸，為2軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橛秒p=4“，所以N（2-"2-后,2-丹,

所以MV=（2sin6-夜,-夜,2cos6-夜）,

所以pW|=J10—4五（sind+cosd）=,10-8sin［e+：J.

當(dāng)。=:時(shí)，|MN|最小，最小值為④.

故答案為：V2

14.已知三棱錐P-/8C的四個(gè)面是全等的等腰三角形，豆PA=45,PB=AB=2后,D為N8中點(diǎn),

PE=3EC，則二面角尸-OE-N的余弦值為.

［答案］亞1/2.

【分析】由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體建立平面直角坐標(biāo)系，由空間向量法求解二面

角余弦即可.

【詳解】由題意可知，三棱錐P-43C的四個(gè)面是全等的等腰三角形，且PA=45PB=AB=2#,

則該三棱錐P-ABC可補(bǔ)形為如圖所示的長(zhǎng)方體PHCG-FBTA,

S.PA=BC=4C,PB=AB=PC=AC=2#,

FA2+FP2+PA2=32

貝!!有("2+用2+/82=20,

FP2+FB2+AC2=20

以NT,NG分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則尸(4,0,4),/(0,0,0),8(4,2,0),

因?yàn)?。為N8中點(diǎn)，PE=3EC,所以。(2,1,0),￡［，*4

所以益=(2,1,0),反P5=(-2,1,-4).

設(shè)平面EAD的法向量為1=（占,必,4）,

2x+必=0

n?AD=01

則,}一

即一%+；必+44=0

々?DE=0

令玉=2,則必=—4,4=1,

則/=（2,-4,1）為平面切。的一個(gè)法向量.

設(shè)平面。底尸的法向量為〃2=（%2，%/2），

——?—>；

%,DE-0f+%+422=0

則」—,即

n?DP=0

2—2%+%—4z2=0

令工2=1,則%=2,z2=o,則“2=（1,2,0）為平面OE尸的一個(gè)法向量.

所以％,〃2=1x2+2x(―4)+1x0=—6,%=不2。+(-4)~+/=^2\>\n2|=JF+2?+0。=V5.

設(shè)二面角尸-OE-/為。，由圖可知a為銳角,

所以cosa=匕

Pi

則二面角P-DE-A的余弦值加叵.

故答案為：口叵.

35

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知空間中三點(diǎn)N（l,-0,3）,3（0,V2,5）,C（1,V2,4）.

⑴若向量成與近平行，且同=JB,求成的坐標(biāo)；

⑵求向量在向量NC上的投影向量方；

（3）求以C3,C4為鄰邊的平行四邊形的面積.

【答案】⑴前的坐標(biāo)為（T20,2）或（1,-20,-2）；

.20亞10

(2))=57

（3）717.

【分析】（1）由已知可設(shè)所=AAB,利用向量的模長(zhǎng)公式求出幾的值，即可求出向量成的坐標(biāo);

（2）先求向量刀，就，再根據(jù)投影定義求方；

（3）利用空間向量的夾角公式求出cos（而,0），結(jié)合三角形的面積公式求結(jié)論.

【詳解】（1）因?yàn)?（1,一收,3）,2（0,啦,5）,

所以罰=卜1,2后,2）,

因?yàn)橄蛄慷c加平行，

所以可設(shè)成=2方，XeR，

所以麗=卜42a2,2X）,因?yàn)榘?可，

所以，幾2+822+4彳2=岳,

所以幾=±1,

所以應(yīng)=（-1,20,2）或所=（1,-20,-2）,

所以應(yīng)的坐標(biāo)為卜1,2在2）或°,-2在-2）；

（2）因?yàn)?（1,一&,3）,5（0,V2,5）,C（1,V2,4）,

所以刀=卜1,2后,2）,^C=（0,272,1）,

所以而?就=0+8+2=10，|就|=3

_ABACAC10—

所以向量48在向量/C上的投影向量a==N“C

L20&1。）

所以。=0,——

I99）

(3)因?yàn)?■一拉,3),耳0,血,5),C(1,V2,4),

所以3=(-1,0,1),與=(0,-2后，-1),

CBCA_V2

所以cosCB,C4=

同.同一T

即cosNNC8=_^,又//C3e(0,兀)，

所以sinNNC8=止-(cosNACB)2=浮，

所以△ABC的面積S=J詞詞sinNNC8=gx0x3x￥=平,

所以以C5,C4為鄰邊的平行四邊形的面積為

16.(15分)

如圖，在平行六面體NBCD-HB'C'D'中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱44'的長(zhǎng)為2,且乙4NB=〃4力=120。,在線段/H、BB'、CC\分別取/〃、B"、C"、O"四

1131

點(diǎn)且力=BB”=—BB',CC'=-CC,DD”=—DD'來：

4242

A

AB

(1)證明：A"B〃〃C"D"；

(2)/C的長(zhǎng)；

(3)直線BDr與平面ABCD所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逝

(3)g

【分析】(1)選擇耳，刀為基底將M爐,冷表示出來，從而證明H'8"〃C7)〃，(2)利用數(shù)量積的定義求

向量石的模，從而求NC的長(zhǎng)，

(3)利用cos(3D',公斤回可結(jié)合使用翡，赤，/作為基底求出直線8D與平面/BCD所成角的余弦

值.

>I>>I>I>>>I>>I>I>>

【詳解】(1)A"B"=--AA'+AB+-BB'=-AA'+AB,C"D"=~CC'+CD'--DD'=--AA'-AB,

故/〃W=-CT?，故A"B"〃C"D"；

(2)AC'=AC+AA'=AB+AD+AA',

故向卜J國(guó)+25+

=Vl+l+4+0+2xlx2xCOS120°+2X1X2XCOS120°=A/2;

(3)由/C=J1+1=,AC=V2>CC—2,

^CAC'IAC,

又15.而=萬.函+石+2?)=|畫2+萬.通+方.Z?=l+0+lx2xcosl20°=0,

故/CU肛

又/C、ABcTWABCD,S.ACryAB=A,

故/C'_L平面4BCD,即正是平面4BCD的法向量，

令直線5D'與平面ABCD所成角為6,

則cos8=sin(BD',AC'),

y-BIJ'^BA+BC+BB'^-AB+AD+AA'，

故幽=+詬+Z?)2=，網(wǎng)2+|研+網(wǎng)2-2AB-AD-2AB-AA'+2^5-7^

=Vl+l+4-0-2xlx2xcosl200+2x1x2xcosl20°=A/6,

而?左-AB+AD+AA'^(AB+AD+AA^

76x72

|近『+pf+2布.2?-廊］

1+4-2-1_V3

262733

即cosS=sin（BD\AC）=

17.（15分）

_2兀

如圖，在四棱錐P-22CD中，。為NC中點(diǎn)，尸。，平面4BCD,4D=CD=4,24DC=3-.

■yc

⑴求證：AC1PD-

（2）若PO=BC=26,ZBAC=y,求平面POD與平面PBC夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）證明尸01/C,0D1AC,根據(jù)線面垂直判定定理可證得NCL平面P。。，從而可證得結(jié)

論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別得平面尸OD與平面尸8c的法向量，再由向量夾

角余弦公式求解即可得面面夾角余弦值.

【詳解】（1）連接QD,

-y>c

因?yàn)镻O_L平面N8C￡）,/Cu平面/BCD,所以P01/C,

因?yàn)?D=C。，。為NC中點(diǎn)，所以0DL4C,

又。?？谑?。=O,POu平面POD,所以/C，平面POD,

因?yàn)槭?gt;u平面尸0D,所以4C_LPQ；

（2）因?yàn)镹O=CO=4,所以=-與］x：=￡,且NC=4G，

313J26

7T

貝!|/OCZ=/BZC=—,所以。C///3,

ATBC

在△血中，由正弦定理可得心荻

sinZBAC

V—TT

則HBC-/Csin/&4C、2」,所以乙480=不，即所以O(shè)CJLBC,

BC2^/32

如圖，以。為圓心，CD,C8所在直線分別為陽(yáng)了軸，過C作Cz〃尸。，建立空間直角坐標(biāo)系,

則0（0,0,0）,3（0,2后0）,4（6,2后0）,0（4,0,0）,0（3,后0）,尸（3,石,26）,

由（1）得/C,平面尸OD,所以第=（6,26,0）為平面POD的一個(gè)法向量,

設(shè)平面PBC的法向量為k=（x,gz）,

由于屈=（0,2君,0）,岳=9,百,2g）,

y=0

CB-n=2y/3y=0

則＜2百令Z=G則x=-2,所以為=卜2,0,道）,

而?訪=3》+向+2岳=0X=--------Z

3

_CA-n-12+0+0-12

cosCA,n=].]----

所以-4昂777，

1al何亞+(2@X](_2『+(6)

故平面尸?！ㄅc平面依。夾角的余弦值為紹

18.(17分)

如圖，在四棱錐尸一/8。中，4B_L平面P/D,4D〃3C,CD=4P,4D=2,PD=4B=BC=4.點(diǎn)E在棱P4

上且與產(chǎn),/不重合，平面3CK交棱尸。于點(diǎn)

(1)求證：AD//EF；

（2）若E為棱P4的中點(diǎn)，求二面角的正弦值;

⑶記點(diǎn)4P到平面2CE的距離分別為4,4,求力+說的最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵等

（3）8（3-V5）

【分析】（1）先證〃平面在根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得/?！?

（2）先證。4,DM,。尸兩兩垂直，再以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面ABE和平面BEC的法

向量，用向量法求二面角的三角函數(shù)值.

（3）設(shè)尸（0,0,〃），求平面2EC的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法表示出力+外，再結(jié)合不等式

求它的最小值.

【詳解】（1）因?yàn)?D〃BC,8Cu平面BCE尸，/。仁平面8CE尸，

所以Z。//平面BCE尸.

又/Ou平面尸N。，平面尸/Dc平面8CEF=Er.

所以工?！ā辍?/p>

（2）如圖：

取BC中點(diǎn)連接。

因?yàn)?8_L平面P4D,4Du平面尸40,所以

在四邊形力3A0中，AD//BM,且4D=8M=3,

所以四邊形48Mo為矩形，所以ZXW，平面P4D.

又在AP。/和ADA/C中，PD=DM=4,DA=MC=2,AP=CD.

所以三AOMCCSSS）.

所以，PDLAD.

故。/,DM,。尸兩兩垂直，所以以。為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

當(dāng)E為尸/中點(diǎn)時(shí),^4（2,0,0）,5（2,4,0）,C（-2,4,0）,尸（0,0,4）,￡（1,0,2）,

所以罰=（0,4,0）,而=（4,0,0）,麗=（1,4,一2）.

設(shè)平面48E的法向量為萬=（再,八句），

nLAB(x1,^1,z1)-(O,4,O)=O弘二0

則__k=>V(x,j/,z)-(l,4,-2)=0=項(xiàng)-2句=0'取【1，可得為=2

nLEB111

故為=(2,0,1).

設(shè)平面2EC的法向量為應(yīng)=（工2，%/2）,

nlCB(X2,J/2,Z2).(4,0,0)=0=

則—?—.2，%/2).(1,4,-2)=0=句=0,取馬=2,得名=1,

nLEB

得應(yīng)=（0,1,2）.

/—m-n22

所以儂例，"〉=麗=忑花=丁

所以二面角A-BE-C的正弦值為:

(3)設(shè)，(0,0,〃),(0<〃<4),“(0,4,0),則加=(0,4,-4)，為=(2,0,-%),麗=(0,0,4-丸).

設(shè)平面3CE的法向量為不=（x,y,z）,則

kLCB(x,y,z)-(4,0,0)=0,x=0

■一_______.n(x,y,z〉(O,4,-/7)=03

kLFM4y-hz=09

令z=4,貝！Jy=〃，取定=（0,〃,4）.

\FA-k\

則A到平面3CE的距離為：4=匚［^—14h

rl'配+16

\FP-k\4(4叫

P到平面BCE的距離為：&=展」

rlV/z2+16

所以小小匕『328俏+2)

h2+16

設(shè)/z+2=f,則/w(2,6)

1

4+21心包（當(dāng)且僅當(dāng)，=型即y26時(shí)取"=”）

那么-----------------/\2=--------------------------20“—=

h1+16(%—2)+16—4/+20，+---4